概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題解答全稿17

1、習(xí)題一1設(shè)為隨機(jī)試驗(yàn)的三個(gè)隨機(jī)事件，試將下列事件用表示出來（1）僅僅發(fā)生；（2）所有三個(gè)事件都發(fā)生；（3）與均發(fā)生，不發(fā)生；（4）至少有一個(gè)事件發(fā)生；（5）至少有兩個(gè)事件發(fā)生；（6）恰有一個(gè)事件發(fā)生；（7）恰有兩個(gè)事件發(fā)生；（8）沒有一個(gè)事件發(fā)生；（9）不多于兩個(gè)事件發(fā)生解：（1） ；（2）；（3）；(4)；(5)；(6)；（7）；（8）；（9）2寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間（1）同時(shí)擲三顆骰子，記錄三顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和；（2）將一枚硬幣拋三次，觀察出現(xiàn)正反面的各種可能結(jié)果；（3）對一目標(biāo)進(jìn)行射擊，且到擊中5次為止，記錄射擊的次數(shù)；（4）將一單位長的線段分為三段，觀察各段的長度；（5）從分別標(biāo)有號

2、碼1，2， ，10的10個(gè)球中任意取兩球，記錄球的號碼解：（1）3，4，5，18；（2）;(3) 5,6,7,；(4) ;(5)3將12個(gè)球隨機(jī)地放入20個(gè)盒子，試求每個(gè)盒子中的球不多于1個(gè)的概率解：設(shè)表式所求的概率，則：0.014734將10本書任意地放在書架上，其中有一套4卷成套的書，求下列事件的概率：（1）成套的書放在一起；（2）成套的書按卷次順序排好放在一起解：（1）設(shè)表示所求的概率，則：= （2）設(shè)表示所求的概率，則：=一輛公共汽車出發(fā)前載有名乘客，每一位乘客獨(dú)立的在七個(gè)站中的任一個(gè)站離開，試求下列事件的概率：（1）第七站恰好有兩位乘客離去；（2）沒有兩位及兩位以上乘客在同一站離去解

3、：5名乘客在七個(gè)站中的任意一個(gè)站離開的結(jié)果總數(shù)（1）第七站恰好有兩位乘客離去，其方法數(shù)，故設(shè)為所求概率，則：（2）設(shè)沒有兩位及兩位以上乘客在同一站離去，則：6有一個(gè)隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，每一次等可能的產(chǎn)生十個(gè)數(shù)字，由這些數(shù)字隨機(jī)編成的位數(shù)碼（各數(shù)字允許重復(fù)），從全部位數(shù)碼中任意選取一個(gè)，其最大數(shù)字不超過（）的概率解：設(shè)表式所求的概率，則由全部位數(shù)碼的總數(shù)為，得：一元件盒中有50個(gè)元件，期中25件一等品，15件二等品，10件次品，從中任取10件，求：（1）恰有兩件一等品，兩件二等品的概率；（2）恰有兩件一等品的概率；（3）沒有次品的概率解：（1）設(shè)為所求概率，則：（2）設(shè)為所求概率，則：（3）設(shè)為所求概

4、率，則：有10個(gè)人分別佩戴者標(biāo)號從1號到10號的紀(jì)念章，任意選出3人，記下其紀(jì)念章的號碼，試求：（1）最小的號碼為5的概率；（2）最大的號碼為5的概率解：從10人中任意選3人紀(jì)念章號碼的總數(shù)為，（1）最小號碼為5，則余下2個(gè)在610中選，即，設(shè)為所求概率，則：（2）同理設(shè)為所求概率，則：9設(shè)事件及的概率分別為和，試求：解：；（單調(diào)性）； （單調(diào)性）；10一批產(chǎn)品共100件，其中5件不合格若抽檢的5件產(chǎn)品中有產(chǎn)品不合格，則認(rèn)為整批產(chǎn)品不合格，試問該批產(chǎn)品被拒絕接收的概率是多少？解：（法一）設(shè)=抽檢的5件產(chǎn)品中第件不合格，=1,2,3,4,5則所求概率為：（法二）11設(shè)和是試驗(yàn)的兩個(gè)事件，且，在下

5、述各種情況下計(jì)算概率：（1）；（2）和互不相容；（3）解：（1）（2）（3） 12現(xiàn)有兩種報(bào)警系統(tǒng)與，每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)，系統(tǒng)有效的概率為0.92，系統(tǒng)有效的概率為0.93 裝置在一起后，至少有一個(gè)系統(tǒng)有效的概率則為0.988，試求裝置后：（1）兩個(gè)系統(tǒng)均有效的概率；（2）兩個(gè)系統(tǒng)中僅有一個(gè)有效的概率解：（1）所求概率為，得：；（2）所求概率為，得：1310把鑰匙上有3把能打開門，今任取2把，求能打開門的概率解：（法一）從10把鑰匙中任取2把的試驗(yàn)結(jié)果總數(shù)，能打開門意味著取到的二兩把鑰匙至少有一把能打開門，其取法數(shù)，故設(shè)為所求概率，則：（法二）記為“能打開門”，則“兩把鑰匙皆開不了門”，于是1

6、4一個(gè)盒子中有24個(gè)燈泡，其中有4個(gè)次品，若甲從盒中隨機(jī)取走10個(gè)，乙取走余下的14個(gè)，求4個(gè)次品燈泡被一人全部取走的概率解：設(shè)次品燈泡全部被甲取走，次品燈泡全部被乙取走，則互不相容，所求概率為：15設(shè)將5個(gè)球隨意地放入3個(gè)盒子中，求每個(gè)盒子內(nèi)至少有一個(gè)球的概率解：5個(gè)球隨意地放入3個(gè)盒子中事件總數(shù)，3個(gè)盒子中一個(gè)或兩個(gè)盒子中有球數(shù)為，設(shè)所求概率為，則：16已知和同時(shí)發(fā)生，則必發(fā)生，證明：證明：由已知，再由單調(diào)性，則17擲一枚均勻硬幣直到出現(xiàn)三次正面才停止，問正好在第六次停止的情況下，第五次也是正面的概率是多少？解：設(shè)第五次出現(xiàn)正面，第六次停止，則：18證明：，則證明：，即證19設(shè)事件互不相容

7、，且，試證：證明：20將兩顆均勻骰子同時(shí)擲一次，已知兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和是奇數(shù)，求兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和小于8的概率解：此事件的樣本空間由36個(gè)樣本點(diǎn)組成，設(shè)兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和小于8，兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和是奇數(shù)，則，于是：21設(shè)10件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任取兩件，試求在所取得的產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)有一件是次品后，另一件也是次品的概率解：設(shè)所取得兩件中至少有一件是次品，所取得兩件產(chǎn)品都是次品，而，所求概率為：22 10件產(chǎn)品有6件是正品，4件次品，對它們逐一進(jìn)行檢查，問下列事件的概率是多少？（1）最先兩次抽到的都是正品；（2）第一、三次抽到正品，第二、四次抽到次品；（3）在第五次檢查時(shí)發(fā)現(xiàn)最后一個(gè)次品解：設(shè)=

8、第次抽到的是正品，=1,2,3,4,5,6則(1);(2) ；(3) 設(shè)第五次檢查時(shí)發(fā)現(xiàn)最后一個(gè)次品，則23某人忘記電話號碼的最后一個(gè)數(shù)字，他僅記得最末一位數(shù)字是偶數(shù)現(xiàn)在他試著撥最后一個(gè)號碼，求他撥號不超過三次而接通電話的概率解：設(shè)接通電話，撥號次，=1，2，3構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分，由全概率公式： 24 某型號的顯像管主要由三個(gè)廠家供貨，甲、乙、丙三個(gè)廠家的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)品和的25%、50%、25%，甲、乙、丙三個(gè)廠的產(chǎn)品在規(guī)定時(shí)間內(nèi)能正常工作的概率分別是0.1、0.2、0.4，求一個(gè)隨機(jī)選取的顯像管能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)正常工作的概率解：設(shè)=能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)正常工作，=選取第個(gè)廠家的產(chǎn)品， =1，2

9、，3則由全概率公式：25 兩批同類產(chǎn)品各自有12件和10件，在每一批產(chǎn)品中有一件次品，無意中將第一批的一件產(chǎn)品混入第二批，現(xiàn)從第二批中取出一件，求第二批中取出次品的概率解：設(shè)第二批中取出次品，第一批的次品混入第二批，構(gòu)成樣本空間的一個(gè)有限劃分，由全概率公式：26在一個(gè)盒子中裝有15個(gè)乒乓球，其中有9個(gè)新球，在第一次比賽時(shí)任意取出三個(gè)球，比賽后仍放回原盒中，第二次比賽時(shí)，同樣任意的取出三個(gè)球，求第二次取出三個(gè)新球的概率 解：設(shè)B=第二次取出3個(gè)新球可以看出，直接確定B的概率是困難的，原因是，第一次比賽之后，12個(gè)乒乓球中的新、舊球的分布情況不清楚，而一旦新舊球的分布情況明確了，那么相應(yīng)的概率也容

10、易求得為此，設(shè)=第一次取到的3個(gè)球中有個(gè)新球， =0，1，2，3容易判斷構(gòu)成一個(gè)劃分由于，又由全概率公式，得：27倉庫中存有從甲廠購進(jìn)的產(chǎn)品30箱，從乙廠購進(jìn)的同類產(chǎn)品25箱，甲廠的每箱裝12個(gè)，廢品率為0.04，乙廠的每箱裝10個(gè)，廢品率0.05，求： (1)任取一箱，從此箱中任取一個(gè)為廢品的概率；(2)將所有產(chǎn)品開箱后混放，任取一個(gè)為廢品的概率解：(1)設(shè)取出的是廢品，從甲廠取出，構(gòu)成一個(gè)劃分，則 (2) 28已知一批產(chǎn)品中96%是合格品，用某種檢驗(yàn)方法辨認(rèn)出合格品為合格品的概率是0.98，而誤認(rèn)廢品是合格品的概率是0.05，求檢查合格的一件產(chǎn)品確系合格的概率解： 設(shè)=檢查合格產(chǎn)品，=確系

11、合格由已知，由貝葉斯公式：29已知5%的男人和0.25%的女人是色盲者，現(xiàn)隨機(jī)挑選一人，此人恰為色盲者，問此人是男人的概率為多少（假設(shè)男人女人各占總?cè)藬?shù)的一半）解：設(shè)色盲者，男人， 構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分，且，由貝葉斯公式：30設(shè)某種病菌在人口中的帶菌率為0.03，由于檢驗(yàn)手段不完善，帶菌者呈陽性反應(yīng)的概率為0.99，而不帶菌者呈陽性反應(yīng)的概率為0.05，若某人檢查結(jié)果是呈陽性反應(yīng)，他是帶菌者的概率是多少？解：設(shè)結(jié)果呈陽性，是帶菌者，則構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分，且，由貝葉斯公式： 31證明：如果，則事件和相互獨(dú)立證明：由已知和條件概率公式，有，即，即，又，上式得：，有，即和相互獨(dú)立32設(shè)一個(gè)位二

12、進(jìn)制數(shù)是由各“0”或“1”數(shù)字組成，每一位出現(xiàn)錯(cuò)誤數(shù)字的概率是，各位數(shù)字出現(xiàn)錯(cuò)誤與否是獨(dú)立的，問組成一個(gè)不正確的這類二進(jìn)制數(shù)的概率是多少？解：每一位出現(xiàn)正確數(shù)字的概率是，由已知，各位數(shù)字出現(xiàn)正確與否也是獨(dú)立的，于是所求概率33.設(shè)事件相互獨(dú)立，且，試求：（1）三個(gè)事件都不發(fā)生的概率；（2）三個(gè)事件中至少有一個(gè)事件發(fā)生的概率；（3）三個(gè)事件中恰有一個(gè)事件發(fā)生的概率；（4）至多有兩個(gè)事件發(fā)生的概率.解：（1）；（2）；（3）；（4）34甲袋中有3只白球，7只紅球，15只黑球；乙袋中有10只白球，6只紅球，9只黑球從兩袋中各取一球，試求兩球顏色相同的概率解：設(shè)表示兩球同為白色、紅色和黑色，互不相容，

13、則所求概率為：35 兩部機(jī)床獨(dú)立的工作，每部機(jī)床不需要工人照管的概率分別為0.9和0.85，試求：(1) 兩部均不需照管的概率； (2)恰有一部需要照管的概率；(3)兩部同時(shí)需要照管的概率解：設(shè)甲機(jī)床不需要工人照管，乙機(jī)床不需要工人照管，則，(1)(2) (3) 36求下列系統(tǒng)（圖1.6）能正常工作的概率，其框圖的字母代表組件，字母相同，下標(biāo)不同的均為同一類組件，知識裝配在不同的位置，類組件正常工作的概率為，類組件正常工作的概率為，類為解：(1)所求概率為 (2)所求概率為，又 相互獨(dú)立，則(3)所求概率為習(xí)題二1、一批晶體管中有9個(gè)合格品和3個(gè)不合格品，從中任取一個(gè)安裝在電子設(shè)備上，如果取出

14、不合格品不再放回，求在取得合格品以前已取出的不合格品數(shù)的概率解：設(shè)在取得合格品以前已取出的不合格品數(shù)為隨機(jī)變量X，則X的所有可能取值為：0，1，2，3。分布律為：,也可以表示為：X01230.750.20450.04090.00462、做一系列獨(dú)立試驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功的概率為p(0<p<1)，求：（1）首次成功時(shí)試驗(yàn)次數(shù)Y的分布律；（2）在n次成功之前已經(jīng)失敗次數(shù)X的分布律.解：設(shè)Ai=第i次試驗(yàn)成功，i=1,2,，則（1）（2）做n+m次獨(dú)立試驗(yàn)，指定n次成功，m次失敗的概率為：隨機(jī)事件發(fā)生相當(dāng)于第n+m次試驗(yàn)必定成功，而前n+m-1次試驗(yàn)中有m次失敗，共有次不同的方式，故：3、

15、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：求C的值解：由即，也即可得4、 隨機(jī)變量X的分布律為：（1）a可取何值？（2）證明對于任意兩個(gè)正整數(shù)s和t，有解：（1），得0<a<1.(2) 5、一批產(chǎn)品共有25件，其中5件次品，從中隨機(jī)地一個(gè)一個(gè)取出檢查，共取4次，設(shè)X是其中的次品數(shù)，若（1）每次取出的產(chǎn)品仍放回；（2）每次取出的產(chǎn)品不再放回。寫出X的分布律.解：（1）隨機(jī)的取出產(chǎn)品并放回，每次取出的產(chǎn)品是次品的概率是p=0.2，共取4次相當(dāng)于做4次伯努利試驗(yàn)，則(2) ，把上述概率統(tǒng)一改寫為：6、某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.8，現(xiàn)連續(xù)射擊30次，寫出擊中目標(biāo)的次數(shù)X的分布律，并求出30次射擊未擊

16、中目標(biāo)的概率.解：該射手每次射擊要么擊中目標(biāo)，要么沒擊中目標(biāo)，擊中目標(biāo)的概率p=0.8，連續(xù)射擊30次相當(dāng)于做30重伯努利試驗(yàn). 擊中目標(biāo)的次數(shù)是X，故30次射擊未擊中目標(biāo)的概率為：7、一放射源放射出的任一粒子穿透某一屏蔽的概率是0.01，現(xiàn)放射出100個(gè)粒子，求至少有兩個(gè)粒子穿透屏蔽的概率. 解：放射源放射出的任一粒子要么穿透屏蔽，要么不能穿透，穿透屏蔽的概率p=0.01，放射100個(gè)粒子相當(dāng)于做100重伯努利試驗(yàn). 穿透屏蔽的次數(shù)是X，故至少有兩個(gè)粒子穿透屏蔽的概率為： 8、設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布，且，計(jì)算解：由題意，,且，得故9、在一個(gè)周期內(nèi)，從一個(gè)放射源放射出的粒子數(shù)X是服從泊松分布

17、的隨機(jī)變量，如果無粒子放射出的概率為1/3，試求：（1）X的分布律；（2）放射出一個(gè)以上粒子的概率.解：（1），得故X的分布律為：（2）放射出一個(gè)以上粒子的概率為：=10、一個(gè)口袋中有六個(gè)球，在這六個(gè)球上標(biāo)明的數(shù)字分別為-3，-3，1，1，1，2，從袋中任取一個(gè)球，試求取得的球上標(biāo)明的數(shù)字X的分布律及分布函數(shù).解：由題意有：也即X-312當(dāng)x<-3時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，可得11、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，用F(x)表示下述概率：解：；12、（柯西分布）隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是：試求：（1）系數(shù)A和B；（2）X落在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的概率；（3）X的概率密度解：（1）由可得：,解得;

18、（2）;（3）X的概率密度13、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：試求X的概率密度，并計(jì)算和解：X的概率密度；14、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為：試求：（1）系數(shù)A；（2）X的分布函數(shù)解：（1）由，即，求得; （2）X的分布函數(shù)15、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為：試求：（1）求X的分布函數(shù)；（2）確定滿足的b解：（1）X的分布函數(shù)； （2）由，得，,故有，解得（舍去）.16、從一批子彈中任意抽出5發(fā)子彈，如果沒有一發(fā)子彈落在靶心2 cm以外，則整批子彈將被接受設(shè)彈著點(diǎn)與靶心的距離X（cm）的概率密度為：試求：（1）系數(shù)A；（2）該批子彈被接受的概率解：（1）由，即，求得; （2）其中一發(fā)子彈被接受的概率為：所

19、以，該批子彈被接受的概率為：17、在長為l的線段上隨機(jī)地選取一點(diǎn)，將其分為兩段，短的一段與長的一段之比小于1/4的概率是多少？解：設(shè)在線段上隨機(jī)選取的點(diǎn)為X，X的分布函數(shù)為：由短的一段與長的一段之比小于1/4可得或，即有或而， 所以，短的一段與長的一段之比小于1/4的概率為0.418、設(shè)隨機(jī)變量Y服從（0,5）上的均勻分布，求x的方程：有實(shí)根的概率解：方程有實(shí)根的充要條件為=，得或由題設(shè)知Y具有概率密度：從而，故有實(shí)根的概率19、一電子信號在（0,T）時(shí)間內(nèi)隨機(jī)地出現(xiàn)，設(shè)0<t0<t1<T，求：（1）信號出現(xiàn)在區(qū)間(t0,t1)內(nèi)的概率；（2）信號在t0時(shí)刻前不出現(xiàn)，在(t0

20、,t1)內(nèi)出現(xiàn)的概率.解：電子信號出現(xiàn)的時(shí)間X在（0,T）上服從均勻分布，其分布函數(shù)為（1）信號出現(xiàn)在區(qū)間(t0,t1)內(nèi)的概率為;(2) 信號在t0時(shí)刻前不出現(xiàn)，在(t0,t1)內(nèi)出現(xiàn)的概率.為20、若隨機(jī)變量,試求：（1） （2） 解：（1）=； （2）= =21、若隨機(jī)變量,試求：（1） （2）解：（1）=； （2）=22、設(shè)某城市男子的身高（單位：cm），問應(yīng)如何選擇公共汽車門的高度，使男子乘車時(shí)與車門碰頭的機(jī)會(huì)小于0.01？解：假設(shè)選擇公共汽車的高度為cm時(shí)使男子乘車與車門碰頭的機(jī)會(huì)小于0.01即有，也即，查表得：，從而，所以，公共汽車的車門高度為184cm時(shí)男子乘車與車門碰頭的機(jī)會(huì)

21、小于0.0123、兩臺(tái)電子儀器的壽命分別為X1,X2，且，若要在45小時(shí)的期間內(nèi)使用這種儀器，問選用哪一臺(tái)儀器較好？若在52小時(shí)內(nèi)使用呢？解：要在45小時(shí)的期間內(nèi)使用這種儀器，兩臺(tái)電子儀器使用壽命的概率分別為故選用第一臺(tái)較好；要在52小時(shí)的期間內(nèi)使用這種儀器，兩臺(tái)電子儀器使用壽命的概率分別為故選用第二臺(tái)較好。24、某工廠生產(chǎn)的電子管壽命X（單位：小時(shí)）服從正態(tài)分布，如果要求電子管的壽命在1200小時(shí)以上的概率達(dá)到0.96，求值.解：由題意有，即，查表可得，從而，得25、設(shè)隨機(jī)變量，求分點(diǎn)使X分別落在的概率之比為3:4:5解：由題設(shè)有，也即有，令則可得：解得，即經(jīng)查表求得：補(bǔ)充題：1、一袋中有5

22、只球，編號為1,2,3,4,5在袋中同時(shí)取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律 解：從5只球中任取3只，有種取法，每種取法的概率為隨機(jī)變量X的可能值為3、4、5當(dāng)X=3時(shí)，相當(dāng)于3只球的號碼為：，故;類似地，；，所以X的分布律為：X345P2、 將一顆骰子投擲兩次，以X表示兩次中得到的最小的點(diǎn)數(shù)，試求X的分布律解：樣本空間，隨機(jī)變量X的所有可能值為1、2、3、4、5、6,分布律為：X123456P3、設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四組信號燈，每組信號燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過以X表示汽車首次停下時(shí)，它已通過的信號燈的組數(shù)（設(shè)各組信號燈的工作室相互獨(dú)立的），

23、求X的分布律解：以P表示每組信號燈禁止汽車通過的概率，易知X的分布律為：X01234P或者寫成：；以代入得：X01234P0.50.250.1250.06250.06254、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：（1）求（2）求X的概率密度解：（1）；（2）X的概率密度5、一工廠生產(chǎn)的某種元件的壽命X（以小時(shí)計(jì)）服從參數(shù)為的正態(tài)分布，若要求，允許最大為多少？解：若要求，即=，從而：，即允許最大為31.256、某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮壓，以mm-Hg計(jì)）服從在該地區(qū)任選一18歲的女青年，測量她的血壓X（1）求,；（2）確定最小的x，使解：（1）由，則=；= =；（2），則，為確定x的最小值，查表得：

24、，所以習(xí)題三1二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)是，試求：（1）系數(shù)、；（2）邊緣分布函數(shù)解：（1），；（2）的邊緣分布函數(shù)，的邊緣分布函數(shù)2將兩個(gè)元件并聯(lián)組成一個(gè)電子部件，兩個(gè)元件的壽命分別為與（單位：小時(shí)），已知的聯(lián)合分布函數(shù)為：試求：（1）關(guān)于、的邊緣分布函數(shù)；（2）此電子部件正常工作120小時(shí)以上的概率解：（1）的邊緣分布函數(shù)，的邊緣分布函數(shù)；（2），3對一個(gè)目標(biāo)獨(dú)立地射擊兩次，每次命中的概率為，若表示第一次射擊時(shí)的命中次數(shù)，表示第二次射擊時(shí)的命中次數(shù)，試求和的聯(lián)合分布律以及聯(lián)合分布函數(shù)解：聯(lián)合分布律YX0101聯(lián)合分布函數(shù)4一個(gè)袋子中裝有個(gè)球，依次標(biāo)有數(shù)字1，2，2，3，從中任意取出個(gè)后（不

25、放回），記下球上的數(shù)字，再取出個(gè)球，記下其上的數(shù)字試寫出的聯(lián)合分布律和關(guān)于、的邊緣分布律解：YX23102305設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律如下：YX023400.080.070.060.010.0110.060.100.120.050.0220.050.060.090.040.0330.020.030.030.030.04計(jì)算以下概率：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）-116二維連續(xù)性隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為確定常數(shù)并計(jì)算概率解： ；7設(shè)二元函數(shù)為，問取何值時(shí)，是二維隨機(jī)變量的概率密度？Y解：-11608隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度是，試求：（1）常數(shù)

26、；（2）；（3）解：（1） ；15（2） ；15OX（3）9設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為試求：（1）；（2）的聯(lián)合分布函數(shù)解：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，,聯(lián)合分布函數(shù)10設(shè)甲船在24小時(shí)內(nèi)隨機(jī)到達(dá)碼頭，并停留小時(shí)；乙船也在24小時(shí)內(nèi)獨(dú)立地隨機(jī)到達(dá)碼頭，并停留小時(shí)，試求：（1）甲船先到達(dá)的概率；（2）兩船相遇的概率XY242421解：（1）；（2） 11兩個(gè)人約定在下午時(shí)到時(shí)之間的任何時(shí)刻到達(dá)某車站乘公共汽車，并且分別獨(dú)立到達(dá)車站這段時(shí)間內(nèi)有班公共汽車，它們的開車時(shí)間分別為1:15，1:30，1:45，2:00，如果他們約定：（1）見車就上；（2）最多等一輛車求在兩種情形下他們同乘一輛車的概率分別是

27、多少？解： （1）； （2）12設(shè)二維隨機(jī)變量 ，計(jì)算概率，其中解：，13設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，確定常數(shù)，并討論與是否相互獨(dú)立？解：；，由，則與相互獨(dú)立14設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度如下，問與是否相互獨(dú)立？（1）（2）解：（1），由，則與相互獨(dú)立（2），由，則與不相互獨(dú)立15設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為YX2312問和取什么值時(shí)，與相互獨(dú)立？解：，16某射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)兩次就停止射擊，而且每一次的命中率為令表示第一次命中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)，令表示第二次命中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)，試求：（1）的分布律；（2）條件分布律和解：，（1）的分布律：，（2），；，17設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密

28、度為，試求條件概率密度和解：，18設(shè)隨機(jī)變量服從指數(shù)分布，其概率密度為，而且隨機(jī)變量關(guān)于的條件概率密度為，求的概率密度解：，19設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，其概率密度分別為，令隨機(jī)變量，試求：（1）條件概率密度；（2）隨機(jī)變量的分布律和分布函數(shù)解畫圖：（1）當(dāng)時(shí)，；（2），0120已知離散型隨機(jī)變量的分布律為0試求和的分布律解：21021設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且，證明：服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布解：，故 22設(shè)與是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，其分布律為，求的分布律解：，23科學(xué)家觀察某個(gè)放射物的情況，發(fā)現(xiàn)在（單位：秒）內(nèi)放射出的質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)共做了2608次測試，試求：整個(gè)過程中放射出的質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)的分布律解：24

29、設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量，計(jì)算概率解：25設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度是，計(jì)算概率解：，；，；則，26設(shè)隨機(jī)變量是電路的電壓振幅，已知其分布函數(shù)為試求：經(jīng)過半波整流后的電壓振幅的分布函數(shù)若假設(shè)，討論是否是連續(xù)型隨機(jī)變量解：，不是連續(xù)型隨機(jī)變量27設(shè)隨機(jī)變量，寫出：（1）；（2）的概率密度解：（1）函數(shù)在整個(gè)定義域上處處可導(dǎo)、單調(diào)增加，其反函數(shù)為，有，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；28設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，寫出的概率密度解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)處處可導(dǎo)、單調(diào)增加，其反函數(shù)為，有，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；29設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，令，寫出的分布函數(shù)及概率密度解：當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，30設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)

30、合概率密度是，求隨機(jī)變量的分布函數(shù)和概率密度解畫圖：，31已知隨機(jī)變量、相互獨(dú)立，服從參數(shù)為的指數(shù)分布，服從區(qū)間上的均勻分布，寫出的概率密度解畫圖：，；32設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度是，求隨機(jī)變量的概率密度解畫圖：，；33設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，求的概率密度解：，習(xí)題四1一箱產(chǎn)品中有件3件正品和2件次品，不放回地任意取2件，表示取到的次品數(shù)，求平均次品數(shù)解：的分布律：0122設(shè)隨機(jī)變量服從拉普拉斯分布，其概率密度為，計(jì)算和解：， ，3設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，試求和解：， ，4設(shè)隨機(jī)變量服從瑞利分布，其概率密度為，,試求和解：， ，5地面雷達(dá)搜索飛機(jī)，在時(shí)間段內(nèi)發(fā)現(xiàn)飛機(jī)的概率為，試求發(fā)現(xiàn)飛機(jī)的平

31、均搜索時(shí)間解：設(shè)隨機(jī)變量表示發(fā)現(xiàn)飛機(jī)的時(shí)間，6已知隨機(jī)變量，試求和的數(shù)學(xué)期望解：， 7已知隨機(jī)變量，試求解：，8隨機(jī)變量的概率密度為，求和的數(shù)學(xué)期望解：， 9設(shè)的聯(lián)合概率密度為試求：、解畫圖：；10隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，令隨機(jī)變量，試求：數(shù)學(xué)期望解：，11設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，其概率密度分別為，,求和解：;12若隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，試求：和解：，；，；，13民航機(jī)場的送客汽車載有20名乘客，從機(jī)場開出，乘客可以在10個(gè)車站下車如果到達(dá)某一車站無人下車，則在該站不停車，設(shè)隨機(jī)變量表示停車次數(shù)，并假定每個(gè)乘客在各個(gè)車站下車是等可能的求平均停車次數(shù) 解：，14將個(gè)球隨機(jī)

32、地放入只盒子中，1只盒子裝1個(gè)球若1個(gè)球裝入與球同號的盒子中，稱為1個(gè)配對，記為總配對數(shù)，求解：，15設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，試寫出的協(xié)方差矩陣解：，;，；，；協(xié)方差矩陣：16設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，證明與不相關(guān) 證：，顯然，故，所以與不相關(guān) 17設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為， XY0110.20.10.120.10.00.130.20.10.1求與的相關(guān)系數(shù)解：010.50.20.3，；1230.40.20.4，；01230.20.10.20.20.10.10.1，18設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，問與是否不相關(guān)？是否相互獨(dú)立？解：， ，；令， ，；，所以與不相關(guān)，不相互獨(dú)立 19

33、設(shè)，相關(guān)系數(shù)，試求：和20設(shè)隨機(jī)變量，試求的階原點(diǎn)矩解：；21設(shè)二維隨機(jī)變量，設(shè)，試求：（1）的數(shù)學(xué)期望和方差；（2）與的相關(guān)系數(shù)；（3）問與是否相互獨(dú)立？解：（1），,，,;（2）,其中；（3），且，所以與相互獨(dú)立習(xí)題五1進(jìn)行600次伯努利試驗(yàn)，事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為，設(shè)表示600次試驗(yàn)中事件發(fā)生的總次數(shù)，利用切比雪夫不等式估計(jì)概率解：，切比雪夫不等式：2若隨機(jī)變量相互獨(dú)立且都服從區(qū)間上的均勻分布設(shè)，利用切比雪夫不等式估計(jì)概率解：，3利用切比雪夫大數(shù)定律證明泊松大數(shù)定律：設(shè)為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，有，則服從大數(shù)定律證：，由切比雪夫不等式，對任給的，有，故服從大數(shù)定律4調(diào)整200臺(tái)儀器

34、的電壓，假設(shè)調(diào)整電壓過高的可能性為0.5，試求調(diào)整電壓過高的儀器臺(tái)數(shù)在95至105臺(tái)之間的概率解：設(shè)表示調(diào)整電壓過高的儀器臺(tái)數(shù)， 5某射手每次射擊的命中率為，現(xiàn)射擊100發(fā)子彈，各次射擊互不影響，求命中次數(shù)在72與88之間的概率解：設(shè)表示命中次數(shù)，6設(shè)某個(gè)系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立的部件組成，每個(gè)部件損壞的概率均為0.1，必須有85個(gè)以上的部件工作才能使整個(gè)系統(tǒng)正常工作，求整個(gè)系統(tǒng)正常工作的概率解：設(shè)表示正常工作的部件數(shù)，7對敵人陣地進(jìn)行100次炮擊，每次炮擊時(shí)炮彈命中次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為4，方差為2.25，求在100次炮擊中有380顆到420顆炮彈命中目標(biāo)的概率解：設(shè)表示第次炮擊時(shí)炮彈命中次數(shù)，表示

35、命中目標(biāo)的炮彈總數(shù)，8一個(gè)加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓，設(shè)它們是相互獨(dú)立的，且都在區(qū)間上服從均勻分布，記，求概率解：，9某種電器元件的壽命（單位：小時(shí)）服從參數(shù)為的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)抽取16件，設(shè)它們的壽命相互獨(dú)立，求這16個(gè)元件的壽命總和大于1920小時(shí)的概率解：設(shè)表示第個(gè)電器元件的壽命，表示16個(gè)元件的壽命總和，10某個(gè)系統(tǒng)由相互獨(dú)立的個(gè)部件組成，每個(gè)部件的可靠性（即正常工作的概率）為0.9，且至少有的部件正常工作，才能使整個(gè)系統(tǒng)工作問至少為多大，才能使系統(tǒng)的可靠性為解：設(shè)表示正常工作的部件個(gè)數(shù)，查表得：，則，習(xí)題六1、設(shè)，證明：（1）； （2）。證明：（1） 2、由下列樣本值計(jì)算樣本平均值

36、和樣本方差：（1）54.67，68.78，70.66，67.70，65.69；（2）100.3，99.7，102.2，99.3，100.7，100.5，103.1，101.5。解：（1）（2）3、某射手進(jìn)行獨(dú)立、重復(fù)的射擊，擊中靶子的環(huán)數(shù)及相應(yīng)的次數(shù)如下：環(huán)數(shù)10987654擊中次數(shù)2309204求一次中靶的平均環(huán)數(shù)及環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。解：設(shè)為平均環(huán)數(shù)，為環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差4、設(shè)總體，為其樣本，（1）求樣本平均值大于的概率；（2）求樣本平均值與總體平均值之差的絕對值大于的概率。解：由樣本均值推出（1）（2）5、設(shè)總體在區(qū)間上服從均勻分布，為其樣本，為樣本平均值，求及。解：由均勻分布得：，6、設(shè)總體，分別

37、取樣本容量及的兩個(gè)樣本，及分別為兩個(gè)樣本的平均值，求。解：由題意，得，由正態(tài)分布的可加性：7、設(shè)總體，為其樣本，求。解：由于，推出，標(biāo)準(zhǔn)化以后設(shè)則有。，查表得8、設(shè)總體，為其樣本，為樣本方差，求。解：由于，設(shè)，則由，推出，即9、設(shè)總體，, ,為其樣本，求樣本平均值的數(shù)學(xué)期望和方差。解：由，則對每個(gè)樣本有：10、設(shè)隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，且都服從分布，則服從什么分布？解：觀察可得類似，其中，而其中；現(xiàn)在，則，于是。11、設(shè)總體，, ，為其樣本，記，求證：。證明：據(jù)抽樣分布定理有：，于是，則，得（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)）又，則（卡方）于是。12、設(shè)總體，相互獨(dú)立，和，分別為其樣本，證明：。證明：設(shè)，則，于是習(xí)題七1

38、、設(shè)，是來自總體的一組樣本，求下列各總體的分布中未知參數(shù)的矩法估計(jì)量。（1）總體的概率密度為為未知參數(shù)。解：由于服從指數(shù)分布，則，用樣本均值代替后，得。（2）總體的分布律為，.為未知參數(shù)。解：，利用數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和方法：設(shè)，其中，兩邊同時(shí)對積分得：，再求導(dǎo)回來可得：，從而，用樣本均值代替后，得。（3）總體的概率密度為為未知參數(shù)。解：，用樣本均值代替后，得，即。（4）總體的概率密度為 式中為已知，為未知參數(shù)。解：，用樣本均值代替后，得，即。2、設(shè)，是來自總體的一組樣本，求下列各總體的分布中未知參數(shù)的極大似然估計(jì)量。（1）總體的概率密度為為未知參數(shù)。解：極大似然函數(shù)為：當(dāng)時(shí)，令，得，即。（2）總體的概

39、率密度為，式中為已知正整數(shù)，為未知參數(shù)。解：極大似然函數(shù)為：得，令，得，即。（3）總體的概率密度為，式中為未知參數(shù)。解：極大似然函數(shù)為：，得，令，得，即。（4）總體的概率密度為為未知參數(shù)。解：極大似然函數(shù)為：得，令，得，即。（5）總體的分布律為，式中為未知參數(shù)。解：離散型的極大似然函數(shù)為：得，令，得，即。3、從燈泡廠某日生產(chǎn)的一批燈泡中任取10個(gè)進(jìn)行壽命試驗(yàn)，測得燈泡壽命（單位：小時(shí)）如下： 1050，1100，1080，1120，1200，1250，1040，1130，1300，1200求該日生產(chǎn)的整批燈泡的平均壽命及壽命方差的無偏估計(jì)值。解：由無偏估計(jì)定義可知，樣本均值和樣本方差是平均壽命和壽命方差的無偏估計(jì)值，于是，。4、設(shè)，是來自總體的一組樣本，且已知，證明是的無偏估計(jì)量。證明：（樣本與總體的分布相同）得證，為無偏估計(jì)量。5、設(shè)總體，為其樣本，試求，使為的無偏估計(jì)量。解：（樣本是獨(dú)立的，協(xié)方差為零）（樣本與總體的分布相同），要成為無偏估計(jì)量，就要。6、設(shè)是的無偏估計(jì)量且，試證不是的無偏估計(jì)量。證明：（），不是無偏估計(jì)量。7、設(shè)總體，是的樣本，試證：估計(jì)量，都是的無偏估計(jì)量，并求哪個(gè)估計(jì)量的方差最小。證：，無偏估計(jì)量，無偏估計(jì)量，無偏估計(jì)量，所以最小。8、設(shè)是來自總體的樣本且，問應(yīng)取何