2-2工程數(shù)學(xué)齊次線性方程組

1、第二節(jié)第二節(jié) 齊次線性方程組齊次線性方程組11 1122121 122221 12200 (2.2.1) 0:02.2.2nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxaxAxA或矩陣形式 ()其中 齊次線性方程組 mnmmnnaaaaaaaaa 212222111211 ,21 nxxxX0000一、解的判定與解的性質(zhì)一、解的判定與解的性質(zhì)11121212221212112200:0 0nnnmmmnnnaaaaaaxxxaaaxxx 向量形式 或由此式可知，方程組（由此式可知，方程組（2.2.1）只有零解就等價于）只有零解就等價于向量組向量組 線性無關(guān)，即線性無關(guān)，即 反

2、之亦然。反之亦然。12,n 12(,)mrn 2.2.1( ).2.2.1)( ).2.2.1,2.2.12.2.1,2.22.11r Anr Anmnmn 齊次線性方程組（）只有零解 齊次線性方程組（有非零解 若齊次線性方程組（）中，方程的個數(shù)小于未知數(shù)的個數(shù)，即則方程組（）有非零解. 若齊次線性方程組（）中，方程的個數(shù)等于未定理1定理知數(shù)的個數(shù)，即則方程組（）有非零解系數(shù)行列式推論推論2等于零.1211221212(2)0,0,( )(,)nnnnnAxx xxxxxr Arrn 定理 有非零解存在不全為零 使得向量組線性相關(guān)121122(1)000 ( )nnnAxxxxxxxAr An

3、定理 只有零解只有才能使的列向量組線性無關(guān)證明證明: :(0,0,0)Tx 對于齊次線性方程組(2.2.1)來說,它必定為相容的,因為一定是它的解.因此,就齊次線性方程組而言它在什么情況下有非零解,以及如何求出所有的非零解.,我們關(guān)心的是: 根據(jù)矩陣方程(2.2.1),我們來討論其解向量的性質(zhì).性質(zhì)性質(zhì)1 11212,(2.2.1),(2.2.1).xXxXxXX若為的解 則也是的解121212()000,(2.2.1).A XXAXAXxXX因所以 是的解證證: :性質(zhì)性質(zhì)2 2(2.2.1),(2.2.1).xXkxkX若為的解為任意實數(shù) 則也是的解()()00,(2.2.1).A kXk

4、 AXkxkX因所以 是的解證證: :二、基礎(chǔ)解系二、基礎(chǔ)解系1X,X,Xs2齊次線性方程組(2.2.1)的一組解 若滿足(1),;(2) (2.2.1),sssXXXXXXXXX121212 線性無關(guān) 的任一解都能表示為線性組合.則稱為(2.2.基1)的一個礎(chǔ)解系。,(2.2.1),(2.2.1)sXXX12若為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系則的全部解可一寫成12(2.2.1).sXc Xc Xc X12s并稱為方程組的通通解解12,sssXc Xc Xc X c cc1212 S=|R,定義定義1定理3BB對齊次方程組的系數(shù)矩陣A施以初等行變換得到矩陣 ，則矩陣 對應(yīng)的齊次線性方程組的解和原方程

5、的解相同.2.2.1,2.2.1rrnn如果齊次線性方程組（）的系數(shù)矩陣的秩則方程組（）有基礎(chǔ)解系，并且它的任何一個基礎(chǔ)解系都包含個解向量.定理4證明證明: :121212,nrn 因線性方程組(2.2.1)的系數(shù)矩陣A的秩r(A)=rn,即矩陣A的列向量組的秩為r,不妨設(shè)為的一個極大線性無關(guān)組 則由矩陣初等變換的知識可得,矩陣A經(jīng)過初等行變換可化為如下的行最簡形1,112,12,11000100010000000000rnrnr rrnccccRcc1122,112,110,0(2.2.3)00.rnrrnnrr rrrnnRxxxxxcxc xxcxc xAx1,r+11n則原方程組與階梯

6、形方程組同解 即 c+c=0 + 是的同解方程組12(2.2.3),rrnxnrxx中為自由未知量 將它們分別取為下面組數(shù)12100010,001rrnxxx 1(2.2.3)( ,),0rnrxxRxnr代入式求得組從而得方程組的個解向量1,11,212,12,22,1,212X,X,X,100010001rrnrrnr rr rrnn rccccccccc12,n rX XX易知線性無關(guān)因此 它們?yōu)榫€性方程組(2.2.1)的n-r個線性無關(guān)的解向量.12,2.2.1n rXX 下面來證明X是方程組（）的一個基礎(chǔ)解系. 向量組個分量構(gòu)成的的后，由于rnXXXrn211,100,010,001

7、 .,21也線性無關(guān)，維向量個到的個分量而得向量前面添加線性無關(guān)，所以在每個nXXXnrnr 中任一向量對X2,X11nrrkkkk.1 . 2 . 221線性表示，的解，我們驗證它能由顯然它是方程組rnXXXrnnrrXkXkXk2211設(shè)，即此個分量亦對應(yīng)相等，因，從而知它們的前由于它們都滿足方程組個分量對應(yīng)相等，知，它們的后與比較的解也是的解，故是，由于XrrnXXXrn1 . 2 . 2X.1 . 2 . 21 . 2 . 221rnnrrXkXkXk2211X可由中任一向量XXrnXXX21，.線性表示線性表示由上兩條知由上兩條知.1 . 2 . 2）的一個基礎(chǔ)解系是方程組（rnXX

8、X21，Ax 由上面的證明過程給出了求齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的一種方法.需要指出的是,自由未知量的取值是自由的,而且自由未知量的選取也不是唯一的.因此基礎(chǔ)解系不是唯一的.但=0的任何兩個基礎(chǔ)解系是等價的,因此它們所含解向量的個數(shù)是唯一 確定的.:0,1111132113 0122654331AxA求方程組的基礎(chǔ)解系與通解 其中例1例111111101150122601226 01226000000122600000A解:解:134523455 226xxxxxxxx 則原方程組與下列方程組同解3453451231 122,1000 , 1 , 0001115226 , 100010001x x

9、 xxxxxcc 其中為自由未知量 讓自由未知量分別取值得原方程組的基礎(chǔ)解系為于是原方程組的通解為 33123,cc c c其中為任意常數(shù).12341234123412345023038039701151115111230274:318102741397041483310110122702740122000000000 xxxxxxxxxxxxxxxxA 求下列線性方程組2的解例解00000001342343434121 12332722,.10,0131272,.20110 xxxxxxx xxxxkk 即原方程組與下面方程組同解 其中為自由未知量讓自由未知量取值分別得方程組的基礎(chǔ)解系為 故

10、方程組的通解為13422134220562301043046260462613422134220104301043 046260061818134221301410010430104300133001331002101043001A3321221:0,1342235680AxA求的基礎(chǔ)解系與通解 其中例3例3解:145245123451122121 122311241522124343,3333100122434: :33310 xxxxxxxxxxccxccxccxxcccxcxc 通解或解213213301111:0,2121011011:010 ,0 . :00001cAxAxxAxcx 求方程組的解 其中解通解例4例4120,():1.2.0.3. 1,0,0; 0,1,0; 0