高一秋季三角函數(shù)公式強化初稿目標班

1、第8講 三角函數(shù) 公式強化三角函數(shù)6級正弦型函數(shù)的圖象與性質滿分晉級 三角函數(shù)4級正弦定理與余弦定理三角函數(shù)5級三角函數(shù)公式強化 我們在暑假預習時只預習了必修1的內容，沒有預習必修4，但必修4我們有四講預習：角的擴充與三角函數(shù)的定義、基本關系與誘導公式、三角函數(shù)的圖象性質及簡單運用、向量基本概念與運算如果學生普遍進度偏慢，我們會給老師發(fā)放預習講義的隨材這里，我們會在知識點睛中配上少量的題，供老師復習知識點8.1三角函數(shù)的定義考點1 任意角與弧度制知識點睛1角的概念的推廣 角：一條射線繞著端點（頂點）從一個位置（始邊）旋轉到另一個位置（終邊）所成的圖形 角按其旋轉方向可分為：正角（逆時針旋轉），

2、零角（沒有旋轉），負角（順時針旋轉） 在直角坐標系中討論角：角的頂點在原點，始邊在軸的非負半軸上， 角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角； 若角的終邊在坐標軸上，就說這個角不屬于任何象限 終邊相同的角的集合所有與終邊相同的角構成的集合練習1：1判斷下列角的終邊所在的象限或位置：；2與的角終邊相同，絕對值最小的角的大小是_3終邊在軸的正半軸上的角的集合為_終邊在上的角的集合為_【解析】 1第三象限；第二象限；第二象限；軸負半軸；2； 3；2弧度制和弧度制與角度制的換算 角度制：把圓周等分，其中份所對的圓心角是度，用度作單位來度量角的制度叫做角度制 弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角

3、叫做弧度的角規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零任一已知角的弧度數(shù)的絕對值，這種以“弧度”作為單位來度量角的制度叫做弧度制 弧度與角度的換算：， 在弧度制中，我們需要注意兩點：在同一問題中，角度制與弧度制不能混用；例如：終邊與終邊相同的角的集合不能寫成； 弧度制下角可以與實數(shù)可以建立一一對應的關系，所以弧度制表示的角的范圍可以用區(qū)間表示，如，但角度制表示的角的范圍一般不用區(qū)間表示，即不用表示，因為區(qū)間表示的是數(shù)集，但角度數(shù)不是實數(shù)練習2：1將下列角度與弧度互化：2判斷下列角對應的象限：【解析】 1；2二、三、四、三、一、二、二、三、四、四備注：要確定角的終邊所在位置，

4、對于角度制學生比較熟悉，對于由弧度制給出的角，學生通常是選轉化成角度制，再進行判斷的如：1，第一象限；，第二象限；，在第三象限；這時可以引導學生建立實數(shù)直接對應角的概念，直接通過弧度去判斷角所在象限，如下圖，我們把坐標軸對應的角的弧度數(shù)直接標明，再通過所給角與坐標軸表示的角比大小即可確定 考慮到扇形中的計算公式難度不大，應用面也不廣，我們在同步時略去不再講解經典精講 我們從初中的到的角擴充到任意角，有些在初中正確的說法在高中不再正確，例1考查任意角的相關概念，例1考查終邊相同的角的集合的寫法終邊在同一射線上的角相差的整數(shù)倍，終邊在同一直線上的角相差的整數(shù)倍【例1】 下列命題正確的是 終邊相同的

5、角必相等；小于的角是銳角；銳角都是第一象限的角；三角形的內角一定是第一象限或第二象限的角；終邊在同一直線上的角相差（目標班專用）填空：角終邊經過點， 終邊與終邊互為反向延長線的角的集合是_； 終邊與的終邊在同一直線上的角的集合是_； 終邊與的終邊垂直的角的集合是_相差；還有負角與零角；直角位于軸正半軸 【拓展】終邊與終邊垂直的角的集合為終邊與終邊關于軸對稱的角的集合為終邊與終邊關于對稱的角的集合為 確定角的終邊所在的象限對于后面的誘導公式的符號的確定非常重要，例2可以從角的旋轉與終邊對稱的角度出發(fā)去思考兩個角的和為定值的，關于和的一半所對應的角的終邊所在的直線對稱，如與關于的終邊所在的直線即軸

6、對稱，而與關于軸對稱另一方面可以理解成的終邊逆時針旋轉個角度，如果是第象限的角，則是第象限的角（時對稱第一象限），同理在第象限（時對應第四象限）【例2】 （目標班專用）若是第二象限角，確定下列角的終邊所在的象限：若是銳角，那么是（ ）A第一象限角 B第二象限角C第一或第二象限角 D小于的正角若是第一象限角，則，是第幾象限角？【解析】 三、一、四、四、一、三、四、一、二 D因為，所以注意學生容易錯選C 是第一或第三象限角；是第一、第二或第三象限角是第一象限角，故，從而，當時，是第一象限角；當時，是第三象限角；同理有，當時，在第一象限；當時，在第二象限；當時，在第三象限幾何法也可以解決此類問題將單

7、位圓在第一象限的圓弧分成兩等份，（是的分母），再將第二、三、四象限的圓弧等分，逆時針依次標上、，再循環(huán)一遍，直到填滿為止，則有標號的（指的是所在的象限）就是所在的象限如圖所示：在第一、三象限其實，把一個角除以之后，原來在四個象限中的角就分別對應到在的四塊區(qū)域中，因為原來的角相差終邊相同，故對應的區(qū)域有兩塊同理，將單位圓在第一象限的圓弧分成三等份，（是的分母）再將第二、三、四象限的圓弧等分，逆時針依次標上、，再循環(huán)一遍，直到填滿為止，則有標號的（指的是所在的象限）就是所在的象限如圖所示：在第一、二、三象限考點2：三角函數(shù)的定義知識點睛1三角函數(shù)定義在直角坐標系中，設是一個任意角，終邊上任意一點（

8、除了原點）的坐標為，它與原點的距離為，那么 比值叫做的正弦，記作，即； 比值叫做的余弦，記作，即； 比值叫做的正切，記作，即 除了這三個常用的三角函數(shù)外，還有另外三個三角函數(shù)：余切（）、正割（）、余割（），它們的定義分別為：，（），它們的符號分別與正切、余弦與正弦的符號相同2三角函數(shù)的符號由三角函數(shù)的定義，以及各象限內點的坐標的符號，我們可以得知（如下表）： 正弦值對于第一、二象限為正（），對于第三、四象限為負（）； 余弦值對于第一、四象限為正（），對于第二、三象限為負（）； 正切值對于第一、三象限為正（同號），對于第二、四象限為負（異號）三角函數(shù)的符號有很多記憶的口訣，可以介紹并用來活躍一下

9、課堂氣氛如： 一全正、二正弦、三兩切（或三正切）、四余弦；是從哪個象限的三角函數(shù)名為正出發(fā)的； 七言絕句的一句：塞（S）上靠（C）右探（T）對角（上面兩個象限為正，右邊兩個象限為正，對角兩個象限為正）； 還有人總結成一個字“才”，按筆畫順序分別對應：一橫對應正弦，一豎對應余弦，一撇對應正切三角函數(shù)的符號從定義非常容易得到，但需要通過練習熟悉掌握，本講很多內容都屬于基本功范疇，如特殊角的弧度數(shù)與三角函數(shù)值，需要深入骨髓，非常非常熟練才行 三角函數(shù)的定義是在初中的銳角三角函數(shù)定義基礎上的推廣，與初中的定義是融洽的初中正弦的定義是對邊比斜邊，余弦的定義是鄰邊比斜邊，正切的定義是對邊對鄰邊，是在直角三

10、角形中解決的，而現(xiàn)在定義的三角函數(shù)值對于象限角來說仍然可以借助于直角三角形，再加上符號但如果終邊落在坐標軸上，那么就只能用定義求出三角函數(shù)值，對這類角的三角函數(shù)值學生會有個熟悉過程，可以通過下面的練習3讓學生練習一下練習3：求下列特殊角的三角函數(shù)值：經典精講【鋪墊】 已知角的終邊經過點，那么 ； ； 若，且角的終邊經過點，則是第 象限角， ， ， 四， ，依題意有 ，解得所以，【例3】 已知角終邊上一點到軸的距離與到軸的距離比為，求的值已知角的終邊是射線，求與的值（目標班專用）角的頂點為坐標原點，終邊在直線上，且，若是終邊上的一點，且，求的值【解析】 由已知可得，設或或或，則，或或或 在終邊上

11、取一點，則， 角終邊在直線上，且【例4】 已知點在第三象限，則角在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限若三角形兩內角滿足，則此三角形為（ ）A銳角B鈍角 C直角 D不確定若，下列函數(shù)值中為負的是( )A B C D的值（ ）A小于 B大于 C等于 D不存在（目標班專用）設是第二象限角，則點在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（目標班專用）若，則的值（ ）A小于 B大于 C等于 D不確定，與有關【解析】 B 依題意，且是三角形的內角，即，為鈍角. D為第二象限角，為第四象限角，為第一象限角，為第四象限角故只有選項D， B B是第二象限角，角在第四象限內故，所以點在

12、第二象限 D；異號為第二或第四象限角若是第二象限角，則，又由正余弦函數(shù)的定義知故，將它看成一個弧度數(shù)，為第四象限角，從而；同理，為第一象限角，故所以，當是第二象限角時，若是第四象限角，類似討論得考點（目標班專用）：三角函數(shù)的定義的進一步挖掘 從三角函數(shù)的定義中可以得到一些代數(shù)關系，包括三角函數(shù)的有界性、不同范圍的角的正弦值與余弦值的大小關系、包括后面的同角三角函數(shù)的基本關系式這些內容在講完三角函數(shù)的圖象時，會從圖象角度去理解，現(xiàn)在也可以從單純的三角函數(shù)定義的角度去思考此考點僅限目標班，結合三角函數(shù)的定義與特殊角的三角函數(shù)值，提出與的有界性，即，緊接著是后面的目標班的專用版塊單位圓的三角函數(shù)線，

13、利用三角函數(shù)線能更直觀的解決更多與三角函數(shù)相關的不等式問題對于尖子班，這些內容會等到下一講正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象時再提出【例5】 函數(shù)的定義域是（）A BC D若方程有實根，求角的所有可能的取值【解析】 B定義域需滿足且，再結合定義可得到的取值范圍 一元二次方程有實根，即，而，則，角 的終邊在軸上即所求角的集合為【拓展】已知為銳角，用三角函數(shù)的定義證明：【解析】 在角的終邊上任取一點（異于原點），則，為銳角，單位圓與三角函數(shù)線考點（目標班專用）：三角函數(shù)線知識點睛1 單位圓：一般地，我們把半徑為的圓叫做單位圓 如下圖，角的終邊與單位圓交于點過作軸的垂線，垂足為過點作單位圓的切線，它與角的終邊

14、或其反向延長線交于點根據(jù)三角函數(shù)的定義，我們有：；坐標軸是規(guī)定了方向的直線，直角坐標系內的點的坐標與坐標軸的方向有關因此一個自然的想法就是以坐標軸的方向來規(guī)定線段的方向，以使它們的取值與點的坐標聯(lián)系起來當角的終邊不在坐標軸上時，以為始點，為終點，規(guī)定：當線段與軸同向時，的方向為正，且有正值；當線段與軸反向時，的方向為負，且有負值其中為點的橫坐標所以無論哪一種情況都有同理，可以得到，無論哪一種情況都有；有向線段：像，這種被看作帶有方向的線段叫做有向線段規(guī)定：與坐標軸方向一致時為正，與坐標方向相反時為負2與單位圓有關的有向線段，分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線 三條有向線段的位置

15、：正弦線為的終邊與單位圓的交點到軸的垂直線段；余弦線在軸上；正切線在過單位圓與軸正方向的交點的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內，一條在單位圓外 三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向垂足；正切線由切點指向與的終邊的交點 三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前，終點字母在后利用三角函數(shù)線就可以解決一些與三角不等式相關的問題：練習：在單位圓中，利用三角函數(shù)線求出滿足的角的范圍在單位圓中，利用三角函數(shù)線求出滿足的角的范圍【解析】 如圖所示，如圖所示，經典精講【鋪墊】已知，試證明：【解析】 作出單位圓如圖，所以又，所以因此【例6】 已知為銳角，求證：若，求使

16、成立的的取值范圍【解析】 如圖，設角的終邊與單位圓相交于點，過作軸，軸，為垂足，連結，在中，而,即，故 由三角函數(shù)定義結合三角函數(shù)線，在內，使成立的的取值范圍是 【點評】 可根據(jù)三角函數(shù)線快速寫出正余弦大小關系所對應的角的終邊范圍，從而寫出角的范圍【拓展】以下命題正確的是（ ）A是第一象限角，若，則B是第二象限角，若，則C是第三象限角，若，則D是第四象限角，若，則【解析】 D如圖，設是角的終邊與單位圓的交點，過分別作軸的垂線則分別為二角的正弦線，分別為余弦線由于在第一象限，所以余弦線越長角的余弦值越大，從而為的終邊，為的終邊，顯然，故A不正確同理可知，錯，正確【拓展】均屬于區(qū)間，且滿足，則（

17、）A B C D【解析】 C對于任意，如圖，在單位圓中，的長度為，而，即，結合三角函數(shù)圖象，可知，對任意，有，若，即，由于都屬于，則，則有，矛盾！從而即，即，若，即，則，所以，即，所以，從而有8.2同角三角函數(shù)基本關系與誘導公式考點3：同角三角函數(shù)基本關系知識點睛 同角三角函數(shù)的基本關系式解決的是同角問題，揭示的是同一個角的正弦、余弦與正切之間的關系，這三個關系式有以下幾個應用： 基本應用：知一求二，可以通過構造直角三角形求值，同時注意三角函數(shù)值的符號；例：設是第二象限角，則_ ;_設是第四象限角，則_ ;_答案：、；可以構造一個的直角三角形，再判斷符號；、；可以構造一個的直角三角形，再判斷符

18、號 變形應用一：由得：在符號確定的情況下，可以知一求二進而求出的值例：已知，則 ; 答案：； 變形應用二：在已知的情況下，可以直接處理關于與的齊次分式（所謂齊次分式是指分子與分母的所有單項式次數(shù)都相同）例：已知，則_；_ 分析：前者是一次齊次分式，分子分母同時除以；后者是二次齊次分式，分子分母同時除以，都可以轉化成只關于的式子也有人將的式子代入，將分子轉化成只含或的式子答案：，； 注意“”的變形使用：可用于配平方式與齊次式轉化 后面三角恒等變換中還會學習更多的關于的轉化例： ，則( )ABCD已知，則_答案：，故，A正確； 如果把另外三個三角函數(shù)，加進來，還會有一些其它的公式：經典精講【例7】

19、 _；若，則( )ABCD (目標班專用)（ ）A B C D已知，求下列各式的值上式；，即，故A正確； B當時，原式當時，原式原式原式原式.【拓展】若，則的值為( )A. B C D【解析】 A由已知得： ，即,所以. 【拓展】 已知，則_ 若，則（ ）AB C D B因為，所以，即所以考點4：誘導公式知識點睛我們如何將一個非常大或者非常小的角轉化成一個我們熟悉的，最好是范圍內的角，這是我們誘導公式要解決的問題 整圈不變，即相差的整數(shù)倍三角函數(shù)值不變，即公式一，這樣一個角可以轉化到上； 對弦來說半圈改變，即相差的奇數(shù)倍，弦的值變成相反數(shù)，正切不變，于是轉化到上； 然后我們想到上的角轉化到上，

20、終邊關于軸對稱的兩個角，正弦值相等，余弦與正切值都變?yōu)橄喾磾?shù)；其實通過所有的角都可以轉化成內的角了為了讓有些轉化更直接，我們還可以考慮： 終邊考慮關于軸對稱的兩個角，余弦值相等，正弦與正切值變成相反數(shù)，這在后面會對應函數(shù)的奇偶性； 當兩個角的終邊關于對稱時，兩個角的正弦與余弦值互換，即公式五，由于不講余切，所以這個公式只針對正弦與余弦，否則對正切與余切也有同樣的關系課本的誘導公式還有一組的，這組公式很容易由上面的公式得到，所以不再作為一組公式 誘導公式的推導可以從點的對稱得到：如圖，若角的終邊與單位圓的交點為，則，根據(jù)圓的對稱性，有如下結論： 的終邊與角的終邊關于原點對稱，與單位圓的交點為；的

21、終邊與角的終邊關于軸對稱，與單位圓的交點為； 的終邊與角的終邊關于軸對稱，與單位圓的交點為； 的終邊與角的終邊關于直線軸對稱，與單位圓的交點為 公式一：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等 公式二：角與的三角函數(shù)間的關系 公式三：角與的三角函數(shù)間的關系 公式四：角與的三角函數(shù)間的關系 公式五：角與的三角函數(shù)間的關系 誘導公式有統(tǒng)一的記憶方法：“奇變偶不變，符號看象限”奇變偶不變指的是對于任意三角函數(shù)，以為例，若為偶數(shù)，則函數(shù)名不改變若為奇數(shù)，則函數(shù)名改變成余弦；符號看象限是指，假定為第一象限內的角，根據(jù)的正負判斷變換后的三角函數(shù)的符號，所以主要是看所在的象限如：，偶不變，值與同，是第一象限角時，在第三象限，于是為