高中數(shù)學(xué)離心率的常見求法

1、離心率的常見求法一、知識(shí)總結(jié)1.橢圓、雙曲線的離心率 .2.拋物線的離心率.3.圓錐曲線的離心率常見的有兩種方法：公式法和方程法.二、題型歸納方法一公式法使用情景比較容易求出和，或者容易得到的關(guān)系.解題步驟先根據(jù)已知條件求出和,或者的關(guān)系，再代入離心率的公式化簡(jiǎn)求解.【例1】已知橢圓的左焦點(diǎn)為與過原點(diǎn)的直線相交于兩點(diǎn)，連接，若，則的離心率 .【點(diǎn)評(píng)】(1)本題是2003年遼寧省的理科高考題，有一定難度，綜合性比較強(qiáng)，它反映的基本思路，就是利用公式法求橢圓的離心率，先求出橢圓的和,再代入離心率的公式求解即可.(2)本題關(guān)鍵是要聯(lián)想到橢圓的定義，會(huì)靈活利用橢圓的對(duì)稱性來分析求解.【變式練習(xí)1】已知

2、P是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左右焦點(diǎn)分別是,若,則此橢圓的離心率為_.【例2】已知點(diǎn)在雙曲線上，直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線、的斜率之積為，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要是利用已知條件得到了和的關(guān)系，再直接代入離心率的公式化簡(jiǎn)得到的.【變式練習(xí)2】已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過作圓的切線，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交雙曲線右支于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為 （ ）A. B.5 C.2 D.【變式練習(xí)3】設(shè),分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，（1）若的周長(zhǎng)為16，求；（2）若，求橢圓的離心率.方法二方程法使用情景把已知的等式化簡(jiǎn)可以得到一個(gè)關(guān)于和的方程.解題步驟把已知的等

3、式化簡(jiǎn)可以得到一個(gè)關(guān)于和的方程,再把該方程化為關(guān)于離心率的一次或二次方程，直接計(jì)算出離心率. 【例3】過橢圓的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（ ）A. B. C. D. 【點(diǎn)評(píng)】(1)本題經(jīng)過整理得到，再把方程的兩邊同時(shí)除以，得到一個(gè)關(guān)于離心率的方程，解方程即可得到離心率的值.(2) 是一個(gè)關(guān)于的齊二次方程，這種方程兩邊同時(shí)除以,即可得到一個(gè)關(guān)于離心率的方程，解方程即可.【變式練習(xí)4】設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)若在雙曲線右支上存在點(diǎn)，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為 （ ）A B2 C D【變式練習(xí)5】設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上

4、存在點(diǎn)，使,且，則橢圓的離心率為 【變式練習(xí)6】過雙曲線的左頂點(diǎn)作與實(shí)軸垂直的直線，交兩漸近線于,兩點(diǎn)，為該雙曲線的右焦點(diǎn)，若的內(nèi)切圓恰好是，則該雙曲線的離心率為（ ）A B C D 離心率的常見求法參考答案【變式練習(xí)1答案】【變式練習(xí)1詳細(xì)解析】由題得設(shè) 所以.【變式練習(xí)2答案】【變式練習(xí)2詳細(xì)解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)， ， ，所以，.【變式練習(xí)3答案】（1）5；（2）.（）設(shè)，則且，由橢圓定義可得 在中，由余弦定理可得即化簡(jiǎn)可得，而，故于是有，因此，可得故為等腰直角三角形。從而所以橢圓的離心率.【變式練習(xí)4答案】【變式練習(xí)5答案】【變式練習(xí)5詳細(xì)解析】根據(jù)橢圓的定義,，,勾股定理得 ，化簡(jiǎn)得，即，所以離心