定積分的概念

1、第六章第六章 定積分定積分 6.1 定積分的概念定積分的概念 6.2 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì) 6.3 定積分的計(jì)算定積分的計(jì)算 6.4 廣義積分廣義積分 6.5 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用6.1 6.1 定積分的概念定積分的概念 求由曲線求由曲線 xfy ，直線，直線x=a,xx=a,x=b=b和和x x軸所圍成的軸所圍成的（一）引例（一）引例引例引例1 1 幾何學(xué)中求曲邊梯形的面積幾何學(xué)中求曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積A:A:bxxxxxxanii1210nniixxxxxxxx,112110ba, 把區(qū)間把區(qū)間分成分成n n個(gè)小區(qū)間：個(gè)小區(qū)間：nixi,2 ,

2、 1 設(shè)第設(shè)第i i個(gè)區(qū)間長度為個(gè)區(qū)間長度為過每個(gè)分點(diǎn)作垂直于過每個(gè)分點(diǎn)作垂直于x x軸的直線段，把曲邊梯形分成軸的直線段，把曲邊梯形分成n n個(gè)個(gè)小曲邊梯形小曲邊梯形; ; 1 1、分割、分割ba,1n內(nèi)任意插入內(nèi)任意插入個(gè)分點(diǎn)：個(gè)分點(diǎn)：在區(qū)間在區(qū)間 nixfAiii, 2 , 1, xfy iif ,)(if ix nixfii, 2 , 1,作垂直于作垂直于x x軸的直線與曲線軸的直線與曲線相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)以以為高，為高，為寬構(gòu)成的矩形面積為為寬構(gòu)成的矩形面積為:2 2、近似代替、近似代替iixx,1i內(nèi)任取一點(diǎn)內(nèi)任取一點(diǎn)在第在第i i個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間ix當(dāng)當(dāng)00時(shí)，小曲邊梯形的面積可以

3、近似地看成小矩形時(shí)，小曲邊梯形的面積可以近似地看成小矩形的面積，即的面積，即 iininxfA1lim iinixfA1曲邊梯形面積曲邊梯形面積3 3、求和、求和4 4、取極限、取極限ixn當(dāng)當(dāng)00時(shí)，分點(diǎn)數(shù)時(shí)，分點(diǎn)數(shù)，則有，則有求某物體在時(shí)間間隔求某物體在時(shí)間間隔21,TT內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程s s，引例引例2 2 物理學(xué)中求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程物理學(xué)中求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程其中速度其中速度v v（t t）是時(shí)間）是時(shí)間t t 的函數(shù)。的函數(shù)。 212101TttttttTniinniitttttttt,112110 nitvsiii, 2 , 1,21,TT1n在在內(nèi)插入內(nèi)插入個(gè)分點(diǎn)：個(gè)分

4、點(diǎn)： 21,TT 把時(shí)間間隔把時(shí)間間隔分成分成n n個(gè)小時(shí)間段：個(gè)小時(shí)間段：ixni, 2 , 1設(shè)設(shè)為第為第i i個(gè)區(qū)間長度個(gè)區(qū)間長度iitt,1 iiitvv ,任取區(qū)間任取區(qū)間內(nèi)的某一時(shí)刻的速度內(nèi)的某一時(shí)刻的速度iitt,1n為在為在內(nèi)物體勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程。當(dāng)內(nèi)物體勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程。當(dāng)時(shí)，即分點(diǎn)越多是，第時(shí)，即分點(diǎn)越多是，第i i個(gè)時(shí)間段的路程個(gè)時(shí)間段的路程1 1、分割、分割2 2、近似代替、近似代替 iiniinitvsS11 iinintvS1lim3 3、求和、求和4 4、取極限、取極限bxxxxxxanii1210nxxx,max21ba,1n在區(qū)間在區(qū)間內(nèi)任取內(nèi)任取個(gè)分點(diǎn)：

5、個(gè)分點(diǎn)：ba,nixxii, 2 , 1,1把區(qū)間把區(qū)間分成分成n n個(gè)小區(qū)間：個(gè)小區(qū)間：1iiixxx設(shè)設(shè) ，即第，即第i i個(gè)區(qū)間的區(qū)間長度，個(gè)區(qū)間的區(qū)間長度，（二）定積分的概念（二）定積分的概念 xfba,定義定義6.1 6.1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間上有定義。上有定義。（1 1）、分割）、分割, 2 , 1,1nixxiii iif ,任取任取為曲線為曲線（3 3）取極限）取極限 iininxf10lim xfba,存在，則稱函數(shù)存在，則稱函數(shù)在在 xfba,上可積，并將極限值稱為函數(shù)上可積，并將極限值稱為函數(shù), ,在在 badxxf上的定積分，記作上的定積分，記作，即，即 badx

6、xf iininxf10lim= =（2 2）作和）作和 xf nitfii, 2 , 1, iinixf1 xfba,上一點(diǎn)，作乘積上一點(diǎn)，作乘積，則，則稱為函數(shù)稱為函數(shù)在在上的積分和。上的積分和。 xf其中其中稱為被積函數(shù)被積函數(shù)，x稱為積分變量積分變量， dxxf稱為被積表達(dá)式被積表達(dá)式，稱為積分號(hào)稱為積分號(hào) badxxf xf稱作函數(shù)稱作函數(shù)從從a a到到b b的定積分。的定積分。ba,稱為積分區(qū)間，稱為積分區(qū)間，a a稱為積分下限，稱為積分下限，b b 稱為積分上限，稱為積分上限，（三）定積分的幾何意義（三）定積分的幾何意義 0 xf badxxf xfy (1)當(dāng)當(dāng)時(shí)，定積分時(shí)，定

7、積分表示由曲線表示由曲線直線直線x=a,xx=a,x=b=b和和x x軸所圍成的曲邊梯形的面積（圖（軸所圍成的曲邊梯形的面積（圖（a a） 0 xf badxxf xfy (2)當(dāng)當(dāng)時(shí)，定積分時(shí)，定積分表示由曲線表示由曲線直線直線x=a,xx=a,x=b=b和和x x軸所圍成的曲邊梯形的面積的負(fù)值軸所圍成的曲邊梯形的面積的負(fù)值（圖（圖（b b） xfba, badxxf 0 xf 0 xf(3)當(dāng)當(dāng)在在上既有負(fù)值又有正值時(shí)，定積分上既有負(fù)值又有正值時(shí)，定積分表示幾部分的和表示幾部分的和:時(shí)，取面積的正值，時(shí)，取面積的正值，時(shí)，取面積的負(fù)值（圖（時(shí)，取面積的負(fù)值（圖（c c）13 xy12 xy

8、xy tv23 , 11 1、用定積分表示由曲線、用定積分表示由曲線2 2、試用定積分表示由曲線、試用定積分表示由曲線與直線與直線3 3、某物體以、某物體以作直線運(yùn)動(dòng)，用定積分表示此物體在作直線運(yùn)動(dòng)，用定積分表示此物體在內(nèi)所走過的路程。內(nèi)所走過的路程。練習(xí)練習(xí)6.16.1與直線與直線x=2,x=6x=2,x=6和和x x軸所圍成的曲邊梯形的面積。軸所圍成的曲邊梯形的面積。所圍成區(qū)域的面積。所圍成區(qū)域的面積。時(shí)間段時(shí)間段6.2 6.2 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì) 0aadxxf（1 1）ba （2 2）若）若時(shí)，有時(shí)，有 badxxf abdxxf= =規(guī)定：規(guī)定： bababadxxgdxxfd

9、xxgxf xf xgba, xgxfba,性質(zhì)性質(zhì)1 1 若函數(shù)若函數(shù)和和在在上可積，則上可積，則在在上也可積，且上也可積，且（一）定積分的線性性質(zhì)（一）定積分的線性性質(zhì) iniiibaxgfdxxgxf10lim iniiiniixgxf1010limlim babadxxgdxxf證明：證明： xfba, xcfba, babadxxfcdxxcf性質(zhì)性質(zhì)2 2 如果函數(shù)如果函數(shù)在在上可積，上可積，c c為常數(shù)，為常數(shù)，在在上也可積，且有上也可積，且有則函數(shù)則函數(shù)證明：證明： iniibaxcfdxxcf10lim iniixfc10lim badxxfc （二）定積分的區(qū)間可加性（二）

10、定積分的區(qū)間可加性 xfba,bac, xfdcca, 、 cabcbadxxfdxxfdxxf性質(zhì)性質(zhì)3 3 若函數(shù)若函數(shù)在在上可積，且上可積，且則函數(shù)則函數(shù)在在上也可積，且有上也可積，且有 xfdcca, 、 xfba,性質(zhì)性質(zhì)4 4 若函數(shù)若函數(shù)在在上都可積，則上都可積，則在在上也可積。上也可積。 xf xgba,bax、 xgxf babadxxgdxxf性質(zhì)性質(zhì)5 5 如果如果、在在上都可積，且對(duì)每一上都可積，且對(duì)每一都有都有，則，則（三）定積分的單調(diào)性（三）定積分的單調(diào)性 xfba,bax、 0 xf 0badxxf推論推論1 1 如果函數(shù)如果函數(shù)在在上可積，且對(duì)每一上可積，且對(duì)每

11、一都有都有，則有，則有 xfba, xfba, dxxfdxxfbaba推論推論2 2 如果函數(shù)如果函數(shù)在在上可積，則上可積，則在在上也可積上也可積, ,則有則有 cxf cxfba,abccdxba性質(zhì)性質(zhì)6 6 如果函數(shù)如果函數(shù)，c c為常數(shù)，則函數(shù)為常數(shù)，則函數(shù)在在上可積，且有上可積，且有（四）定積分的中值定理（四）定積分的中值定理證明：證明： iniibaxfcdx10limabcabcxcini010limlim xfba, abMdxxfabmba性質(zhì)性質(zhì)7 7 如果函數(shù)如果函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間上最大值與最小值上最大值與最小值分別是分別是MM與與mm，則有，則有 xfba,ba, ba

12、dxxf abf性質(zhì)性質(zhì)8 8（中值定理）（中值定理） 如果函數(shù)如果函數(shù)在在上連續(xù)，則在上連續(xù)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，使得 = =函數(shù)函數(shù)證明：證明： xfba,在在上有最大值上有最大值MM和最小值和最小值mm，即，即 Mxfm bababaabMMdxdxxfmdxabm又由定積分的單調(diào)性，有又由定積分的單調(diào)性，有 Mdxxfabmba1所以所以 badxxfab1由介值定理可知，對(duì)于由介值定理可知，對(duì)于mm與與MM之間的常數(shù)之間的常數(shù)ba,在在內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，使得 badxxfabf1 abfdxxfba即有即有 xf f, xfy fab中值定理的幾

13、何意義是：在連續(xù)曲線中值定理的幾何意義是：在連續(xù)曲線上至少能找到一點(diǎn)上至少能找到一點(diǎn)，使得由曲線，使得由曲線，直線，直線x=a,xx=a,x=b=b和和x x軸所圍成的曲邊梯形的面積等于以軸所圍成的曲邊梯形的面積等于以為高，為高，為寬的矩形面積（見下圖）為寬的矩形面積（見下圖）: :dxxdxx103103與dxxxdx2020sin與dxedxexx10102與dxxxdxee111ln與112dxex312dxx331xarctgxdx（1 1） （2 2）（3 3）（4 4）（1 1） （2 2）（3 3）練習(xí)練習(xí)6.26.21 1、比較下列各對(duì)積分值的大小、比較下列各對(duì)積分值的大小:

14、:2 2、估計(jì)下列積分的值、估計(jì)下列積分的值6.3 6.3 定積分的計(jì)算定積分的計(jì)算（一）變上限定積分（一）變上限定積分 xfba, xabaxdttfx,定義定義6.2 6.2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間上可積，則稱上可積，則稱 為變上限定積分。為變上限定積分。 xfba, xadxtfx xfx 定理定理6.1 6.1 如果如果在在上連續(xù)，則變上限定積分上連續(xù)，則變上限定積分 在區(qū)間上可導(dǎo)，且在區(qū)間上可導(dǎo)，且 xfba, xF xf badxxf aFbF定理定理6.26.2（微積分基本定理）（微積分基本定理） 如果函數(shù)如果函數(shù)在在上連續(xù)，并且上連續(xù)，并且是是的一個(gè)原函數(shù)，則的一個(gè)原函數(shù)，則

15、= =（二）牛頓（二）牛頓* *萊布尼茲萊布尼茲* *公式公式牛頓牛頓萊布尼茲公式還可表示為萊布尼茲公式還可表示為 badxxf abxF= =211dxx例例1 1 求求xx1ln解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)榈囊粋€(gè)原函數(shù)，是xx1ln所以所以 211dxx2ln1ln2ln12lnx故有故有= =126421arcsin22arcsin2122arcsinx2221211dxx例例2 2求求211arcsinxx解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)榈囊粋€(gè)原函數(shù)，是211arcsinxx 所以所以 2221211dxx故有故有10311dxx例例3 3 求求dxx311解：（解：（1 1）先求不定積分）先求不定積分dttdx

16、txtx2333,則設(shè)設(shè)dxx311dtttdttt11131322所以所以 = =ctttdttt1ln332311132= =dxx311cxxx33321ln3323所以所以 = =10311dxx011ln3323313132xxx232ln32ln332310311dxx（2 2）再求定積分）再求定積分 cxxxsincos102sin2cos220sinxdxx例例4 4 求求xdxxxxxdxdxxcoscoscossin解解: 20sinxdxx02sincosxxx所以所以 （三）定積分的換元積分法（三）定積分的換元積分法 xfba, tx, t btaba,定理定理6.3

17、6.3 如果函數(shù)如果函數(shù)在在上連續(xù)，且函數(shù)上連續(xù)，且函數(shù)在在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，當(dāng)上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，有時(shí)，有, ,則有則有 badxxf dtttf例例5 5 求求10311dxx10311dxxdtttdxtt102102111313011ln33231113210tttdxtt232ln302ln3323dttdxtx233,則解：設(shè)解：設(shè)當(dāng)當(dāng)x=0 x=0時(shí)，時(shí)，t=0t=0；當(dāng)；當(dāng)x=1x=1時(shí)，時(shí)，t=1t=1，則有，則有 2ln2110ln11ln211021dxxx例例6 6 求求1021dxxx011ln21112110222xxdxx解：解：eeeeex1211122121dxx

18、ex例例7 7 求求2121dxxex211212111xdedxxexx解：解： dxxx023cossindxxxdxxxcossincossin2322023dxxx053sinsin例例8 8 求求dxxx053sinsindxxxx02sin1sinsin解：解： xdxxdxsinsinsinsin2322023541052522sin5202sin522525xx例例9 9 求求2ln01dxex224220122arctgtt解：解： dtttdxtx22121ln則設(shè)設(shè)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，12ln00txtx當(dāng)當(dāng)2ln01dxexdttdxttt102102111212所以所以 x

19、vxuxvxuxvxu（四）定積分的分部積分法（四）定積分的分部積分法 bababadxxvxudxxvxudxxvxu可得可得 babadxxvxuabxvxudxxvxu即即 xvxu、ba,在在則由導(dǎo)數(shù)的乘法法則則由導(dǎo)數(shù)的乘法法則設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)上連續(xù)且可導(dǎo)，上連續(xù)且可導(dǎo)， 或或 xduxvabxvxuxdvxubaba 221022102112161321dxxdxxx0211221611121621222102xxdx23611236210arccosxdx例例10 10 求求210arccosxdx210arccos021arccosxxdxx解：解： eexdxexdxexx1212

20、2212ln21ln214141412141222222eeeexeexdxx1ln例例11 11 求求exdxx1lnexdx122ln解：解： 2020sin02sinsinxxxxdexexdexdeexdxeexxcossin202202xdxeeexdexeexxxcos1cos02cos200220220cosxdxex例例12 12 求求20cosxdxex解：解：20cosxdxex1212e整理，得整理，得 xdxtxF02 xdxtxF03sin 1xtdxtexF 2021xdxtxF（1 1） （2 2）（3 3）（4 4）練習(xí)練習(xí)6.36.31 1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、

21、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2 2、求下列定積分、求下列定積分 212132dxxx10dxxx2lneexxdx303dxex33121xdx20sindxx（1 1）（2 2）（3 3） （4 4）（5 5） （6 6）3 3、利用換元積分法求下列定積分、利用換元積分法求下列定積分 1145xdxdtt401130tgxdxedxxx1ln2511duuu10221dxxx203cossinxdxx2221xdx10 xxeedx2121sin1dxxx（1 1） （2 2）（3 3）（4 4）（5 5） （6 6）（7 7） （8 8）（9 9）（1010）210arcsin xdx102dxexx

22、edxx12ln20sinxdxex402cosdxxx302arctgxdxx10dxex1021lndxx（1 1）（2 2）（3 3） （4 4）（5 5） （6 6）（7 7） （8 8）4 4、利用分部積分法求下列定積分、利用分部積分法求下列定積分6.4 6.4 廣義積分廣義積分（一）無窮區(qū)間上的廣義積分（一）無窮區(qū)間上的廣義積分 xf, aab babdxxflim定義定義6.3 6.3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在在上是連續(xù)函數(shù)，對(duì)于任意的上是連續(xù)函數(shù)，對(duì)于任意的，如果極限，如果極限 xf, a adxxf存在，則稱此極限為存在，則稱此極限為在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間上的廣義積分，記作上的廣義積分，

23、記作 adxxf babdxxflim即即這時(shí)稱廣義積分這時(shí)稱廣義積分 adxxf收斂，收斂，若極限不存在，則稱廣義積分發(fā)散。若極限不存在，則稱廣義積分發(fā)散。 xf, cdxxf cdxxf定義定義6.4 6.4 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在在c c為任意的實(shí)數(shù)，如果廣義積分為任意的實(shí)數(shù)，如果廣義積分 與與上是連續(xù)函數(shù)，上是連續(xù)函數(shù)， xf, dxxf都收斂，則稱上述兩個(gè)廣義積分之和為都收斂，則稱上述兩個(gè)廣義積分之和為在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間內(nèi)的廣義積分，記作內(nèi)的廣義積分，記作 ，即，即 dxxf cdxxf cdxxf caadxxflim bcbdxxflim+ dxxf這時(shí)稱廣義積分這時(shí)稱廣義積分收斂，否

24、則稱為發(fā)散。收斂，否則稱為發(fā)散。0211dxx0lim11lim02barctgxdxxbbb2limarctgbb0211dxx例例1 1 求廣義積分求廣義積分 112xxf, 0解：被積函數(shù)解：被積函數(shù)在在內(nèi)是連續(xù)函數(shù)，內(nèi)是連續(xù)函數(shù)，0211dxx2所以廣義積分所以廣義積分 0b，有，有 所以任取一實(shí)數(shù)所以任取一實(shí)數(shù)edxxxlnbebbebxxdxdxxlnlnlimln1lim21lnlim21ln21lim22bebxbbedxxxln例例2 2 求廣義積分求廣義積分 xxxfln, e解：被積函數(shù)解：被積函數(shù)在在內(nèi)是連續(xù)函數(shù)，內(nèi)是連續(xù)函數(shù)，eb ，有，有所以任取一實(shí)數(shù)所以任取一實(shí)數(shù)

25、所以廣義積分所以廣義積分 edxxxln 發(fā)散。發(fā)散。（二）無界函數(shù)的廣義積分（二）無界函數(shù)的廣義積分 badxxf badxxf 0lim xfba, xfaxlim badxxf 0lim定義定義6.5 6.5 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間上連續(xù)，且上連續(xù)，且，對(duì)于任取的正數(shù)，對(duì)于任取的正數(shù)，如果極限，如果極限 xfba, badxxf存在，則稱此極限為存在，則稱此極限為在在上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作，即，即 這時(shí)稱廣義積分這時(shí)稱廣義積分 badxxf收斂；否則稱為發(fā)散。收斂；否則稱為發(fā)散。 xfba,則稱上述兩個(gè)廣義積分的和是則稱上述兩個(gè)廣義積分的和是在在上的廣義積分，記作上的廣義

26、積分，記作 xfba,bcac xfcxlim bccadxxfdxxf與定義定義6.8 6.8 若函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間上除點(diǎn)上除點(diǎn)外連續(xù)，且外連續(xù)，且，如果，如果廣義積分廣義積分 都收斂，都收斂， badxxf bccadxxfdxxf bccadxxfdxxf00limlim此時(shí)稱廣義積分此時(shí)稱廣義積分 badxxf收斂；否則稱為發(fā)散。收斂；否則稱為發(fā)散。 2121xdx例例3 3 求廣義積分求廣義積分2111limxx解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)楫?dāng)當(dāng)211x1x所以被積函數(shù)所以被積函數(shù)時(shí)無界。時(shí)無界。2121xdx1lim11211lim1lim002120 xxdx由定義，對(duì)于任意的正數(shù)由定義，

27、對(duì)于任意的正數(shù)，有，有所以廣義積分所以廣義積分2121xdx發(fā)散發(fā)散exdx12ln1例例4 4 求廣義積分求廣義積分ex 2ln11xx解：當(dāng)解：當(dāng)時(shí)，被積函數(shù)時(shí)，被積函數(shù)所以是無界函數(shù)的廣義積分。對(duì)于任意的正數(shù)所以是無界函數(shù)的廣義積分。對(duì)于任意的正數(shù)，有，有exdx12ln1dxxxe120ln11limxdxelnln11lim1201lnarcsinlim0ex1lnarcsinlnarcsinlim0e 201arcsin練習(xí)練習(xí)6.46.40dxexedxxxln102dxxex02212dxxx1021xdx1121dxx（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）（6 6

28、）求下列廣義積分求下列廣義積分6.5 6.5 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 （一）平面圖形的面積（一）平面圖形的面積由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線 xfy ，直線，直線x=a,xx=a,x=b=b和和x x軸所軸所確定的曲邊梯形的面積公式有確定的曲邊梯形的面積公式有 0 xf 0badxxf badxxfA（1 1）當(dāng)）當(dāng)時(shí)，時(shí)，（見圖（見圖（a a），），所以有公式所以有公式 0 xf 0badxxf badxxfA（2 2）當(dāng)）當(dāng)時(shí)，時(shí)，（見圖（見圖（b b），），故有公式故有公式 ba, xf badxxfAAA21 badxxfA（3 3）在）在上，上，有正有負(fù)，（見圖（有正有負(fù)，（

29、見圖（c c），），則有公式則有公式（4 4） badxxfxfA21( (見圖（見圖（d d）) )面積公式為：面積公式為：（4 4）由兩條曲線）由兩條曲線 xfy1 xfy2,和直線和直線x=a,x=a,X=bX=b所圍成的平面區(qū)域的面積所圍成的平面區(qū)域的面積xy2例例1 1 求曲線求曲線，直線，直線x=0,x=3x=0,x=3和和x x軸所圍成的軸所圍成的曲邊梯形的面積（見圖陰影部分）曲邊梯形的面積（見圖陰影部分）3 , 0 xy2上，函數(shù)上，函數(shù)都是正數(shù)，所以利用都是正數(shù)，所以利用解：因?yàn)樵诮猓阂驗(yàn)樵诠接泄接?2ln7222ln10322ln120330 xxdxAxyxycos,

30、sin4,4xx例例2 2 求曲線求曲線和直線和直線所圍成的圖形的面積。所圍成的圖形的面積。4,4xxsincos解：如圖所示，在解：如圖所示，在上有：上有：故應(yīng)用公式陰影部分的面積為故應(yīng)用公式陰影部分的面積為 = 24cos4cos4sin4sin 44cos44sinxx444444sincossincosxdxxdxdxxxA2xy xyxy2,例例3 3 求由曲線求由曲線，直線，直線所圍成的圖形的面積。所圍成的圖形的面積。解：解： 第一步：求交點(diǎn)，找出第一步：求交點(diǎn)，找出x x的取值范圍的取值范圍 11,002yxyxxyxy 0 , 0,1 , 1（1 1） 。故。故2xy xy 是曲線是曲線與直線與直線的交點(diǎn)的交點(diǎn) （2 2）42,0022yxyxxyxy 0 , 0,4 , 2。故。故2xy xy2是曲線是曲線與直線與直線的交點(diǎn)。的交點(diǎn)。 由圖所示：由圖所示： 210122210101xxdx