考前導數(shù)解答題教師版

1、考前導數(shù)解答題（教師版）1.（本小題滿分15分）已知函數(shù)， ，（）（1）求函數(shù)的極值；（2）已知，函數(shù)， ，判斷并證明的單調性；（3）設，試比較與，并加以證明解析：（1），令，得當時，是減函數(shù)；當時，是增函數(shù)當時，有極小值，無極大值（2）=，由（1）知在上是增函數(shù)，當時，即，即在上是增函數(shù)（3），由（2）知，在上是增函數(shù)，則，令得，2.（本小題滿分16分）已知函數(shù)（不同時為零的常數(shù)），導函數(shù)為.（1）當時，若存在使得成立，求的取值范圍；（2）求證：函數(shù)在內至少有一個零點；（3）若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處的切線垂直于直線，關于的方程在上有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.解析：（1）當時，=，其對

2、稱軸為直線，當 ，解得，當，無解，所以的的取值范圍為（2）因為，法一：當時，適合題意當時，令，則，令，因為，當時，所以在內有零點當時，所以在（內有零點因此，當時，在內至少有一個零點綜上可知，函數(shù)在內至少有一個零點法二：，由于不同時為零，所以，故結論成立(3)因為=為奇函數(shù)，所以, 所以，又在處的切線垂直于直線，所以，即因為所以在上是増函數(shù)，在上是減函數(shù)，由解得，如圖所示，當時，即，解得；yO1x-1當時， ，解得；當時，顯然不成立；當時，即，解得；當時，故所以所求的取值范圍是或3. (本小題滿分15分)設，兩個函數(shù)，的圖像關于直線對稱.（1）求實數(shù)滿足的關系式；（2）當取何值時，函數(shù)有且只有一

3、個零點；（3）當時，在上解不等式解析：（1）設是函數(shù)圖像上任一點，則它關于直線對稱的點在函數(shù)的圖像上，.（2）當時，函數(shù)有且只有一個零點，兩個函數(shù)的圖像有且只有一個交點，兩個函數(shù)關于直線對稱，兩個函數(shù)圖像的交點就是函數(shù)，的圖像與直線的切點.設切點為，,當時，函數(shù)有且只有一個零點；（3）當=1時，設 ，則，當時，當時，在上是減函數(shù).又0，不等式解集是4(本小題滿分16分)已知函數(shù)，其中若函數(shù)在它們的圖象與坐標軸交點處的切線互相平行（1）求的值； （2）是否存在直線，使得同時是函數(shù)的切線？說明理由 （3）若直線與、的圖象分別交于、兩點，直線與的圖象有兩個不同的交點、記以、為頂點的凸四邊形面積為，求

4、證： 解析：（1）與坐標軸的交點分別為， 由得，由題意知，即，又，所以 （2）假設存在直線同時是函數(shù)的切線，設與分別相切于點（）， 則或表示為，則 ，要說明是否存在，只需說明上述方程組是否有解由得，代入得，即，令，因為，所以方程有解，則方程組有解，故存在直線，使得同時是函數(shù)的切線 （3）設，則，設， 即在上單調遞增，又，故在上有唯一零點，設為，則，因此， 當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，因此，由于， ，則設，則，令，則， ，故 5（本小題滿分12分）設（），曲線在點處的切線方程為（）(1)求、的值；(2)設集合，集合，若，求實數(shù)的取值范圍解析：(1)，由題設，又切點為在切線上，(2)

5、，即，設，即，若，在上為增函數(shù)，這與題設矛盾；若方程的判別式，當，即時，.在上單調遞減，即不等式成立，當時，方程，設兩根為， ， ，當,單調遞增，與題設矛盾，綜上所述，6(本小題滿分15分)已知函數(shù)（為常數(shù)），其圖象是曲線（1）當時，求函數(shù)的單調減區(qū)間；（2）設函數(shù)的導函數(shù)為，若存在唯一的實數(shù)，使得與同時成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知點為曲線上的動點，在點處作曲線的切線與曲線交于另一點，在點處作曲線的切線，設切線的斜率分別為問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由解析：(1)當時， . 令f (x)0，解得，所以f(x)的單調減區(qū)間為 (2) ，由題意知消去，得有唯一

6、解令，則，所以在區(qū)間，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又，故實數(shù)的取值范圍是 (3)設，則點處切線方程為與曲線：聯(lián)立方程組，得，即，所以點的橫坐標 由題意知，若存在常數(shù)，使得，則，即存在常數(shù)，使得，所以解得， 故時，存在常數(shù)，使；時，不存在常數(shù)，使7(本小題滿分14分)已知a為實常數(shù)，函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調性；(2)若函數(shù)有兩個不同的零點求實數(shù)a的取值范圍；求證：，且（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）解析：（I）的定義域為其導數(shù)當時，函數(shù)在上是增函數(shù)；當時，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，所以在是增函數(shù)，在是減函數(shù).（II）由（I）知，當時，函數(shù)在上是增函數(shù)，不可能有兩個零點當時，在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，此時為函數(shù)

7、的最大值，當時，最多有一個零點，所以，解得，此時，且，令，則，所以在，上單調遞增，所以，即所以的取值范圍是，證法一：.設 . .當 時， ；當 時， ；所以在 上是增函數(shù)，在 上是減函數(shù). 最大值為 .由于 ，且 ，所以 ，所以.下面證明：當時， .設 ，則 .在 上是增函數(shù)，所以當時， .即當時， 由得 .所以.所以 ，即，.又 ，所以，.所以 .即.由，得.所以， . 證法二：由（II）可知函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù).所以.故 第二部分:分析:因為,所以.只要證明:就可以得出結論下面給出證明：構造函數(shù)：則：所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).,則,又于是. 又由(1)可知 .即 8(本小題滿分15分

8、)已知函數(shù)，.（1）設. 若函數(shù)在處的切線過點，求的值； 當時，若函數(shù)在上沒有零點，求的取值范圍；（2）設函數(shù)，且，求證：當時，.解析：（1）由題意，得，所以函數(shù)在處的切線斜率，又，所以函數(shù)在處的切線方程，將點代入，得. （2）方法一：當，可得，因為，所以，當時，函數(shù)在上單調遞增，而，所以只需，解得，從而. 當時，由，解得，當時，單調遞減；當時，單調遞增.所以函數(shù)在上有最小值為，令，解得，所以. 綜上所述，. 方法二：當， 當時，顯然不成立；當且時，令，則，當時，函數(shù)單調遞減，時，函數(shù)單調遞減，當時，函數(shù)單調遞增，又，由題意知. （3）由題意，而等價于，令，則，且，令，則，因，所以， 所以導數(shù)

9、在上單調遞增，于是，從而函數(shù)在上單調遞增，即. 9. (本小題滿分12分)已知函數(shù)()（1）求函數(shù)的極值;（2）若不等式對任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍解析：（1） 函數(shù)的定義域為，令，解得，列表0+單調遞減單調遞減極小值單調遞增由表得函數(shù)的單調減區(qū)間為，單調減區(qū)間為； 所以極小值為，無極大值. （2）當時，對任意，不等式恒成立； 當時，在兩邊取自然對數(shù)，得， 當時，當，不等式恒成立；如果， ，不等式等價于，由(1)得，此時，不等式不恒成立. 當時，則,不等式等價于,由(1)得，此時的最小值為，得.綜上：的取值范圍是. 10. (本小題滿分12分)已知函數(shù)和（其中），（1）求的取值范圍；（2

10、）方程有幾個實根？為什么？解析：（1）， ，即， 當，即時，上式不成立 當，即時，由條件，得到由，解得或由，解得或 m的取值范圍是或 （2）有一個實根，即記，則， 0，故有相異兩實根易知，x1，x2分別是函數(shù)Q（x）的極大值和極小值點， 顯然，于是而為三次函數(shù)的極小值點，故與x軸只有一個交點 方程只有一個實根11（本小題滿分15分）已知函數(shù)，（1）當時，求函數(shù)的極大值；（2）求函數(shù)的單調區(qū)間；（3）當時，設函數(shù)，若實數(shù)滿足：且，求證：解析：函數(shù)的定義域為（1）當時，令得 列表：x+0 極大值 所以的極大值為 （2）令，得，記 （）當時，所以單調減區(qū)間為； （）當時，由得，若，則，由，得，；由，

11、得所以，的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為； 若，由（1）知單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為； 若，則，由，得；由，得的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為綜上所述：當時，的單調減區(qū)間為； 當時，的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為；當時，單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為 （3）（） 由得， (舍)，或 ，由得， 因為，所以（*）式可化為，即令，則，整理，得，從而，即 記，令得（舍），列表：+ 所以，在單調減，在單調增，又因為，所以，從而 12（本小題滿分14分）已知函數(shù)，對一切正整數(shù)，數(shù)列定義如下：，且，前項和為.（1）求函數(shù)的單調區(qū)間，并求值域；（2）證明；（3）對一切正整數(shù)，證明： ；.解析：（1）定義域R，函數(shù)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為 法一：，當時， ，時，為減函數(shù)，；當時， ；函數(shù)的值域為法二：當時，,當時，,函數(shù)的值域為法三：判別式法（略）（2）設,設，則，則，. 當時， 恒成立當且僅當時，令，當且僅當時，當時，由（）, 當時，無解時， ，當時，在無解綜上，除外，方程無解， （3） 顯然, 又,， 所以， 若，則 矛盾.所以 法一： 法二：， 13（本小題滿分16分）設函數(shù)f (x)(x + 1) lnxa (x1)在xe處的切線與y軸相交于點(0，2e)（1）求a的值；（2）函數(shù)f (x)能否在x1處取得極值？若能取得，求此極值；若不能，請說明理由（3）當1 x 1時，g(