系泊系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問(wèn)題解析_譚航原稿資料

1、2011 年 11 月第 1卷 第1期數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用Mathematical Modeling and Its ApplicationsDec.2011Vol.1 No.1“系泊系統(tǒng)的設(shè)計(jì)”問(wèn)題解析譚航 1，萬(wàn)麗萍 1，梁雪松 1（1. 成都師范學(xué)院 物理與工程技術(shù)學(xué)院，四川 成都 611130）摘要：本文就 2016年“高教社杯”全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 A 題“系泊系統(tǒng)的設(shè)計(jì)”給出了一種求解方 法。關(guān)鍵詞： 系泊系統(tǒng)；虛功原理；懸鏈線(xiàn)；傾斜角度；重物球；吃水深度中圖分類(lèi)號(hào)： 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： 文章編號(hào)：1 題目“系泊系統(tǒng)的設(shè)計(jì)”近淺海觀測(cè)網(wǎng)的傳輸節(jié)點(diǎn)由浮標(biāo)系統(tǒng)、 系泊系統(tǒng)和水聲通訊系統(tǒng)組成 （

2、如圖 1 所示）。 某型傳輸節(jié)點(diǎn)的浮標(biāo)系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為底面直徑2m 、高 2m 的圓柱體，浮標(biāo)的質(zhì)量為 1000kg。系泊系統(tǒng)由鋼管、鋼桶、重物球、電焊錨鏈和特制的抗拖移錨組成。錨的質(zhì)量為600kg，錨鏈選用無(wú)檔普通鏈環(huán)，近淺海觀測(cè)網(wǎng)的常用型號(hào)及其參數(shù)在附表中列出。鋼管共 4 節(jié)， 每節(jié)長(zhǎng)度 1m，直徑為 50mm，每節(jié)鋼管的質(zhì)量為 10kg 。要求錨鏈末端與錨的鏈接處的切 線(xiàn)方向與海床的夾角不超過(guò) 16 度錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，否則錨會(huì)被拖行，致使節(jié)點(diǎn)移 位丟失。水聲通訊系統(tǒng)安裝在一個(gè)長(zhǎng)1m、外徑 30cm 的密封圓柱形鋼桶內(nèi)，設(shè)備和鋼桶總質(zhì)量為 100kg。鋼桶上接第 4 節(jié)鋼管，下接電焊錨

3、鏈。鋼桶豎直時(shí)，水聲通訊設(shè)備的工作 效果最佳。 若鋼桶傾斜， 則影響設(shè)備的工作效果。 鋼桶的傾斜角度 （鋼桶與豎直線(xiàn)的夾角） 超過(guò) 5 度時(shí)，設(shè)備的工作效果較差。為了控制鋼桶的傾斜角度，鋼桶與電焊錨鏈鏈接處可懸掛重物球。圖 1 傳輸節(jié)點(diǎn)示意圖（僅為結(jié)構(gòu)模塊示意圖，未考慮尺寸比例）數(shù)學(xué)建模欄目名稱(chēng)系泊系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問(wèn)題就是確定錨鏈的型號(hào)、 長(zhǎng)度和重物球的質(zhì)量， 使得浮標(biāo)的吃水深 度和游動(dòng)區(qū)域及鋼桶的傾斜角度盡可能小。問(wèn)題 1 某型傳輸節(jié)點(diǎn)選用 II 型電焊錨鏈 22.05m，選用的重物球的質(zhì)量為 1200kg 。 現(xiàn)將該型傳輸節(jié)點(diǎn)布放在水深 18m、海床平坦、 海水密度為 1.025×10

4、3kg/m 3的海域。 若海 水靜止，分別計(jì)算海面風(fēng)速為12m/s 和 24m/s 時(shí)鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀、浮標(biāo)的吃水深度和游動(dòng)區(qū)域。問(wèn)題 2 在問(wèn)題 1 的假設(shè)下，計(jì)算海面風(fēng)速為 36m/s 時(shí)鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度、 錨鏈形狀和浮標(biāo)的游動(dòng)區(qū)域。請(qǐng)調(diào)節(jié)重物球的質(zhì)量，使得鋼桶的傾斜角度不超過(guò) 5 度，錨 鏈在錨點(diǎn)與海床的夾角不超過(guò) 16 度。問(wèn)題 3 由于潮汐等因素的影響，布放海域的實(shí)測(cè)水深介于 16m20m 之間。布放點(diǎn) 的海水速度最大可達(dá)到 1.5m/s、風(fēng)速最大可達(dá)到 36m/s。請(qǐng)給出考慮風(fēng)力、水流力和水深 情況下的系泊系統(tǒng)設(shè)計(jì)，分析不同情況下鋼桶、鋼管的傾斜角度、錨鏈

5、形狀、浮標(biāo)的吃水 深度和游動(dòng)區(qū)域。說(shuō)明 近海風(fēng)荷載可通過(guò)近似公式F=0.625×Sv2(N) 錯(cuò)誤！未找到引用源。 計(jì)算，其中 S 為物體在風(fēng)向法平面的投影面積 (m2)， v 為風(fēng)速 (m/s)。近海水流力可通過(guò)近似公式 F=374 ×Sv2(N)計(jì)算，其中 S為物體在水流速度法平面的投影面積 (m 2)，v 為水流速度 (m/s)。表 1 錨鏈型號(hào)和參數(shù)表型號(hào)長(zhǎng)度(mm)單位長(zhǎng)度的質(zhì)量 (kg/m)I783.2II1057III12012.5IV15019.5V18028.12表注：長(zhǎng)度是指每節(jié)鏈環(huán)的長(zhǎng)度。2 問(wèn)題分析與模型假設(shè)2.1 問(wèn)題分析系統(tǒng)由浮標(biāo)、鋼管、鋼桶、重

6、物球、錨鏈、以及特制抗拖移的錨組成，其測(cè)量系統(tǒng)安 放在鋼桶里面。測(cè)量設(shè)備需要正常工作，鋼桶的傾斜角度這一個(gè)條件首先要滿(mǎn)足，然后要 確保吃水深度和浮標(biāo)的游動(dòng)區(qū)域要盡可能的小。浮標(biāo)的吃水深度與潛在海水中的重物球、 鋼管、鋼桶、錨鏈、以及特制的錨對(duì)錨鏈向下的拉力直接相關(guān)，而鋼管和鋼桶的質(zhì)量是確2011 年 11 月第 1卷 第1期數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用Mathematical Modeling and Its ApplicationsDec.2011Vol.1 No.1定的，吃水深度主要取決于重物球和懸于海水中的錨鏈質(zhì)量有關(guān)。另外，還應(yīng)該滿(mǎn)足錨鏈 與錨的交點(diǎn)處的傾斜角度要小于 16 度這一特殊要求。一般情

7、況下，懸在海水中的錨鏈的質(zhì)量都是比較小的，因此，吃水深度的絕大部分主 要由重物球來(lái)提供，因此，可以考慮把錨鏈摘除下來(lái)進(jìn)行考慮，這種情況下，重物球、鋼 桶、鋼管和浮標(biāo)構(gòu)成一個(gè)靜態(tài)的系統(tǒng)， 就縱向受力平衡的情況下， 可以獲得一個(gè)吃水深度， 本文設(shè)為 h0，然后在這個(gè)基礎(chǔ)上逐漸的增加吃水深度，那么增加的吃水深度是不是一個(gè)合 適的結(jié)果要看吃水深度的增加量，導(dǎo)致浮標(biāo)產(chǎn)生更大的向上的浮力，這部分的浮力要靠懸 浮在海水中的錨鏈的重力和特制的錨向下的拉力之和，錨對(duì)錨鏈的向下的拉力主要是要看 錨鏈與錨的交點(diǎn)處的傾斜角度的情況。 當(dāng)確定一個(gè)吃水深度的相對(duì)于 h0 的增加量后， 對(duì)于 系統(tǒng)而言，風(fēng)和水流產(chǎn)生的水平方

8、向的力就是確定的，而系統(tǒng)要平衡，考慮風(fēng)力和水流力 都朝右邊，那么錨對(duì)錨鏈就有向左的拉力，并且在錨鏈的任何一個(gè)位置向左邊的拉力都等 于向右邊的風(fēng)力與水流力之和，因此，只要知道了錨鏈與錨之間的交點(diǎn)處的傾斜角度，錨 向下的拉力就可以確定。如果該傾斜角度為 0 度，那么吃水深度的增加量就是懸于海水中 的錨鏈的重量導(dǎo)致的。當(dāng)吃水深度的增加量確定后， 就需要確定錨鏈與鋼桶的交點(diǎn)的坐標(biāo)， 這時(shí)候考慮錨鏈 為理想的線(xiàn)纜，錨鏈連續(xù)且密度處處均勻，可以考慮為錨鏈建立懸鏈線(xiàn)方程，錨鏈與錨的 交點(diǎn)處設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 當(dāng)選取一個(gè)合適的交點(diǎn)的傾斜角度后， 整個(gè)錨鏈的方程就是確定的， 因此，錨鏈與鋼桶處的交點(diǎn)就是確定的。那么

9、這條錨鏈的形狀是否正確，還需要考慮它與 鋼桶的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與鋼桶長(zhǎng)度、鋼管長(zhǎng)度在縱向的投影長(zhǎng)度、及與吃水深度之和是不是 等于海水的深度。從建模問(wèn)題一和二看，錨鏈型號(hào)、錨鏈長(zhǎng)度和重物球的質(zhì)量都是給定值，這時(shí)候能夠 優(yōu)化的問(wèn)題就是吃水深度、鋼桶傾斜角度、錨鏈與錨之間的交點(diǎn)處的傾斜角度的設(shè)計(jì)。對(duì) 于問(wèn)題一，當(dāng)風(fēng)的速度比較小的時(shí)候，錨鏈有可能有一段拖地的存在，因此，在計(jì)算過(guò)程 中，如果計(jì)算出來(lái)的錨鏈長(zhǎng)度小于給定長(zhǎng)度，也就是有一段拖地的情況，那么這種情況下 就錨鏈與錨的交點(diǎn)的傾斜角度為 0 度。而當(dāng)速度增加到適中情況時(shí)，錨鏈估計(jì)處于崩緊狀 況，但是如果用錨鏈與錨的交點(diǎn)的最大傾斜角度 16 度代入進(jìn)行計(jì)算

10、， 估計(jì)會(huì)發(fā)生計(jì)算出的 錨鏈長(zhǎng)度比實(shí)際給定的錨鏈長(zhǎng)度短，這時(shí)候又應(yīng)該考慮更小的角度進(jìn)行計(jì)算。當(dāng)不管如何 調(diào)整該角度，在重物球的質(zhì)量不變的情況下，如果風(fēng)速增加到問(wèn)題二的速度，估計(jì)沒(méi)有滿(mǎn) 足要求的解，應(yīng)該增加重物球質(zhì)量，直到找到合適的解。對(duì)于模型第三問(wèn)， 因?yàn)樾枰x擇錨鏈型號(hào)， 而型號(hào)主要是單位長(zhǎng)度的質(zhì)量對(duì)設(shè)計(jì)有影欄目名稱(chēng)數(shù)學(xué)建模響，但是錨鏈的密度都不是非常大，因此首先還是需要考慮增加重物球的質(zhì)量來(lái)找到合適的解，然后再優(yōu)化。2.2 模型假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明建模前，先做如下假設(shè)：(1) 假設(shè)海水密度不隨深度改變，并且不考慮海水內(nèi)部浪涌產(chǎn)生的影響；(2) 錨鏈處處密度相同且連續(xù)；(3) 假設(shè)浮標(biāo)在整個(gè)游動(dòng)過(guò)

11、程中不發(fā)生傾斜現(xiàn)象；(4) 假設(shè)風(fēng)向和水流方向都是水平方向；(5) 假設(shè)鋼管、錨鏈?zhǔn)艿降乃髁梢院雎圆挥?jì)，錨鏈的浮力也不考慮；(6) 假設(shè)重物球的密度處處均勻，并且重物球的材質(zhì)為普通鋼材，密度給定；(7) 假設(shè)鋼管、鋼桶是剛性構(gòu)件，不變形，錨鏈不會(huì)發(fā)生彈性形變；(8) 假設(shè)各個(gè)構(gòu)件之間的鏈接是理想的鉸接形式，不考慮鉸接處內(nèi)部摩擦力。 論文用到的符號(hào)見(jiàn)表二所示。表 2 建模符號(hào)說(shuō)明符號(hào)說(shuō)明符號(hào)說(shuō)明MF浮標(biāo)質(zhì)量 (kg)鋼桶中軸線(xiàn)與水平傾斜角度 ( °)MG鋼管質(zhì)量 (kg)錨與錨鏈交點(diǎn)切向量與水平夾角 ( °)MT鋼桶質(zhì)量 (kg)r1海水密度 (1025kg/m3)MB重

12、物球質(zhì)量 (kg)r2重物球密度 (7800kg/m3)ML懸于海水中的錨鏈質(zhì)量(kg)r3錨鏈密度 (kg/m)MM錨的質(zhì)量 (kg)(X F,Y F )浮標(biāo)幾何中心i第 i 根鋼管水平傾斜角度(°)H海水深度 (m)L懸于海水中的錨鏈長(zhǎng)度(m)h浮標(biāo)吃水深度 (m)g重力加速度FML錨對(duì)錨鏈向下的拉力 (N)風(fēng)和水對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的合力(N)H海水深度 (m)3 模型建立2011 年 11 月第 1卷 第1期數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用Mathematical Modeling and Its ApplicationsDec.2011Vol.1 No.1為錨鏈建立懸鏈線(xiàn)模型 1-3,6 ，假設(shè)坐標(biāo)

13、原點(diǎn)在錨與錨鏈鉸接處， 并且該鉸接是理想的。 懸鏈線(xiàn)模型如果 2所示。假設(shè)錨鏈上某 A，B兩點(diǎn)， A處錨對(duì)錨鏈具有一個(gè)拉力 FML，在 B 點(diǎn)處有沿切線(xiàn)方向有拉力 T ，因?yàn)轱L(fēng)和水對(duì)整個(gè)系統(tǒng)有沿著軸正方向，合力假設(shè)為。 則錨鏈處處向左邊的拉力為，錨鏈某處受到向下的拉力為從原點(diǎn)到該處錨鏈重力與錨對(duì) 錨鏈向下的拉力之和。Tcos( ) R,T sin( ) r3gS FML(1)其中 S為 A 到B 點(diǎn)的錨鏈長(zhǎng)度， FML為錨對(duì)錨鏈向下的拉力， R錨鏈?zhǔn)艿降南蛴疫叺睦Γ渲?FML Rtan( ) 。對(duì)于 B 點(diǎn)而言有：dydxtan( )r3gS FML(2)由弧長(zhǎng)公式 (dS)2 (dx)2

14、 (dy)2 ,有：dS 1 (ddyx)2dx(3)對(duì)方程 (2) 微分，獲得：(4)d 2y r3g 1 (dy)2 dx2 R 1 (dx)假設(shè) p dy ,則有dxdpdxr3Rg 1 (p)2 ,(5)分離變臉?lè)e分可得：ln( p 1 p2) r3g x c (6) R如果在 x 0,dy 0 ，這就是普通的懸鏈線(xiàn)問(wèn)題 1,6，這也是錨鏈在原點(diǎn)處的切向量與dx海床相平行的情況，這種情況下，錨鏈長(zhǎng)度會(huì)最長(zhǎng)。在設(shè)計(jì)過(guò)程中，錨鏈在原點(diǎn)處的切向量與海床成一個(gè)角度 。因此，考慮條件 x 0,dy tan( ) tan(16 ) 0.2867 。容易 dxr3gx獲得 p 1 p2 c1e R

15、,c1 ec ，得到：2 2r3gxr3g x(7)c12e R - 2 pc1e R通過(guò)化簡(jiǎn)得到：欄目名稱(chēng)數(shù)學(xué)建模p dy c1 er3Rgxdx 2- 1 e r3Rgx2c1(8)積分后得到：r3gc1 R R x y 1 e R2 r3gR e 3Rx2c1 r3gc2(9)又因?yàn)闂l件 y(0) 0,y(0) tan( ) ,獲得系數(shù)為：(10)c1 R1 Rc1 tan( ) sec( ),c22 r3g 2c1 r3g3.2 虛功原理建立傾斜角度的模型7為了計(jì)算鋼管、鋼桶的傾斜角度，我們假設(shè)浮標(biāo)的幾何中心的位置坐標(biāo)為(XF,YF) ，并且假設(shè)四根鋼管的幾何中心位置為YA,YB,YC

16、,YD，鋼桶的幾何中心為 (XE,YE) ，假設(shè)鋼桶與錨鏈交接處的坐標(biāo)為 ( x0 , y0 ) 。表達(dá)式分別如下所示：FYFx0y0 sinYAy0cos cos 4 cos 3 cos 2 cos 1, sin 4 sin 3 sin 2 sin 1 1, 1sin 3 sin 2 sin 1,2sinsin 4YBy0sinsin 41sin 3 sin 2,2YCy0sinsin 412sin 3,(11)YDy0 sin1sin2YEy0 1sin ,21 X E x0 1cos ,2對(duì)位置變量進(jìn)行變分獲得：2011 年 11 月第 1卷 第1期數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用Mathematica

17、l Modeling and Its ApplicationsDec.2011Vol.1 No.1XFYF-sin sin 4 4 sin 3 coscos 4 43 sin 2 2 sin 1 1, cos 3 3 cos 2 2 cos 1 1,YAcoscos 4 41cos 3 3 cos 2 2 cos 1 1,2YCXEcoscoscoscos 4 4cos 4 41cos 3 3 cos 2 2,21cos 3 3,21cos 4 4,21cos ,2-1sin,2位置變分就是虛位移，在這些方向上的力分別為：2 2 2 2 2 R 0.625 2 (2 h) v1 374 2 h

18、 v2 374 0.3 1 v2 374 r v2 ,22FXF 0.625 2 (2 h) v1 374 2 h v2 ,FYF r1g h MF g,2FYA r1g0.0252 MG g,2FYB r1g 0.025 M G g,2FYC r1g0.025 M G g,2FYD r1g0.0252 M G g,2 4 3FYE r1g 0.15 1 r1g r32FXE 374 0.3 1 v2 374 r v2Rr1g r3L( x0 )22(12)(13)43MTg r2g3 r r3gL(x0) FML ,3其中 L(x0) 表示錨鏈從原點(diǎn)到錨鏈與鋼桶鉸接處的長(zhǎng)度，xL(x)0)2

19、dx ，根據(jù)錨鏈方程 (9) ，得到：(rgRc2 rRge2r3gxR) ( (c21er3gxRL(x) - r3gc1r3g2r3g 2 1e R 2 c1r3g1 r3gx 221c1 e R)2 1) (R2r3gc1rRg) ( (c21 21c ) 1)r3g2r g 2 2c1(14)2r3g1e3 R 12c1虛功原理，指的是方程 (13)這些力在虛位移 (12) 這些方向上做的功之和為 0，則虛功為 如下表達(dá)式：PFXFXFFYFYFFYAYAFYB YBFYCYCFYDYDFYEYEFXEXE 0, (15)對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)是力學(xué)系統(tǒng)考慮的自由度，分別為1， 2， 3， 4

20、， ，把各個(gè)力和虛位數(shù)學(xué)建模欄目名稱(chēng)移代入方程 (15) 獲得虛功， 而虛功要為 0，而廣義坐標(biāo)的虛位移1， 2， 3， 4，不為 0，因此只有對(duì)應(yīng)的廣義力為 0，得：sin FXF1sin FXE1c o sFYE 4c o sFYAc o sFYE 0,22sin 4FXFcos4FYF7co s4FYA 0,2sin 3FXFcos3FYF5co s3FYA 0,2sin 2FXFcos2FYF3co s2FYA 0,2sin 1FXFcos1FYF1co s1FYA 0,2 1 YA(16)因此，可以獲得：n ()FYF4YYA1FYEYFYFXF1F,ta n 4()72 YYAXE

21、XFYFn 3(), t a n 2()(17)XFXFFYFn 1()12 YYAXF在前面幾個(gè)方程中，需要滿(mǎn)足 85 95 。其中力 R 考慮了風(fēng)對(duì)浮標(biāo)的作用、水 流對(duì)浮標(biāo)的作用力，水流對(duì)鋼桶的作用力，水流對(duì)重物球的作用力。在力學(xué)計(jì)算中，考慮 了鋼管的浮力、浮標(biāo)的浮力、鋼桶的浮力以及重物球的重力，同時(shí)也考慮錨鏈的浮力，其 中對(duì)錨鏈的浮力的為 r1gr3L(x0)/r2 ，假設(shè)錨鏈的材料也是鋼，并且密度與重物球的密度 一致。3.2 加權(quán)優(yōu)化模型 8 整個(gè)模型是一個(gè)優(yōu)化模型，需要選擇合適的重物球、合適的錨鏈長(zhǎng)度和合適的錨鏈型 號(hào)，使得浮標(biāo)吃水深度、浮標(biāo)的游動(dòng)區(qū)域、鋼桶的傾斜角度盡可能小，并且要

22、保證錨鏈與 錨之間的交點(diǎn)處的切線(xiàn)與 x 軸的夾角小于 16 。重物球的質(zhì)量越大，利于保持鋼桶的傾斜 角度，但是吃水深度又會(huì)增加。因此，考慮加權(quán)模型，因?yàn)槭亲钚』承┪锢韰⒘?，重?性越大的參量的加權(quán)應(yīng)該越大。2011 年 11 月第 1卷 第1期數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用Mathematical Modeling and Its ApplicationsDec.2011Vol.1 No.1MIN L(x0) 1( /2 ) 2h 3rMF 1000kg,M G 10kg,MT 100kg, M B 1200kg,g 104 3 3 334 r3 M B,r1 1025kg / m3, r2 7800kg

23、 / m3,r3 (3.2,7,12.5,19.5,or28.5)kg/m v1 (12,24,or,36)m/s,v2 1.5m/ s,Equ(9)，Equ(13),Equ(14),Equ(16), y(x0) cos( ) cos( 4) cos( 3) cos( 2) cos( 1) h H2 2 4 3r3L ( x0 )(r1g hM Fg)4(r1g0.025 M Gg)r1g0.15 1r1grr1g3 03r243MTg r2g 3 r r3gL(x0) FML 085 95 ,0 r 0.56,0 16 ,0 h 2m其中如下方程組中的方程分別為幾何約束和 y 方向的浮力和重

24、力平衡約束： y(x0) cos( ) cos( 4) cos( 3) cos( 2) cos( 1) h H，2 2 4 3r3L(x0)(r1g hM Fg)4(r1g0.0252M Gg)r1g0.1521r1gr3r1g 303r243M T g r2g r r3gL(x0) FML 034 問(wèn)題求解 4,8由于優(yōu)化模型中具有相反的約束存在，直接使用成熟的優(yōu)化算法，比較難獲得計(jì)算的 結(jié)果，考慮使用計(jì)算機(jī)模擬的辦法計(jì)算該問(wèn)題。計(jì)算步驟如下所示：(1) 給定 M F ,MG,MT ,r1,r2,r3,g, ， r 0.001， h 0.001， x 0.001 ；(2) 設(shè)定重物球半徑 r

25、0 0.3324；(3) 當(dāng) r0 0.56，根據(jù) r0計(jì)算重物球的質(zhì)量 M B，然后計(jì)算去掉錨鏈和錨后的系統(tǒng)的浮力和重力的平衡，獲得平衡時(shí)的吃水深度h0，設(shè)置 h h0h ,然后繼續(xù)下面步驟；(4) 根據(jù)公式 (13) 計(jì)算受力，這時(shí)候因?yàn)殄^鏈長(zhǎng)度和錨鏈在原點(diǎn)處的切向量的角度是未 確定的，但是這兩部分的力就等于浮標(biāo)吃水深度增加 h 導(dǎo)致的浮力；然后根據(jù)公式 計(jì)算鋼管和鋼桶的角度，設(shè)定 x 0 ；(18)(19)(16)(5) 根據(jù)公式 (9)計(jì)算 y(x) ；數(shù)學(xué)建模欄目名稱(chēng)(6) 根據(jù)方程 (18) 計(jì)算幾何約束， 如果精度大于給定量且 y H ，那么設(shè)定 x x x ,跳轉(zhuǎn)到 (5)繼續(xù)

26、做，直到獲得滿(mǎn)足精度要求的x0 x,y0 y ；(7) 根據(jù)方程 (18) 計(jì)算重力約束是否滿(mǎn)足要求，把滿(mǎn)足要求的結(jié)果全部保存；然后設(shè)定 h h0 h ，跳轉(zhuǎn)到步驟 (4) ；(8) 當(dāng) h 2 ，設(shè)定 r0 r0 r ，增加重物球的質(zhì)量，跳轉(zhuǎn)到步驟 (3) 。4.1 問(wèn)題一給定 M B 1200kg, L 22.05m,v1 12m/ s, v1 24m/ s, H 18m，錨鏈為 II 型， 其 密 度 為 7kg/m ， 重 物 球 的 半 徑 折 合 為 r 0.3324m ， 獲 得 平 衡 時(shí) 的 吃 水 深 度 為 h0 0. 6549，m考慮0 。這些約束下，滿(mǎn)足條件的解答見(jiàn)表

27、 3 所示。表 3 問(wèn)題一( v1 12m/ s，0 )滿(mǎn)足條件的參數(shù)值吃水深度錨鏈長(zhǎng)度x 位置游動(dòng)半徑12340.674915.39637.62714.38688.807788.799588.791288.782888.78620.675915.39277.62314.385288.811988.803888.795588.787188.79050.676915.3897.61914.384588.816188.80888.799788.791488.79480.677915.38997.61614.380288.820288.812188.80488.795788.79910.678915

28、.38637.61214.379588.824388.816388.808288.888.80330.679915.38277.60814.378888.828488.820488.812488.804288.80750.680915.37917.60414.37888.832488.824588.816588.808488.81170.681915.37547.614.377388.836588.828688.820688.812688.81590.682915.37187.59614.376588.840588.832788.824888.816788.820.683915.36827.5

29、9214.375888.844588.836788.828988.820988.82410.684915.36467.58814.375188.848488.840788.832988.82588.82820.685915.3617.58414.374388.852488.844788.83788.829188.83230.686915.3627.58114.3788.856388.848788.84188.833288.83640.687915.35847.57714.369288.860288.852788.84588.837288.84040.688915.35487.57314.368

30、588.864188.856688.84988.841288.84440.689915.35127.56914.367788.86888.860588.852988.845388.84840.690915.34767.56514.36788.871888.864488.856988.849288.85230.691915.3447.56114.366288.875688.868388.860888.853288.85630.692915.34057.55714.365488.879488.872188.864788.857188.8602根據(jù)表 3 的數(shù)據(jù)分析，錨鏈在原點(diǎn)處完全與海床相切，此時(shí)

31、計(jì)算出的錨鏈長(zhǎng)度小于給定的 22.05m，因此，錨鏈拖地，因此不再考慮錨鏈在原點(diǎn)的切向量與海床成一定角度的情 況。拖地長(zhǎng)度為 6.7m 左右，而浮標(biāo)游動(dòng)的半徑在 14.37m 左右，鋼桶軸線(xiàn)與 y 軸角度在 1.2102011 年 11 月第 1卷 第1期數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用Mathematical Modeling and Its ApplicationsDec.2011Vol.1 No.1左右。第一組數(shù)據(jù)繪制錨鏈形狀如圖 3 所示。圖 3 錨鏈形狀( h=0.6749m, 88.7862 , 0 )當(dāng)風(fēng)速逐漸增加到 24m/s 的時(shí)候，我們可以計(jì)算獲得結(jié)果如表4所示。表 4 問(wèn)題一（ v1 2

32、4m / s，0 ）滿(mǎn)足條件的參數(shù)值吃水深度錨鏈長(zhǎng)度x 位置游動(dòng)半徑12340.686922.154717.26817.565985.434385.404185.373485.342385.3550.687922.147617.2617.563685.449985.419885.389385.358485.3710.688922.140517.25217.561385.465385.435485.405185.374485.38690.689922.133417.24417.559185.480785.45185.420985.390485.40280.690922.126317.23617.

33、556885.49685.466485.436585.406285.41860.691922.119217.22817.554685.511285.481885.452185.42285.43420.692922.11217.2217.552485.526385.497285.467685.437685.44980.693922.104917.21217.550185.541485.512485.48385.453285.46540.694922.097917.20417.547985.556485.527585.498385.468785.48080.695922.090817.19617.

34、545785.571385.542685.513685.484285.49610.696922.083717.18817.543485.586185.557685.528785.499585.51140.697922.076617.1817.541285.600985.572585.543885.514885.52660.698922.069517.17217.53985.615585.587485.558985.5385.54170.699922.062417.16417.536885.630185.602185.573885.545185.55680.700922.055317.15617

35、.534685.644785.616885.588685.560185.57170.701922.048317.14817.532485.659185.631485.603485.57585.58660.702922.041217.1417.530285.673585.64685.618185.589985.60140.703922.034117.13217.52885.687885.660585.632885.604785.61610.704922.027117.12417.525885.70285.674885.647385.619485.63080.705922.0217.11617.5

36、23685.716285.689285.661885.634185.6454根據(jù)表 4，前面的 15 組數(shù)據(jù)的錨鏈長(zhǎng)度均大于 22.05 米，因此，可以考慮增加 值便 于減少錨鏈長(zhǎng)度。表 4 后面 5 組數(shù)據(jù)的錨鏈長(zhǎng)度均小于 22.05 米，而 h=0.7019m 是明星的 分界線(xiàn)，總的來(lái)說(shuō)，吃水深度在 0.7m 左右，鋼桶角度在 4.6°內(nèi)，符合要求。浮標(biāo)游動(dòng)半11數(shù)學(xué)建模欄目名稱(chēng)徑在 17.56m 左右。臨界狀態(tài)時(shí)自然狀態(tài)，其對(duì)應(yīng)的錨鏈形狀如圖 4 所示。圖 4 錨鏈形狀( h=0.7019m,85.5866 , 0 )4.2 問(wèn)題二當(dāng)風(fēng)速增加到 36m/s 時(shí)，考慮錨鏈在原點(diǎn)處

37、的切線(xiàn)的斜率為 tan(16 ) ，是極限位置， 獲得的錨鏈長(zhǎng)度均大于 22.05 米，因此，在問(wèn)題一的假設(shè)下，沒(méi)有解。如果不考慮鋼桶傾 斜角度的限制下， 通過(guò)模擬計(jì)算當(dāng) 18.937 時(shí)，錨鏈長(zhǎng)度均小于等于 22.05 米，因此該 角度是一個(gè)分界點(diǎn)。結(jié)果如表 5 所示。表5 問(wèn)題二( v1 36m/ s,v2 0m/s, 18.937 ,H 18m,M B 1 2 0k0g,II 型錨鏈)的情況吃水深度錨鏈長(zhǎng)度x 位置游動(dòng)半徑12340.709922.049518.0118.839180.556480.498380.439580.379980.40420.710922.04418.00418

38、.830480.586980.529180.470580.411380.43540.711922.038617.99818.821780.617180.559680.501580.442680.46650.712922.031617.99118.812180.647280.590180.532280.473780.49750.713922.026217.98518.803580.677280.620480.562880.504680.52830.714922.020817.97918.794980.70780.650580.593380.535480.5590.715922.013917.97

39、218.785280.736780.680580.623680.56680.58950.716922.008417.96618.776780.766280.710480.653880.596580.61980.717922.00317.9618.768180.795680.740180.683880.626980.65010.718921.996117.95318.758580.824980.769680.713780.657180.68010.719921.990717.94718.7580.85480.799180.743480.687180.71010.720921.985217.941

40、18.741480.88380.828380.77380.71780.73980.721921.978317.93418.731980.911980.857580.802580.746880.76950.722921.972917.92818.723480.940680.886580.831880.776480.7990.723921.96617.92118.713980.969280.915480.86180.805980.82830.724921.960617.91518.705480.997680.944180.8980.835380.85750.725921.955217.90918.

41、696981.025980.972780.918980.864580.8866120.726921.948317.90218.687481.054181.001280.947780.893580.91560.727921.942917.89618.67981.082181.029580.976380.922480.94442011 年 11 月 第 1卷 第1期數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用Mathematical Modeling and Its ApplicationsDec.2011Vol.1 No.1在表 5 中， 85 ，不符合要求。為了讓鋼桶的傾斜角度達(dá)到85°以上，增加重物球質(zhì)量，當(dāng)

42、增加到 2091kg 時(shí)，在 16 時(shí)，獲得的結(jié)果均小于 22.05 米，因此，該重物 球的質(zhì)量會(huì)是一個(gè)臨界數(shù)據(jù)， 當(dāng)質(zhì)量小于該值時(shí)， 尋找不到滿(mǎn)足條件的解。 而大于該值時(shí)， 獲得的錨鏈長(zhǎng)度小于給定值，因此， 16 成立，用計(jì)算機(jī)模擬辦法，逐漸減少 值， 獲得當(dāng) 14.325 時(shí)，錨鏈長(zhǎng)度達(dá)到 22.048米，此時(shí) h 0.9413m, 85.0150 ，浮標(biāo) 游動(dòng)半徑為 18.4981 米，錨鏈形狀見(jiàn)圖 5 所示。圖 5 錨鏈形狀( v1 36m/sh 0.9413m, 85.015 , 14.325 )4.2 問(wèn)題三考慮 v1 36m/ s,v2 1.5m/ s,H 16m 20m ，我們

43、考慮幾個(gè)典型值的情況，分表 見(jiàn)表 6- 表 10 所示。表6 問(wèn)題三( v1 36m/ s, v2 1.5m/ s, 0 ,H 18m,M B 379k7g,V 型錨鏈)的情況吃水深度錨鏈長(zhǎng)度x 位置游動(dòng)半徑12341.527521.866417.60218.036785.029985.019885.009684.999485.00351.528521.864517.60118.035485.033885.023785.013685.003485.00761.529521.864417.60118.03585.037885.027785.017685.007485.01161.530521.8

44、62517.618.033785.041885.031785.021685.011485.01561.531521.862317.618.033385.045785.035785.025685.015585.01961.532521.860417.59918.03285.049785.039685.029685.019485.0236131.5335 21.860317.599 18.0316 85.053685.043685.0335 85.023485.0275表 7 問(wèn)題三（v1 36m/s,v2 1.5m/ s,0,H 20m,MB 3 7 9k7g,V 型錨鏈）的情況吃水深度 錨鏈長(zhǎng)

45、度x 位置 游動(dòng)半徑1234欄目名稱(chēng)數(shù)學(xué)建模1.532524.25218.9119.34385.049785.039685.029685.019485.02361.533524.251918.9119.342685.053685.043685.033585.023485.02751.534524.249818.90919.341385.057585.047585.037585.027485.03151.535524.249618.90919.340985.061585.051585.041585.031485.03551.536524.247618.90819.339685.065485.05

46、5485.045485.035485.03941.537524.247418.90819.339285.069385.059385.049385.039385.04341.538524.245318.90719.337985.073285.063385.053385.043385.04731.539524.245218.90719.337685.077185.067285.057285.047285.05131.540524.243118.90619.336285.08185.071185.061185.051285.05521.541524.242918.90619.335985.08498

47、5.07585.065185.055185.05911.542524.240918.90519.334585.088885.078985.06985.05985.06311.543524.240718.90519.334285.092685.082885.072985.06385.0671.544524.238618.90419.332985.096585.086785.076885.066985.07091.545524.238518.90419.332585.100485.090585.080785.070885.07481.546524.236418.90319.331285.10428

48、5.094485.084685.074785.07871.547524.236218.90319.330885.108185.098385.088585.078685.08261.548524.234218.90219.329585.111985.102185.092385.082585.08651.549524.23418.90219.329285.115885.10685.096285.086485.09041.550524.231918.90119.327885.119685.109885.100185.090285.09421.551524.231818.90119.327585.12

49、3485.113785.103985.094185.0981表8問(wèn)題三（ v136m/s,v2 1.5m/ s, 16,H 20m,MB 3797kg, V 型錨鏈）的情況吃水深度錨鏈長(zhǎng)度x 位置游動(dòng)半徑12341.542520.624615.00515.434585.088885.078985.06985.05985.06311.543520.622615.00415.433285.092685.082885.072985.06385.0671.544520.622415.00415.432985.096585.086785.076885.066985.07091.545520.620415.00315.431585.100485.090585.080785.070885.07481.546520.620315.00315.431285.104285.094485.084685.074785.07871.547520.618215.00215.429885.108185.098385.088585.078685.08261.548520.618115.00215.429585.111985.102185.092385.082585.08651.5495