虛功原理物理競賽

1、§2、虛功原理上次課主要是介紹了分析力學(xué)中經(jīng)常要用到的一些基本概念，并由虛功的概念和理想約束的概念導(dǎo)出了解決靜力學(xué)問題的虛功原理：。虛功原理適用的范圍是：質(zhì)點(diǎn)組，它適用的前提條件是只受理想約束。這次課就舉一些具體例子，使我們能夠了解如何利用虛功原理去解決靜力學(xué)問題。三、應(yīng)用虛功原理解題：例1、如圖所示，有一質(zhì)量為m，長度為的剛性桿子，靠在墻上，在與地面接觸的B端上受一水平向左的外力，桿子兩端的接觸都是光滑的，當(dāng)桿子與水平地面成角時，要使桿子處于平衡狀態(tài)，問作用在桿子B端上的力有多大？求=？解：由題意可知它是一個靜力學(xué)問題，而且接觸都是光滑的，顯然可以應(yīng)用虛功原理來求解這個問題。這個例

2、子很簡單，簡單的題目往往能夠清楚地說明物理意義，為了說明虛功原理的意義，如果一開始就舉復(fù)雜的例子，由于復(fù)雜的數(shù)字計算將會掩蓋物理意義，所以就以這個簡單的例子來看看如何應(yīng)用虛功原理來解出它。第一步當(dāng)然也是確定研究對象，即選系統(tǒng)：在這個例題中，我們就取桿子為應(yīng)用虛功原理的力學(xué)系統(tǒng)。找主動力：作用在我們所選取的系統(tǒng)上的主動力有幾個？有兩個。一個是水平作用力，還有一個是重力m作用在桿子的質(zhì)心上。因?yàn)闂U子兩端A、B處的接觸是光滑的，在該兩處的約束力也就不必考慮。列出虛功方程：主動力找出來以后，視計算方便起見，適當(dāng)選好坐標(biāo)，并根據(jù)虛功原理列出虛功方程?，F(xiàn)在選取如圖所示的直角坐標(biāo)，于是我們現(xiàn)在就可列出系統(tǒng)的

3、虛功方程。列虛功方程時，正、負(fù)號是個很重要的問題，如果按虛位移的實(shí)際方向與力的方向間的關(guān)系確定虛功的正負(fù)號，很容易弄錯。為了不容易弄錯，我們還是按力的作用點(diǎn)的坐標(biāo)的正方向與力的方向間的關(guān)系來確定虛功的正負(fù)號。這種方法既方便而又不容易搞錯。在列方程時必須要注意這個問題。的方向與其作用點(diǎn)的坐標(biāo)X的正方向相反，F(xiàn)取負(fù)而XB取正，此力的虛功為負(fù)的，即：，由于虛功方程中的兩個虛位移不是相互獨(dú)立的，我們還需要將它們化成獨(dú)立變量，然后才能令獨(dú)立虛位移前的乘數(shù)等于零，從而求出最后的結(jié)果。我們從圖上很容易得出：,。則，對變分則有：，將它們代入式就可得到：，是獨(dú)立的，可以使它不等于零。之前的乘數(shù)應(yīng)該等零，故有：。

4、于是就可解得題目所要求的結(jié)果為：。對于這個問題，如果按位移的實(shí)際方向與力的方向確定虛功正負(fù)的話，將會得出這樣的結(jié)果，設(shè)想桿子在的作用下向里有一虛位移，的方向與虛位移方向相同，是作正功的，應(yīng)該為正的。而重力m的方向與力的作用點(diǎn)的位移yC的方向相反，重力的功是負(fù)的，于是得到的結(jié)果：是錯的。對這個簡單例子的求解主要是說明了應(yīng)用虛功原理的解題步驟。由上面的求解過程可以看出，應(yīng)用虛功原理解題的步驟一般是：第一步先找出所要考慮的質(zhì)點(diǎn)組或者剛體，也就是1、找出所要研究的系統(tǒng)。2、找出系統(tǒng)所受的主動力。3、列出虛功方程。列出的虛功方程中的虛位移里的坐標(biāo)不一定要獨(dú)立，虛功的正負(fù)號很重要，要正確判斷。我們還是以所

5、選坐標(biāo)的正方向?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)，也就是上面解題時所采用的方法。另外還得注意：計算虛功的參考系必須是靜止的。4、虛功方程列出之后，要把方程中的虛位移化成獨(dú)立的變量。其方法有兩種：一種是先找出坐標(biāo)間的關(guān)系，再微分得出，這種方法就叫分析法，我們上面的例子采用的就是這種方法。另外一種是觀察法，根據(jù)觀察直接找出虛位移之間的關(guān)系。這種方法只在某些簡單的情況下可行。5、最后就是將找出的虛位移之間的關(guān)系代入虛功方程求解出最后的結(jié)果。應(yīng)用虛功原理解題的步驟一般來說大致是這樣的。當(dāng)然對具體的題目要作具體的處理，并不一定要這樣呆板，可靈活地去做，對我們初學(xué)者來說，有據(jù)可依總是有益處的。當(dāng)然這個例子也可以用牛頓力學(xué)中的靜力平衡

6、方程很容易地解出。下面我再舉一個應(yīng)用虛功原理求約束力的例子。例2、如圖中所示的框架，它是由四根重量和長度都相同的桿子光滑鉸接而成的四邊形框架，中間B、D兩端又光滑鉸接一輕桿，A端是掛在天花板上的，已知框架上每一根稈子的重量為p，長度為，試求平衡時此輕桿所受之力？解：可見這個例子要我們求的是輕桿兩頭所受的力。為此我們可以把B、D撤消，撤消桿子也就等于撤消約束。（在框架的B、D兩）將約束去掉而代之的是作用在框架B、D兩處向外的作用力T(如下圖所示)并使系統(tǒng)仍處于原來的平衡狀態(tài)，這里的系統(tǒng)自然是指這個平行四邊形框架。此時我們就可以將去掉的約束而代之的兩個作用力T看作為系統(tǒng)所受的主動力，而其他的約束仍

7、然是理想的。于是就可應(yīng)用虛功原理求出這兩個力。這兩個力其實(shí)就是桿子對框架的約束壓力，求出了它當(dāng)然也就求出了桿子所受的力?，F(xiàn)在我們對所討論的問題和系統(tǒng)都已明確，于是就可著手找出系統(tǒng)的主動力。對框架這個系統(tǒng)除了受到T這兩個主動力之外，還有作用于各桿上的四個重力，這四個重力的合力可用作用在框架對稱中心E點(diǎn)的4P代替。在這里坐標(biāo)就取垂直對稱軸向下為Y軸的正向，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸的正方向。根據(jù)對稱性可以直接寫出系統(tǒng)的虛功方程為：,由圖可得：,.代入虛功方程中去，得：，。這種把約束去掉，代之以力而求約束力的方法是一種重要的方法，我們必須要掌握。上面我們所舉的兩個例子，所考慮的系統(tǒng)都是剛性系統(tǒng)，如

8、果我們碰到要考慮的系統(tǒng)不是剛性時，不要忘了計算主動內(nèi)力所作的虛功。例如：將一彈簧圈放在光滑的球面上，求彈簧圈靜止時的位置，此時彈簧圈就不是一個剛體，它內(nèi)力的虛功不等于零。此時必須要把內(nèi)主動力的虛功計算進(jìn)去如果把彈簧圈割開使內(nèi)力暴露出來而轉(zhuǎn)化為外力，割開后的彈簧圈可看作剛體處理 。§3、達(dá)朗伯-拉格朗日方程以上我們所研究的是分析靜力學(xué)問題，現(xiàn)在我們就開始轉(zhuǎn)到對分析動力學(xué)問題的研究。研究分析動力學(xué)的出發(fā)點(diǎn)仍然是牛頓第二運(yùn)動定律。一、 達(dá)朗伯原理從牛頓第二定律可以直接推出達(dá)朗伯原理，而達(dá)朗伯原理與虛功原理相結(jié)合就可得到分析動力學(xué)的普遍方程即達(dá)朗伯-拉格朗日方程?，F(xiàn)在我們就按這條路徑來走。假

9、設(shè)由n個質(zhì)點(diǎn)組成的力學(xué)體系，根據(jù)牛頓第二定律可得，質(zhì)點(diǎn)組中的第i個質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)方程就是,i=1,2n，將移到等式的左邊成為：*，這樣的形式。這樣移一下項(xiàng)得出來的方程式有什么意義呢？在數(shù)學(xué)上看來，是沒有多大意義的，只不過是進(jìn)行了一次移項(xiàng)手續(xù)而已，但在我們物理學(xué)上來看物理意義就大不相同了。移項(xiàng)前它是個動力學(xué)方程，而移項(xiàng)后，如果把-m也看作力，那么它就成了一個平衡方程，其實(shí)-m正是我們已經(jīng)熟悉的慣性力。于是這個方程也就表明了作用在一質(zhì)點(diǎn)組中每個質(zhì)點(diǎn)上的主動力，約束力和慣性力三者保持平衡，這種平衡關(guān)系人們就稱它為達(dá)朗伯原理。要注意達(dá)朗伯原理的坐標(biāo)系是選在與質(zhì)點(diǎn)沒有相對運(yùn)動上的，引入達(dá)朗伯原理的意義在于

10、選擇與質(zhì)點(diǎn)無相對運(yùn)動的坐標(biāo)系以后，只要加上慣性力，使得原來的動力學(xué)的問題就可變成靜力學(xué)問題，這種方法也就叫作動靜法。將動力學(xué)問題變成靜力學(xué)問題，它不僅為我們多提供了一條解決動力學(xué)問題的途徑。而且一般來講，靜力學(xué)問題要比動力學(xué)問題簡單，因此將動力學(xué)問題變成靜力學(xué)問題還會給解題帶來方便。工程上特別喜歡用靜力學(xué)方法我們由達(dá)朗伯原理的方程式可以得到兩個推論：作用在質(zhì)點(diǎn)組中任一質(zhì)點(diǎn)上的主動力，約束力和慣性力互成平衡，因此將這幾個等式相加后仍然等于零，即：，其次，由質(zhì)點(diǎn)對任一固定點(diǎn)的位矢叉乘*式的兩邊，并將n個方程相加，就可得到：。這些力對任一點(diǎn)的力矩的總和也等于零。下面利用達(dá)朗伯原理來解下面的題目。例：

11、一直角形剛性桿件AOB的質(zhì)量可以忽略不計，直角的頂點(diǎn)O用光滑鉸鏈連到垂直軸Z上，使它既能在鉛垂面內(nèi)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動，同時又能繞Z軸轉(zhuǎn)動。在A、B兩端固結(jié)著兩個質(zhì)量為m1和m2的小球，已知：OA=a, OB=b，求：當(dāng)OA和Z軸為角而這個角穩(wěn)定不變時，他們繞Z軸轉(zhuǎn)動的角速度=？ 解：穩(wěn)定為角，=0。我們以兩個質(zhì)點(diǎn)和直角桿件組成的系統(tǒng)為研究系統(tǒng)。因?yàn)檎麄€研究系統(tǒng)都以同樣的角速度作勻速轉(zhuǎn)動，將坐標(biāo)系就取在所研究的系統(tǒng)上，隨系統(tǒng)一起轉(zhuǎn)動。則系統(tǒng)所受的力有重力m1g1, m2g2和慣性力m22bcos和m12asin,除此之外還有O處的約束力。為了消去未知的約束力，我們可以對O點(diǎn)應(yīng)用力矩的平衡方程。要想用力矩

12、的平衡方程，還得先規(guī)定力矩的正方向，在這里我們就規(guī)定：力矩的逆時針方向?yàn)檎?，并對O點(diǎn)取矩。則有：m22bcosbsin-m2gbcos-m12asinacos+m1gasin=0解此方程很快可以得到：。由此可見，應(yīng)用了達(dá)朗伯原理之后，這個題目只要一個平衡方程就解出了它的結(jié)果。如果不采用達(dá)朗伯原理去解，而是采用動力學(xué)的方法去解的話，此題目是很難解的。因此它充分地顯示了應(yīng)用達(dá)朗伯原理解題的優(yōu)越性。二、 朗伯拉格朗日方程：既然達(dá)朗伯原理的關(guān)系式：是一種平衡方程，當(dāng)然也可以用虛功原理的形式表示出來。我們用虛位移標(biāo)乘上面這個平衡方程，并對i求和則有：。如果體系受到的是理想約束，在理想約束的情況下：約束力

13、的虛功之和必等于零：，則上式就可寫成為：，顯然，它在形式上完全類似于虛功原理，這個方程就叫做達(dá)朗伯拉格朗日方程。給出這個達(dá)朗伯拉格朗日方程干什么用呢？一方面當(dāng)然可以應(yīng)用它來求解動靜法的問題。另一方面更重要的是分析力學(xué)真正的開始應(yīng)該是從達(dá)朗拉格朗日方程這里開始的，這因?yàn)樵趧e的方程中都還沒有直接用廣義坐標(biāo)表達(dá)出來，現(xiàn)在我們就由達(dá)朗伯拉格朗日方程，應(yīng)用廣義坐標(biāo)的概念推出直接用廣義坐標(biāo)、廣義力、廣義速度等這些廣義量來表示的基本分析動力學(xué)方程，這個分析動力學(xué)方程正是我們下面馬上要推導(dǎo)的完整約束的第二類拉格朗日方程。§4.完整約束的第二類拉格朗日方程，即基本形式的拉格朗日方程既然有第二類拉格朗日

14、方程，從排列的次序來說，那么總應(yīng)該有第一類拉格朗日方程，是有的，不完整約束的拉格朗日方程就稱第一類拉格朗日方程。由前面的討論我們知道由于約束的限制，n個矢徑(i=1·2·3···n)并不是獨(dú)立的?，F(xiàn)在我們引入S個獨(dú)立的廣義坐標(biāo)qi (=1·2·3···n)。將矢徑用廣義坐標(biāo)表示：=(q1,q2qs,t),這里的i是表示質(zhì)點(diǎn)組中質(zhì)點(diǎn)的數(shù)目，是表示獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目，對這兩個角標(biāo)的涵義要清楚。現(xiàn)在我們先來推導(dǎo)兩個數(shù)學(xué)關(guān)系。一、 兩個數(shù)學(xué)關(guān)系。，這兩個數(shù)學(xué)關(guān)系在推導(dǎo)拉格朗日方程時要用到。下面先來證明第一個數(shù)學(xué)關(guān)系。，將它對時間求導(dǎo)則有第i個質(zhì)點(diǎn)的速度為：(1)是廣義坐標(biāo)和時間的函數(shù)。根據(jù)高等數(shù)學(xué)的全微分公式：z=z(x,y) ,可得:由于是q1、q2qs和t的函數(shù)，因此和這兩個偏導(dǎo)數(shù)也仍然都是q1、q2qs和t的函數(shù)，而不是廣義速度(=1,2,s)的函數(shù)，并且這些廣義速度也是相互獨(dú)立的。所以我們將式(1)對廣義速度求偏導(dǎo)數(shù)就可直接得到：。要注意在求偏導(dǎo)數(shù)時，應(yīng)該把,，t當(dāng)作等同地位的自變量，不清楚這一點(diǎn)，就會在計算偏導(dǎo)數(shù)時發(fā)生不應(yīng)有的錯誤，如果體系只有2個自由度，應(yīng)該有幾個等同自變量，有5個等同的自變量