二階常微分方程解

1、第七節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程的解法在上節(jié)我們已經(jīng)討論了二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，二階線性微分方程的求解問題，關(guān)鍵在于如何求二階齊次方程的通解和非齊次方程的一個特解。本節(jié)討論二階線性方程的一個特殊類型，即二階常系數(shù)線性微分方程及其求解方法。先討論二階常系數(shù)線性齊次方程的求解方法。7.1 二階常系數(shù)線性齊次方程及其求解方法設給定一常系數(shù)二階線性齊次方程為 pqy0 (7.1) 其中p、q是常數(shù)，由上節(jié)定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意兩個線性無關(guān)的特解y1,y就可以了，下面討論這樣兩個特解的求法。我們先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解，從方程的形式上來看，它的特點是，y各

2、乘以常數(shù)因子后相加等于零，如果能找到一個函數(shù)y，其，y之間只相差一個常數(shù)因子，這樣的函數(shù)有可能是方程(7.1)的特解，在初等函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)erx，符合上述要求，于是我們令 yerx(其中r為待定常數(shù))來試解將yerx，rerx，r2erx代入方程(7.1)得 r2erxprerxqerx0或 erx（r2prq）0因為erx0，故得 r2prq0由此可見，若r是二次方程 r2prq0 (7.2)的根，那么erx就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解問題，就轉(zhuǎn)化為求代數(shù)方程(7.2)的根問題。稱(7.2)式為微分方程(7.1)的特征方程。特征方程(7.2)是一個以r為未知函數(shù)的一元

3、二次代數(shù)方程。特征方程的兩個根r，r2，稱為特征根，由代數(shù)知識，特征根r1，r2有三種可能的情況，下面我們分別進行討論。(1)若特證方程(7.2)有兩個不相等的實根r，r2，此時erx，er2x是方程(7.1)的兩個特解。因為 e常數(shù)所以er1x，er2x為線性無關(guān)函數(shù)，由解的結(jié)構(gòu)定理知，方程(7.1)的通解為yC1er1xC2er2x(2)若特征方程(7.2)有兩個相等的實根r1r2，此時p24q0，即有r1r2，這樣只能得到方程(7.1)的一個特解yerx，因此，我們還要設法找出另一個滿足常數(shù)，的特解y2，故應是x的某個函數(shù)，設u，其中uu(x)為待定函數(shù)，即 y2uy1uerx對y2求一

4、階，二階導數(shù)得 er1xruer1x(r1u)er1x (r2u2r1)er1x將它們代入方程(7.1)得 (r21ur1)er1xp(r1u)er1xquer1x0或 (2r1p) (rpr1q)uer1x0因為er1x0，且因r1是特征方程的根，故有rprq0，又因r1故有2r1p0，于是上式成為 0顯然滿足0的函數(shù)很多，我們?nèi)∑渲凶詈唵蔚囊粋€ u(x)x則y2xerx是方程(7.1)的另一個特解，且y1，y2是兩個線性無關(guān)的函數(shù)，所以方程(7.1)的通解是 yC1er1xC2xer1x(C1C2x)er1x (3)若特征方程(7.2)有一對共軛復根 r1i，r2i此時方程(7.1)有兩個

5、特解 y1e(i)x y2e（i）x則通解為 yC1e（i）xC2e（i）x其中C1，C2為任意常數(shù)，但是這種復數(shù)形式的解，在應用上不方便。在實際問題中，常常需要實數(shù)形式的通解，為此利用歐拉公式 eixcosxisinx，eixcosxisinx有 (eixeix)cosx (eixeix)sinx (y1y)ex(eixeix)excosx (y1y2)ex(eixeix)exsinx由上節(jié)定理一知， (y1y2)， (y1y2)是方程(7.1)的兩個特解，也即excosx，exsinx是方程(7.1)的兩個特解：且它們線性無關(guān)，由上節(jié)定理二知，方程(7.1)的通解為 yC1excosxC2

6、exsinx或 yex(C1cosxC2sinx)其中C1，C2為任意常數(shù)，至此我們已找到了實數(shù)形式的通解，其中，分別是特征方程(7.2)復數(shù)根的實部和虛部。綜上所述，求二階常系數(shù)線性齊次方程(7.1)的通解，只須先求出其特征方程(7.2)的根，再根據(jù)他的三種情況確定其通解，現(xiàn)列表如下特征方程r2prq0的根微分方程pqy0的通解有二個不相等的實根r1，r2yC1er1xC2er2x有二重根r1r2y(C1C2x)er1x有一對共軛復根yex(C1cosxC2sinx)例1. 求下列二階常系數(shù)線性齊次方程的通解 (1) 3y0(2) 44y0(3) 47y0解 (1)特征方程r23r100有兩

7、個不相等的實根 r15，r22所求方程的通解 yC1e5rC2e2x(2)特征方程r24r40，有兩重根 r1r22所求方程的通解y(C1C2x)e2x(3)特征方程r24r70有一對共軛復根 r12i r22i所求方程的通解 ye2x(C1cosxC2sinx)7.2 二階常系數(shù)線性非齊次方程的解法由上節(jié)線性微分方程的結(jié)構(gòu)定理可知，求二階常系數(shù)線性非齊次方程 pqyf(x) (7.3)的通解，只要先求出其對應的齊次方程的通解，再求出其一個特解，而后相加就得到非齊次方程的通解，而且對應的齊次方程的通解的解法，前面已經(jīng)解決，因此下面要解決的問題是求方程(7.3)的一個特解。方程(7.3)的特解形

8、式，與方程右邊的f(x)有關(guān)，這里只就f(x)的兩種常見的形式進行討論。一、f(x)pn(x)ex，其中pn(x)是n次多項式，我們先討論當0時，即當f(x)pn（x）時方程 pqypn(x) (7.4)的一個特解。(1)如果q0，我們總可以求得一n次多項式滿足此方程，事實上，可設特解Qn(x)a0xna1xn1an，其中a0，a1，an是待定常數(shù)，將及其導數(shù)代入方程(7.4)，得方程左右兩邊都是n次多項式，比較兩邊x的同次冪系數(shù)，就可確定常數(shù)a0，a1，an。例1. 求2yx23的一個特解。解 自由項f(x)x23是一個二次多項式，又q20，則可設方程的特解為 a0x2a1xa2求導數(shù) 2a

9、0xa1 2a0代入方程有2a0x2(2a02a1)x（2a0a12a）x23比較同次冪系數(shù) 解得 所以特解x2x(2)如果q0，而p0，由于多項式求導一次，其次數(shù)要降低一次，此時Qn(x)不能滿足方程，但它可以被一個(n1)次多項式所滿足，此時我們可設 xQn(x)a0xn1a1xnanx代入方程(7.4)，比較兩邊系數(shù)，就可確定常數(shù)a0，a1，an。例2. 求方程43x22的一個特解。解 自由項 f(x)3x22是一個二次多項式，又q0，p0，故設特解 a0x3a1x2a2x求導數(shù) 3a0x22a1xa2 6a0x2a1代入方程得12a0x2（8a16a0）x（a14a2）3x22，比較兩

10、邊同次冪的系數(shù) 解得 所求方程的特解 x3x2x(3)如果p0，q0，則方程變?yōu)閜n(x)，此時特解是一個(n2)次多項式，可設x2Qn(x)，代入方程求得，也可直接通過兩次積分求得。下面討論當0時，即當f(x)pn(x)ex時方程 pqypn(x)ex (7.5)的一個特解的求法，方程(7.5)與方程(7.4)相比，只是其自由項中多了一個指數(shù)函數(shù)因子ex，如果能通過變量代換將因子ex去掉，使得(7.5)化成(7.4)式的形式，問題即可解決，為此設yuex，其中uu(x)是待定函數(shù)，對yuex，求導得exuex求二階導數(shù) ex2ex2uex代入方程(7.5)得 ex22upexuquexpn(

11、x)ex消去ex得 (2p) (2pq)upn（x） (7.6)由于(7.6)式與(7.4)形式一致，于是按(7.4)的結(jié)論有：(1)如果2pq0，即不是特征方程r2prq0的根，則可設(7.6)的特解un(x)，從而可設(7.5)的特解為 Qn(x)ex (2)如果2pq0，而p0，即是特征方程r2prq0的單根，則可設(7.6)的特解uxQn(x)，從而可設(7.5)的特解為 xQn(x)ex (3)如果r2pq0，且p0，此時是特征方程r2prq0的重根，則可設(7.6)的特解ux2Qn(x)，從而可設(7.5)的特解為 x2Qn(x)ex 例3. 求下列方程具有什么樣形式的特解 (1)

12、56ye3x(2) 56y3xe2x(3) y(3x21)ex解 (1)因3不是特征方程r25r60的根，故方程具有形如a0e3x的特解。 (2)因2是特征方程r25r60的單根，故方程具有形如 x(a0xa1)e2x的特解。 (3)因1是特征方程r22r10的二重根，所以方程具有形如 x2(a0x2a1xa)ex的特解。例4. 求方程y(x2)e3x的通解。解 特征方程 r10 特征根 ri得，對應的齊次方程y0的通解為 YC1cosxCsinx由于3不是特征方程的根，又pn(x)x2為一次多項式，令原方程的特解為 (a0xa1)e3x此時ua0xa1，3，p0，q1，求u關(guān)于x的導數(shù)a0，

13、0，代入(p) (2pq)u(x2)得： 10a0x10a16a0x2比較兩邊x的同次冪的系數(shù)有 解得 a0，a1于是，得到原方程的一個特解為 (x)e3x所以原方程的通解是 yYC1cosxC2sinx（x）e3x例5. 求方程23y(x1)ex的通解。解 特征方程 r22r30特征根 r11，r23所以原方程對應的齊次方程23y0的通解YC1exC2e3x,由于1是特征方程的單根，又pn(x)x21為二次多項式，令原方程的特解 x(a0x2a1xa2)ex此時 ua0x3a1x2a2x，1，p2，q3對u關(guān)于x求導 3a0x22a1xa2 6a0x2a1代入(2p) (2prq)ux21，

14、得12a0x2(6a08a)x2a14ax21比較x的同次冪的系數(shù)有 解得 故所求的非齊次方程的一個特解為 ()ex 二、f(x)pn(x)excosx或pn（x）exsinx，即求形如 pqypn(x)excosx (7.7) pqypn(x)exsinx (7.8)這兩種方程的特解。由歐拉公式知道，pn（x）excosx，pn(x)exsinx分別是函數(shù)pn(x)e（i）x的實部和虛部。我們先考慮方程 pqypn（x）e（i）x (7.9)方程(7.9)與方程(7.5)類型相同，而方程(7.5)的特解的求法已在前面討論。 由上節(jié)定理五知道，方程(7.9)的特解的實部就是方程(7.7)的特解

15、，方程(7.9)的特解的虛部就是方程(7.8)的特解。因此，只要先求出方程(7.9)的一個特解，然而取其實部或虛部即可得方程(7.7)或(7.8)的一個特解。注意到方程(7.9)的指數(shù)函數(shù)e（i）x中的i(0)是復數(shù)，而特征方程是實系數(shù)的二次方程，所以i最多只能是它的單根。因此方程(7.9)的特解形為Qn(x)e（i）x或xn(x)e（i）x。例6. 求方程yexcos2x的通解。解 特征方程 r210 特征根 r11，r21于是原方程對應的齊次方程的通解為 YC1exC2ex為求原方程的一個特解。先求方程ye（2i）x的一個特解，由于12i不是特征方程的根，且pn(x)為零次多項式，故可設u

16、a0，此時(12i)，p0，q1代入方程(2p) (2pq)u1得（2i）21a01 ，即(4i4)a01，得 a0 (i1)這樣得到y(tǒng)e（2i）x的一個特解 y (i1)e（2i）x由歐拉公式y(tǒng) (i1)e（2i）x (i1)ex(cosxisin2x) ex（cos2xsin2x）i(cos2xsin2x)取其實部得原方程的一個特解 ex(cosxsin2x)故原方程的通解為 yYC1exC2exex(cos2xsin2x) 例7. 求方程y(x2)e3xxsinx的通解。解 由上節(jié)定理三，定理四，本題的通解只要分別求y0的特解Y， y(x2)e3x的一個特解， yxsinx的一個特解然而

17、相加即可得原方程的通解，由本節(jié)例4有 YC1cosxC2sinx，(x)e3x下面求，為求先求方程 yxeix由于i是特征方程的單根，且pn（x)x為一次式，故可設ux(a0xa1)a0x2a1x，此時i，p0，q1，對u求導 2a0xa1，2a0代入方程 (2p) (2pq)ux得 2a2i(2a0xa1)0x即 4ia0x2ia12a0x比較x的同次冪的系數(shù)有： 得 即方程yxeix的一個特解 (x2x)eix (x2)(cosxisinx) (x2sinxxcosx)i(x2cosxxsinx)取其虛部，得x2cosxxsinx所以，所求方程的通解y Y C1cosxC2sinx()ex

18、xcosxxsinx綜上所述，對于二階常系數(shù)線性非齊次方程 pqyf(x)當自由項f(x)為上述所列三種特殊形式時，其特解可用待定系數(shù)法求得，其特解形式列表如下：自由項f(x)形式特解形式f(x)pn(x)當q0時Qn(x)當q0,p0時Qn(x)當q0,p0時x2Qn(x)f(x)pn（x）ex當不是特征方程根時Qn(x)ex當是特征方程單根時xQn(x)ex當是特征方程重根時x2Qn(x)exf(x)pn(x)excosx或 f(x)pn(x)exsinx利用歐拉公式eixcosxisinx，化為f(x)pn(x)e（i）x的形式求特解，再分別取其實部或虛部 以上求二階常系數(shù)線性非齊次方程的特解的方法，當然可以用于一階，也可以推廣到高階的情況。例8. 求y3y3yyex的通解解 對應的齊次方程的特征方程為 r33r23r10 r1r2r31所求齊次方程的通解Y(C1C2xC3x2)ex由于1不是特征方程的根因此方程的特解a0ex代入方程可解得a0故所求方程的通解為yY(C1C2xC3x2)exex。7.3 歐拉方程下述n階線性微分方程 a0xna1xn1an1xanyf(x)稱為歐拉方程，其中a0，a1，an都是常數(shù)，f(x)是已知函數(shù)。歐拉方程可通過變量替換化為常系數(shù)線性方程。下面以二階為例說明。對于二階歐拉方程 a0x2a1xa