第2章極限與連續(xù)

1、 第2章極限與連續(xù)一 典型例題解析例1 用數(shù)列極限的定義證明。證一 任給，要使，只要，即只要，于是，取為大于的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有，即。證二 任給，要使，為較方便地找到符合要求的正整數(shù)，可將適當(dāng)放大為，當(dāng)時(shí)，就更有了。于是，由解得。所以，取為大于的整數(shù)，當(dāng)時(shí)，就恒有，即。注 當(dāng)用定義來證明某數(shù)列以某常數(shù)為極限時(shí)，關(guān)鍵是對于任意給定的正數(shù)，來證明符合條件“時(shí)恒有”的正整數(shù)的存在性。因此，實(shí)際上是找出使成立的充分條件。這就能使得我們能夠適當(dāng)放大,來尋找滿足條件的。因此對于給定的正數(shù)，滿足條件“時(shí)恒有”的的數(shù)值并不唯一。例 2 判斷下列論斷是否正確，并說明理由。（1） 如果越大，越小，則有。 （2）

2、如果對于任意給定的正數(shù)，存在自然數(shù)使當(dāng)時(shí)，數(shù)列中有無窮多項(xiàng)滿足不等式，則該數(shù)列以為極限。解 （1）不正確。理由有二：一是當(dāng)時(shí)，未必是關(guān)于的單調(diào)減函數(shù)，例如，不隨的增大單調(diào)減少，即不是“越大，越小”二是的定義里，要求的是“對于任意給定的正數(shù)，存在自然數(shù)使當(dāng)時(shí)恒成立”。定義中“任意”二字，體現(xiàn)了可以與“無限接近”的要求，或者說可以“任意小”?！盁o限接近” 與“如果越大，越小”是有區(qū)別的，例如，越大，越小，但不以1為極限，而是以2為極限。（2）不正確。因?yàn)椤叭绻麑τ谌我饨o定的正數(shù)，存在自然數(shù)使當(dāng)時(shí)，數(shù)列中有無窮多項(xiàng)滿足不等式”不能保證“對于所有滿足的項(xiàng)，不等式成立”，“滿足時(shí)有無窮多項(xiàng)”與“滿足的所

3、有的項(xiàng)”是有區(qū)別的。例如數(shù)列，對于任意給定的正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有無窮多項(xiàng)滿足，也有有無窮多項(xiàng)滿足。實(shí)際上，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)組成的子數(shù)列以0為極限，偶數(shù)項(xiàng)組成的子數(shù)列以2為極限，所以，此數(shù)列發(fā)散，即，既不以0為極限，也不以1為極限。 例 3 試證：數(shù)列以為極限的充分必要條件是由數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列都收斂于。證 必要性顯然。下證充分性。由數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列和偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列都以為極限知：存在自然數(shù),使得當(dāng)時(shí)，有和當(dāng)時(shí)有。取,則當(dāng)時(shí)，與同時(shí)成立，即只要下標(biāo)充分大，恒有成立。故此數(shù)列以為極限。例4 判斷下列數(shù)列的斂散性（1）（2）解 （1）偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列以2為極限，奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列以2為極

4、限。所以此數(shù)列發(fā)散。（2）此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列都以0為極限，所以數(shù)列以0為極限。 試說明極限不存在。解5 取數(shù)列，顯然時(shí)，但。所以極限不存在。也可從另一個(gè)角度來說明。當(dāng)時(shí)，再由三角函數(shù)的周期性可知，在此過程中，的數(shù)值不趨于某確定的常數(shù)，所以極限不存在。例6 判斷以下論斷是否正確（1）若（常數(shù)）,則（2）若極限存在，極限不存在，則極限不存在。（3）若(常數(shù))，則（4）若極限存在，極限不存在，則極限不存在。（5）若極限存在，且極限存在，則極限存在。（6）若極限存在，且等于常數(shù),則極限（7）若極限存在，且等于非零常數(shù)，極限存在,等于，則極限存在，且(8) 若極限存在，且等于非零常數(shù)，則極限存在

5、性與極限存在性一致。解 (1)不正確。例如，但都發(fā)散。（2）正確。事實(shí)上 ，若極限存在，因?yàn)闃O限存在，則由極限的運(yùn)算法則知 =，即極限存在，這與條件“極限不存在”矛盾。（3）不正確。例如（無窮小量與有界變量的乘積仍是無窮小量），但不存在，因此不能寫等式。（4） 不正確。例如，不存在，但。（5）不正確，例如，但不存在。又如，雖然極限，但由于故不能用“乘積的極限等于極限的乘積”法則，所以。（6） 不正確，例如，但推演過程是不對的。這是因?yàn)椴淮嬖?。?） 正確。事實(shí)上，由極限等于非零常數(shù)，知，存在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域，在該空心鄰域內(nèi)，函數(shù)不等于0。又由極限存在,等于,得：存在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域，使其中，所

6、以在兩個(gè)空心鄰域的交集上，可得，此等式兩端同時(shí)取極限，得，即存在。（8） 正確。事實(shí)上，由（7）可知，由極限等于非零常數(shù)且極限存在,等于常數(shù),得。反之，若極限存在及存在，則由極限的四則運(yùn)算法則可推得極限存在且等于。因此，在求幾個(gè)函數(shù)的乘積的極限的過程中，若某個(gè)因子的極限是非零常數(shù)，則可以先將該因子的極限寫出。例如.一般的，在運(yùn)用極限四則運(yùn)算法則時(shí)，要注意其條件是：涉及到的極限都存在，并且，變量的商的極限情形中，分母的極限不為零，否則不可隨意運(yùn)用。由上面的分析可以看到：極限與極限同時(shí)存在，是極限及極限存在的充分條件，但不是必要條件。例7 (多項(xiàng)選擇題)當(dāng)時(shí)，是（ ），則必有A 任意函數(shù) B 有極

7、限的函數(shù)C 無窮小量 D 無窮大量解 時(shí)，是無窮小量，當(dāng)是有極限的函數(shù)時(shí)，由極限四則運(yùn)算法則知，所以 B正確；又由無窮小量的性質(zhì)“無窮小量與無窮小量之積仍是無窮小量”知C也正確。A, D不正確，例如.例 8 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限是（ ）A 2 B 0 C D 不存在但不為解 因?yàn)樗?又因?yàn)樗?注 所以在處，函數(shù)的左右極限不相等，故極限不存在，且也不為，所以選擇D 。例9 以下論斷是否正確(1) 任意兩個(gè)無窮小量都可比較階的高低;(2 有界變量與無窮大量的乘積仍是無窮大量;解 (1)不正確。例如，時(shí)，及都是無窮小量，但極限不存在，因此時(shí)，與不能比較階的高低。一般地，只有兩個(gè)無窮小量比值的極限存在

8、或?yàn)闊o窮大，它們才可比較階的高低。（2）不正確。例如時(shí)，是有界變量，是無窮大量，但是，即與的乘積卻不是無窮大量。又如，數(shù)列是有界變量，而是無窮大量，但不是無窮大量。例10 填空：當(dāng)時(shí)（1）與是同階無窮小量，則 （2）與是同階無窮小量，則 。（3），則 。解 (1) 因?yàn)椋视?與是同階無窮小量，所以。一般地，當(dāng)時(shí)，若某個(gè)無窮小量是關(guān)于的方冪的代數(shù)和，則它與次數(shù)最低的項(xiàng)是同階無窮小量。（2）因?yàn)?，所以。?）因?yàn)椋?， ， ，所以，。例10 試說明無窮大量與無界變量的聯(lián)系與區(qū)別。解 以“時(shí)為無窮大量”的情況為例來說明。其定義是“設(shè)當(dāng)充分大時(shí)函數(shù)有定義，若對于任意給定的正數(shù)，存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有

9、則稱當(dāng)時(shí)，為無窮大量，記為”，也將讀作“當(dāng)時(shí)，的極限為無窮大”，而函數(shù)為無界變量是指：“設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?。若對于任意給定的正數(shù)，存在，使，則稱此函數(shù)在上為無界變量?！币虼耍瑹o窮大量與無界變量的聯(lián)系與區(qū)別是：無窮大量一定是無界變量；但是，對于任意給定的正數(shù)，由于無界變量定義中不要求集合中所有的點(diǎn)處的函數(shù)值都滿足不等式，而只要求存在某個(gè)，使即可，因此，無界變量未必是無窮大量。例如，函數(shù)，在區(qū)間無界。事實(shí)上，對于任意給定的正數(shù),存在整數(shù)使得的絕對值大于，即存在，使。所以函數(shù)在區(qū)間無界。但是，時(shí)，并不是無窮大量。這是因?yàn)?，對于任給的正數(shù)，不存在，使“當(dāng)自變量時(shí)，總有”，事實(shí)上，對于任給的正數(shù)，無論是怎

10、樣充分大的正數(shù)，總存在的某個(gè)取值=（為整數(shù)），使。例11 設(shè)函數(shù)在區(qū)間（其中為常數(shù)）內(nèi)連續(xù)，且,其中為常數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有界。證：由知，對于任意給定的正數(shù)，存在，當(dāng)即時(shí)，（不妨取的值使）故時(shí).即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有界；由知，對于任意給定的正數(shù)，存在，當(dāng)即時(shí)，（不妨取的值使）故時(shí)，即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有界；而函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，所以也在其子區(qū)間上連續(xù)。因閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是有界的，所以函數(shù)在區(qū)間上有界。綜上所述可得，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有界。例12 函數(shù)在區(qū)間（ ）內(nèi)有界。A B C D 【2004年考研數(shù)學(xué)3，4】解： 因所以在及，上均無界。又且在內(nèi)連續(xù)，故在內(nèi)有界，故選A。（參見例11）例13 關(guān)于無窮小量及無

11、窮大量的四則運(yùn)算，有什么規(guī)律？解 不難由極限的定義及無窮大量、無窮小量、有界量的概念得到以下幾個(gè)結(jié)論（1） 兩個(gè)無窮小量的代數(shù)和、乘積仍為無窮小量（簡記為,）。兩個(gè)無窮大量的積仍是無窮大量。（簡記為）（2） 無窮大量與有界量的和或差仍為無窮大量； 但是，無窮大量與有界量的乘積未必是無窮大量。例如 ， 注 由于不存在，也不為，所以，（3）無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量。，注 由于及 不存在，所以 ，（4）兩個(gè)同號無窮大量的和、兩個(gè)異號的無窮大量的差仍是無窮大量?？珊営洖?（5）兩個(gè)異號無窮大量的和、同號無窮大量的差、兩個(gè)未定正負(fù)號的無窮大量的和或差（）未必是無窮大量。無窮大量與無窮小量的乘積

12、（）未必是無窮大（記號中的不是常數(shù)，而是代表不為常數(shù)的無窮小量），也未必是無窮小。同樣，兩個(gè)無窮小量的商、兩個(gè)無窮大量的商都是未定式。舉例如下：兩個(gè)異號無窮大量的和：（分母為兩個(gè)正無窮大的和，而無窮大的倒數(shù)為無窮小量）；.兩個(gè)未定正負(fù)號的無窮大量的和或差：=；.無窮大量與無窮小量的乘積（）：； ； 又如 （型）或用變量替換：令，則，從而兩個(gè)無窮大量的商（）： . 又如 一般地，當(dāng)時(shí)其中為正整數(shù)。但是，若自變量變化趨勢不是，則不能用上面的結(jié)論。例如而不是。兩個(gè)無窮小量的商（簡記為， 不是一個(gè)確定的數(shù)，而只是“無窮小量之比”這種類型的極限的記號。即，它應(yīng)理解為：其中與不是常數(shù)0，且而在極限的自變量

13、變化過程中不等于0）：這種情況下，不符合運(yùn)用“商的極限的四則運(yùn)算法則”的條件（即：分子、分母極限存在，且分母極限不為零0）,因此極限不能等于，后者無意義（分母等于0）。以下是幾個(gè)型極限的例子：不存在要注意“其中滿足”與“”型極限的區(qū)別。前者是常數(shù)0除以一個(gè)無窮小量，而無窮小量在自變量的變化過程中不等于0，所以是常數(shù)0除以不為0的數(shù)或式，結(jié)果為0，所以。例如，計(jì)算極限。因?yàn)闀r(shí)，所以此時(shí)分式，所以，而為“”型極限，極限值為3。關(guān)于未定式，還有（即其中），（即其中），（即其中）等幾種類型。在第三章學(xué)習(xí)了求極限的羅必塔法則以后，可進(jìn)一步對它們進(jìn)行研究。例14 以下推演是否正確？（1）（2）（3）解 （

14、1）不正確。只是一種極限類型（無窮大量之比）的記號，它不代表任何一個(gè)確定的常數(shù)。正確的推演過程是：因?yàn)?，所以由無窮小量與無窮大量的關(guān)系得。（2）不正確。因?yàn)楫?dāng)分母的極限等于0時(shí)，不能用“兩個(gè)函數(shù)的商的極限的四則運(yùn)算法則”。 作為一個(gè)分?jǐn)?shù)值或極限值的記號是無意義的。所以，推演 是不對的。正確的解法見前面（1）中的解析。（3）不正確。這是因?yàn)?，?dāng)時(shí)，極限式子里所含的項(xiàng)的個(gè)數(shù)不是固定的，而是隨著的增加而無限制地增加。這不符合極限四則運(yùn)算法則里函數(shù)的項(xiàng)數(shù)固定（即項(xiàng)的個(gè)數(shù)不隨自變量變化而變化）的要求。正確的結(jié)果顯然是例15 求極限（1）（2）解：（1）因，而所以（2）因而 故由夾逼定理知例16 利用單調(diào)

15、有界數(shù)列必由極限，證明數(shù)列，存在極限，并求此極限。解 顯然，現(xiàn)假設(shè)，故由數(shù)學(xué)歸納法知該數(shù)列單調(diào)增加。下用數(shù)學(xué)歸納法證該數(shù)列有界。因，設(shè)，則，即該數(shù)列單調(diào)增加且有界，因而該數(shù)列必有極限。設(shè)，對兩端求極限，得，解得或（因,所以數(shù)列的極限不為負(fù)值，舍去負(fù)值），故有。例17 求極限，求解法一 為型。，令，則，且，所以，.由，得.解法二 故由，得.例18 求數(shù)列的極限解 此極限為型。.解2 由夾逼準(zhǔn)則，有，從而原式類似地，讀者可以計(jì)算數(shù)列極限，其中為大于零的常數(shù)。例19 證明:若，則。證 ，因，由指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，得,即例20 證明：若且（常數(shù)），則。證一 因?yàn)?故由上例可知，即 證二 因?yàn)?

16、，所以 ，故由指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，得即。例21 計(jì)算極限解法一 。解法二 。例22 求極限 解 這是兩個(gè)異號無窮大量的和的極限。=（利用公式，將分子有理化）.(在以上推演中，若令，則可將極限的自變量變化趨勢轉(zhuǎn)化為)例23 求極限【分析】由于極限都不存在，所以不能用極限的四則運(yùn)算法則。解 利用三角公式，可得因?yàn)?，是有界變量，無窮小量與有界量的乘積是無窮小量，所以=0. 在上面解題過程可見，將分子或分母有理化，是計(jì)算含根式的極限的有效的方法之一。例24 已知，求與【分析】顯然，。由于極限，所以，這是型未定式，不能將此極限寫成。通常，將函數(shù)適當(dāng)變形，轉(zhuǎn)化為乘積或商的形式。解法一 將函數(shù)通分，化函數(shù)為兩

17、個(gè)多項(xiàng)式的商，得注意到時(shí)兩個(gè)多項(xiàng)式的商的極限的有關(guān)結(jié)論，可知，分子中平方項(xiàng)的系數(shù)及一次項(xiàng)的系數(shù)都等于0，所以，所以解法二 因?yàn)?，且所?而，所以，所以將代入原式，所以例25 在計(jì)算極限時(shí)，怎樣恰當(dāng)使用等價(jià)無窮小代換？答 使用等價(jià)無窮小代換的依據(jù)是定理2-8 即：“ 設(shè)，且存在，則 ”，它是根據(jù)函數(shù)的商的極限運(yùn)算法則來證明的。即： 因此，在使用等價(jià)無窮小代換時(shí)，要注意以下幾個(gè)注意點(diǎn)：注1 用來代換的無窮小在極限的自變量的變化過程中不能等于零。否則，在計(jì)算時(shí)，函數(shù)的分母將取到等于零的數(shù)值，使分式?jīng)]有意義。例如，下面的計(jì)算過程是錯誤的這是因?yàn)橥蒲莸牡谝徊竭\(yùn)用了（當(dāng)時(shí)），這是不對的。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有可能取

18、到數(shù)值0（例如）。正確的解法是：當(dāng)時(shí)，因此而，故.注2 求分式的極限時(shí)，當(dāng)分子或分母是幾個(gè)無窮小的代數(shù)和時(shí)，若作為無窮小量的各項(xiàng)用其等價(jià)無窮小代換，則有可能得到錯誤的結(jié)果。這是因?yàn)?，如果都是無窮小量，且，當(dāng)極限或極限不存在時(shí)，不能用極限的四則運(yùn)算法則，即不能得到+，從而不能對此等式右端這兩個(gè)極限分別用等價(jià)無窮小代換。例如是錯誤的，其中推演的第一步將分子中的用其等價(jià)無窮小來代替只有在都存在的前提下才能進(jìn)行，可是都不存在。顯然.又例如：推演以及都是錯誤的。這是因?yàn)槎际遣淮嬖诘?，故不能用極限的四則運(yùn)算法則，即。正確的解法是.由此例還可知：時(shí)，。但是，若極限，是無窮小量，且極限及極限都存在，則可以根據(jù)

19、極限的四則運(yùn)算法則得+， 這時(shí)，（）與是同階無窮小量或（）是比高階的無窮小量，可以考慮用它們的等價(jià)無窮小代換。例如.及 .和 注3 要善于套用基本的及常用的等價(jià)無窮小代換關(guān)系?；镜募俺Ｓ玫牡葍r(jià)無窮小代換關(guān)系有：時(shí)， ； ； ； ； ； ； 在學(xué)習(xí)了求極限的羅必塔法則（第三章）后，還可得到時(shí)， ； ； 其中為非零常數(shù)， 特別當(dāng)，有；上面這些式子中的起著“位置占有者”的作用。即，套用上述等價(jià)關(guān)系時(shí)，在符合前面“注1”中提到的事項(xiàng)的前提下，可將這些式子里的無窮小量換成其等價(jià)的無窮小例如，若，則，進(jìn)而利用相應(yīng)的窮小代換以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的。例如，由，時(shí)，所以，； 注4 套用基本的及常用的等價(jià)無窮小代

20、換關(guān)系時(shí)，要確認(rèn)有關(guān)的量在極限自變量變化趨勢下是無窮小量，不能只看函數(shù)的形式。例如 推演是錯誤的（時(shí)，及都不是無窮小量，但是無窮小量，無窮小量與有界量的乘積是無窮小量，所以正確的推演是）推演是錯誤的（時(shí)，及不是無窮小量。所以及不與及等價(jià)。正確的推演是，所以）例 26 計(jì)算 ，解 注意時(shí)，所以.例27 計(jì)算解 因?yàn)椋?故有 例 28 無窮小量的等價(jià)關(guān)系符號“”與“約等于”號“”有什么區(qū)別和聯(lián)系？答 無窮小量的等價(jià)關(guān)系符號“”與“約等于”號“”有區(qū)別，也有聯(lián)系。（1）“”是用于聯(lián)系等價(jià)兩個(gè)無窮小量的關(guān)系符號，即“”兩端是無窮小量，并且它們等價(jià)；約等于符號“”兩邊是數(shù)值接近的數(shù)值或函數(shù)，它們可以是相

21、互等價(jià)的無窮小量，也可以不是無窮小量。因此，通常不能對等價(jià)關(guān)系符號“”號兩邊的式子用“移項(xiàng)”來變形，而“約等于”符號“”兩端的式子可以進(jìn)行“移項(xiàng)”。例如，不能由“時(shí)”通過移項(xiàng)推得“”。事實(shí)上，當(dāng)某個(gè)量不是無窮小量時(shí)，它就不能作為“”的一端的量。時(shí)，都不是無窮小量，所以是不對的。(2)另一方面, 若在自變量的某個(gè)變化趨勢下，例如時(shí)，無窮小量與等價(jià)，即，則可以推出，在點(diǎn)的某空心鄰域，有，其中，所以，只要充分趨近，就有，所以，這時(shí)，。從這個(gè)意義上說，在自變量變化到某個(gè)范圍時(shí)，等價(jià)關(guān)系符號“”可以換成“約等于”符號“”。例如，由“時(shí)”可推出：當(dāng)?shù)慕^對值充分小時(shí)，從而，當(dāng)?shù)慕^對值充分小時(shí)，。但反之，通常

22、由于約等于符號“”兩邊不一定是相互等價(jià)的無窮小量，所以不能隨便將約等于符號“”換成等價(jià)關(guān)系符號“”，例如，即使的絕對值充分小，也不能將改寫成。（3）等價(jià)無窮小量關(guān)系符號“”兩端的量及“約等于”符號“”兩端的量都不能在計(jì)算極限時(shí)無條件地相互替換。例如，計(jì)算極限，不能將用代替并進(jìn)行如下推演，同樣，這里也不能將替換成。這是因?yàn)?，這樣代替后，實(shí)際上把本應(yīng)是一個(gè)關(guān)于的高階無窮小量變成了常量0了。 學(xué)習(xí)了函數(shù)的麥克勞林公式后，就可知道：從而 所以=。因此，是與同階的無窮小量。此外，學(xué)習(xí)了第三章中的羅必塔法則后，還可以用羅必塔法則計(jì)算出此極限。例 29 由函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，是否可推斷此函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)也連續(xù)

23、？答 未必。例如函數(shù)在處連續(xù)，因?yàn)椋虼?，即函?shù)在處連續(xù)。但當(dāng)時(shí)，函數(shù)不連續(xù)。事實(shí)上，取一個(gè)收斂于的有理數(shù)數(shù)列，于是；再取一個(gè)收斂于的無理數(shù)數(shù)列，于是，因此不存在，故在處不連續(xù)。例30 是否存在這樣的函數(shù)，在其定義域的每個(gè)點(diǎn)處都不連續(xù)？解 有這樣的函數(shù)。例如。此函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R。函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的定義是：，即使當(dāng)滿足不等式時(shí)，就有。對于函數(shù)（1）若是有理數(shù)，因?yàn)?，對于，（為無理數(shù)）滿足不等式，使，所以；（2）若是無理數(shù)，因?yàn)椋瑢τ?，（為有理?shù)）滿足不等式，使，所以。所以此函數(shù)在任意一點(diǎn)都不連續(xù)。例31 設(shè)函數(shù)問函數(shù)在處是否連續(xù)？解 因?yàn)?所以，而所以，因而在處不連續(xù)。例 32 研究函數(shù) （

24、）的連續(xù)性?！痉治觥?函數(shù)的自變量為， 用極限形式給出。在極限中，遇到自變量變化趨勢為時(shí)，約定是指自然數(shù)。求極限時(shí)，是參數(shù)，不是自變量。當(dāng)在某范圍內(nèi)取值確定后，求極限時(shí)，是常數(shù)，為變量，就是底數(shù)為常數(shù)、指數(shù)為變量的指數(shù)函數(shù)。因此極限存在與否及極限存在時(shí)等于什么數(shù)值， 要按底數(shù)大于1、小于1、等于1進(jìn)行討論。即分三種情況討論，也即分，也就是。解 （1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，所以，因此，（3） 當(dāng)時(shí)，=0（4） 當(dāng)時(shí)，所以，因此（5） 當(dāng)時(shí)，=1綜上所述，得 下面研究處函數(shù)的連續(xù)性（1），所以，在處函數(shù)不是右連續(xù)。（2），所以，函數(shù)在處連續(xù)。（3），所以函數(shù)在處不左連續(xù)。在函數(shù)定義域的其它區(qū)間內(nèi)，函數(shù)

25、連續(xù)。注1 。其中極限=。不是型未定式。記號中的1不是常數(shù)1，而是代表以1為極限的不為常數(shù)的變量。注2 研究函數(shù)的連續(xù)性時(shí)，是自變量。例33 判斷函數(shù)是否連續(xù)。若不連續(xù)，指出間斷點(diǎn)的類型。解 注意到求極限時(shí)變量是，是自然數(shù)，。所以。函數(shù)在和內(nèi)連續(xù)。點(diǎn)處左、右極限分別為。所以此函數(shù)在處不連續(xù)，點(diǎn)是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)。例34 兩個(gè)不連續(xù)的函數(shù)的和、差、積、商一定是不連續(xù)函數(shù)嗎？解 未必。例如（1），它們在處不連續(xù)，但連續(xù)，連續(xù)。（2），它們在處不連續(xù)，但連續(xù)。例35 （單項(xiàng)選擇題）設(shè)函數(shù)和在內(nèi)有定義，為連續(xù)函數(shù)，且，有間斷點(diǎn)，則（ ）A 必有間斷點(diǎn) B 必有間斷點(diǎn)C 必有間斷點(diǎn) D 必有間斷點(diǎn)解 選

26、B 。理由如下A 不對。例如，則有間斷點(diǎn)，但=1連續(xù)。C 不對。例如，則=1連續(xù)。D 不對。例如，則=1連續(xù)。B 正確。這是因?yàn)?，設(shè)有間斷點(diǎn)，則（1）若在處無定義，則在點(diǎn)也無定義，從而函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)。(2)若在處有定義，但在點(diǎn)處極限不存在，注意為連續(xù)函數(shù)，且，所以，極限，從而極限極限也不存在。（否則，若存在，記極限為，則由極限存在的充分必要條件知，在的某去心鄰域內(nèi)，函數(shù)可以表示成極限值與一個(gè)無窮小量的和，即：,其中，所以.從而，這與假設(shè)“函數(shù)在點(diǎn)處極限不存在”矛盾。故此時(shí)在點(diǎn)處不連續(xù)。（3）若在處有定義，且在點(diǎn)處極限存在（記為），但，則，所以，此時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)。例 36試說明“函數(shù)在點(diǎn)處

27、有定義”“函數(shù)在點(diǎn)處有極限”“函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)”這三個(gè)概念之間的關(guān)系。解 “函數(shù)在點(diǎn)處有定義”與“函數(shù)在一點(diǎn)處有極限”沒有聯(lián)系。函數(shù)在點(diǎn)處有極限時(shí)，在點(diǎn)處函數(shù)可以有定義，也可以沒有定義，有定義時(shí)，極限值也未必等于函數(shù)值。若“函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)”，則“函數(shù)在點(diǎn)處有極限”且極限值就等于函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值。例37 求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出其類型。解 此函數(shù)定義域?yàn)槿齻€(gè)開區(qū)間的并集：。函數(shù)在上面的三個(gè)開區(qū)間內(nèi)連續(xù)；在點(diǎn)處函數(shù)無定義，但極限，所以，所以點(diǎn)為函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)。在點(diǎn)處函數(shù)無定義，且，故有，所以， 又，所以，故， 所以因?yàn)樵邳c(diǎn)處左、右極限存在但不相等，所以點(diǎn)是此函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)。注 對于指數(shù)函數(shù)，指數(shù)

28、趨于正無窮與指數(shù)趨于負(fù)無窮，其極限是不同的。例38 （選擇題）下列極限中正確的有（ ）（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）（10） (11) (12) （13） （14） （15）（16） （17）解 注意時(shí)，；時(shí)時(shí)，； 以及， , 可知正確的有（2）,（3）,（5）,（6）,（7）,(8), (10) ， (12) ,(13) ,（14） ,（15）,（16）（17）例39 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，試證方程在上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根。證 即證存在，使。將要證明的等式變形為，并將其中的換成，構(gòu)造輔助函數(shù)，此函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根，也就是方程的根。因?yàn)樵谏线B續(xù),連續(xù)，所以復(fù)合函數(shù)

29、在上連續(xù)，所以在上連續(xù)。并且，。所以。又因?yàn)?，所以。若，則及都是方程在上的根。若，則在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值異號。由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知，在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根。綜上所述，方程在上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根。例40 證明：如果函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，為此區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)，則在內(nèi)必有一點(diǎn)，使。證法一 當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立。不失一般性，下設(shè)。由于函數(shù)在連續(xù)，故在該區(qū)間上必有最大值和最小值。所以，所以，故。由介值定理知，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。因，故在內(nèi)必有一點(diǎn)，使。證法二 將要證明的等式變形為，并將其中的字母換成，引入輔助函數(shù)。若，則結(jié)論顯然成立。故不妨設(shè)。由條件可知，在區(qū)間上連續(xù)。故有+=

30、0，若=0，則此時(shí)點(diǎn)及點(diǎn)都可作為點(diǎn)，使。若，由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知，在區(qū)間內(nèi)（從而必在內(nèi)）至少有一個(gè)零點(diǎn)使。二本章學(xué)習(xí)效果測試練習(xí)1 單項(xiàng)選擇題 （1）設(shè)（為常數(shù)）則 （ ）A. 在點(diǎn)處連續(xù) B. 在點(diǎn)處有定義C. 在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有界 D. 點(diǎn)為的可去間斷點(diǎn)(2) “在處有定義”是當(dāng)時(shí)有極限的（ ）A.充分條件 B.必要條件 C.充分必要條件 D.無關(guān)條件（3）“在處有定義”是在處連續(xù)的（ ）A.充分條件 B.必要條件 C.充分必要條件 D.無關(guān)條件（4 ）設(shè)點(diǎn)為的第一類間斷點(diǎn)，則（ ）A. 在點(diǎn)處極限存在,但在該點(diǎn)處無定義 B. （為常數(shù)） C.在點(diǎn)處左、右極限至少有一個(gè)不存在. D在

31、點(diǎn)處左、右極限都存在但未必相等。 .（5）當(dāng)時(shí)，是 （ ）A. 無窮小量 B.無窮大量 C.無界變量 D.有界變量（6）當(dāng)時(shí)，下列變量中，與等價(jià)的無窮小量是（ ） A. B. C. D.(7) 設(shè)當(dāng)時(shí),與是等價(jià)無窮小量，其中為常數(shù)，則必有（ ）A B.為任意常數(shù) C.為非零常數(shù) D.（8）“函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)”是函數(shù)在閉區(qū)間上有界的（ ） A.無關(guān)條件 B. 充分必要條件 C充分但非必要條件 D. 必要但非充分條件（9）已知函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且與異號，則（ ） A.在內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)，使 B.在上有界 C. 無法判斷在內(nèi)是否有零點(diǎn) D. 在內(nèi)有界（10）以下式子中，正確的是（ ） A. B. C.

32、D. 2 填空題（1） 已知數(shù)列的極限為3，則至少為 ，可使；至少為 ，可使。（2）指出當(dāng) 時(shí)，下列變量是無窮小量。（當(dāng) 時(shí)）； （當(dāng) 時(shí)）；（當(dāng) 時(shí)）； （當(dāng) 時(shí)）；（當(dāng) 時(shí)）； （當(dāng) 時(shí)）； （當(dāng) 時(shí)）； （當(dāng) 時(shí)）； （當(dāng) 時(shí)）；（3）指出當(dāng)？時(shí)下列變量是無窮大量。（當(dāng) 時(shí)）； （當(dāng) 時(shí)）；（當(dāng) 時(shí)）； （當(dāng) 時(shí)）； （當(dāng) 時(shí)）； （當(dāng) 時(shí)）。(4).試判斷下列結(jié)論是否正確(填寫“正確”或：“錯誤”)（A）無窮小量是零。 （B）零是無窮小量。 （C）任意兩個(gè)無窮小量都可以比較階的高低。 （D）有界量與無窮大量之積是無窮大量。 （E）任意兩個(gè)無窮大量之和仍是無窮大量。 （F）無界變量一定是

33、無窮大量。 （G）有限區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是有界函數(shù)。 （H）無限區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是無界函數(shù)。 （5）設(shè)常數(shù)，則 ?！?002年考研數(shù)學(xué)三】（6）設(shè)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，且，則 。（7） 。（8）已知時(shí)，與是同階無窮小，則為 。(9)設(shè)函數(shù)，則的不含極限號的表達(dá)式為 。（10）函數(shù)的間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 。3.求下列極限： （1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9）已知，求常數(shù) （10）（11） （12）（13） （14） （15） （16） 4.求下列極限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）(11) (12)（13） 5.下列極限存在的有（ ）（1）

34、 （2）（3） （4）（5） （6） 【2005年考研數(shù)學(xué)三】（7） （8）（9） （10），其中6.已知，試確定的值。7.已知，求的值。8.設(shè)，問在處是否連續(xù)？9.討論函數(shù)的連續(xù)性。10.確定的值，使函數(shù)連續(xù)。11.指出下列函數(shù)的間斷點(diǎn)及間斷點(diǎn)的類型。（1） （2）（3） （4）12.證明方程至少有一個(gè)不超過3的實(shí)根。13.設(shè)函數(shù)在區(qū)間連續(xù)（其中為常數(shù)），且。證明：函數(shù)在區(qū)間有界。14.設(shè)，求。三 本章學(xué)習(xí)效果測試練習(xí)參考答案：1 （1） 應(yīng)選C. 由（為常數(shù)）并不能確定函數(shù)在點(diǎn)處是否由定義，所以也不能確定函數(shù)在該點(diǎn)處是否連續(xù)。由函數(shù)極限的的局部有界性定理，則在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)函數(shù)有界。（2）D（3）B（4）D（5）D.因?yàn)椋?）B.因?yàn)槎?）由，得（8）C（9）C.例如在的端點(diǎn)處函數(shù)值異號，在內(nèi)及在上函數(shù)無界且無零點(diǎn)。（10）B. 注意A中極限不存在。 C.中分子是兩個(gè)無窮小量之差，極限及不存在，所以不能將分子的每一項(xiàng)用其等價(jià)無窮小代替。1. 填空題（1）（A）由得，所以至少大于100（B）由得，所以至少大于1000(2（A） （B） （C），為整數(shù)（D） (E) (F)為整數(shù)且（G）或?yàn)檎麛?shù)（H）或 (I)(3)（A） （B）或 （C）或（D） （E） （F）為整數(shù)（4） A）錯。無窮小量是以零為極限的量，