202X202X學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章函數(shù)2.1.4函數(shù)的奇偶性2.1.5用計(jì)算機(jī)作函數(shù)的圖象選學(xué)課件新人教B版必修1

1、2.1.4函數(shù)的奇偶性2.1.5用計(jì)算機(jī)作函數(shù)的圖象(選學(xué))1.結(jié)合具體函數(shù),了解函數(shù)的奇偶性的含義.2.會(huì)根據(jù)奇偶性的定義判斷和證明函數(shù)的奇偶性.3.會(huì)利用奇偶性來研究函數(shù)的定義域、值域、解析式、單調(diào)性及函數(shù)的圖象等.1231.奇、偶函數(shù)的概念 名師點(diǎn)撥在奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義中名師點(diǎn)撥在奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義中,都要求都要求xD,-xD,這就這就是說一個(gè)函數(shù)不管是奇函數(shù)還是偶函數(shù)是說一個(gè)函數(shù)不管是奇函數(shù)還是偶函數(shù),它的定義域一定關(guān)于坐標(biāo)它的定義域一定關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱原點(diǎn)對(duì)稱.名師點(diǎn)撥在奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義中名師點(diǎn)撥在奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義中,都要求都要求xD,-xD,這就是說一個(gè)函數(shù)不管是奇函數(shù)

2、還是偶函數(shù)這就是說一個(gè)函數(shù)不管是奇函數(shù)還是偶函數(shù),它的定義域一它的定義域一定關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱定關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.123A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)答案:C【做一做1-2】 以下條件可以說明函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)的是()A.在定義域內(nèi)存在x,使得f(-x)=f(x)B.在定義域內(nèi)存在x,使得f(-x)=-f(x)C.對(duì)定義域內(nèi)任意x,都有f(-x)=-f(x)D.對(duì)定義域內(nèi)任意x,都有f(-x)=f(x)答案:D123解析:滿足奇函數(shù)的定義,滿足偶函數(shù)的定義.答案:1232.奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象特征奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象特征(1)如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)是

3、奇函數(shù),那么這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)那么這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形;反之反之,如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形,那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).(2)如果一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù),那么這個(gè)函數(shù)的圖象是以那么這個(gè)函數(shù)的圖象是以y軸為對(duì)稱軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形軸的軸對(duì)稱圖形;反之反之,如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱,那么這個(gè)那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)是偶函數(shù).123答案:C【做一做2-2】 函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么其圖象()

4、A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.關(guān)于x軸對(duì)稱C.關(guān)于y軸對(duì)稱D.關(guān)于直線y=x對(duì)稱答案:C1233.(選學(xué)選學(xué))用計(jì)算機(jī)圖形技術(shù)作函數(shù)圖象的指令步驟用計(jì)算機(jī)圖形技術(shù)作函數(shù)圖象的指令步驟(1)給自變量給自變量x賦值賦值;(2)給出計(jì)算法那么給出計(jì)算法那么,求對(duì)應(yīng)的求對(duì)應(yīng)的y值值;(3)由由x和對(duì)應(yīng)的和對(duì)應(yīng)的y值組成有序數(shù)對(duì)集合值組成有序數(shù)對(duì)集合;(4)建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系,并根據(jù)有序數(shù)對(duì)并根據(jù)有序數(shù)對(duì),在直角坐標(biāo)系中作出對(duì)應(yīng)在直角坐標(biāo)系中作出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集的點(diǎn)集;(5)通過這些點(diǎn)集描出函數(shù)的圖象通過這些點(diǎn)集描出函數(shù)的圖象.注意注意:只要函數(shù)的表達(dá)式只要函數(shù)的表達(dá)式,就能畫出函數(shù)的圖象就能畫出函數(shù)的圖象.

5、一、解讀函數(shù)的奇偶性剖析:(1)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的差異.奇偶性是函數(shù)在定義域上的對(duì)稱性,單調(diào)性是反映函數(shù)在某一區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢(shì).奇偶性是相對(duì)于函數(shù)的整個(gè)定義域來說的,這一點(diǎn)與函數(shù)的單調(diào)性不同,從這個(gè)意義上來講,函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的“局部性質(zhì),而奇偶性是函數(shù)的“整體性質(zhì),只有對(duì)定義域中的每一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x),才能說f(x)是奇(偶)函數(shù).(2)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件.由函數(shù)奇偶性的定義知,假設(shè)x是定義域中的一個(gè)數(shù)值,那么-x必然在定義域中,因此,函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)的一個(gè)必不可少的條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.換言之

6、,假設(shè)所給函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,那么函數(shù)一定不具有奇偶性.如函數(shù)y=2x在(-,+)內(nèi)是奇函數(shù),但在-2,3上不具有奇偶性.(3)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義,函數(shù)可分為奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).當(dāng)函數(shù)f(x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,或雖然定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,但f(-x)f(x)且f(-x)-f(x)時(shí),f(x)是非奇非偶函數(shù).尤其要注意f(x)=0,xA,假設(shè)定義域A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(4)假設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且在x=0處有意義,那么一定有f(0)=0.但要注意,反之結(jié)論是不一定成立的.(5)假設(shè)函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么有f(x)=f(

7、-x)=f(|x|).知識(shí)拓展奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性一樣,偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反;假設(shè)奇函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b(0ab)上有最大值M,最小值m,那么f(x)在區(qū)間-b,-a上的最大值為-m,最小值為-M;偶函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b,-b,-a(0ab)上有一樣的最大(小)值.二、判斷函數(shù)奇偶性的幾種方法剖析:判斷函數(shù)的奇偶性,常用的有定義法、圖象法、性質(zhì)法.(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷,其根本步驟為:求函數(shù)的定義域并考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.假設(shè)函數(shù)沒有標(biāo)明定義域,應(yīng)先找到使函數(shù)有意義的x的集合,因?yàn)樗桥袛嗪瘮?shù)奇偶性的一個(gè)重要依據(jù).如果一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對(duì)稱

8、,那么這個(gè)函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).例如,函數(shù)f(x)=x4+1,x-1,2,因?yàn)樗亩x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,當(dāng)1x2時(shí),f(-x)沒有定義,所以它不符合奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義,故f(x)=x4+1,x-1,2是非奇非偶函數(shù).假設(shè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系.這是因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)也不一定是奇(偶)函數(shù).例如,f(x)=x2+x,g(x)=x3+1,它們的定義域都是R,因?yàn)閒(-x)=(-x)2+(-x)=x2-xf(x)(或-f(x),所以它是非奇非偶函數(shù).同理可證g(x)=x3+1也是非奇非偶函數(shù).得出結(jié)論.(2)借助函數(shù)的圖象判斷奇偶性.例如,奇函數(shù)的

9、圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱等,從而直觀地判斷函數(shù)的奇偶性.(3)根據(jù)性質(zhì)來判斷函數(shù)的奇偶性,偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù);奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù);一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù).(注:利用上述結(jié)論要注意各函數(shù)的定義域)特別地,F1(x)=f(x)+f(-x)為偶函數(shù),F2(x)=f(x)-f(-x)為奇函數(shù).題型一題型二題型三題型四題型五【例1】 判斷以下函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù),并說明理由.(1)f(x)=x3+2x;(2)f(x)=x2-|x|+1;(3)f(x)=(x+4)2;(4)f(x)=|

10、x-3|-|x+3|;分析:用定義判斷函數(shù)的奇偶性時(shí),先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再看f(-x)與f(x)的關(guān)系,從而判斷函數(shù)的奇偶性.題型一題型二題型三題型四題型五解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又因?yàn)閒(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x),即f(-x)=-f(x),所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù).(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又因?yàn)閒(-x)=(-x)2-|-x|+1=x2-|x|+1,即f(-x)=f(x),所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(3)函數(shù)定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又因?yàn)閒(-x)=(-x+4)2=(x-4)2f(x),且f(-x)-f(x),

11、所以函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù).題型一題型二題型三題型四題型五(4)函數(shù)定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又因?yàn)閒(-x)=|-x-3|-|-x+3|=|x+3|-|x-3|=-(|x-3|-|x+3|)=-f(x).所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù).(5)因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)閤|x1,不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).于是x2=16,即x=4.故函數(shù)定義域?yàn)?,-4,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又因?yàn)楫?dāng)x4,-4時(shí),f(x)=0,所以f(-x)=f(x)=-f(x).所以函數(shù)f(x)既是奇函數(shù),也是偶函數(shù).題型一題型二題型三題型四題型五反思判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)就是奇偶性的定義反思判斷函數(shù)奇偶性的

12、主要依據(jù)就是奇偶性的定義.假設(shè)一個(gè)函假設(shè)一個(gè)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)數(shù)是非奇非偶函數(shù),有時(shí)只要說明它的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可有時(shí)只要說明它的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可.例如例如,本例中的本例中的(5)小題小題,在在x1時(shí)時(shí),雖有雖有題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五【例2】 (1)如圖給出偶函數(shù)y=f(x)的局部圖象,那么f(1)+f(-2)的值是. (2)假設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?5,5,其y軸右側(cè)的圖象如下圖,那么f(x)0的x的取值集合為. 分析:根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性解題.題型一題型二題型三題型四題型五(2)奇函數(shù)f(x)在

13、-5,5上的圖象如下圖,由圖象可知,當(dāng)x(2,5)時(shí),f(x)0;當(dāng)x(-5,-2)時(shí),f(x)0;當(dāng)x(-2,0)時(shí),f(x)0;因此,使f(x)0的x的取值集合為x|-2x0或2x5.答案:(1)2(2)x|-2x0或2x5題型一題型二題型三題型四題型五反思反思函數(shù)奇偶性反映到圖象上是圖象的對(duì)稱性,因而當(dāng)問題涉及奇函數(shù)或偶函數(shù)的有關(guān)問題時(shí),不妨利用圖象的對(duì)稱性來解決,或者研究關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的函數(shù)值的有關(guān)規(guī)律即可.題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練2】 假設(shè)f(x)是奇函數(shù),且點(diǎn)(1,-4)在其圖象上,那么以下各點(diǎn)中在f(x)圖象上的是()A.(1,4)B.(-4,1)C.(-1

14、,-4)D.(-1,4)解析:點(diǎn)(1,-4)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)是(-1,4)也在函數(shù)圖象上.答案:D題型一題型二題型三題型四題型五分析:因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(-1)=-f(1),故只需求f(1)即可.反思反思充分利用奇函數(shù)的性質(zhì),無需求出當(dāng)x-5,0時(shí)f(x)的解析式,通過轉(zhuǎn)化只需求f(1)的值即可.題型一題型二題型三題型四題型五答案:-6 題型一題型二題型三題型四題型五(2)假設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù),其定義域?yàn)閍-1,2a,求a,b的值.分析:對(duì)于(1),可根據(jù)奇函數(shù)的定義列出關(guān)于m的方程求解,也可采用特殊值法f(0)=0求解;對(duì)于(2),先由定義域的對(duì)稱性求出

15、a的值,再根據(jù)偶函數(shù)的定義求b的值.題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五反思函數(shù)反思函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù),求求f(x)解析式中的參數(shù)值問題解析式中的參數(shù)值問題,通常有兩種解法通常有兩種解法,一是直接根據(jù)奇函數(shù)或偶函數(shù)定義的等價(jià)形式一是直接根據(jù)奇函數(shù)或偶函數(shù)定義的等價(jià)形式,建立關(guān)于參數(shù)的等式求值建立關(guān)于參數(shù)的等式求值;二是采用取特殊值的方法求出參數(shù)值二是采用取特殊值的方法求出參數(shù)值,然后再代入驗(yàn)證然后再代入驗(yàn)證.特別地特別地,當(dāng)當(dāng)f(x)是在原點(diǎn)有定義的奇函數(shù)時(shí)是在原點(diǎn)有定義的奇函數(shù)時(shí),可利用可利用f(0)=0求得參數(shù)

16、值求得參數(shù)值.題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練4】 假設(shè)函數(shù)f(x)=x2-|x+a|為偶函數(shù),那么實(shí)數(shù)a=. 解析:依題意,f(-x)=f(x)恒成立,即x2-|-x+a|=x2-|x+a|恒成立,即|x-a|=|x+a|恒成立.故a=0.答案:0題型一題型二題型三題型四題型五【例5】 假設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)=x(1-x),求當(dāng)x0時(shí),函數(shù)f(x)的解析式.分析:利用奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x),將x0上.解:當(dāng)x0時(shí),-x0,因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x)=-(-x)1-(-x)=x(1+x),當(dāng)x=0時(shí),f(0)=-f(0),即

17、f(0)=0.所以當(dāng)x0時(shí),f(x)=x(1+x).反思注意求哪個(gè)區(qū)間的解析式就設(shè)這個(gè)區(qū)間上的變量為x,然后把x轉(zhuǎn)化為-x,那么-x為另一解析式的區(qū)間上的變量,通過互化,求得所求區(qū)間上的解析式.題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五(1)確定函數(shù)f(x)的解析式;(2)用定義證明f(x)在(-1,1)上是增函數(shù);(3)解不等式f(t-1)+f(t)0.(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明;(3)先將f(t-1)+f(t)0等價(jià)化歸為f(t-1)-f(t)=f(-t),再利用單調(diào)性將抽象不等式化為具體不等式.題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五(3)解:由

18、f(t-1)+f(t)0,且f(x)為奇函數(shù),得f(t-1)-f(t)=f(-t).又f(x)在(-1,1)上是增函數(shù),反思函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì),這兩局部內(nèi)容與函數(shù)的其他性質(zhì)經(jīng)常結(jié)合在一起,出現(xiàn)一些難度較大的綜合題.解題的關(guān)鍵是化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想的充分利用.題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練6】 函數(shù)f(x)在R上是偶函數(shù),且在(-,0上是單調(diào)遞減的,試比較f(3)與f()的大小.解:方法一:f(x)是偶函數(shù),且在(-,0上是單調(diào)遞減的,f(x)在(0,+)上是單調(diào)遞增的.又3,f(3)-,f(-3)f(-),即f(3)f().題型一題型二題型三題型四題型五 正解:要使函數(shù)f(x)有意義,應(yīng)滿足x-20,即x2,即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x2,顯然定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故f(x)是非奇非偶函數(shù).題型一題型二題型三題型四題型五解:顯然f(-3)=0,但f(3)無意義,即函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故f(x)是非奇非偶函數(shù).1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6答案:A 1 2 3 4 5 63有以下說法有以下說法:偶函數(shù)的圖象一定與偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交軸相交;假設(shè)假設(shè)y=f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù),那么由那么