函數(shù)的極值和最值及其應用（Word）

1、函數(shù)的極值和最值及其應用函數(shù)極值的定義設函數(shù)在附近有定義，如果對附近的所有的點，都有，則是函數(shù)的一個極大值。如果附近所有的點，都有，則是函數(shù)的一個極小值，極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。極值點只能在函數(shù)不可導的點或?qū)?shù)為零的點中取得。若函數(shù)在點處可導，且為的極值點，則.這就是說可導函數(shù)在點取極值的必要條件是.函數(shù)最值的定義設函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果存在一點，使得不小于其他所有的，亦即 ，則稱是在上的最大值，又可記為 ；同樣使得不大于其他所有的，亦即 ，則稱是在上的最小值，又可記為 .注意：函數(shù)在上未必一定有最大（?。┲怠Ｗ钪岛蜆O值的聯(lián)系與區(qū)別（1）極值一定是函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的最值；（2）極值未必是最

2、值；（3）如果函數(shù)的最值在某個區(qū)間內(nèi)取得，那么該點一定是極值點。函數(shù)極值、最值的求解方法1、降元法求多元函數(shù)極值的基本方法之一就是選擇兩個變量作為主元，而消去其他變量，化為二元函數(shù)求解。2 / 10 例1：已知，求函數(shù)的極值。解：由題設得，代人得 即函數(shù)的定義域為：當時， 當時，2、轉(zhuǎn)化法在函數(shù)極值法不易直接求解的情況下，應注意觀察題型結(jié)構(gòu)，分析題設特點，把復雜的問題轉(zhuǎn)化為熟知的、易解的問題，通過其他途徑求解。下面二例的解法作為參考。 例2：求函數(shù)的極小值.解：設令則： 例3：求函數(shù)的極值解：原函數(shù)化為： ，其中解得： 3、換元法換元法是把問題進行轉(zhuǎn)化的一種常用方法。例4：已知，求的極值.解：

3、令則（其中） 例5：求函數(shù)的極值分析：本例可通過輔助元把所給函數(shù)化為二次函數(shù)： ，即把上述極值問題轉(zhuǎn)化為拋物線在范圍內(nèi)求最高點和最低點的問題。此處不予以細致解答。4、判別式法若所給函數(shù)式（可加約束條件）如能轉(zhuǎn)化為以某個變量為主元的二次方程，則可用判別式法求函數(shù)的極值。例6：已知滿足，求的最小值.解：由得代人約束條件并以為主元整理得：解得: （1）當且僅當時（1）式取等號。由的對稱性知當時， .或求函數(shù) 的最大值5、不等式法例7：已知滿足，求函數(shù) 的極值。解：由已知式配方得： （1） （2） 得解得其實，函數(shù)極值的解題方法不少,如三角法、參數(shù)法,極坐標法、區(qū)間法等都有一定的技巧性.解題時應認真分

4、析,審查題目的特征、結(jié)構(gòu)、挖掘隱含條件,抓住特征,發(fā)揮聯(lián)想,運用靈活多變的替代、轉(zhuǎn)化,有時還需要反其常規(guī),逆向思維,以退為進選擇合理的解題方法,逐步提高解題技能,才能做到準確簡捷地解題.本文就此不做具體展示。6、幾何法例如：已知，求函數(shù)的最小值。 解：本題的幾何意義是在直線上求一點，使得到點的距離之和為最小。如圖： 設：點坐標為，直線的方程為。由幾何光學原理知當點光源從射出后，經(jīng)鏡面反射到點。這時就是所求的最小值。設點關(guān)于光線的對稱點為，于是 ，由解得 7、導數(shù)法閉區(qū)間上可導函數(shù)的最值來源于區(qū)間端點的函數(shù)值和函數(shù)在這個區(qū)間上的極值，而極值又來源于的根處的函數(shù)值。所以建議求可導函數(shù)在閉區(qū)間a，b

5、上的最值可分以下兩步步驟進行：1.求函數(shù)的導數(shù) 2.求函數(shù)在a，b內(nèi)令的的值（稱之為“駐點” ）3.判斷駐點左右兩側(cè)的正負，以此判斷函數(shù)曲線的走向（為上升，為下降），左邊上升、右邊下降的駐點處的函數(shù)值為極大值，反之為極小值。4.如果函數(shù)駐點較多，分段討論，并可以列表、畫圖表達5.求最大值，將所有極大值和函數(shù)定義域區(qū)間端點的函數(shù)值一起比較，取最大的，則為最大值。最小值亦然。例： 求函數(shù)在閉區(qū)間-2，2上的最大值和最小值。 解：先求導數(shù)得：， 令即，解得 計算得： 比較得雙根式和或差的函數(shù)的最值問題：1、求函數(shù)的最值；2、求函數(shù)的最值；（單調(diào)性法）3、求函數(shù)的最值；（平方法、換元法）4、求函數(shù)的最值；（分子有理化）5、求函數(shù)的最值；（多種方法）6、求函數(shù)的值域；7