《正弦定理、余弦定理的應(yīng)用》教學(xué)案

1、1 3正弦定理、余弦定理的應(yīng)用教學(xué)案三維目標(biāo)1. 知識與技能( 1) 能把一些簡單的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并能應(yīng)用正弦定理、余弦定理及相關(guān)的三角公式解決這些問題；( 2) 體會數(shù)學(xué)建模的基本思想，掌握應(yīng)用解三角形知識解決實(shí)際問題的一般步驟；( 3) 了解常用的測量相關(guān)術(shù)語( 如：仰角、俯角、方位角、視角及坡度、經(jīng)緯度等有關(guān)名詞和術(shù)語的確切含義) ，綜合運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決與測量學(xué)、航海問題等有關(guān)的實(shí)際問題；( 4) 能夠從閱讀理解、信息遷移、數(shù)學(xué)化方法、創(chuàng)造性思維等方面，多角度培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力；( 5) 規(guī)范學(xué)生的演算過程：邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，表述準(zhǔn)確，算法簡練，書寫

2、工整，示意圖清晰2. 過程與方法( 1) 本節(jié)課是解三角形應(yīng)用舉例的延伸，利用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些幾何和物理上的問題；( 2) 讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識，加深對所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識及觀察、歸納、類比、概括的能力3情感、態(tài)度與價(jià)值觀( 1) 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；( 2) 培養(yǎng)學(xué)生提出問題、正確分析問題、獨(dú)立解決問題的能力，并在教學(xué)過程中激發(fā)學(xué)生的探索精神；( 3) 培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力.重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)： ( 1) 綜合運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一

3、些實(shí)際問題；( 2) 掌握求解實(shí)際問題的一般步驟；難點(diǎn)：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖體驗(yàn)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程與思想，認(rèn)識研究實(shí)際問題的方法，是本節(jié)教學(xué)的重中之重， 而突破這一重難點(diǎn)的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生對實(shí)際問題進(jìn)行分析，抽象出數(shù)學(xué)問題，再利用解三角形的知識加以解決教學(xué)方案設(shè)計(jì)( 教師用書獨(dú)具)教學(xué)建議在學(xué)生回憶正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生嘗試?yán)L制知識綱目圖生活中錯(cuò)綜復(fù)雜的問題本源仍然是我們學(xué)過的定理，因此系統(tǒng)掌握前一節(jié)內(nèi)容是學(xué)好本節(jié)課的基礎(chǔ)解有關(guān)三角形的應(yīng)用題有固定的解題思路，引導(dǎo)學(xué)生尋求實(shí)際問題的本質(zhì)和規(guī)律，從一般規(guī)律到生活的具體運(yùn)用，這方面

4、需要多琢磨和多體會測量的主要內(nèi)容是求角和距離，教學(xué)中要注意讓學(xué)生分清仰角、俯角、 張角、視角和方位角及坡度、 經(jīng)緯度等概念，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題解決有關(guān)測量、航海等問題時(shí)，首先要搞清題中有關(guān)術(shù)語的準(zhǔn)確含義，再用數(shù)學(xué)語言( 符號語言、 圖形語言 ) 表示已知條件、未知條件及其關(guān)系，最后用正弦定理、余弦定理予以解決能否靈活求解問題的關(guān)鍵是正弦定理和余弦定理的選用，有些題目只選用其一，或兩者混用，這當(dāng)中有很大的靈活性，需要對原來所學(xué)知識進(jìn)行深入的整理、加工，鼓勵(lì)一題多解，訓(xùn)練發(fā)散思維 借助計(jì)算機(jī)等多媒體工具來進(jìn)行演示，利用動態(tài)效果能使學(xué)生更好地明辨是非、掌握方法引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解斜三角形應(yīng)用題的

5、一般步驟：( 1) 分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖；( 2) 建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型；( 3) 求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；( 4) 檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解教學(xué)流程創(chuàng)設(shè)問題情境引導(dǎo)學(xué)生熟悉實(shí)際測量中的有關(guān)術(shù)語，了解它們的使用.?通過例 1及其變式訓(xùn)練使學(xué)生掌握利用正、余弦定理解決測量問題的方法.?通過例 2及其變式訓(xùn)練使學(xué)生掌握利用正、余弦定理解決航海問題的方法.?通過例 3及其變式訓(xùn)練使學(xué)生掌握正、余弦定理在平面幾何問題中的應(yīng)用.

6、?結(jié)合三個(gè)例題，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟.?歸納整理，進(jìn)行課堂小結(jié)，整體認(rèn)識本節(jié)課所學(xué)知識.?完成當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)，鞏固所學(xué)知識并進(jìn)行反饋矯正.課前自主導(dǎo)學(xué)1. 鞏固正、余弦定理的應(yīng)用，熟練掌握解三角形的步驟與過程 ( 重點(diǎn) )課標(biāo)解讀2能夠運(yùn)用正、 余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題(難點(diǎn) )知識實(shí)際測量中的有關(guān)術(shù)語【問題導(dǎo)思】小明出家門向南前進(jìn)200米，再向東前進(jìn)200米，到達(dá)學(xué)校上課1小明的學(xué)校在家的哪個(gè)方向？【提示】東南方向2能否用角度確定學(xué)校的方位？【提示】能名定義圖示稱仰在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時(shí)與水平線的角夾角續(xù)表名稱定義圖示在同一鉛垂

7、平面內(nèi)， 視線在俯角水平線下方時(shí)與水平線的夾角從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角 ( 指定方向線是指正方向角北或正南或正東或正西，方向角南偏西 60小于 90)( 指以正南方向?yàn)槭歼?，轉(zhuǎn)向目標(biāo)方向線形成的角 )從正北的方向線按順時(shí)針方位角到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角課堂互動探究類型 1測量問題例 11 3 1BC的仰角為60如圖 所示，在塔底處測得山頂，圖131在山頂 C測得塔頂 A的俯角為4520m，求山高CD.(0 1m)，已知塔高 AB為精確到 .【思路探究】可放到中，要求，已知 60， 90，所以只需DCBCDCDDBCCDB求 BD或 CB，在 ABC中， AB的長度已知，三個(gè)內(nèi)角都可以

8、求出，所以可求得CB，則 CD CBsin60.【自主解答】由條件知 60，45，DBCECA ABC 90 60 30， ACB 6045 15， CAB 180 ( ABC ACB)135，在 ABC中，由正弦定理得BCABsin 135 sin 15 ，2sin 135 20 240 BCAB 31.sin 15 16 24在 Rt BCD中，CD BCsin CBD40347331 2 . (m) 山高 CD約為 47. 3 m.規(guī)律方法1本例是典型的測量高度問題，抽象出平面圖形，并且將相應(yīng)數(shù)據(jù)聚化到相應(yīng)三角形中，十分關(guān)鍵2測量高度的有關(guān)問題，大部分都是轉(zhuǎn)化為同一鉛垂面上的解三角形問題

9、，但也有轉(zhuǎn)化為立體圖形的問題變式訓(xùn)練如圖 1 3 2所示，空中有一氣球C，圖132在它的正西方點(diǎn)測得它的仰角為 45，同時(shí)在它的南偏東60的 點(diǎn)，測得它的仰角為 3AB0， A，B兩點(diǎn)間的距離為266米，這兩個(gè)測點(diǎn)均離地1米，則氣球離地多少米？【解】 設(shè)，則，tan60 3x.OC xOA xOB x在 AOB中， AOB90 60 150266，AB2222OAOBcos AOB所以 AB OA OB3 x2 3x2 2x 3x( 2 ) 7x2，77所以 x 7 AB 7 266387(米)，所以氣球離地(381米.7 )類型 2航海問題例 2 甲船在 A處遇險(xiǎn)，在甲船西南 10海里 B處

10、的乙船收到甲船的報(bào)警后，測得甲船是沿著東偏北 105的方向， 以每小時(shí) 9海里的速度向某島靠近， 如果乙船要在 40分鐘內(nèi)追上甲船，問乙船至少應(yīng)以什么速度、向何方向航行？【思路探究】 畫圖分析三角形滿足條件選擇定理列方程求相關(guān)量作答【自主解答】 如圖所示：設(shè)乙船速度為 v海里 / 小時(shí)，在 C處追上甲船， BAC 45 180 105 120，在 ABC中，由余弦定理得，BC2 AC2 AB2 2AC ABcos BAC，2222921022910cos120( 3v) (3) 3 ，整理得 v 21.BCAC又由正弦定理可知sin， BAC sin B2sinBAC393 3 sinACsi

11、n120BC214，B321 B 2147.即 B應(yīng)以每小時(shí) 21海里的速度，按東偏北45 2147 6647的角度航行規(guī)律方法1根據(jù)題意，恰當(dāng)?shù)禺嫵鋈切问墙忸}的基礎(chǔ)，將已知線段數(shù)量和角度，轉(zhuǎn)化為要解三角形的邊長和角度，是解題的關(guān)鍵2有關(guān)角度問題，一般要涉及到方位角、方向角等概念，對這些數(shù)據(jù)，要恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，合理運(yùn)用變式訓(xùn)練在海岸 A處發(fā)現(xiàn)在其北偏東45方向，距 A處 (3 1 ) 海里的 B處有一艘走私船，在A處北偏西 75方向，距 A處 2海里的 C處的緝私船以 103海里 / 時(shí)的速度追走私船，此時(shí)走私船正以10海里 / 時(shí)的速度從 B處向北偏東 30方向逃竄，則緝私船沿什么方向能最快追上

12、走私船？并求出所需要的時(shí)間【解】由題意畫出示意圖如圖所示，設(shè)緝私船最快追上走私船所需時(shí)間為t 小時(shí)，則 CD103t ，BD 10t .在 ABC中， AB3 1， AC 2， BAC45 75 120，2 2 BC AC AB 2AC ABcos BAC223 12223 1cos 120 6.BCAC，sin BACsin ABC3 sin ABCACsin BAC 2 22BC6 2 . BAC 120， ABC 45， BC與正北方向垂直， CBD 90 30 120.BDCD在中，由正弦定理得，BCDsin BCD sin CBDBDsin CBD 10t sin 120 1所以 s

13、in BCDCD103t 2.30或 150(舍去 ) ，BCDBCD6 BDC306，10t 6， t 10 ， BD BC6緝私船沿北偏東60方向行駛能最快追上走私船，所需時(shí)間為10 小時(shí) .類型 3平面幾何問題例 3如圖 1 3 3所示，在 ABC中， AC b， BC a，2a b，D是 ABC內(nèi)一點(diǎn)，且 A圖133D a， ADB C，問 C為何值時(shí)，凹四邊形ACBD的面積最大？并求出最大值【思路探究】在三角形 ABD和三角形 ABC中分別運(yùn)用余弦定理，可先求出邊 BD的長， 進(jìn)而表達(dá)出凹四邊形ACBD的面積【自主解答】設(shè)x，在和中，BDABCABD根據(jù)余弦定理，2222C，得 AB

14、 a b abcos222 2 cos 22 2axcos，AB axaxADB xaC a2 b2 2abcos C x2a2 2axcos C，即 x2 2axcos C ( 2acos C b) b 0，解得 x b 2acos C，或 x b( 舍去 ) 于是凹四邊形 ACBD的面積11 ABC ABDsin2axsin ADBS SS2abC111 2absinC 2a( b 2acos C)sinC 2a2sin 2C.1當(dāng) C 4 時(shí)，凹四邊形ACBD的面積最大，最大值為2a2，此時(shí) BD b 2a.規(guī)律方法1本例中，以角C為自變量，將凹四邊形ACBD的面積表示為角C的三角函數(shù)，

15、從而求解最值問題2求解平面圖形的面積最值問題，關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)卦O(shè)立角度為自變量，建立目標(biāo)函數(shù)變式訓(xùn)練如圖 1 3 4所示，已知扇形OAB，圖134O為頂點(diǎn)，圓心角 AOB602cm ，在弧 AB上有一動點(diǎn)P，由 P引平行于 OB的直，半徑為線和相交于 ，. 求的面積的最大值以及此時(shí)的值OACAOPPOC【解】 PC OB， ACP AOB60. PCO 120， OPC 60 .在 OCP中，由正弦定理得OPOCsin 120 sin60 ， OCOPsin 60 2sin60 sin 120sin 120 ，112sin60 sin S 2 OC OPsin 2sin 12 0 OCP22sin

16、sin60 sin 120 3sincos sin 120 sin 231cos 212 sin 22cos260 2sin 120sin 1202cos 260 13.故當(dāng) cos( 2 60)1，即當(dāng) 2 60， 30時(shí)，3S OCP有最大值3 cm2.易錯(cuò)易誤辨析過程不嚴(yán)謹(jǐn)，靠主觀臆判而致誤典例如圖 13 5所示的是曲柄連桿裝置示意圖，連桿AC c ，圖135曲柄 AB和曲軸 BL所成的角為 ，連桿 AC和曲軸 BL間的夾角為 ，則 取什么值時(shí)， sin最大？【錯(cuò)解】點(diǎn) A在圓 B上運(yùn)動，要使 ，即 ACB最大，只需點(diǎn) A在最高或最低點(diǎn)即可，r此時(shí)， ABC中， ABC90，即 90時(shí)，

17、 AB r ，AC c， sin sin ACB c為所求的最大值【錯(cuò)因分析】上述解答中想當(dāng)然地認(rèn)為點(diǎn)A在最高或最低點(diǎn)時(shí)，sin最大，雖然結(jié)論正確，但過程不嚴(yán)謹(jǐn)【防范措施】建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題，定量分析ABAC【正解】在 ABC中，由正弦定理，得sin sin ，r sin csin .由對稱性可知，只需討論 0， 即可rr sin csin c，當(dāng)且僅當(dāng) sin 1，即 2 時(shí)， sin最大1基礎(chǔ)知識：( 1) 有關(guān)術(shù)語：仰角、俯角、方向角、方位角；( 2) 利用解三角形，求解實(shí)際應(yīng)用題的方法及步驟2基本技能：( 1) 測量問題；( 2) 航海問題；( 3) 力學(xué)問題；( 4

18、) 最值問題3思想方法：( 1) 函數(shù)思想；( 2) 轉(zhuǎn)化思想；( 3) 數(shù)形結(jié)合思想當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)1從 A處望 B處的仰角為 ，從 B處望 A處的俯角為 ，則 ， 的關(guān)系是 _【解析】如圖所示， ，.AD BC【答案】 2如圖 1 3 6所示， A、 B兩點(diǎn)中間有座山，從點(diǎn)C觀測， AC 60 m， BC 160 m， ACB 60，則 AB_.圖136【解析】AB22CA CB 2CA CBcosC 6021602260160cos 60 140(m)【答案】140 m3有一長為 10 m的斜坡，坡角為75，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過加長坡面的方法將它的坡角改為30，則坡底要延長_m.

19、【解】如圖所示，設(shè)將坡底加長到B時(shí)，坡角為 30.依題意， B 30， BAB45， AB 10 m.BBsin BAB在中，根據(jù)正弦定理得ABsin B，ABB2ABsin4510 2 1則 BB sin 302 102(m) ，即當(dāng)坡底伸長102 m時(shí)，斜坡的坡角將變?yōu)?0.【答案】102圖1374如圖 13 7所示，某人在塔的正東C處沿著南偏西 60的方向前進(jìn) 40 m到D處以后，望見塔在東北方向若沿途測得塔的最大仰角為30，求塔的高度【解】在 BDC中， CD40m， BCD90 60 30 ， DBC 45 90 135.CDBD由正弦定理，得，sin DBC sinBCDsin B

20、CD40sin 30 CD20 2(m) sin DBCsin 135BDAB在 Rt ABE中， tan AEB ， AB為定值，故要使 AEB最大，需要 BE最小BE即 BE CD，這時(shí) AEB 30.在 Rt BED中， BDE 180 135 30 15， BE BDsin BDE 20 2sin 15 10( 3 1)(m) 在 Rt ABE中， ABBEtan AEB 10( 3 1)tan 30 10 3 ( 3 3)(m) ，10即塔的高度為3 ( 33)m.課后知能檢測一、填空題1在相距 2千米的 A、 B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)點(diǎn)C，若 CAB75， CBA 60，則 A、 C兩點(diǎn)之

21、間的距離為 _千米 ACB18075 60 45ACAB【解析】sin 60 sin 45 ，由正弦定理得2， 6.sin 45 AC【答案】62200米高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30 60在和，則塔高為 _米【解析】如圖所示，在 Rt中， 60，EBDDBE3 BE 200 3 ，在 Rt CBE中， CE BEtan3020033200 3 33，400 CD 3 (米)400【答案】33CD是京九鐵路線上的一條穿山隧道，開鑿前，在 CD所在水平面上的山體外取點(diǎn)A，B，2并測得四邊形 ABCD中， ABC 3 ， BAD3， ABBC 400米， AD 250米，則應(yīng)開鑿

22、的隧道 CD的長為 _如圖所示，在 ABC中， ABBC， AC AB【解析】400400米， ABC 3米，. 2.333BACCADBADBAC 3在 CAD中，由余弦定理，得CD2 AC2 AD22ACADcos CAD 4002 2502 2 400 250 cos 3 122500， CD 350( 米 ) 【答案】350米4某人朝正東方向走xkm后，向朝南偏西60的方向走3 km ，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好3km，那么 x的值為 _【解析】如圖所示， ABC 90 60 30， ( 3) 2 32 x2 2 3xcos 30 x2 3 3x 6 0 x 3或 2 3【答案】3或235如圖

23、 13 8所示，甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60的方向，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的3倍，甲船為了盡快追上乙船，則應(yīng)取北偏東 _( 填角度 ) 的方向前進(jìn)【解析】圖138由題意知， AC3BC， ABC 120，由正弦定理知，BCACsin 120 ，sin CAB1 sin CAB 2， CAB 30， CAD60 30 30 .【答案】306 ( 2013威海高二檢測 ) 上海世博園中的世博軸是一條1000 m長的直線型通道，中國館位于世博軸的一側(cè)現(xiàn)測得中國館到世博軸兩端的距離相等，并且從中國館看世博軸兩端的視角為 120. 據(jù)此數(shù)據(jù)計(jì)算，中國館到世博軸其中一

24、端的距離是_m.【解析】如圖所示，設(shè) A， B為世博軸的兩端點(diǎn)， C為中國館，由題意知ACB120，于 ，在Rt 500 m，60，1 0003且 ，過 作 的垂線交中，3ACBC CABAB DCBDDBDCBBCm.【答案】10003371m/s ，小船的速度為2m/s，為使所走路程最短，小有一兩岸平行的河流，水速為船應(yīng)朝 _方向行駛【解析】如圖所示， AB是水速， AD為船速， AC是船的實(shí)際速度，且AC AB，在 Rt ABC中， cosABAB122，ABCBC AD2 ABC 45， DAB 90 45135.【答案】與水流向成 1358一艘船向正北航行，看見正西方有相距10海里的

25、兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60，另一燈塔在船的南偏西75，則這只船的速度是每小時(shí) _海里【解析】先畫出示意圖， 設(shè)半小時(shí)行程為s海里，所以 stan75 stan60 10，即 ( 23) s 3s 10， s 5，速度為 10海里 / 時(shí)【答案】 10二、解答題9在某次軍事演習(xí)中，紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場形勢，在兩圖1393a個(gè)相距為2的軍事基地和 測得藍(lán)方兩支精銳部隊(duì)分別在處和處，且 30，C DABADB BDC 30， DCA 60， ACB 45，如圖 1 3 9所示，求藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)的距離【解】 ADC ADB CDB60，又 ACD 6

26、0， DAC 60，3 AD CD AC 2 a.在 BCD中， DBC 180 30 105 45，DBCD sin BCD sin DBC，sin BCD BD CD sin DBC6 2343 3 2 a24 a.2在 ADB中， AB2 AD2 BD22 ADBDcos ADB33333333 4a2 (4a) 2 22 a4a2 8a2，66 AB4 a，藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)的距離為4 a.10某海上養(yǎng)殖基地A，接到氣象部門預(yù)報(bào)，位于基地南偏東60相距 20(3 1) 海里的海面上有一臺風(fēng)中心，影響半徑為20海里，正以每小時(shí)102海里的速度沿某一方向勻速直線前進(jìn)，預(yù)計(jì)臺風(fēng)中心將從基地A

27、東北方向刮過且(3 1) 小時(shí)后開始影響基地A，持續(xù)2小時(shí)求臺風(fēng)移動的方向【解】如圖所示， 設(shè)預(yù)報(bào)時(shí)臺風(fēng)中心為B，開始影響基地 A時(shí)臺風(fēng)中心為 C，基地 A剛好不受影響時(shí)臺風(fēng)中心為 D，則 B、 C、D在一直線上，且AD 20， AC 20.由題意得 AB 20(3 1) ，DC 202， BC(31) 102.在 ADC中， DC2 AD2 AC2， DAC 90， ADC 45.在中，由余弦定理得ABC222AC AB BC3cosBAC 2 2 ，AC AB BAC 30.又 B位于 A南偏東 60， 60 30 90180， D位于 A的正北方向，又ADC 45，臺風(fēng)移動的方向?yàn)橄蛄緾

28、D的方向，即北偏西45方向11某建筑工地上，一工人從廢料堆中找到了一塊扇形薄鋼板，其半徑為 R，中心角為 60.該工人決定將此廢鋼板再利用，從中截一塊內(nèi)接矩形小鋼板備用，如圖1 310所示，問：他應(yīng)怎樣截取，會使截出的小鋼板面積最大？(1)(2)圖1310【解】在圖 ( 1) 中，在 AB 上取一點(diǎn) P，過 P作 PN OA于 N，過 P作 PQ PN交 OB于 Q，再過Q作QM OA于 M.設(shè) AOP x， PNRsinx，在 POQ中，OPPQ由正弦定理，得 sin180 60 sin60 x .2 3 PQ 3 Rsin( 60 x) ，2333 S PN PQ2xsin(602260

29、cos60213 R sin x) 3R cos(x)3R(132) 6 R2.3當(dāng) cos( 2x 60) 1即x 30時(shí)， S取得最大值 6 R2.在圖 ( 2) 中，取AB中點(diǎn) C，連結(jié) OC，在 AB 上取一點(diǎn) P，過 P作 PQ OC交OB于 Q，過 P作 PN PQ交 AB 于 N，過 Q作 QM PQ交 CA于 M，連結(jié) MN得矩形 MNPQ， OC與 AP交于 D.設(shè) POC x，則 PD Rsinx.在 POQ中，由正弦定理得：RRsin180 30 sin30 x， PQ 2Rsin( 30 x) S 2PD PQ 4R2sin xsin( 30 x) 2R2cos( 2x

30、 30) cos 30 2R2( 1 cos 30) ( 2 3) R2( 當(dāng) x 15時(shí)取“” ) 當(dāng)x 15時(shí)，取得最大值 ( 2 3)2.SR32226R(3) R，作 AOP301，按圖 () 劃線所截得的矩形小鋼板面積最大.教師備課資源備選例題如圖所示，墻上有一個(gè)三角形燈架OAB，燈所受重力為10 N， OA、 OB都是細(xì)桿，只受沿桿方向的力，試求桿 OA， OB所受的力的大小( 精確到0.1N)(sin50 0.77， sin70 0 94) .【思路探究】根據(jù)力的合成與分解法則建立數(shù)學(xué)模型，將物理學(xué)中的問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題設(shè)O點(diǎn)沿 OE方向所受到的力為【自主解答】F，作 OE

31、F，將 F沿 A到 O，O到 B的兩個(gè)方向進(jìn)行分解，即作 ?，OCED 設(shè) OD CE F1， OC F2，由題設(shè)條件可知：| OE| 10， OCE50， OEC70， COE 180 50 70 60.在 OCE中，由正弦定理得：| F| F1| F2|sin 50 sin 60 sin 70 ，10sin 60 11210sin 70 12.2.12 | F | sin 50 . ， | F | sin 50答：燈桿所受的力的大小為11. 2N ，燈桿所受的力的大小為 12. 2 N.AOOB規(guī)律方法1用數(shù)學(xué)知識研究物理問題的方法是：首先把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即將物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型，然后利用建立起來的數(shù)學(xué)模型解釋和回答相關(guān)的物理現(xiàn)象2正弦定理、余弦定理在力學(xué)問題中經(jīng)常用到，畫出受力分析圖，轉(zhuǎn)化為解三角形的問題進(jìn)行求解備選變式平面內(nèi)三個(gè)力 F 、F 、F 作用于同一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài)，已知|F|1N，|F|6 2212312N ， F1 與F2 的夾角為 45，求 F3的大小及 F1與 F3的夾角【解】如圖所示，設(shè) F1與 F2的合力為 F，則 | F| | F3| ，