相似三角形的三點(diǎn)定形相似三角形與函數(shù)綜合問(wèn)題

1、學(xué)生： 科目： 數(shù) 學(xué) 教師： 課 題 相似三角形的三點(diǎn)定形、相似三角形與函數(shù)綜合問(wèn)題教學(xué)內(nèi)容知識(shí)框架一、相似證明中的比例式或等積式、比例中項(xiàng)式、倒數(shù)式、復(fù)合式證明比例式或等積式的主要方法有“三點(diǎn)定形法”1橫向定型法欲證，橫向觀(guān)察，比例式中的分子的兩條線(xiàn)段是和，三個(gè)字母恰為的頂點(diǎn)；分母的兩條線(xiàn)段是和，三個(gè)字母恰為的三個(gè)頂點(diǎn)因此只需證2縱向定型法欲證，縱向觀(guān)察，比例式左邊的比和中的三個(gè)字母恰為的頂點(diǎn)；右邊的比兩條線(xiàn)段是和中的三個(gè)字母恰為的三個(gè)頂點(diǎn)因此只需證3中間比法由于運(yùn)用三點(diǎn)定形法時(shí)常會(huì)碰到三點(diǎn)共線(xiàn)或四點(diǎn)中沒(méi)有相同點(diǎn)的情況，此時(shí)可考慮運(yùn)用等線(xiàn)，等比或等積進(jìn)行變換后，再考慮運(yùn)用三點(diǎn)定形法尋找相似

2、三角形這種方法就是等量代換法在證明比例式時(shí)，常用到中間比比例中項(xiàng)式的證明，通常涉及到與公共邊有關(guān)的相似問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題的典型模型是射影定理模型，模型的特征和結(jié)論要熟練掌握和透徹理解倒數(shù)式的證明，往往需要先進(jìn)行變形，將等式的一邊化為1，另一邊化為幾個(gè)比值和的形式，然后對(duì)比值進(jìn)行等量代換，進(jìn)而證明之復(fù)合式的證明比較復(fù)雜通常需要進(jìn)行等線(xiàn)代換（對(duì)線(xiàn)段進(jìn)行等量代換），等比代換，等積代換，將復(fù)合式轉(zhuǎn)化為基本的比例式或等積式，然后進(jìn)行證明二、函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題一般有三個(gè)解題途徑 求相似三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，先要分析已知三角形的邊和角的特點(diǎn)，進(jìn)而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知

3、邊與已知三角形的可能對(duì)應(yīng)邊分類(lèi)討論。 或利用已知三角形中對(duì)應(yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)來(lái)推導(dǎo)邊的大小。 若兩個(gè)三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來(lái)表示各邊的長(zhǎng)度，之后利用相似來(lái)列方程求解?！纠}精講】“三點(diǎn)定型”法一類(lèi)：直接利用“左看、右看、上看、下看” 加“三點(diǎn)定型”例1， 已知：ACB=900，CDAB。求證：AC2=ADAB 分析：要證AC2=ADAB，可先證，這時(shí)看等號(hào)的左邊A、C、D三點(diǎn)可確定一個(gè)三角形，而等號(hào)右邊A、C、B三點(diǎn)也可確定一個(gè)三角形，即證ACDABC。都看上面的分子為A、B、C及都看下面的分母為A、C、D也可確定去

4、證ACDABC。例2， 已知：等邊三角形ABC中，P為BC上任一點(diǎn)，AP的垂直平分線(xiàn)交AB、AC于M、N兩點(diǎn)。求證：BPPC=BMCN 二類(lèi)：當(dāng)不能直接用“左看、右看、上看、下看” 加“三點(diǎn)定形”時(shí)，如果有相等的線(xiàn)段時(shí)，可用相等的線(xiàn)段去替換。例1， 已知；AD平分BAC，EF垂直平分AD與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于F。求證：DF2=BFCF分析：由已知可得DF=AF，直接證DF2=BFCF找不出相似三角形，可改證AF2=BFCF，即證，這時(shí)用“左看、右看”或“上看、下看”定出ABFCAF例2， 已知；在RtABC中，A=900，四邊形DEFG為正方形。求證：EF2=BEFC三類(lèi)：既不能直接用“三點(diǎn)定形”

5、，又沒(méi)有相等的線(xiàn)段可以替換時(shí)，可以找中間比或中間量來(lái)轉(zhuǎn)化搭橋，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。例1，已知：梯形ABCD中，AD/BC，AC與BD相交于O點(diǎn)，作BE/CD,交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.求證：OC2=OA.OE分析：要證OC2=OA.OE,這時(shí)我們不論是“左看、右看”還是“上看、下看”都發(fā)現(xiàn)O,C,A,E在同一直線(xiàn)上，并且沒(méi)有相等的線(xiàn)段可以替換，怎么辦呢？這時(shí)，我們可以利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，先證，用“上看、下看”定出OBCODC,然后再證,用同樣的方法確定證OBEODC相似即可。例2，已知：BD、CE是ABC的兩個(gè)高，DGBC，與CE交于F，GD的延長(zhǎng)線(xiàn)與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于H。求證：GD

6、2=GFGH一、等積式、比例式的證明： 等積式、比例式的證明是相似形一章中常見(jiàn)題型。因?yàn)檫@種問(wèn)題變化很多，同學(xué)們常常感到困難。但是，如果我們掌握了解決這類(lèi)問(wèn)題的基本規(guī)律，就能找到解題的思路。 （一）遇到等積式（或比例式）時(shí)，先看是否能找到相似三角形。 等積式可根據(jù)比例的基本性質(zhì)改寫(xiě)成比例式，在比例式各邊的四個(gè)字母中如有三個(gè)不重復(fù)的字母，就可找出相似三角形。 例1、已知：如圖，ABC中，ACB=900，AB的垂直平分線(xiàn)交AB于D，交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于F。求證：CD2=DE·DF。 （二）若由求證的等積式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，則需要進(jìn)行等線(xiàn)段代換或等比代換。有時(shí)還需添加適

7、當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，構(gòu)造平行線(xiàn)或相似三角形。 例2如圖，已知ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線(xiàn)，CFBA，BF交AD于P點(diǎn)，交AC于E點(diǎn)。 求證：BP2=PE·PF。 例3如圖，已知：在A(yíng)BC中，BAC=900，ADBC，E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F。 求證： 。 函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題 例題 如圖1，已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為A（2，1），且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B。求拋物線(xiàn)的解析式；（用頂點(diǎn)式求得拋物線(xiàn)的解析式為）若點(diǎn)C在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)D在拋物線(xiàn)上，且以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；連接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物

8、線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得OBP與OAB相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。例1題圖圖1圖2分析:1.當(dāng)給出四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)應(yīng)以?xún)蓚€(gè)頂點(diǎn)的連線(xiàn)為四邊形的邊和對(duì)角線(xiàn)來(lái)考慮問(wèn)題以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形要分類(lèi)討論:按OB為邊和對(duì)角線(xiàn)兩種情況 2. 函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題一般有三個(gè)解題途徑 求相似三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，先要分析已知三角形的邊和角的特點(diǎn)，進(jìn)而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對(duì)應(yīng)邊分類(lèi)討論。 或利用已知三角形中對(duì)應(yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)來(lái)推導(dǎo)邊的大小。 若兩個(gè)三角形的各邊

9、均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來(lái)表示各邊的長(zhǎng)度，之后利用相似來(lái)列方程求解。 練習(xí)1、已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)及原點(diǎn)（1）求拋物線(xiàn)的解析式（由一般式得拋物線(xiàn)的解析式為）（2）過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)且位于直線(xiàn)下方的拋物線(xiàn)上，任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)平行于軸交軸于點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)及兩坐標(biāo)軸圍成矩形是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由（3）如果符合（2）中的點(diǎn)在軸的上方，連結(jié)，矩形內(nèi)的四個(gè)三角形之間存在怎樣的關(guān)系？為什么？練習(xí)2、如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，將邊BC折疊，使點(diǎn)B落

10、在邊OA的點(diǎn)D處。已知折疊，且。（1）判斷與是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）求直線(xiàn)CE與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）是否存在過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)l，使直線(xiàn)l、直線(xiàn)CE與x軸所圍成的三角形和直線(xiàn)l、直線(xiàn)CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出其解析式并畫(huà)出相應(yīng)的直線(xiàn)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。Oxy練習(xí)2圖CBED練習(xí)3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過(guò)點(diǎn)和（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（由一般式得拋物線(xiàn)的解析式為）（2）若直線(xiàn)與線(xiàn)段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），則是否存在這樣的直線(xiàn)，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出該直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式

11、及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；CBA練習(xí)4圖PyyCxBA練習(xí)3圖（3）若點(diǎn)是位于該二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸右邊圖象上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，試比較銳角與的大?。ú槐刈C明），并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍O練習(xí)4 (2008廣東湛江市) 如圖所示，已知拋物線(xiàn)與軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)（2）過(guò)點(diǎn)A作APCB交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積（3）在軸上方的拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)M，過(guò)M作MG軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由練習(xí)5、已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直角三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，（1）求過(guò)點(diǎn)

12、的直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；點(diǎn)，（2）在軸上找一點(diǎn)，連接，使得與相似（不包括全等），并求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，連接，設(shè)，問(wèn)是否存在這樣的使得與相似，如存在，請(qǐng)求出的值；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由ACOBxy如圖，已知拋物線(xiàn) 的圖像與x軸交于A(yíng)、B 兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.（1）試判斷AOC與COB是否相似;（2）若點(diǎn)D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，DH垂直于x軸，垂足為H，試判斷直角三角形DHA與直角三角形COB是否相似？說(shuō)明理由變式1：若點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上且在x軸上方，過(guò)點(diǎn)M作MG垂直于x軸，垂足為點(diǎn)G，是否存在M，使得AMG與AOC相似變式2：若點(diǎn)D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，點(diǎn)M在拋

13、物線(xiàn)上且在x軸上方，過(guò)點(diǎn)M做x軸的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)G，是否存在M，使得AMG與DCB相似已知:如圖,拋物線(xiàn)與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A（-1，0）、B（0，3）兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D.(1)求該拋物線(xiàn)的解析式； (2)若該拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E. 求四邊形ABDE的面積；(3)AOB與BDE是否相似？如果相似，請(qǐng)予以證明；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由.（注：拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為） 課后練習(xí)：1.已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-1)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)，O是原點(diǎn).（1）求這條拋物線(xiàn)的解析式；（2）設(shè)此拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為A，B（A在B的左邊），問(wèn)在軸上是否存在點(diǎn)P，使以O(shè)，B，

14、P為頂點(diǎn)的三角形與AOC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 2.如圖，已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為A(2，1)，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸的另一交點(diǎn)為B.(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)若點(diǎn)C在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)D在拋物線(xiàn)上，且以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)連接OA、AB，如圖，在x軸下方的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得OBP與OAB相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.AABBOOxxyy圖圖中考鏈接1（10·四川）如圖,已知ABC中，ACB90°以AB 所在直線(xiàn)為x 軸，過(guò)c 點(diǎn)的直線(xiàn)為y 軸建立平面直角坐標(biāo)系此時(shí)，A 點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）， B 點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0） （1）試求點(diǎn)C 的坐標(biāo)（2）若拋物線(xiàn)過(guò)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，求拋物線(xiàn)的解析式（3）點(diǎn)D（ 1，m ）在拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)A 的直線(xiàn)y=x1 交（2）中的拋物線(xiàn)于點(diǎn)E，那么在x軸上點(diǎn)B 的左側(cè)是否存在點(diǎn)P，使以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與ABE 相似？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.2（10·湖北襄樊）如圖，