高中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)》詳解+公式+精題(附講解)(共22頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)詳解+公式+精題（附講解）引言三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本重要內(nèi)容之一，三角函數(shù)的定義及性質(zhì)有許多獨(dú)特的表現(xiàn)，是高考中對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能進(jìn)行考查的一個(gè)內(nèi)容。其考查內(nèi)容包括：三角函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的正弦、余弦、正切。兩倍角的正弦、余弦、正切。、正弦定理、余弦定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函數(shù)。要求掌握三角函數(shù)的定義，圖象和性質(zhì)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，會(huì)用“五點(diǎn)法”作正余弦函數(shù)及 的簡(jiǎn)圖；掌握基本三角變換公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)、證明。了解反三角函數(shù)的概念，會(huì)由已知三角函數(shù)值求角并能用反三角函

2、數(shù)符號(hào)表示。由于新教材刪去了半角公式，和差化積，積化和差公式等內(nèi)容，近年的高考基本上圍繞三角函數(shù)的圖象和三角函數(shù)的性質(zhì)，以及簡(jiǎn)單的三角變換來(lái)進(jìn)行考查，目的是考查考生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本運(yùn)算能力掌握情況。 2 近年來(lái)高考對(duì)三角部分的考查多集中在三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，重視對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)和技能的考查。每年有 2 3 道選擇題或填空題，或 1 2 道選擇、填空題和 1 道解答題?？偟姆种禐?15 分左右，占全卷總分的約 10 左右。 （ 1 ）關(guān)于三角函數(shù)的圖象 立足于正弦余弦的圖象，重點(diǎn)是函數(shù) 的圖象與 y=sinx 的圖象關(guān)系。根據(jù)圖象求函數(shù)的表達(dá)式，以及三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性。如

3、 2000 年第（ 5 ）題、（ 17 ）題的第二問(wèn)。 （ 2 ）求值題 這類(lèi)問(wèn)題在選擇題、填空題、解答題中出現(xiàn)較多，主要是考查三角的恒等變換。如 2002 年（ 15 ）題。 （ 3 ）關(guān)于三角函數(shù)的定義域、值域和最值問(wèn)題 （ 4 ）關(guān)于三角函數(shù)的性質(zhì)（包括奇偶性、單調(diào)性、周期性）。一般要先對(duì)已知的函數(shù)式變形，化為一角一函數(shù)處理。如 2001 年（ 7 ）題。 （ 5 ）關(guān)于反三角函數(shù)， 2000 2002 年已連續(xù)三年不出現(xiàn)。 （ 6 ）三角與其他知識(shí)的結(jié)合（如 1999 年第 18 題復(fù)數(shù)與三角結(jié)合） 今后有關(guān)三角函數(shù)仍將以選擇題、填空題和解答題三種題型出現(xiàn)，難度不會(huì)太大，會(huì)控制在中等偏

4、易的程度；三角函數(shù)如果在解答題出現(xiàn)的話， 應(yīng)放在前兩題的位置，放在第一題的可能性最大，難度不會(huì)太大。 二、復(fù)習(xí)策略 1、 近幾年的高考已經(jīng)堅(jiān)決拋棄對(duì)復(fù)雜三角變換及特殊技巧的考查，重點(diǎn)已轉(zhuǎn)移到對(duì)基礎(chǔ)和基本技能的考查上。所以復(fù)習(xí)中用好教材、打好基礎(chǔ)猶為重要。（ 1 ）一定要掌握好三角函數(shù)的圖象，特別是 的圖象的五點(diǎn)法作圖及平移、伸縮作圖。（ 2 ）熟知三角函數(shù)的基本性質(zhì)、切實(shí)掌握判定三角函數(shù)奇偶性、確定單調(diào)區(qū)間及求周期的方法。（ 3 ）熟練掌握三角變換的基本公式，弄清公式的推導(dǎo)關(guān)系和互相聯(lián)系，把基本公式記準(zhǔn)用熟。*三角函數(shù)公式大全銳角三角函數(shù)公式sin =的對(duì)邊 / 斜邊cos =的鄰邊 / 斜邊

5、tan =的對(duì)邊 / 的鄰邊cot =的鄰邊 / 的對(duì)邊倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA2）（注：SinA2 是sinA的平方 sin2（A） ）三倍角公式sin3=4sin·sin(/3+)sin(/3-)cos3=4cos·cos(/3+)cos(/3-)tan3a = tan a · tan(/3+a)· tan(/3-a)三倍角公式推導(dǎo)sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina輔助角公式Asin+Bc

6、os=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A2+B2)(1/2)cost=A/(A2+B2)(1/2)tant=B/AAsin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B降冪公式sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2cos2()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2)推導(dǎo)公式tan+cot=2/sin2tan-cot=-2cot21+cos2=2cos21-cos2=2sin21+sin=(sin/2+cos/2)2=2sina(1-sin²a)+

7、(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina(3/2)²-sin²a=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°

8、;+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60°-a)/2*2sin(60°-a)/2cos(60°-a)/2=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosacos²a-(3/2)²=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos3

9、0°)=4cosa*2cos(a+30°)/2cos(a-30°)/2*-2sin(a+30°)/2sin(a-30°)/2=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin90°-(60°-a)sin-90°+(60°+a)=-4cosacos(60°-a)-cos(60°+a)=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述兩式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+

10、a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin2(a/2)=(1-cos(a)/2cos2(a/2)=(1+cos(a)/2tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)三角和sin(+)=sin·cos·cos+cos·sin·cos+cos·cos·sin-sin·sin·sincos(+)=cos·cos·cos-cos·s

11、in·sin-sin·cos·sin-sin·sin·costan(+)=(tan+tan+tan-tan·tan·tan)/(1-tan·tan-tan·tan-tan·tan)兩角和差cos(+)=cos·cos-sin·sincos(-)=cos·cos+sin·sinsin(±)=sin·cos±cos·sintan(+)=(tan+tan)/(1-tan·tan)tan(-)=(tan-tan)/

12、(1+tan·tan)和差化積sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)積化和差sinsin = cos(-)-cos(+) /2coscos = cos(+)+cos(-)/2sincos = sin(+

13、)+sin(-)/2cossin = sin(+)-sin(-)/2誘導(dǎo)公式sin(-) = -sincos(-) = costan (a)=-tansin(/2-) = coscos(/2-) = sinsin(/2+) = coscos(/2+) = -sinsin(-) = sincos(-) = -cossin(+) = -sincos(+) = -costanA= sinA/cosAtan（/2）cottan（/2）cottan（）tantan（）tan誘導(dǎo)公式記背訣竅：奇變偶不變，符號(hào)看象限萬(wàn)能公式sin=2tan(/2）/1+tan(/2)cos=1-tan(/2)/1+tan(

14、/2)tan=2tan(/2)/1-tan(/2)其它公式(1)(sin)2+(cos)2=1(2)1+(tan)2=(sec)2(3)1+(cot)2=(csc)2證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sin)2,第二個(gè)除(cos)2即可(4)對(duì)于任意非直角三角形,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC證:A+B=-Ctan(A+B)=tan(-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得證同樣可以得證,當(dāng)x+y+z=n(nZ)時(shí),該關(guān)系式也成立由tanA+

15、tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）2+(cosB）2+(cosC）2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）2+（sinB）2+（sinC）2=2+2cosAcosBcosC(9)sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n

16、-1)/n=0 以及sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0*三角函數(shù)專(zhuān)題復(fù)習(xí)：（1）求函數(shù)的初相的問(wèn)題（2）函數(shù)的圖象及應(yīng)用（3）三角函數(shù)的最值問(wèn)題（4）角的拆拼在求值中的應(yīng)用 教學(xué)目的通過(guò)對(duì)四個(gè)三角函數(shù)中的熱點(diǎn)問(wèn)題的專(zhuān)題研究，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)三角函數(shù)中的主要知識(shí)點(diǎn)和重點(diǎn)題型的解題方法，深層挖掘三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，盡量使學(xué)生對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的掌握融會(huì)貫通。 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)上述四個(gè)專(zhuān)題中涉及的核心思想 知識(shí)分析（一）求函數(shù)的初相的問(wèn)題在三角函數(shù)問(wèn)題中，我們經(jīng)常遇到求函數(shù)的初

17、相的問(wèn)題，這一類(lèi)問(wèn)題是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，又是高考中的熱點(diǎn)，現(xiàn)在我們將相關(guān)題型進(jìn)行歸納，幫助同學(xué)們復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)：1、由圖象求此類(lèi)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是從圖象特征入手，尋找解題的突破口。  例1. 如圖1所示函數(shù)的圖象，由圖可知（    ）圖1A.              B. C.              

18、0;      D. 解：由已知，易得A2函數(shù)圖象過(guò)（0，1）和，再考慮到故選C。   例2. （2005年福建）函數(shù)的部分圖象如圖2所示，則（    ）圖2A.                   B. C.           

19、;        D. 解：由圖象知點(diǎn)（3，0）是在函數(shù)的單調(diào)遞減的那段曲線上。因此令，得，故選C。 2、由奇偶性求例3. （2003 全國(guó)）已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求的值。解：由是偶函數(shù)，得即所以對(duì)任意x都成立，且，由，解得 3、由最值求例4. 函數(shù)以2為最小正周期，且能在x = 2時(shí)取得最大值，則的一個(gè)值是（     ）A.         &

20、#160;            B.               C.          D. 解：當(dāng)時(shí)取得最大值，即當(dāng)時(shí)，故選A。 四、由對(duì)稱性求例5. （2005 全國(guó)）設(shè)函數(shù)，圖象的一條對(duì)稱軸是直線，求。解：因?yàn)槭呛瘮?shù)的圖象的對(duì)稱軸，所以 (二) 函數(shù)

21、的圖象及應(yīng)用下面我們談一談函數(shù)的圖象在日常生產(chǎn)、生活中的幾個(gè)應(yīng)用。1、顯示水深例6. （2004  湖北）設(shè)是某港口水的深度y（米）關(guān)于時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)，其中。下表是該港口某一天從0時(shí)到24時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，函數(shù)的圖象可以近似地看成函數(shù)的圖象。下面的函數(shù)中，最能近似地表示表中數(shù)據(jù)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是（    ）A. B. C. 解：由已知數(shù)據(jù)，易得的周期為T(mén)12由已知易得振幅A3又t0時(shí)，y12，k12令得故 2、確定電流最值

22、例7. 如圖3 表示電流 I 與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式： I =在同一周期內(nèi)的圖象。（1）根據(jù)圖象寫(xiě)出I =的解析式；（2）為了使I =中t在任意段秒的時(shí)間內(nèi)電流I能同時(shí)取得最大值和最小值，那么正整數(shù)的最小值是多少？圖3解：（1）由圖知A300，由得（2）問(wèn)題等價(jià)于，即，正整數(shù)的最小值為314。 3、顯示最大溫差例8. （2002  全國(guó)）如圖4某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似地滿足函數(shù)（1）求這段時(shí)間的最大溫差（2）寫(xiě)出這段曲線的函數(shù)解析式。圖4解：（l）由圖4知這段時(shí)間的最大溫差是301020（）（2）在圖4中，從6時(shí)到14時(shí)的圖象是函數(shù)的半個(gè)周期的圖象，解得由圖4

23、知這時(shí)將代入上式，可取綜上所述，所求解析式為： 4、研究商品的價(jià)格變化例9. 以一年為一個(gè)周期調(diào)查某商品出廠價(jià)格及該商品在商店銷(xiāo)售價(jià)格時(shí)發(fā)現(xiàn)：該商品的出廠價(jià)格是在6元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動(dòng)的，已知3月份出廠價(jià)格最高為8元，7月份出廠價(jià)格最低為4元；而商品在商店內(nèi)的銷(xiāo)售價(jià)格是在8元基礎(chǔ)上按月份也是隨正弦曲線波動(dòng)的，并已知5月份銷(xiāo)售價(jià)最高為10元，9月份銷(xiāo)售價(jià)最低為6元，假設(shè)某商店每月購(gòu)進(jìn)這種商品m件，且當(dāng)月能售完，請(qǐng)估計(jì)哪個(gè)月盈利最大？并說(shuō)明理由。解：由條件可得出廠價(jià)格函數(shù)為銷(xiāo)售價(jià)格函數(shù)為則利潤(rùn)函數(shù)為所以，當(dāng)時(shí)，即6月份盈利最大。 （三）三角函數(shù)的最值問(wèn)題1、型函數(shù)解決此

24、類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是把正、余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為只有一種三角函數(shù)，即化為，其中角所在象限由點(diǎn)（a，b）所在象限確定，且例10. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的（    ）A. 最大值是l，最小值是1         B. 最大值是l，最小值是C. 最大值是2，最小值是2         D. 最大值是2，最小值是1解：解析式可化為時(shí)，時(shí)，故選D 2、型函數(shù)策略：先降次、整理，再化為形如型來(lái)解。例11. 求的最小值，并求出函數(shù)y取

25、最小值時(shí)點(diǎn)x的集合。解：      當(dāng)時(shí)，y取最小值時(shí)，使y取得最小值的x的集合為 3、型函數(shù)此類(lèi)函數(shù)的特點(diǎn)是一個(gè)分式，分子、分母分別會(huì)有正、余弦的一次式。可先轉(zhuǎn)化為型，再利用三角函數(shù)的有界性來(lái)求三角函數(shù)的最大值和最小值。  例12. 求函數(shù)的最大值和最小值。解：去分母整理得即解之得故 4、同時(shí)出現(xiàn)型函數(shù)此類(lèi)函數(shù)的特點(diǎn)是含有或經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)整理后出現(xiàn)與式子，處理方法是應(yīng)用進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成二次函數(shù)的問(wèn)題。例13. 函數(shù)的最大值為_(kāi)解法一：令則所以由二次函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，解法二：令，則由，得于是有當(dāng)時(shí)，由以上的幾種形式可以歸

26、納解三角函數(shù)最值問(wèn)題的基礎(chǔ)方法：一是應(yīng)用正弦、余弦函數(shù)的有界性來(lái)求；二是利用二次函數(shù)閉區(qū)間內(nèi)求最大、最小值的方法來(lái)解決；以后還可以利用重要的不等式公式或利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決。 （四）角的拆拼在求值中的應(yīng)用  例14. 已知、為銳角，則y與x的函數(shù)關(guān)系是（    ）A. B. C. D. 對(duì)此題，不少同學(xué)采取的求解思路是：根據(jù)已知條件求出cos、sin的值后，再將sin，cos，cos，sin的值同時(shí)代入的展開(kāi)式中，從中解出y來(lái)，思路直接。但運(yùn)算量非常大，不可取，而如果利用“湊”的思想，注意到（這就是“湊”），也就是用已知的角來(lái)表示目標(biāo)角（因

27、為），繼而求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，而x的范圍可由ycosB0來(lái)確定。解：為銳角，且又、為銳角，且于是      由，即易得，故選A。   例15. 已知，且，求的值。分析：觀察條件和結(jié)論中角的種類(lèi)差異，可配湊角，這樣就可以將已知角與待求角聯(lián)系在一起，實(shí)現(xiàn)了由未知角向已知角的轉(zhuǎn)化。解：又，故                     

28、0;【練習(xí)】    已知，求。提示：配湊角：，可通過(guò)求出和的差的余弦來(lái)求，較簡(jiǎn)便。解：又同學(xué)們不難看到，上面的例題中我們分別利用了；等“湊”角的技巧。此外根據(jù)題目的不同，還常用的“湊”的技巧有：，及，今后解題時(shí)要多關(guān)注“配湊”的思想方法。 【模擬試題】一、選擇題（每小題5分，共60分）  1. 使的意義的m的值為（    ）A.                

29、0;   B. C.             D. 或  2. 函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（    ）    A.               B.           &#

30、160; C.          D .  3. 若是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則的夾角為（    ）    A. 30°          B. 60°          C. 120°   &#

31、160;    D. 150°  4. 已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P，若，則點(diǎn)P與ABC的位置關(guān)系是（    ）A. P在AC邊上B. P在AB邊上或其延長(zhǎng)線上C. P在ABC外部D. P在ABC內(nèi)部  5. 若，且，則等于（    ）    A.            B.     

32、0;   C.            D.   6. 若，則的值等于（    ）    A.             B.          C.       

33、      D.   7. 在ABC中，則ABC是（    ）A. 銳角三角形                   B. 鈍角三角形C. 直角三角形               &

34、#160;   D. 不能確定形狀  8. 已知，且，則的值為（    ）    A.           B.               C.         D.   9. 已知函數(shù)為偶函數(shù)（），其圖象與

35、直線y2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2，若的最小值為，則（    ）A.                     B. C.                    D.   10. 已知O為原點(diǎn)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（a，0），（0，a），其中常數(shù)，點(diǎn)P在線段AB上，且，則的最大值為（    ）    A. a