2010年北京市高考數(shù)學試卷(理科)(共22頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2010年北京市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1（5分）（北京卷理1）集合P=xZ|0x3，M=xZ|x29，則PM=（）A1，2B0，1，2Cx|0x3Dx|0x32（5分）在等比數(shù)列an中，a1=1，公比q1若am=a1a2a3a4a5，則m=（）A9B10C11D123（5分）一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正視圖與側(cè)（左）視圖分別如圖所，則該幾何體的俯視圖為（）ABCD4（5分）8名學生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為（）AA88A92BA88C92CA88A72DA88C725（5分）極坐標方程（

2、1）（）=0（0）表示的圖形是（）A兩個圓B兩條直線C一個圓和一條射線D一條直線和一條射線6（5分）若，是非零向量，“”是“函數(shù)為一次函數(shù)”的（）A充分而不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件7（5分）設不等式組表示的平面區(qū)域為D，若指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象上存在區(qū)域D上的點，則a的取值范圍是（）A（1，3B2，3C（1，2D3，+8（5分）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，動點E、F在棱A1B1上，動點P，Q分別在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），則四面體PEFQ的體積（）A與x，y，z都有關(guān)B與x有關(guān)，與y，

3、z無關(guān)C與y有關(guān)，與x，z無關(guān)D與z有關(guān)，與x，y無關(guān)二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9（5分）在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點的坐標為10（5分）在ABC中，若b=1，c=，C=，則a=11（5分）從某小學隨機抽取100名同學，將他們身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）由圖中數(shù)據(jù)可知a=若要從身高在120，130，130，140，140，150三組內(nèi)的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在140，150內(nèi)的學生中選取的人數(shù)應為12（5分）如圖，O的弦ED，CB的延長線交于點A若BDAE，AB=4，BC=2，AD=3，則DE=；CE=13（5分）已知雙曲

4、線的離心率為2，焦點與橢圓的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標為；漸近線方程為14（5分）如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動設頂點P（x，y）的軌跡方程是y=f（x），則f（x）的最小正周期為；y=f（x）在其兩個相鄰零點間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積為三、解答題（共6小題，滿分80分）15（13分）已知函數(shù)f（x）=2cos2x+sin2x4cosx（）求的值；（）求f（x）的最大值和最小值16（14分）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB=，CE=EF=1（）求證：AF平面BDE；（）求證：CF平面BDE；（）求二面角ABED的大小17（13

5、分）某同學參加3門課程的考試假設該同學第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p，q（pq），且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立記為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為0123pad（）求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；（）求數(shù)學期望E18（13分）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）x+x2（k0）（）當k=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程；（）求f（x）的單調(diào)區(qū)間19（14分）在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（1，1）關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于（）求動點P的軌跡方程；（）設直線AP和BP分別與直線x=

6、3交于點M，N，問：是否存在點P使得PAB與PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由20（13分）已知集合Sn=X|X=（x1，x2，xn），xi0，1，i=1，2，n（n2）對于A=（a1，a2，an，），B=（b1，b2，bn，）Sn，定義A與B的差為AB=（|a1b1|，|a2b2|，|anbn|）；A與B之間的距離為（）證明：A，B，CSn，有ABSn，且d（AC，BC）=d（A，B）；（）證明：A，B，CSn，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)（）設PSn，P中有m（m2）個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為證明：2010年北京市

7、高考數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1（5分）（2010北京）（北京卷理1）集合P=xZ|0x3，M=xZ|x29，則PM=（）A1，2B0，1，2Cx|0x3Dx|0x3【分析】由題意集合P=xZ|0x3，M=xZ|x29，分別解出集合P，M，從而求出PM【解答】解：集合P=xZ|0x3，P=0，1，2，M=xZ|x29，M=2，1，0，1，2，PM=0，1，2，故選B2（5分）（2010北京）在等比數(shù)列an中，a1=1，公比q1若am=a1a2a3a4a5，則m=（）A9B10C11D12【分析】把a1和q代入am=a1a2a3a4a5，求得

8、am=a1q10，根據(jù)等比數(shù)列通項公式可得m【解答】解：am=a1a2a3a4a5=a1qq2q3q4=a1q10，因此有m=113（5分）（2010北京）一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正視圖與側(cè)（左）視圖分別如圖所，則該幾何體的俯視圖為（）ABCD【分析】從正視圖和側(cè)視圖上分析，去掉的長方體的位置應該在的方位，然后判斷俯視圖的正確圖形【解答】解：由正視圖可知去掉的長方體在正視線的方向，從側(cè)視圖可以看出去掉的長方體在原長方體的左側(cè)，由以上各視圖的描述可知其俯視圖符合C選項故選：C4（5分）（2010北京）8名學生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為（）AA88A92BA

9、88C92CA88A72DA88C72【分析】本題要求兩個教師不相鄰，用插空法來解決問題，將所有學生先排列，有A88種排法，再將兩位老師插入9個空中，共有A92種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理得到結(jié)果【解答】解：用插空法解決的排列組合問題，將所有學生先排列，有A88種排法，然后將兩位老師插入9個空中，共有A92種排法，一共有A88A92種排法故選A5（5分）（2010北京）極坐標方程（1）（）=0（0）表示的圖形是（）A兩個圓B兩條直線C一個圓和一條射線D一條直線和一條射線【分析】由題中條件：“（1）（）=0”得到兩個因式分別等于零，結(jié)合極坐標的意義即可得到【解答】解：方程（1）（）=0=1或=，=1

10、是半徑為1的圓，=是一條射線故選C6（5分）（2010北京）若，是非零向量，“”是“函數(shù)為一次函數(shù)”的（）A充分而不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【分析】先判別必要性是否成立，根據(jù)一次函數(shù)的定義，得到，則成立，再判斷充分性是否成立，由，不能推出函數(shù)為一次函數(shù)，因為時，函數(shù)是常數(shù)，而不是一次函數(shù)【解答】解：，如，則有，如果同時有，則函數(shù)f（x）恒為0，不是一次函數(shù)，因此不充分，而如果f（x）為一次函數(shù)，則，因此可得，故該條件必要故答案為B7（5分）（2010北京）設不等式組表示的平面區(qū)域為D，若指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象上存在區(qū)域D上的點，則a的取值范圍是（）A（1，3

11、B2，3C（1，2D3，+【分析】先依據(jù)不等式組，結(jié)合二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關(guān)系畫出其表示的平面區(qū)域，再利用指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象特征，結(jié)合區(qū)域的角上的點即可解決問題【解答】解：作出區(qū)域D的圖象，聯(lián)系指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象，由得到點C（2，9），當圖象經(jīng)過區(qū)域的邊界點C（2，9）時，a可以取到最大值3，而顯然只要a大于1，圖象必然經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的點故選：A8（5分）（2010北京）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，動點E、F在棱A1B1上，動點P，Q分別在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），則四面體PEFQ的體積（）A與x，y，z

12、都有關(guān)B與x有關(guān)，與y，z無關(guān)C與y有關(guān)，與x，z無關(guān)D與z有關(guān)，與x，y無關(guān)【分析】四面體PEFQ的體積，找出三角形EFQ面積是不變量，P到平面的距離是變化的，從而確定選項【解答】解：從圖中可以分析出，EFQ的面積永遠不變，為面A1B1CD面積的，而當P點變化時，它到面A1B1CD的距離是變化的，因此會導致四面體體積的變化故選D二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9（5分）（2010北京）在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點的坐標為（1，1）【分析】首先進行復數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數(shù)，分子和分母進行復數(shù)的乘法運算，得到最簡形式即復數(shù)的代數(shù)形式，寫出復數(shù)對應的點的坐標【解答】

13、解：，復數(shù)在復平面上對應的點的坐標是（1，1）故答案為：（1，1）10（5分）（2010北京）在ABC中，若b=1，c=，C=，則a=1【分析】先根據(jù)b，c，c，由正弦定理可得sinB，進而求得B，再根據(jù)正弦定理求得a【解答】解：在ABC中由正弦定理得，sinB=，bc，故B=，則A=由正弦定理得a=1故答案為：111（5分）（2010北京）從某小學隨機抽取100名同學，將他們身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）由圖中數(shù)據(jù)可知a=0.03若要從身高在120，130，130，140，140，150三組內(nèi)的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在140，150內(nèi)的學

14、生中選取的人數(shù)應為3【分析】欲求a，可根據(jù)直方圖中各個矩形的面積之和為1，列得一元一次方程，解出a，欲求選取的人數(shù)，可先由直方圖找出三個區(qū)域內(nèi)的學生總數(shù)，及其中身高在140，150內(nèi)的學生人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣的特點，代入其公式求解【解答】解：直方圖中各個矩形的面積之和為1，10（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1，解得a=0.03由直方圖可知三個區(qū)域內(nèi)的學生總數(shù)為10010（0.03+0.02+0.01）=60人其中身高在140，150內(nèi)的學生人數(shù)為10人，所以身高在140，150范圍內(nèi)抽取的學生人數(shù)為10=3人故答案為：0.03，312（5分）（2010北京）如圖，O的弦E

15、D，CB的延長線交于點A若BDAE，AB=4，BC=2，AD=3，則DE=5；CE=【分析】首先根據(jù)題中圓的切線條件再依據(jù)割線定理求得一個線段AE的長，再根據(jù)勾股定理的線段的關(guān)系可求得CE的長度即可【解答】解：首先由割線定理不難知道ABAC=ADAE，于是AE=8，DE=5，又BDAE，故BE為直徑，因此C=90，由勾股定理可知CE2=AE2AC2=28，故CE=故填：5；13（5分）（2010北京）已知雙曲線的離心率為2，焦點與橢圓的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標為（4，0），（4，0）；漸近線方程為y=x【分析】先根據(jù)橢圓的方程求出焦點坐標，得到雙曲線的c值，再由離心率求出a的值，最后根據(jù)

16、b=得到b的值，可得到漸近線的方程【解答】解：橢圓的焦點為（4，0）（4，0），故雙曲線中的c=4，且滿足=2，故a=2，b=，所以雙曲線的漸近線方程為y=x故答案為：（4，0），（4，0）；y=x14（5分）（2010北京）如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動設頂點P（x，y）的軌跡方程是y=f（x），則f（x）的最小正周期為4；y=f（x）在其兩個相鄰零點間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積為+1【分析】正方形PABC沿x軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負方向滾動沿x軸正方向滾動指的是先以頂點A為中心順時針旋轉(zhuǎn)，當頂點B落在x軸上時，再以頂點B為中心順時針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)類似地，正方形PAB

17、C可以沿x軸負方向滾動【解答】解：從某一個頂點（比如A）落在x軸上的時候開始計算，到下一次A點落在x軸上，這個過程中四個頂點依次落在了x軸上，而每兩個頂點間距離為正方形的邊長1，因此該函數(shù)的周期為4下面考察P點的運動軌跡，不妨考察正方形向右滾動，P點從x軸上開始運動的時候，首先是圍繞A點運動個圓，該圓半徑為1，然后以B點為中心，滾動到C點落地，其間是以BP為半徑，旋轉(zhuǎn)90，然后以C為圓心，再旋轉(zhuǎn)90，這時候以CP為半徑，因此最終構(gòu)成圖象如下：故其與x軸所圍成的圖形面積為故答案為：4，+1三、解答題（共6小題，滿分80分）15（13分）（2010北京）已知函數(shù)f（x）=2cos2x+sin2x4

18、cosx（）求的值；（）求f（x）的最大值和最小值【分析】（）把x=代入到f（x）中，利用特殊角的三角函數(shù)值求出即可；（）利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系把sin2x變?yōu)?cos2x，然后利用二倍角的余弦函數(shù)公式把cos2x變?yōu)?cos2x1，得到f（x）是關(guān)于cosx的二次函數(shù)，利用配方法把f（x）變成二次函數(shù)的頂點式，根據(jù)cosx的值域，利用二次函數(shù)求最值的方法求出f（x）的最大值和最小值即可【解答】解：（）=；（）f（x）=2（2cos2x1）+（1cos2x）4cosx=3cos2x4cosx1=，因為cosx1，1，所以當cosx=1時，f（x）取最大值6；當時，取最小值16（14分）（

19、2010北京）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB=，CE=EF=1（）求證：AF平面BDE；（）求證：CF平面BDE；（）求二面角ABED的大小【分析】（）設AC與BD交于點G，則在平面BDE中，可以先證明四邊形AGEF為平行四邊形EGAF，就可證：AF平面BDE；（）先以C為原點，建立空間直角坐標系Cxyz把對應各點坐標求出來，可以推出=0和=0，就可以得到CF平面BDE（）先利用（）找到=（，1），是平面BDE的一個法向量，再利用平面ABE的法向量=0和=0，求出平面ABE的法向量，就可以求出二面角ABED的大小【解答】解：證明：（I）設AC與

20、BD交于點G，因為EFAG，且EF=1，AG=AC=1，所以四邊形AGEF為平行四邊形所以AFEG因為EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE（II）因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，所以CE平面ABCD如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系Cxyz則C（0，0，0），A（，0），D（，0，0），E（0，0，1），F(xiàn)（，1）所以=（，1），=（0，1），=（，0，1）所以=01+1=0，=1+0+1=0所以CFBE，CFDE，所以CF平面BDE（III）由（II）知，=（，1），是平面BDE的一個法向量，設平面ABE的法向量=（x，y，z），則=0，=0即

21、所以x=0，且z=y令y=1，則z=所以n=（），從而cos（，）=因為二面角ABED為銳角，所以二面角ABED為17（13分）（2010北京）某同學參加3門課程的考試假設該同學第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p，q（pq），且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立記為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為0123pad（）求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；（）求數(shù)學期望E【分析】（I）由題意知事件該生至少有一門課程取得優(yōu)異成績與事件“=0”是對立的，要求該生至少有一門課程取得優(yōu)秀成績的概率，需要先知道該生沒有一門課程優(yōu)秀，根據(jù)對立事件的概率求出結(jié)果（II

22、）由題意可知，需要先求出分布列中的概率a和b的值，根據(jù)互斥事件的概率和相互獨立事件同時發(fā)生的概率，得到這兩個值，求出概率之后，問題就變?yōu)榍笃谕窘獯稹拷猓菏录嗀表示“該生第i門課程取得優(yōu)異成績”，i=1，2，3由題意可知（I）由于事件“該生至少有一門課程取得優(yōu)異成績”與事件“=0”是對立的，該生至少有一門課程取得優(yōu)秀成績的概率是1P（=0）=1（II）由題意可知，P（=0）=，P（=3）=整理得p=a=P（=1）=d=P（=2）=1P（=0）P（=1）P（=3）=E=0P（=0）+1P（=1）+2P（=2）+3P（=3）=18（13分）（2010北京）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）x+x2（

23、k0）（）當k=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程；（）求f（x）的單調(diào)區(qū)間【分析】（I）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導數(shù)，從而求出切線的斜率，然后求出切點坐標，再用點斜式寫出直線方程，最后化簡成一般式即可；（II）先求出導函數(shù)f（x），討論k=0，0k1，k=1，k1四種情形，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f（x）0和f（x）0即可【解答】解：（I）當K=2時，由于所以曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程為即3x2y+2ln23=0（II）f（x）=1+kx（x1）當k=0時，因此在區(qū)間（1，0）上，f（x）0；在區(qū)間（0，+）上，f（x）0；所以f

24、（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+）；當0k1時，得；因此，在區(qū)間（1，0）和上，f（x）0；在區(qū)間上，f（x）0；即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，0）和，單調(diào)遞減區(qū)間為（0，）；當k=1時，f（x）的遞增區(qū)間為（1，+）當k1時，由，得；因此，在區(qū)間和（0，+）上，f（x）0，在區(qū)間上，f（x）0；即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為和（0，+），單調(diào)遞減區(qū)間為19（14分）（2010北京）在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（1，1）關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于（）求動點P的軌跡方程；（）設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M，N，問：是否

25、存在點P使得PAB與PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由【分析】（）設點P的坐標為（x，y），先分別求出直線AP與BP的斜率，再利用直線AP與BP的斜率之間的關(guān)系即可得到關(guān)系式，化簡后即為動點P的軌跡方程；（）對于存在性問題可先假設存在，由面積公式得：根據(jù)角相等消去三角函數(shù)得比例式，最后得到關(guān)于點P的縱坐標的方程，解之即得【解答】解：（）因為點B與A（1，1）關(guān)于原點O對稱，所以點B得坐標為（1，1）設點P的坐標為（x，y）化簡得x2+3y2=4（x1）故動點P軌跡方程為x2+3y2=4（x1）（）解：若存在點P使得PAB與PMN的面積相等，設點P的坐標為（x0，y0）

26、則因為sinAPB=sinMPN，所以所以=即（3x0）2=|x021|，解得因為x02+3y02=4，所以故存在點P使得PAB與PMN的面積相等，此時點P的坐標為（）20（13分）（2010北京）已知集合Sn=X|X=（x1，x2，xn），xi0，1，i=1，2，n（n2）對于A=（a1，a2，an，），B=（b1，b2，bn，）Sn，定義A與B的差為AB=（|a1b1|，|a2b2|，|anbn|）；A與B之間的距離為（）證明：A，B，CSn，有ABSn，且d（AC，BC）=d（A，B）；（）證明：A，B，CSn，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)（）設PSn，P中有m（m2）個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為證明：【分析】（）因為每個數(shù)位上都是0或者1，取差的絕對值仍然是0或者1，符合Sn的要求然后是減去C的數(shù)位，不管減去的是0還是1，每一個a和每一個b都是同時減去的，因此不影響他們原先的差（）先比較A和B有幾個不同（因為距離就是不同的有幾個），然后比較A和C有幾個不同，這兩者重復的（就是某一位上A和B不同，A和C不同，那么這一位上B和C就相同）去掉兩次（因為在前兩次比較中各計算了一次），剩下的就是B和C的不同數(shù)目，很容易得到這樣的關(guān)系式：h=k+l2i，從而三者不可能同為奇數(shù)（）首先理