第三章隨機(jī)抽樣和抽樣分布

1、第三章隨機(jī)抽樣和抽樣分布在前兩章的討論中，我們知道了隨機(jī)現(xiàn)象常常通過(guò)隨機(jī)變量及其概率分布和數(shù)字特征來(lái)描述，然而，在實(shí)際問(wèn)題中，要準(zhǔn)確知道概率分布和數(shù)字特征，有時(shí)是很困難的。例如，我們要以藥丸的崩解時(shí)間或藥片的溶解速度為指標(biāo)來(lái)考察某一批藥品的質(zhì)量。若把這批藥品全部進(jìn)行一下試驗(yàn)，其分布函數(shù)及其有關(guān)的數(shù)字特征都可求出。但是，由于測(cè)定這些指標(biāo)的試驗(yàn)，一般是破壞性的，報(bào)廢了全部藥品即使求出了有關(guān)指標(biāo)也無(wú)意義。還有一些檢驗(yàn)指標(biāo)，如蜜丸的重量、體積等，對(duì)它們的檢驗(yàn)雖不是破壞性的，但要成批逐個(gè)檢驗(yàn)，無(wú)論從人力還是物力上都會(huì)受到條件限制。事實(shí)上，人們總是通過(guò)對(duì)部分產(chǎn)品的試驗(yàn)結(jié)果作分析，推斷出全部產(chǎn)品的情況。這就

2、是數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的一個(gè)主要問(wèn)題。本章先討論樣本和統(tǒng)計(jì)量等基本概念，然后討論常見(jiàn)的幾種抽樣分布，為進(jìn)一步討論統(tǒng)計(jì)推斷方法打下必要的理論基礎(chǔ)。§3-1 隨 機(jī) 抽 樣3-1.1 總體與樣本總體與樣本是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中兩個(gè)主要概念。總體是指研究對(duì)象的全體，組成總體的每個(gè)單元稱為個(gè)體?？傮w可以包含有限個(gè)個(gè)體，也可以包含無(wú)限多個(gè)個(gè)體。某個(gè)總體是有限的，但在個(gè)體相當(dāng)多的情況下，往往把它作為無(wú)限總體來(lái)對(duì)待。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，我們不籠統(tǒng)地研究所關(guān)心的對(duì)象，只考察它的某一種數(shù)值指標(biāo)，例如，考察某批中成藥丸的質(zhì)量時(shí)，可以考察崩解時(shí)間、溶解速率、丸重等項(xiàng)指標(biāo)。這里，如果我們只需注意藥丸的重量，當(dāng)然，每一丸都有一個(gè)確定

3、的重量如：6g，6.1g，6.01g，5.9g，。我們就把所有這些丸重?cái)?shù)值當(dāng)成丸重的總體；每個(gè)丸重值就是一個(gè)個(gè)體。這樣，丸重X實(shí)際上是一個(gè)隨機(jī)變量，它的取值的全體是一個(gè)總體，每一個(gè)可能取值就是它的個(gè)體。由于隨機(jī)變量是用其概率分布F(x)(或密度函數(shù))來(lái)刻畫(huà)，所以若X具有分布函數(shù)F(X)，則稱這一總體為具有分布函數(shù)F(X)的總體。為了研究總體，需在總體中抽取若干個(gè)個(gè)體，這就得出樣本的概念。定義1 在一個(gè)總體X中抽取n個(gè)個(gè)體X1，X2，Xn，這n個(gè)個(gè)體稱為總體X的一個(gè)容量為n的樣本。樣本容量n是指樣本中含有個(gè)體的數(shù)目，也稱樣本的大小。由于X1，X2，Xn是從總體中隨機(jī)抽出來(lái)的，可以看成是n個(gè)隨機(jī)變

4、量。但在一次抽取后，它們都是具體的數(shù)值，記作x1,x2,，xn，稱為樣本值。由于兩次各抽取n個(gè)個(gè)體的抽樣，得到的兩批樣本值一般是不同的，因此，在不至引起混亂的情況下有時(shí)也用x1,x2,，xn，表示n個(gè)隨機(jī)變量，以此泛指一次抽取后的結(jié)果。這樣，每當(dāng)提到一個(gè)容量為n的樣本時(shí)，常有雙重含義：一是指某一次抽樣的具體數(shù)值x1，x2，xn；有時(shí)是泛指一次抽出的可能結(jié)果，就表示n個(gè)隨機(jī)變量。3-1.2 隨機(jī)抽樣抽樣的目的在于對(duì)總體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律進(jìn)行推斷，因而很自然地要研究該怎樣從總體中抽取樣本，使其盡可能地反映總體的特征。因此在抽樣時(shí)，既要考慮抽樣結(jié)果的代表性，又要考慮抽樣本身的可行性，簡(jiǎn)便性。抽樣方法很多，對(duì)

5、于不同的抽樣方法，使用的統(tǒng)計(jì)推斷方法也將不同，這里主要討論簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。所謂簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是指在抽取樣本單位時(shí)，總體的每一個(gè)可能的樣本被抽中的概率相同。定義2 樣本X1，X2，Xn相互獨(dú)立且與總體X有相同的分布函數(shù)，這樣的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。本書(shū)主要討論簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，以下簡(jiǎn)稱樣本。由以上定義可見(jiàn)，簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是滿足下述兩點(diǎn)要求的樣本：其一，抽樣隨機(jī)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均等。例如，在檢查藥品質(zhì)量指標(biāo)時(shí)，有意識(shí)地選優(yōu)，就違反了隨機(jī)性原則，所得指標(biāo)必然不能反映總體的質(zhì)量情況，不具代表性；其二，樣本X1，X2，Xn具有獨(dú)立性，即抽取一個(gè)個(gè)體后，總體成分不變。例如，從一小批產(chǎn)品中，抽樣檢查合格品

6、，要求有放回地抽樣，可滿足獨(dú)立性條件；若無(wú)放回地抽樣則不滿足獨(dú)立性條件。對(duì)于無(wú)限總體，由于抽出的一個(gè)樣品放回與否不改變總體成分，可看作不影響抽樣的獨(dú)立性。但實(shí)際應(yīng)用中，即使總體個(gè)數(shù)N有限，只要被抽取的個(gè)體數(shù)n較小，比如不超過(guò)總體的5%，也可看作近似滿足獨(dú)立性條件，按無(wú)放回抽樣，這樣做可簡(jiǎn)化計(jì)算。§3-2 樣本的數(shù)字特征3-2.1 統(tǒng)計(jì)量數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要任務(wù)，是以樣本的特性去推測(cè)總體的特性。為此，需要根據(jù)樣本構(gòu)造出某種函數(shù)(樣本函數(shù))作為推測(cè)的基礎(chǔ)。如當(dāng)隨機(jī)變量的某些總體數(shù)字特征未知時(shí)，就需要通過(guò)樣本構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)。不含任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量，是統(tǒng)計(jì)推斷中最常使用的工具。定義1

7、設(shè)X1，X2，Xn為總體X的一個(gè)樣本，g(X1，X2，Xn)為一個(gè)樣本函數(shù)。如果g中不含有任何未知參數(shù)，則稱g為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。例 如，設(shè)XN(，2)，且為已知，2為未知，X1，X2，Xn是X的一個(gè)樣本，則是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量；而僅是樣本函數(shù)，不是統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)槠渲泻形粗獏?shù)2。3-2.2 樣本的數(shù)字特征下面我們來(lái)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)推斷中最常使用的幾種樣本數(shù)字特征。它是估計(jì)總體數(shù)字特征的方法之一。一、 樣本均數(shù)定義2 設(shè)有容量為n的樣本X1，X2，Xn，則稱(X1+X2+Xn)為樣本均數(shù)，亦可寫(xiě)為 或 (3-1)明顯地，由于容量為n的樣本是n個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，所以樣本均數(shù)也是一個(gè)隨機(jī)變量。樣本均數(shù)的計(jì)算公式表

8、明，它不含任何未知參數(shù)，是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。二、 樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)定義3 設(shè)有容量為n的樣本X1，X2，Xn則稱或 (3-2)為樣本方差；S稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差：稱為樣本變異系數(shù)。樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)都是刻畫(huà)數(shù)據(jù)離散程度的指標(biāo)。和樣本均數(shù)一樣，都是隨機(jī)變量，同時(shí)也都是統(tǒng)計(jì)量。三、 與S2的運(yùn)算性質(zhì)(1) 若樣本值與有如下關(guān)系：(i=1，2，n)則(2) 若樣本值與有如下關(guān)系：則其中a,b,c為非零常數(shù)。在樣本個(gè)體數(shù)很多、值很大的情況下，利用上述運(yùn)算性質(zhì)可使計(jì)算簡(jiǎn)化，節(jié)省工作量。四、 標(biāo)準(zhǔn)誤樣本均數(shù)是隨機(jī)變量，按樣本均數(shù)、方差的定義、性質(zhì)我們可以給出樣本均數(shù)的均數(shù)及方差。若總體均數(shù)EX與總體

9、方差DX存在，則， (3-3)統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)誤。一般用來(lái)表示，因此。在實(shí)際抽樣研究中，往往未知，這里用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S來(lái)代替，可得標(biāo)準(zhǔn)誤，計(jì)算公式為 (3-4)五、 其他常用的數(shù)字特征醫(yī)藥科研的統(tǒng)計(jì)中，還廣泛地使用一些樣本的數(shù)字特征。關(guān)于刻畫(huà)隨機(jī)變量平均水平的還有:中位數(shù) 它是累積概率分布或分布函數(shù)等于50%所對(duì)應(yīng)的變量值。換言之，隨機(jī)變量的取值大于它的概率和小于它的概率恰好相等，在概率意義上它位于正中。眾數(shù) 它是隨機(jī)變量的概率函數(shù)或概率密度函數(shù)最大值所對(duì)應(yīng)的變量值。換言之，當(dāng)大量獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，樣本值較多地集中在這個(gè)值的附近。關(guān)于刻畫(huà)隨機(jī)變量分散程度的還有:極差 它等于隨機(jī)變量

10、有限個(gè)樣本中最大值與最小值之差。在計(jì)算上較標(biāo)準(zhǔn)差方便，因而受到實(shí)際工作者的歡迎。但是，它對(duì)隨機(jī)變量的分布情況畢竟只能提供少量信息，因此遠(yuǎn)不能取代標(biāo)準(zhǔn)差的重要性。例 設(shè)某藥廠生產(chǎn)的開(kāi)胸順氣丸，崩解時(shí)間XN(，2)，其中，2均未知。今隨機(jī)抽取5丸測(cè)得崩解時(shí)間如下(單位：分)：表3-136129640160032102441168136128636，40，32，41，36計(jì)算樣本均數(shù)和方差解 為運(yùn)算方便，可列表3-1。,所以=15×185=37§3-3 抽 樣 分 布統(tǒng)計(jì)量都是隨機(jī)變量。數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常要知道統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)(抽樣分布)，由此去推斷所研究的總體性質(zhì)。常用的統(tǒng)計(jì)量，除上

11、節(jié)討論過(guò)的樣本均數(shù)、方差外，還有，t，F(xiàn)等統(tǒng)計(jì)量，這節(jié)我們將討論這些統(tǒng)計(jì)量的分布。3-3.1 樣本均數(shù)的分布我們先不加證明給出正態(tài)變量的如下性質(zhì)：(1) 兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1N(1，)、X2N(2，)的代數(shù)和X=X1±X2仍服從正態(tài)分布，且有XN(1±2，+)；(2) n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量XiN(i，)的和仍服從正態(tài)分布，且XN(，)，其中i=1,2,，n；(3) 隨機(jī)變量XN(，)的線性函數(shù)Y=aX+b仍服從正態(tài)分布，且YN(a+b，)，其中a，b均為常數(shù)；(4) n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量XiN(i，)的線性組合仍服從正態(tài)分布，且有XN(，)，其中ci是不全為零的常

12、數(shù)。下面，我們來(lái)討論樣本均數(shù)的分布。首先考慮樣本來(lái)自正態(tài)總體時(shí)，即XiN(，)。由樣本均數(shù)的定義，是n個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的線性組合，則由正態(tài)變量的性質(zhì)(4)容易推出：即 (3-5)這個(gè)結(jié)論表明：來(lái)自正態(tài)總體的樣本均數(shù)仍舊服從正態(tài)分布，該分布的均數(shù)等于原總體的均數(shù)，方差是原總體方差的倍。由此可見(jiàn)，樣本均數(shù)這一隨機(jī)變量所服從的正態(tài)分布與總體的正態(tài)分布相比較在分散性方面有改善，且n越大，方差就越小，就越接近總體的均數(shù)。再考慮樣本來(lái)自非正態(tài)總體時(shí)的情況。當(dāng)抽樣為小樣本時(shí)，問(wèn)題沒(méi)有一般的確定解答；當(dāng)抽樣為大樣本時(shí)，則由2-5.3段的中心極限定理知 (3-6)也就是說(shuō)，對(duì)于大樣本，無(wú)論總體分布如何

13、，式(3-6)總是成立的。3-3.2 分布定義1 設(shè)X1，X2，Xn是相互獨(dú)立且同服從于N(0，1)分布的隨機(jī)變量，則稱隨機(jī)變量+ (3-7)服從參數(shù)為n的分布，記為 (n)。分布的概率密度函數(shù)是其中參數(shù)n稱為自由度，它表示式(3-7)中獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。“自由度”的含意：式(3-7)中的統(tǒng)計(jì)量是n個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量Xi的平方和，Xi之間沒(méi)有約束條件，每個(gè)Xi均可自由變動(dòng)，故稱的自由度為n。又如在式(3-2)中有n個(gè)變量X1-，X2-，Xn-，它們之間存在著惟一的約束條件。(X1-)+(X2-)+(Xn-) 圖3-1=X1+X2+Xn-n=0 因此，n個(gè)變量X1-，X2-，Xn-中只有n-1個(gè)可以

14、自由變動(dòng)，所以樣本方差S2的自由度為n-1。f(x)的圖形如圖(3-1)所示，是一條偏向左側(cè)的曲線。自由度越小越偏，自由度相當(dāng)大時(shí)，接近正態(tài)分布。(n)分布是p分布在，時(shí)的特例。分布具有可加性。設(shè)隨機(jī)變量,且它們互相獨(dú)立，則這個(gè)性質(zhì)也可推廣到多個(gè)獨(dú)立的變量和或差的情形。由此性質(zhì)還可推出下列結(jié)果：若X1，X2，Xn為正態(tài)總體N(，2)的一個(gè)樣本，則有 (3-8)因?yàn)樵诖耸街袕亩傻?，再由分布的可加性，即得這個(gè)結(jié)論表明：是一個(gè)服從分布的隨機(jī)變量，自由度為n-1。3-3.3 t分布定義2 設(shè)隨機(jī)變量UN(0,1),V (n)并且U與V相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從自由度為n的t分布，記為tt(n)。在不

15、至于弄錯(cuò)的情況下，括號(hào)中的自由度可以省略。t分布的概率密度函數(shù)為其中n為自由度。f(t)的圖形如圖3-2所示。曲線關(guān)于t=0對(duì)稱，形狀類(lèi)似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率密度函數(shù)的圖形。當(dāng)n時(shí)，它的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。但當(dāng)n較小時(shí)，對(duì)于相同的變量值，t分布的尾部比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的尾部有著更大的概率，它們差異較大。圖3-2t分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)中極為重要的分布，應(yīng)用最為廣泛。其應(yīng)用的重要依據(jù)是下面的定理。定理1 設(shè)X1，X2，Xn為正態(tài)總體N(，2)的一個(gè)樣本，則證 因?yàn)樗杂种⑶?與 相互獨(dú)立，從而由t分布的定義得定理2 設(shè)，和，分別是從同方差的總體N(1，2)和N(2，2)中所抽取的樣本，它們相互獨(dú)立，則其中和分

16、別是這兩個(gè)樣本的方差。證 由定理的條件可知由已知兩個(gè)總體方差相等，則給定條件知，且它們相互獨(dú)立，由2分布的可加性從而，按t分布的定義得3-3.4 F分布定義3 設(shè)隨機(jī)變量U(n1)，V (n2)，并且U、V相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從自由度為(n1,n2)的F分布，記作FF(n1,n2)。F分布的概率密度函數(shù)為F分布有兩個(gè)自由度，第一自由度n1為組成統(tǒng)計(jì)量F分子的隨機(jī)變量的自由度；第二自由度n2為分母的隨機(jī)變量的自由度。圖3-3f(x)的圖形如圖3-3所示。不對(duì)稱的山狀曲線，峰向左偏斜，隨著n1與n2的同時(shí)增大，其均數(shù)趨近于1，且f(x)的曲線趨向于對(duì)稱。再介紹一個(gè)常用的服從F分布的隨機(jī)變量。定

17、理3 設(shè)，為總體N(1，)的樣本；，為總體N(2，)的樣本，且二樣本相互獨(dú)立，樣本方差為、，則證 因?yàn)樗杂蒄分布的定義，可知最后，讀者必須注意：本節(jié)中介紹的2分布、t分布、F分布都是對(duì)正態(tài)總體而言的，就是說(shuō)，這些樣本都是來(lái)自正態(tài)總體，在以后使用時(shí)，必須注意這一前提條件。§3-4 概率紙及其應(yīng)用通過(guò)對(duì)樣本的實(shí)際觀測(cè)，能夠獲知一個(gè)變量的頻率分布情況。如果觀測(cè)次數(shù)足夠多，樣本頻率將接近總體概率，這時(shí)該變量的頻率分布(統(tǒng)計(jì)分布)接近概率分布(理論分布)。為驗(yàn)證一個(gè)隨機(jī)變量的理論分布，可使用概率紙方法。3-4.1 正態(tài)概率紙利用正態(tài)概率紙可判斷一組數(shù)據(jù)是否取自正態(tài)總體。一、 正態(tài)概率紙的原理

18、設(shè)XN(，2)，那么，令u=，則F(x)=(u)。圖3-4因?yàn)閡是x的線性函數(shù)，在坐標(biāo)x-u中，u對(duì)x的圖形是一條直線(圖3-4)，通過(guò)值表，把縱軸刻度上的u值改寫(xiě)成對(duì)應(yīng)的(u)值，即F(x)值。這樣一來(lái)，在坐標(biāo)系x-F(x)中，F(xiàn)(x)對(duì)x的圖形仍是那一條直線。于是，以普通均勻尺x為橫軸，以函數(shù)尺-1(F)為縱軸，就構(gòu)成了正態(tài)概率紙，如圖3-5。二、 正態(tài)概率紙的使用方法(1) 把樣本數(shù)據(jù)x從小到大排隊(duì)，并計(jì)算對(duì)應(yīng)的累積頻率F(x)；(2) 在正態(tài)概率紙上描出點(diǎn)列(x,F(x)；(3) 若點(diǎn)列能擬合一條直線，則變量X近似服從正態(tài)分布N(，2)；圖3-5 正態(tài)概率紙(4) 由縱軸上的F(x)=

19、0.50,0.16(或0.84)，找到橫軸上對(duì)應(yīng)的x0.50，x0.16,或(x0.84)，則均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為=x0.50，=x0.50-x0.16(或=x0.84-x0.50,或=(x0.84-x0.16)。例1 山東中醫(yī)學(xué)院對(duì)六味地黃丸進(jìn)行顯微定量研究。為探討丸劑中熟地的某種特征物(棕色核狀物)數(shù)目是否服從正態(tài)分布，鏡檢了67組載玻片中熟地的特征物數(shù)目，得到累積頻率分布如表3-2所示。表3-2 累積頻率分布表特征物數(shù)頻數(shù)累積頻數(shù)累積頻率特征物數(shù)頻數(shù)累積頻數(shù)累積頻率56110.0156513400.59757120.030667470.70159240.060674510.761603

20、70.104685560.83661290.134696620.925625140.209702640.955635190.284711650.970648270.403722671.000利用正態(tài)概率紙描點(diǎn)，由于散點(diǎn)能擬合一條直線(圖3-6)。說(shuō)明六味地黃丸中熟地所含該種特征物的數(shù)目近似服從正態(tài)分布。從圖上可求出均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值3-4.2 對(duì)數(shù)正態(tài)概率紙?jiān)谒巹W(xué)、藥理學(xué)等領(lǐng)域常可遇見(jiàn)一些不服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，如乳劑中油珠直徑的分布，劑量-反應(yīng)曲線等，其一般特征是其概率密度曲線偏向左側(cè)而顯出長(zhǎng)尾狀。這類(lèi)隨機(jī)變量的對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布，稱其服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。判斷隨機(jī)變量是否服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，

21、可以對(duì)所得樣本資料取對(duì)數(shù)后借助正態(tài)概率紙來(lái)完成。為免去取對(duì)數(shù)的工作，也可將正態(tài)概率紙的橫軸改為對(duì)數(shù)坐標(biāo)，構(gòu)成對(duì)數(shù)正態(tài)概率紙(圖37)。利用這種坐標(biāo)紙，可方便地直接以樣本累積頻率F(x)對(duì)x作圖，若呈直線狀就可判斷隨機(jī)變量為對(duì)數(shù)正態(tài)變量。至于均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)，宜分兩步進(jìn)行。首先，從圖上查找F(x)=0.50和0.84(或0.16)所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)值x0.50和x0.84(或x0.16)，注意到橫軸為對(duì)數(shù)坐標(biāo)，讀數(shù)為a時(shí)應(yīng)為lga，所以如果將取對(duì)數(shù)后正態(tài)分布的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差稱為對(duì)數(shù)均數(shù)和對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差，分別記為和，則類(lèi)似于圖3-6正態(tài)分布的情形。(或,或)然后代入公式和即得對(duì)數(shù)正態(tài)分布本身的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差

22、的估計(jì)值。(此公式的推導(dǎo)過(guò)程，讀者可參見(jiàn)其他詳細(xì)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)課本)3-4.3 韋布爾概率紙§2-2中已給出韋布爾分布的概率密度函數(shù)為，分布函數(shù)為 (3-9)其中有三個(gè)參數(shù)、和m。對(duì)式(3-9)改寫(xiě)后兩端取對(duì)數(shù)，有圖3-7 對(duì)數(shù)正態(tài)概率紙變號(hào)后，再取對(duì)數(shù)，ln-ln1-F(x)=mln(x-)-ln作變量代換X=ln(x-),B=-ln,Y=ln-ln1-F(x)則有Y=mX+B可以看出Y與X存在線性關(guān)系，于是，以一個(gè)隨機(jī)樣本的累積頻率代替F(x),以ln-ln1-F(x)對(duì)ln(x-)作圖，如=0，便以ln-ln1-F(x)對(duì)lnx作圖。如果所得諸點(diǎn)按直線排布，便可認(rèn)為該樣本來(lái)自一個(gè)服

23、從韋布爾分布的總體。圖3-8 韋布爾概率紙為避免多次查取自然對(duì)數(shù)，依上述原理制作韋布爾概率紙，如圖3-8。圖上有兩條互相垂直的坐標(biāo)軸，橫向X軸，縱向Y軸。為便于作圖，在上、下、左、右四條邊框上設(shè)有四把刻度尺，上邊和右邊分別稱X尺和Y尺，系普通均勻尺度，以X=lnx的數(shù)值刻線，并實(shí)際標(biāo)以X或Y的數(shù)值；下邊的標(biāo)x尺，名義上雖然刻以x的數(shù)值，實(shí)際上卻是據(jù)lnx刻線；左邊的稱F(x)尺，同樣，名義上雖標(biāo)以F(x)的數(shù)值，實(shí)際上卻是據(jù)刻線。在韋布爾概率紙上，以樣本的累積頻率代替F(x)，利用左邊的F(x)尺和下邊的x尺，按如下步驟作圖估計(jì)：(1) 以F(x)對(duì)x作圖，(2) 若諸點(diǎn)排布接近直線，則適當(dāng)擬

24、合一直線，尤其注意照顧F(x)在30%至70%范圍內(nèi)的點(diǎn)，使之優(yōu)先貼近直線。(3) 若諸點(diǎn)排布呈曲線狀，則沿曲線趨勢(shì)延伸，與x軸交點(diǎn)的數(shù)值作為的初步估計(jì)值，以F(x)對(duì)x-作圖。如此反復(fù)修改，直到選定一個(gè)較好的作為位置參數(shù)的估計(jì)值為止(圖3-9)。曲線：F(x)對(duì)x作圖。直線：F(x)對(duì)x-作圖。：曲線與橫軸交點(diǎn)。(4) 在F(x)對(duì)x-所作的圖上擬合一直線，由X=1和Y=0的交點(diǎn)(稱m點(diǎn))作平行于該直線的平行線，查出它和Y軸交點(diǎn)在Y尺上投影的讀數(shù)，不計(jì)正負(fù)號(hào)即得m的估計(jì)值(圖3-10)。圖3-9 圖3-10(5) 所擬合的直線與x軸有一交點(diǎn)，在x尺上投影點(diǎn)的讀數(shù)即為的估計(jì)值。(6) 依下式計(jì)

25、算均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值,或查Y尺右側(cè)尺和尺與m估計(jì)值對(duì)應(yīng)的數(shù)值，它們分別乘以即為、的圖估值。習(xí) 題 三1. 思考下列問(wèn)題：(1) 自總體中隨機(jī)抽取的容量為n的樣本，可以看成是n個(gè)隨機(jī)變量，如何理解?(2) t分布與正態(tài)分布的區(qū)別與聯(lián)系是什么?2. 計(jì)算下列各樣本的均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差及變異系數(shù)：(1) 5，19，-3，7，1，1；(2) 5，-3，2，0，8，6；(3) 10，15，14，15，16；(4) 0，5，10，-3。3. 從同一批號(hào)的阿司匹林片中隨機(jī)抽出5片，測(cè)定其溶解50%的所需時(shí)間分別為：5.3,6.6,5.2,3.7,4.9試計(jì)算其樣本方差，樣本均數(shù)和變異系數(shù)。4. 在總體N(12，4)中隨機(jī)抽一容量為5的樣本Z1，Z2，Z5。(1) 求樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值大于1的概率；(2) 求概率Pmax(Z1，Z5)15；(3) 求概率Pmin(Z1，Z5)10.5. 設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且都服從N(0，32)，而Xi(i=1，2，9)和Yi(i=1，2，9)分別是來(lái)自總體X和Y的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求統(tǒng)計(jì)量服從的分布。6. 某地101例3039歲健康