直線與圓錐曲線學生版

1、直線與圓錐曲線高考要求圓錐曲線要求層次重難點橢圓的定義及標準方程C圓錐曲線了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單幾何性質了解圓錐曲線的簡單應用理解數(shù)形結合的思想曲線與方程了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系橢圓的簡單幾何性質C拋物線的定義及標準方程C拋物線的簡單幾何性質C雙曲線的定義及標準方程A雙曲線的簡單幾何性質A直線與圓錐曲線的位置關系C曲線與方程的對應關系B知識內容1圓錐曲線中常用公式：弦長公式：對于直線：，點，兩根差公式：如果滿足一元二次方程：，則（）

2、2橢圓：判斷交點個數(shù)時，一般方法是連立直線與橢圓的方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程，根據(jù)判別式的情況判斷交點情況如果一條直線與橢圓只有一個交點，則此直線一定與橢圓相切，對于雙曲線與拋物線，此說法不成立注意橢圓上的點可以直接設為，此處的的幾何意義不明顯；3過雙曲線外一點的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內時，有兩條與漸近線平行的直線，以及只與雙曲線的一支相切的兩條切線，共四條；點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內時，有兩條與漸近線平行的直線，以及只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一條漸近線平行的

3、直線，一條是切線；為原點時不存在這樣的直線3拋物線焦點：，通徑；準線：；焦半徑：，過焦點弦長，利用拋物線的定義可以簡化并解決拋物線中的很多問題，對于橢圓與雙曲線，也有類似的定義，稱為橢圓與雙曲線的第二定義圓錐曲線可以統(tǒng)一定義為：平面內，到一個定點距離與一條定直線（定點不在定直線上）的距離的比為常數(shù)的點的軌跡，當此常數(shù)大于時，軌跡為雙曲線；等于時，軌跡為拋物線；小于時，軌跡為橢圓這里的定點與定直線是圓錐曲線對應的焦點與準線4直線與圓錐曲線問題的常用解題思路有：從方程的觀點出發(fā)，利用根與系數(shù)的關系來進行討論，這是用代數(shù)方法來解決幾何問題的基礎要重視通過設而不求與弦長公式等簡化計算，并同時注意在適當

4、時利用圖形的平面幾何性質以向量為工具，利用向量的坐標運算解決與中點、弦長、角度相關的問題直線與圓錐曲線的位置關系一直是高考的熱點，也是難點這類問題圍繞著圓錐曲線的性質與直線的基本知識點展開，涉及交點、弦長、中點弦、對稱、夾角、面積、最值、定點定值等問題它容納了解析幾何的絕大部分知識點，各種解題方法在這里也得到了充分的體現(xiàn)，它把代數(shù)、三角與幾何聯(lián)系在一起，不僅綜合性大，而且方法變化多，體現(xiàn)了解析幾何與方程思想、數(shù)形結合、等價轉化、分類討論等基本數(shù)學思想典例分析【例1】 通過焦點的直線被圓錐曲線所截得的線段被稱為是焦點弦，它的長度與直線的傾斜角有如下關系：對于橢圓，有；對于雙曲線，有；對于拋物線，

5、有【練1】 （豐臺理題20）已知拋物線的焦點為，過焦點且不平行于軸的動直線交拋物線于，兩點，拋物線在、兩點處的切線交于點 求證：，三點的橫坐標成等差數(shù)列； 設直線交該拋物線于，兩點，求四邊形面積的最小值【練2】 （豐臺文題20）已知橢圓經(jīng)過點，過右焦點且不與軸重合的動直線交橢圓于、兩點，當動直線的斜率為時，坐標原點到的距離為 求橢圓的方程； 過的另一直線交橢圓于、兩點，且，當四邊形的面積時，求直線的方程【例2】 （2010全國卷高考）已知斜率為1的直線與雙曲線相交于、兩點，且的中點為求的離心率；設的右頂點為，右焦點為，證明：過、三點的圓與軸相切【練3】 （西城文題18）已知橢圓的離心率為，橢圓

6、上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為 求橢圓的方程； 設直線與橢圓交與兩點，點，且，求直線的方程 【練4】 （2010天津高考）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4 求橢圓的方程； 設直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標為，點在線段的垂直平分線上，且，求的值【例3】 （海淀理題19）已知橢圓和拋物線有公共焦點，的中心和的頂點都在坐標原點，過點的直線與拋物線分別相交于A，B兩點寫出拋物線的標準方程；若，求直線的方程；若坐標原點關于直線的對稱點在拋物線上，直線與橢圓有公共點，求橢圓的長軸長的最小值【練5】 （2004年福建高考）如圖，是拋物線：上一點，直線過點且與拋物線交于

7、另一點若直線與過點的切線垂直，求線段中點的軌跡方程；若直線不過原點且與軸交于點，與軸交于點，試求的取值范圍【例4】 （2010重慶高考）已知以原點為中心，為右焦點的雙曲線的離心率求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；如圖，已知過點的直線與過點（其中）的直線的交點在雙曲線上，直線與兩條漸近線分別交與、兩點，求的面積【練6】 （崇文理題19）已知橢圓和圓：，過橢圓上一點引圓的兩條切線，切點分別為（）若圓過橢圓的兩個焦點，求橢圓的離心率； （）若橢圓上存在點，使得，求橢圓離心率的取值范圍設直線與軸、軸分別交于點，求證：為定值【練7】 （東城理題18）已知拋物線的焦點在軸上，拋物線上一點到準線的距離是，

8、過點的直線與拋物線交于兩點，過兩點分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點為求拋物線的標準方程；求的值；求證：是和的等比中項【例5】 （2010四川卷高考）已知定點，定直線，不在軸上的動點與點的距離是它到直線的距離的2倍設點的軌跡為，過點的直線交于、兩點，直線、分別交于點、 求的方程； 試判斷以線段為直徑的圓是否過點，并說明理由【練8】 （朝陽理題19）已知動點到點的距離，等于它到直線的距離求點的軌跡的方程；過點任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點和設線段的中點分別為，求證：直線恒過一個定點；在的條件下，求面積的最小值【例6】 （2010廣東）已知雙曲線的左、右頂點分別為，點，是雙曲線上不同的

9、兩個動點 求直線與交點的軌跡的方程 若過點，的兩條直線和與軌跡都只有一個交點，且，求的值【練9】 （西城理題19）如圖，橢圓短軸的左右兩個端點分別為，直線與軸、軸分別交于兩點，與橢圓交于兩點 若，求直線的方程； 設直線的斜率分別為，若，求的值【例7】 （宣武理題20）已知，動點到定點的距離比到定直線的距離小求動點的軌跡的方程；設是軌跡上異于原點的兩個不同點，求面積的最小值；在軌跡上是否存在兩點關于直線對稱？若存在，求出直線 的方程，若不存在，說明理由【練10】 （2009山東22）設橢圓（，）過，兩點，為坐標原點，求橢圓的方程；是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，且？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由在的條件下，求的取值范圍課后作業(yè)習題1. 已知橢圓，直線：與橢圓有兩個交點時，的取值范圍為_習題2. 直線被橢圓所截得的弦的中點的坐標是_習題3. （2009江南十校素質測試12）若是過橢圓中心的一條弦，是橢圓上任意一點，且、與坐標軸不平行，、分別表示直線、的斜率，則（ ）A B C D習題4. （2010豐臺文科一模19）已知橢圓：，直線與交于不同的兩點和問是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由習題5. 過點且與拋物線只有一個公共點的直線方程