第七章 習(xí)題答案

1、第七章 習(xí)題解答7-1已知下列時(shí)間函數(shù)，設(shè)采樣周期為秒，求它們的變換。（a）（b）（c）（d）（e）（f）解：（a）根據(jù)域微分定理有（b）因?yàn)樗裕╟）根據(jù)時(shí)域位移定理有（d）根據(jù)復(fù)域位移定理有（e）根據(jù)復(fù)域位移定理有（f）根據(jù)復(fù)域位移定理有7-2已知的拉氏變換為下列函數(shù)，設(shè)采樣周期為秒，求它們的變換。（a）（b）（c）（d）（e）（f）解：（a）（b）（c）（d）（e）（f）7-3求下列函數(shù)的反變換。（a）（b）（c）解：(a) （b）(c)7-4已知時(shí)，為如下所示的有理分式則有以及式中時(shí)，。（a）試證明上面的結(jié)果。（b）設(shè)應(yīng)用（a）的結(jié)論求、。解：（a）設(shè)顯然有以及式中時(shí)，。上式即時(shí)，。證

2、畢。（b）設(shè)應(yīng)用關(guān)系式有7-5試用部分分式法、冪級(jí)數(shù)法和留數(shù)法，求下列函數(shù)的反變換。（a）（b）（c）（d）解：（a）部分分式法冪級(jí)數(shù)法留數(shù)法（b）部分分式法冪級(jí)數(shù)法留數(shù)法（c）部分分式法冪級(jí)數(shù)法留數(shù)法（d）部分分式法冪級(jí)數(shù)法留數(shù)法7-6用變換法求下面的差分方程并與用迭代法得到的結(jié)果、相比較。解：差分方程兩邊變換得到即迭代法得到結(jié)果是相同的。7-7求傳遞函數(shù)為（a）（b）的部件的脈沖傳遞函數(shù)。解：（a）查表得于是得到（b）查表得于是得到7-8試應(yīng)用終值定理確定下列函數(shù)的終值。（a）（b）解：（a）在單位圓外和單位圓上除點(diǎn)外沒有極點(diǎn)，故可以應(yīng)用終值定理，有（b）在單位圓外和單位圓上沒有極點(diǎn)，故可

3、以應(yīng)用終值定理，有7-9圖7.48中為零階保持器的傳遞函數(shù)，即試證明圖7.48 習(xí)題7-9圖解：證明證畢。7-10一階保持器的輸入輸出波形如圖7.49所示。在一階保持器中，當(dāng)時(shí)，輸出是前兩個(gè)采樣時(shí)刻采樣值和外推得到的直線，即圖7.49 習(xí)題7-10圖假設(shè)輸入是時(shí)的單位脈沖函數(shù)，繪制一階保持器的輸出波形，求一階保持器的傳遞函數(shù)。解：假設(shè)輸入是時(shí)的單位脈沖函數(shù)，一階保持器的輸出波形如下根據(jù)上面給出的單位脈沖輸入下一階保持器的輸出波形，得到脈沖響應(yīng)的表達(dá)式為傳遞函數(shù)等于脈沖響應(yīng)的拉氏變換，即7-11設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖7.50所示，試求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。（a）（b）圖7.50 習(xí)題7-11圖解：對(duì)圖（

4、a）所示系統(tǒng)，環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)，有對(duì)圖（b）所示系統(tǒng)，環(huán)節(jié)間沒有采樣開關(guān)，有7-12試求圖7.51閉環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)或。（a）（b）（c）圖7.51 習(xí)題7-12圖解：對(duì)圖（a）所示系統(tǒng)有即有兩邊變換有即化簡(jiǎn)得到即對(duì)圖（b）所示系統(tǒng)有即有兩邊采樣有兩邊變換有化簡(jiǎn)得到對(duì)圖（c）所示系統(tǒng)有即有化簡(jiǎn)得到7-13設(shè)有單位反饋誤差采樣的離散系統(tǒng)，連續(xù)部分的傳遞函數(shù)為輸入，采樣周期秒。試求：（a）輸出變換。（b）采樣瞬時(shí)的輸出響應(yīng)。（c）輸出響應(yīng)的終值。解：（a）查表求得開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)輸入，輸出變換為（b）用綜合除法得到（c）從系統(tǒng)響應(yīng)看出系統(tǒng)不穩(wěn)定，故無法得到終值

5、。7-14試判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（a）已知閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程為（b）已知閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程為（c）已知誤差采樣的單位反饋離散系統(tǒng)，采樣周期，開環(huán)傳遞函數(shù)解：（a）特征方程有單位圓外的根，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。（b）構(gòu)造行列的朱利表有，但，故系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。（c）系統(tǒng)的開環(huán)脈沖函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程為做變換有出現(xiàn)負(fù)的系數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。7-15采樣系統(tǒng)如圖7.52所示，采樣周期秒。圖7.52 習(xí)題7-15圖（a）繪制時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡圖，求分離點(diǎn)坐標(biāo)。（b）根據(jù)閉環(huán)根軌跡圖，求系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的取值范圍。解：（a）采樣周期秒，系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為實(shí)軸上的根軌跡區(qū)段為，復(fù)平面上的根軌跡為圓，圓心在開環(huán)

6、零點(diǎn)，半徑為。因此得到分離點(diǎn)坐標(biāo)為。用MATLAB命令繪制的根軌跡圖如下圖所示。（b）系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為做變換有系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為得到。7-16離散時(shí)間系統(tǒng)如圖7.53所示，采樣周期s。（a）求系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)（b）求系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的取值范圍。（c）當(dāng)，時(shí)，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖7.53 習(xí)題7-16圖解：（a）因?yàn)楣士刂扑惴ǖ拿}沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為（b）系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為做變換得到得系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為（C）時(shí)，系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)為所以時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差為7-17采樣系統(tǒng)如圖7.54所示，采樣周期秒。圖7.54 習(xí)題7-17圖（a）求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。（b）設(shè)，求使閉環(huán)特征根在平面原點(diǎn)

7、時(shí)和的取值。（c）求此時(shí)系統(tǒng)階躍響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)誤差。解：（a）被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為（b）時(shí)有令閉環(huán)特征方程得，。（c）此時(shí)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為單位階躍下的響應(yīng)為故得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為、，穩(wěn)態(tài)誤差。7-18采樣系統(tǒng)如圖7.55所示，采樣周期秒（），求使閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)圖7.55 習(xí)題7-18圖解：被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)為被控對(duì)象脈沖傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，所以可以用控制器的極點(diǎn)和零點(diǎn)和它們對(duì)消。要使得閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)應(yīng)為令得到7-19離散時(shí)間控制系統(tǒng)如圖7.56所示，其中采樣周期，。圖7.56 習(xí)題7-19圖（a）求系統(tǒng)

8、的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。（b）確定閉環(huán)系統(tǒng)為穩(wěn)定時(shí)的取值范圍。（c）求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：（a）系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為將代入整理得系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)（b）特征方程做變換有要使系統(tǒng)穩(wěn)定應(yīng)滿足得。（c）根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，有以及于是有7-20已知離散系統(tǒng)如圖7.57所示，采樣周期秒。當(dāng)時(shí)，要使穩(wěn)態(tài)誤差小于，求的值。圖7.57 習(xí)題7-20圖解：系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為特征方程做變換得到系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為即得系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的取值范圍為。系統(tǒng)速度誤差系數(shù)要使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)使。綜合上述條件得的取值范圍為。7-21某離散時(shí)間系統(tǒng)如圖7.58所示，采樣周期秒，控制

9、算法的差分方程描述為。圖7.58 習(xí)題7-21圖（a）求使系統(tǒng)為穩(wěn)定的的取值范圍。（b）求當(dāng)，時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。（c）為使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)是單調(diào)無振蕩的，的取值范圍等于多少？解：（a）因?yàn)楣士刂扑惴ǖ拿}沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為做變換得到得系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為（b）時(shí)，系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)為所以時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差為（c） 從變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡的在平面上的部分是一個(gè)圓，圓心位于平面的原點(diǎn)，半徑為因此，在處是根軌跡的分離點(diǎn)，分離點(diǎn)對(duì)應(yīng)的根增益為得。時(shí)，閉環(huán)的根在正實(shí)軸上單位圓內(nèi)，這時(shí)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)是單調(diào)無振蕩的。7-22采樣控制系統(tǒng)如圖7.59所示，采樣周期秒，數(shù)字調(diào)節(jié)器為調(diào)節(jié)

10、器，即圖7.59 習(xí)題7-22圖（a）試寫出被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)和系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。（b）為使成為系統(tǒng)閉環(huán)的一對(duì)共軛極點(diǎn)，給出應(yīng)滿足的條件。（c）應(yīng)用（b）中給出的條件求出和的取值。解：（a）被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)為調(diào)節(jié)器的脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（b）得到期望的閉環(huán)極點(diǎn)，應(yīng)滿足的相角條件和幅值條件分別為（c）從相角條件有得，故。將結(jié)果代入到幅值條件有得，于是有，。7-23脈沖傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的階次與分子多項(xiàng)式的階次之差稱為它的相對(duì)階次。一個(gè)離散環(huán)節(jié)如果它當(dāng)前拍的輸出只是當(dāng)前拍和過去拍輸入，以及過去拍輸出的函數(shù)，這個(gè)環(huán)節(jié)就稱為是因果的。顯然，當(dāng)脈沖傳遞函數(shù)的相對(duì)階數(shù)，它代表

11、的環(huán)節(jié)就是因果的。實(shí)際中被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)都是因果的。在圖7.60所示的采樣控制系統(tǒng)中，設(shè)串聯(lián)調(diào)節(jié)器和反饋調(diào)節(jié)器都是因果的，試證明系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的相對(duì)階數(shù)總大于等于被控對(duì)象的相對(duì)階數(shù)。圖7.60 習(xí)題7-23圖解：將脈沖傳遞函數(shù)改寫成如下形式式中，和表示的多項(xiàng)式，表示傳遞函數(shù)的相對(duì)階數(shù)。將控制器、被控對(duì)象、反饋通路的脈沖傳遞函數(shù)都表示成上面的形式，有則閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為顯然，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的相對(duì)階數(shù)等于，。7-24采樣控制系統(tǒng)如圖7.61所示，采樣周期秒，試設(shè)計(jì)數(shù)字調(diào)節(jié)器，實(shí)現(xiàn)（a）階躍輸入下的最小拍控制。（b）斜坡輸入下的最小拍控制。（c）拋物線輸入下的最小拍控制。（d）最小拍設(shè)

12、計(jì)只適用于被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)為最小相位的情況，用根軌跡方法解釋其原因。圖7.61 習(xí)題7-24圖解：被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)為它是最小相位脈沖傳遞函數(shù)。（a）階躍輸入下的最小拍控制器為（b）斜坡輸入下的最小拍控制器為（c）拋物線輸入下的最小拍控制器為（d）如果有不穩(wěn)定的零、極點(diǎn)之間的對(duì)消，對(duì)消的零、極點(diǎn)對(duì)應(yīng)退化為一點(diǎn)的閉環(huán)根軌跡，即閉環(huán)必然有不穩(wěn)定的特征根，這將導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。7-25 被控對(duì)象環(huán)節(jié)如圖7.62所示。圖7.62 習(xí)題7-25圖（a）試求它的脈沖傳遞函數(shù)。（b）給定采樣周期、幾組參數(shù)值，驗(yàn)證（a）中得到的脈沖傳遞函數(shù)的零點(diǎn)都是在單位圓內(nèi)的。（c）證明對(duì)于任意的、，（b）中的結(jié)論總是對(duì)的。解：（a）開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為查表得（b）略。（c）脈沖傳遞函數(shù)的零點(diǎn)為令則有當(dāng)時(shí)，為型的極限，易得。當(dāng)時(shí)，。此外，還有時(shí)即，單調(diào)升。所以即零點(diǎn)都在單位圓內(nèi)。證畢。7-26采樣控制系統(tǒng)如圖7.63所示，采樣周期秒。（a）試設(shè)計(jì)數(shù)字調(diào)節(jié)器使閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。（b）對(duì)（a）中得到的設(shè)計(jì)，求脈沖傳遞函數(shù)，說明系統(tǒng)響應(yīng)階躍輸入是有紋波的。（c）重新設(shè)計(jì)，使系統(tǒng)響應(yīng)階躍輸入是無紋波的。圖7.