數(shù)學(xué)廣角──植樹問題教材分析

1、數(shù)學(xué)廣角植樹問題教材分析 湖北省武漢市華中師范大學(xué)附屬小學(xué)董艷（初稿）湖北省武漢市教育科學(xué)研究院馬青山（統(tǒng)稿）和前面幾冊(cè)教材一樣，本冊(cè)也專門安排了“數(shù)學(xué)廣角”單元，向?qū)W生滲透了一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。本冊(cè)的“數(shù)學(xué)廣角植樹問題”包含三個(gè)例題，主要是滲透有關(guān)植樹問題的一些思想方法，通過現(xiàn)實(shí)生活中一些常見的實(shí)際問題，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，抽取出其中的數(shù)學(xué)模型，然后再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解決生活中的一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題。解決植樹問題的思想方法是實(shí)際生活中應(yīng)用比較廣泛的數(shù)學(xué)思想方法。植樹問題通常是指沿一定的路線植樹，這條路線的總長(zhǎng)度被樹平均分成若干段（間隔），由于路線的不同、植樹要求的不同，路線被分成的段數(shù)（間

2、隔數(shù)）和植樹的棵數(shù)之間的關(guān)系就不同。在現(xiàn)實(shí)生活中類似的問題還有很多，比如公路兩旁安裝路燈、花壇擺花、廣場(chǎng)敲鐘等，這些問題情境中都隱藏著總數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系問題，我們就把這類問題統(tǒng)稱為植樹問題。在植樹問題中，“植樹”的路線可以是一條線段，也可以是一條首尾相接的封閉曲線（如正方形、長(zhǎng)方形或圓形等）。即使是關(guān)于一條線段的植樹問題，也可能有不同的情形（如兩端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是兩端都不栽）。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）強(qiáng)調(diào)：“要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多

3、方面得到進(jìn)步和發(fā)展”。教材在編排上，注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生初步體會(huì)解決植樹問題的思想方法（模型思想），培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題中探索解決問題的有效方法的能力。在教學(xué)植樹問題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題情境，從簡(jiǎn)單的情況入手，在解決問題的分析、思考過程中，逐步發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律，經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型的過程，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。下面就教材中安排的三個(gè)典型例題進(jìn)行分析。一、經(jīng)歷解決問題的過程教材第106頁(yè)例1通過學(xué)生熟悉的植樹情境，引導(dǎo)學(xué)生借助線段圖，經(jīng)歷猜想、實(shí)驗(yàn)、抽象等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，探索間隔與點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系，建立植樹問題的數(shù)學(xué)模型，再運(yùn)

4、用模型解決實(shí)際問題。讓學(xué)生經(jīng)歷分析、思考、解決問題的全過程。教材用幾個(gè)小朋友的對(duì)話和圖片來呈現(xiàn)學(xué)生探索解決問題的過程。首先由一個(gè)男孩說出學(xué)生們可能會(huì)想到的答案：“100÷5=20（棵）”，接著一個(gè)女孩問：“對(duì)嗎？檢驗(yàn)一下”，來引發(fā)學(xué)生思考。接下來由小精靈提出了解決問題的常用方法從簡(jiǎn)單的情況入手解決復(fù)雜的問題。這里先呈現(xiàn)直觀的圖示法，讓學(xué)生看到把一條線段平均分成4段，加上兩個(gè)端點(diǎn)，一共有5個(gè)點(diǎn)，也就是要栽5棵樹。使學(xué)生發(fā)現(xiàn)植樹時(shí)確定樹苗數(shù)量的問題并不能簡(jiǎn)單地用除法來解決。緊接著一個(gè)小男孩提出“25 m可以栽幾棵？”這次用畫線段圖的方式解決問題，不僅在研究方法上從直觀轉(zhuǎn)為抽象，更是向?qū)W生

5、滲透歸納思想一個(gè)特例不足以說明問題，多個(gè)不同的事物才能揭示規(guī)律。然后向?qū)W生提問：“你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？”啟發(fā)學(xué)生透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)規(guī)律，也就是栽樹的棵數(shù)要比間隔數(shù)多1。同時(shí)教材進(jìn)一步提出“不畫圖，你知道30 m、35 m要栽幾棵樹嗎？”讓學(xué)生利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律先解決簡(jiǎn)單的問題。最后教材要求應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解決前面的植樹問題：100 m長(zhǎng)的小路共有20個(gè)間隔，兩端都要栽，所以一共要栽21棵樹。這樣就把分析、思考、解決問題的整個(gè)全過程展示出來，讓學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)過程并從中學(xué)習(xí)一些解決問題的方法和策略。即遇到問題時(shí)，可以先給出一個(gè)猜測(cè)，要判斷這個(gè)猜測(cè)對(duì)不對(duì)，可以用比較簡(jiǎn)單的例子來檢驗(yàn)，并且可以從簡(jiǎn)單的事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律

6、，然后應(yīng)用找到的規(guī)律來解決原來的問題。對(duì)于例2（兩端不栽的情況）以及第107頁(yè)“做一做”第2題（一端栽一端不栽的情況），由于學(xué)生前面有了探索的經(jīng)驗(yàn)，這里可以放手讓學(xué)生去探索，用自己的方法去發(fā)現(xiàn)這兩種情況的植樹問題中隱含的規(guī)律。二、體會(huì)基本的數(shù)學(xué)思想本單元通過一些生活中的事例，讓學(xué)生根據(jù)不同的情況總結(jié)出規(guī)律，并利用這些規(guī)律解決問題。但是，本單元的教學(xué)最終目的并不只是讓學(xué)生明白規(guī)律，而是要引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步探究規(guī)律的產(chǎn)生原因，幫助其建立“一一對(duì)應(yīng)”的思維方式，形成解決問題的策略，從而體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。在“植樹問題”中最重要的數(shù)學(xué)思想就是模型思想，而如何讓學(xué)生理解從實(shí)際問題中抽象出

7、數(shù)學(xué)模型的過程是教學(xué)“植樹問題”的難點(diǎn)。為了突破這一難點(diǎn)，教材突出了線段圖的教學(xué)，通過幾何直觀幫助學(xué)生理解“植樹問題”的數(shù)學(xué)模型。例1是探討關(guān)于一條線段、并且兩端都要栽的植樹問題，讓學(xué)生通過畫線段圖來發(fā)現(xiàn)栽樹的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系。通過這兩幅圖，讓學(xué)生把“點(diǎn)”（樹）與“線”（間隔）一一對(duì)應(yīng)起來，結(jié)果發(fā)現(xiàn)還多出一個(gè)“點(diǎn)”（樹），所以“栽樹棵數(shù)=間隔數(shù)+1”。例2通過遷移呈現(xiàn)出兩端都不栽的線段圖，“做一做”的第2題讓學(xué)生通過遷移畫出一端栽另一端不栽的線段圖。例3則讓學(xué)生理解在封閉曲線上植樹的線段圖的畫法以及溝通它和一條線段上植樹中的一端栽另一端不栽的聯(lián)系。整個(gè)單元教材通過線段圖的教學(xué)，突出“一一

8、對(duì)應(yīng)”的思想，并以此為基礎(chǔ)分析植樹問題三種不同的情況，即“兩端都栽”“只栽一端”與“兩端都不栽”。無論哪種情形，都能用“一一對(duì)應(yīng)”的思想統(tǒng)領(lǐng)。教材通過選取生活中不同的事例，讓學(xué)生體會(huì)一種在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究問題上都很重要的數(shù)學(xué)思想方法化歸思想，使學(xué)生感悟到應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題所帶來的便利。同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生在解決實(shí)際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效方法的能力，初步培養(yǎng)學(xué)生抽取數(shù)學(xué)模型的能力。在練習(xí)中，教材以“植樹問題”為背景幫助學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到路燈問題、敲鐘問題、鋸木問題等都與“植樹問題”有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。三、感受轉(zhuǎn)化的研究方法，積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)教材第108頁(yè)例3討論的是

9、在封閉圖形周圍栽樹的情形。學(xué)生學(xué)習(xí)了例1、例2后，掌握了直線段中的植樹問題（在線段的兩端都栽、兩端都不栽或只栽一端的情況下，栽的棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系）。教材這樣的編排意圖很顯然是要用植樹問題的思考方法來解決封閉圖形中的植樹問題。面對(duì)封閉圖形中的植樹問題，教材首先提示研究方法：“先畫圖試試看。假設(shè)周長(zhǎng)是40 m”，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面例1、例2的研究經(jīng)驗(yàn)直觀作圖、化繁為簡(jiǎn)來嘗試解決問題。當(dāng)學(xué)生直觀看出能栽4棵后，教材并不急于讓學(xué)生探索出封閉圖形植樹問題中的規(guī)律（即間隔數(shù)等于棵數(shù)），而是請(qǐng)小精靈進(jìn)一步提出問題：“如果把圓拉直成線段，你能發(fā)現(xiàn)什么？”從而把學(xué)生的思維引向深處。讓學(xué)生通過觀察、思考發(fā)現(xiàn)，化曲

10、為直后，封閉圖形上植樹其實(shí)可以轉(zhuǎn)化成“一端栽另一端不栽”的情形。接下來，教材通過兩位學(xué)生的對(duì)話“我發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)與樹一一對(duì)應(yīng)”“相當(dāng)于一端栽，一端不栽”，不僅揭示了封閉圖形上植樹的規(guī)律，更是為學(xué)生溝通了例3與前面的例1、例2間的聯(lián)系。本單元注重讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等活動(dòng)，使學(xué)生既學(xué)會(huì)一些解決問題的一般方法與策略，又積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。例如，例1通過“對(duì)嗎？檢驗(yàn)一下”“100 m太長(zhǎng)了，可以先用簡(jiǎn)單的數(shù)試試”“你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律”等，滲透了“猜測(cè)探索歸納應(yīng)用”的解決問題的策略和化繁為簡(jiǎn)的解決問題的方法數(shù)學(xué)廣角植樹問題重難點(diǎn)突破 湖北省武漢市華中師范大學(xué)附屬小學(xué)董艷（初稿）湖北省武

11、漢市教育科學(xué)研究院馬青山（統(tǒng)稿）一、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，探尋規(guī)律突破建議：本單元是讓學(xué)生通過生活中的簡(jiǎn)單事例，初步體會(huì)解決植樹問題的思想方法，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生在解決實(shí)際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效方法的能力，初步培養(yǎng)學(xué)生抽取數(shù)學(xué)模型的能力。教師教學(xué)時(shí)，應(yīng)從實(shí)際問題入手，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的分析、思考過程中逐步發(fā)現(xiàn)隱含于不同的情形中的規(guī)律，經(jīng)歷抽取出數(shù)學(xué)模型的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。二、初步體會(huì)植樹問題的數(shù)學(xué)思想方法突破建議：“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)目的主要是讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的形成過程和感悟數(shù)學(xué)思想方法。本單元并非讓學(xué)生記熟規(guī)律、熟練解決與植樹問題相類似的實(shí)際問題，而是把解決植樹問題作

12、為滲透數(shù)學(xué)思想和方法的一個(gè)學(xué)習(xí)支點(diǎn)。在教學(xué)中教師不妨讓學(xué)生先猜測(cè)，再動(dòng)手操作、實(shí)踐驗(yàn)證。怎樣檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果是否正確？初步向?qū)W生滲透用比較簡(jiǎn)單的例子來驗(yàn)證較為復(fù)雜的問題，即化繁為簡(jiǎn)的思想。例1教學(xué)中，假設(shè)路長(zhǎng)只有20米，要栽幾棵樹呢？提示學(xué)生用畫線段圖或者示意圖的方式來輔助思考，從中滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想。這樣學(xué)生就很容易地發(fā)現(xiàn)直接用除法20÷5=4算出的結(jié)果和通過直觀圖看出的5棵樹有沖突，引發(fā)學(xué)生的思考。還要結(jié)合教材中“對(duì)嗎？檢驗(yàn)一下”“可以畫線段圖來驗(yàn)證”等線索，向?qū)W生滲透簡(jiǎn)單的化歸、數(shù)形結(jié)合、一一對(duì)應(yīng)、模型、推理等數(shù)學(xué)思想，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。三、應(yīng)用畫圖策略，有效地解決生活中的

13、植樹問題突破建議：在日常教學(xué)中，在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣是非常重要的。因此，教師在教學(xué)中要重視畫線段圖的方法，并通過多媒體直觀演示輔助教學(xué)，突出“一一對(duì)應(yīng)”思想，把間隔點(diǎn)數(shù)和栽樹的棵數(shù)對(duì)應(yīng)起來。之后讓學(xué)生再用“25 m”或者自己列舉的數(shù)據(jù)進(jìn)一步探究，教師可以出示統(tǒng)計(jì)表，學(xué)生將研究結(jié)果記錄下來，利用統(tǒng)計(jì)表發(fā)現(xiàn)栽樹的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的規(guī)律。四、用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決生活中的一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題突破建議：植樹問題的模型是現(xiàn)實(shí)世界中一類相近問題的拓展，它源于現(xiàn)實(shí)，又高于生活。所以，在現(xiàn)實(shí)中有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值。為了讓學(xué)生理解這一建模的意義，在教學(xué)中把植樹問題推廣到與植樹問題相近的一些問題

14、中，以圖片、文字等形式讓學(xué)生了解生活中與植樹問題相似的現(xiàn)象，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)現(xiàn)實(shí)生活中的許多不同事件（如隊(duì)列問題、公交站問題、敲鐘問題等），這些問題都含有與植樹問題相同的數(shù)量關(guān)系，它們都可以利用植樹問題的模型來解決，使學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)建模的重要意義。從而引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決生活中的一些實(shí)際問題，體驗(yàn)生活中的數(shù)學(xué)，充分感受到數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活，又回歸于生活。但是，也要注意不要對(duì)例題進(jìn)行過多的變式，提高問題的難度，造成教學(xué)要求過高。數(shù)學(xué)廣角植樹問題課標(biāo)解讀 湖北省武漢市華中師范大學(xué)附屬小學(xué)董艷（初稿）湖北省武漢市教育科學(xué)研究院馬青山（統(tǒng)稿）    一、課標(biāo)要求義

15、務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）在“總目標(biāo)”中提出了“在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法”“學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式”。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）在“學(xué)段目標(biāo)”的“第二學(xué)段”中提出“嘗試從日常生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用一些知識(shí)加以解決”“能探索分析和解決簡(jiǎn)單問題的有效方法，了解解決問題方法的多樣性”。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）在“課程內(nèi)容”的“第二學(xué)段”中提出“通過應(yīng)用和反思，進(jìn)一步理解所用的知識(shí)和方法，了解所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。  

16、60; 二、課標(biāo)解讀教材中設(shè)置“數(shù)學(xué)廣角”單元教學(xué)內(nèi)容的目的不是教會(huì)學(xué)生機(jī)械的公式和抽象的模型，而是讓學(xué)生體驗(yàn)探索建立模型的過程和數(shù)學(xué)思想方法。在本冊(cè)的“數(shù)學(xué)廣角植樹問題”的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜測(cè)、試驗(yàn)、推理等活動(dòng)，初步體會(huì)解決植樹問題的思想方法（模型思想），培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題中探索解決問題有效方法的能力。在教學(xué)植樹問題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題情境，從簡(jiǎn)單的情況入手，在解決問題的分析、思考過程中，逐步發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律，經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型的過程，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。（一）在觀察、猜測(cè)、試驗(yàn)、推理等活動(dòng)中體會(huì)解決基本的思想方法小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系貫穿

17、著兩條主線：數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)知識(shí)是一條明線，直接呈現(xiàn)在教材上；而數(shù)學(xué)思想方法則是一條暗線，隱藏在知識(shí)的背后?！皵?shù)學(xué)廣角”中的“植樹問題”，承載了基本的數(shù)學(xué)思想方法“化繁為簡(jiǎn)”“數(shù)形結(jié)合”“一一對(duì)應(yīng)”和“數(shù)學(xué)建?！钡?，使學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽取出其中的數(shù)學(xué)模型（點(diǎn)段關(guān)系），然后再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解決生活中的一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題。1在困頓中感悟“化歸”的思想人們?cè)诿鎸?duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果直接應(yīng)用已有知識(shí)不能或不易解決該問題時(shí)，往往將需要解決的問題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決，這種思想方法稱為化歸（轉(zhuǎn)化）思想。在教學(xué)例1中，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“100米一共要

18、栽多少棵樹”進(jìn)行驗(yàn)證，在畫圖時(shí)引發(fā)困惑，數(shù)字太大，不可能全部畫下來，或是太麻煩、太浪費(fèi)時(shí)間了。在學(xué)生有所體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，就此向?qū)W生滲透復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的思想，讓學(xué)生選擇短距離（20米），用畫圖的方式得出結(jié)果。在這個(gè)過程中，學(xué)生通過猜想、實(shí)驗(yàn)、推理、交流等活動(dòng)，既培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思想能力，學(xué)會(huì)了一些解決問題的方法，又逐步形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和精神。2在探究中滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想數(shù)形結(jié)合是小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的、重要的一種數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)即通過數(shù)形之間的相互轉(zhuǎn)化，把抽象的數(shù)量關(guān)系，通過形象化的方法轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膱D形，從圖形的結(jié)構(gòu)直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的內(nèi)在聯(lián)系，解決數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)問題，這是數(shù)形結(jié)

19、合思想。本冊(cè)的“數(shù)學(xué)廣角植樹問題”把從直觀圖形支持下得到的模型應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中，溝通圖形、表格及具體數(shù)量之間的聯(lián)系，強(qiáng)化對(duì)題意的理解。教師可以組織學(xué)生在課堂上“模擬植樹”。用 “_”代表一段路，用“”代表一棵樹，畫“”就表示種了一棵樹。關(guān)于在20米長(zhǎng)的路可以栽多少棵樹的問題，讓學(xué)生自己動(dòng)手畫一畫。學(xué)生根據(jù)圖示，很容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。再?gòu)膫€(gè)別的、簡(jiǎn)單的幾個(gè)例子出發(fā)，逐步過渡到復(fù)雜的、更一般的情境中，是數(shù)學(xué)中常用的推理方法。這個(gè)過程中，學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合將文字信息與學(xué)習(xí)基礎(chǔ)結(jié)合起來，使得學(xué)習(xí)得以繼續(xù)，使得學(xué)生思維發(fā)展有了基礎(chǔ)，也使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想方法真正得以滲透。因此，數(shù)形結(jié)合能不失時(shí)機(jī)地為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)?/p>

20、形象材料，可以將抽象的數(shù)量關(guān)系具體化，把無形的解題思路形象化。3在抽象中明晰“一一對(duì)應(yīng)”思想本冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角植樹問題”的教學(xué)，通常有兩種教學(xué)思路：一種思路是通過教材主題圖中得三組實(shí)例歸納出規(guī)律，利用畫圖、小棒或圓片的排列來驗(yàn)證規(guī)律，進(jìn)而結(jié)合生活實(shí)際應(yīng)用規(guī)律。這種教學(xué)邏輯性強(qiáng)，規(guī)律揭示很順暢，但是從教學(xué)效果看，學(xué)生雖然能夠“熟記”規(guī)律，卻不能靈活解決諸如“封閉、不封閉”“兩端都栽、只栽一端、兩端都不栽”這類問題，更不能用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)統(tǒng)領(lǐng)“間隔排列”的現(xiàn)象。另一種思路是在深入鉆研教材的基礎(chǔ)上，真正把握“間隔排列”的實(shí)質(zhì)：兩種物體間隔排列，這兩種物體的排列一一對(duì)應(yīng)。對(duì)應(yīng)，是間隔排列的本質(zhì)。課堂教學(xué)中，通過

21、“感知對(duì)應(yīng)現(xiàn)象激活對(duì)應(yīng)思想建構(gòu)對(duì)應(yīng)思想升華對(duì)應(yīng)思想”層層深入的教學(xué)行為，抓住蘊(yùn)含在教材中得一一對(duì)應(yīng)思想，有效統(tǒng)領(lǐng)種種紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象，使學(xué)生真正感知了一一間隔排列的特點(diǎn)，掃清了思維上的障礙，層層推進(jìn)認(rèn)識(shí)的完善和引申。4在運(yùn)用中體驗(yàn)“模型思想”義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）中提出：在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生感悟建模過程，發(fā)展“模型思想”?！皵?shù)學(xué)模型”是數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子以及數(shù)量關(guān)系對(duì)現(xiàn)實(shí)原型簡(jiǎn)化的本質(zhì)的描述。模型思想的教學(xué)，不是作為像具體數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)那樣可以單獨(dú)作為一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容來進(jìn)行專門教學(xué)，而是融入到具體數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)過程中，讓學(xué)生在經(jīng)歷“問題情境建立模型解決問題拓展運(yùn)用”的學(xué)習(xí)過程中逐漸領(lǐng)悟

22、的。在本冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角植樹問題”的教學(xué)中，教材以“猜想試誤合作探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律（建立模型）深化規(guī)律（再次建模）解釋運(yùn)用”為主線，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)問題實(shí)質(zhì)，為后面解決問題奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生在經(jīng)歷了實(shí)物操作、圖示表達(dá)、抽象概括等程序，逐層提升，拾級(jí)而上，一步一步地從生活向數(shù)學(xué)的內(nèi)核逼近。在數(shù)學(xué)抽象時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生逐層深入地進(jìn)行推理研究，從“20米、30米、35米、100米”，讓學(xué)生聯(lián)想到“點(diǎn)數(shù)比段數(shù)多1”，從而建立起“點(diǎn)線”間關(guān)系模型。舉一反三，觸類旁通。最后，引導(dǎo)學(xué)生用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律去解決更多的實(shí)際問題（兩端都不栽的情況和只栽一端的情況）。這樣的教學(xué)，也正體現(xiàn)了“

23、數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與運(yùn)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展”的要求。（二）在觀察、猜測(cè)、試驗(yàn)、推理等活動(dòng)中積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）中提出：數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的結(jié)果。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在“學(xué)生主動(dòng)地從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流”等數(shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行的。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的產(chǎn)物，也是學(xué)生認(rèn)識(shí)和實(shí)踐的基礎(chǔ)。1經(jīng)歷觀

24、察、操作過程，積累體驗(yàn)性經(jīng)驗(yàn)    在教學(xué)“數(shù)學(xué)廣角”時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證，進(jìn)行動(dòng)手操作（如擺、畫、做等），讓學(xué)生逐漸地意會(huì)、體驗(yàn)、感悟。為了讓學(xué)生“動(dòng)”起來，在“動(dòng)”的過程中體驗(yàn)知識(shí)的形成過程，教材不斷地提出問題，抓住數(shù)量關(guān)系做重點(diǎn)分析。放手讓學(xué)生想一想、畫一畫、說一說，既滿足了學(xué)生的表現(xiàn)欲望，又培養(yǎng)了學(xué)生自主探究的能力，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給了學(xué)生。學(xué)生對(duì)植樹棵數(shù)和段數(shù)的關(guān)系有了初步的感性認(rèn)識(shí)后，讓學(xué)生再任意畫一畫、種一種，更豐富了學(xué)生的感性材料，為學(xué)生順利發(fā)現(xiàn)并總結(jié)規(guī)律打下了基礎(chǔ)。在這個(gè)過程中，學(xué)生慢慢積累分析和解決問

25、題的一些經(jīng)驗(yàn)，然后將這些經(jīng)驗(yàn)遷移運(yùn)用到后面的數(shù)學(xué)活動(dòng)中。而這些經(jīng)驗(yàn)是我們老師沒法“教”給學(xué)生的，必須由學(xué)生經(jīng)歷大量的數(shù)學(xué)活動(dòng)逐步獲得，也就是我們以前常說的“做中學(xué)”之后所留下的，有關(guān)數(shù)學(xué)活動(dòng)的直接感受、體驗(yàn)和個(gè)人感悟。2經(jīng)歷探究、思考過程，積累方法性經(jīng)驗(yàn)這里的“探究”指的是融行為操作與思維操作于一體的活動(dòng)。本冊(cè)的“數(shù)學(xué)廣角植樹問題”教材編者意圖是讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)“化繁為簡(jiǎn)”的思想，并通過各種活動(dòng)，借助直觀圖理解“間隔數(shù)與棵數(shù)”之間的數(shù)量關(guān)系。如“100米太長(zhǎng)了，怎么辦？”“如果小路長(zhǎng)度不是20米了，樹的棵數(shù)又發(fā)生了什么變化呢？”“25米、30呢？”“不畫了，你發(fā)現(xiàn)了什么？”不斷提出新的要求，產(chǎn)生

26、新的矛盾，使學(xué)生的思維處于碰撞之中，掌握解決問題的有效方法。3經(jīng)歷概括、反思過程，積累“數(shù)學(xué)地思考”的經(jīng)驗(yàn)概括是形成和掌握概念的直接前提。如果沒有概括，就無法進(jìn)行邏輯推理，思維的深刻性和批判性就無從談起；沒有概括，就不可能產(chǎn)生靈活的遷移，思維的靈活性和創(chuàng)造性就無法形成；沒有概括，就無法實(shí)現(xiàn)思維的“縮減”與“濃縮”，思維的敏捷性也就無從體現(xiàn)，學(xué)生掌握概念，直接受思維概括水平的制約。教師教學(xué)時(shí)可以在課堂中讓學(xué)生根據(jù)自己的體驗(yàn)，用自己的思維方式去探究，去發(fā)現(xiàn)，再反饋結(jié)果，根據(jù)不同的結(jié)果進(jìn)行交流、討論。通過學(xué)生的觀察、思考、交流，在獲得直接經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上感受“一一對(duì)應(yīng)”的思想方法是教學(xué)活動(dòng)重中之重。經(jīng)過

27、學(xué)生的探討之后，教師再引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)模型（棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系），接著再用抽象出來的模型解決一般性的問題，最后再遷移、變通。在一條線段上植樹（兩端都栽）教學(xué)設(shè)計(jì) 浙江省諸暨市璜山鎮(zhèn)化泉小學(xué)張垚杰（初稿）浙江省諸暨市實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán)陳菊娣（修改）浙江省諸暨市教育局教研室湯驥（統(tǒng)稿）教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)第106頁(yè)例1及相關(guān)內(nèi)容。教學(xué)目標(biāo)：    1建立并理解在線段上植樹（兩端都栽）的情況中“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”的數(shù)學(xué)模型。    2利用線段圖理解“點(diǎn)數(shù)=間隔數(shù)+1”“總長(zhǎng)=間隔數(shù)×間距”等間隔數(shù)與點(diǎn)數(shù)、總長(zhǎng)、間

28、距之間的關(guān)系，解決生活中的實(shí)際問題。教學(xué)重點(diǎn)：建立并理解“點(diǎn)數(shù)=間隔數(shù)+1”的數(shù)學(xué)模型。教學(xué)難點(diǎn)：培養(yǎng)用畫線段圖的方法解決問題的意識(shí)，并能熟練掌握這種方法。教學(xué)準(zhǔn)備：課件。教學(xué)過程：一、情境出示，設(shè)疑激趣    教師：哪位同學(xué)知道我們國(guó)家設(shè)立的植樹節(jié)是在哪一天？（3月12日）在這一天的植樹活動(dòng)中，遇到了這樣一個(gè)問題。（課件出示問題）    例1：同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)100 m的小路一邊植樹，每隔5 m栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？    教師：你能利用所學(xué)的知識(shí)解決問題嗎？  

29、0; 預(yù)設(shè)1：20棵。（教師追問：你是怎么想的？）每隔5 m栽一棵，共栽100÷5=20（棵）。    預(yù)設(shè)2：我認(rèn)為是21棵，因?yàn)轭}目中寫著“兩端要栽”，所以要再加1棵。    教師：你認(rèn)為哪一個(gè)結(jié)果是正確的？（指名回答）    【設(shè)計(jì)意圖】直接出示例題的情境，通過學(xué)生的嘗試解答，既是對(duì)教學(xué)起點(diǎn)的了解，又利用兩種不同的結(jié)果設(shè)置疑問，激發(fā)了學(xué)生探求新知的熱情。二、經(jīng)歷過程，感受方法    教師：可以用怎樣的方法進(jìn)行檢驗(yàn)?zāi)兀浚ó嬀€段圖）那我們可以在草稿本上試一試。遇到

30、了什么困難？    預(yù)設(shè)：100 m太長(zhǎng)了，不太好畫。（追問：那我們可以怎么辦？）    學(xué)生：可以先用簡(jiǎn)單的數(shù)試一試。（課件出示）    【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生經(jīng)歷分析思考的整個(gè)過程，感受“猜測(cè)驗(yàn)證”的學(xué)習(xí)方法。在實(shí)際操作中發(fā)現(xiàn)問題有助于激發(fā)學(xué)生的思考，從而深刻地體會(huì)“從簡(jiǎn)單事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并利用此規(guī)律解決較復(fù)雜問題”的數(shù)學(xué)思想。三、探索實(shí)踐，建立模型    教師：先看看20 m的距離，在兩端都栽的情況下可以栽幾棵樹，在草稿本上畫一畫。    實(shí)物

31、投影或課件出示：    教師：說說你是怎么想的？    預(yù)設(shè)：20÷5=4，20 m被平均分成4段，因?yàn)閮啥艘?，所以要?棵樹。    教師：再畫一畫，25 m可以栽幾棵樹？（學(xué)生操作）誰(shuí)來說說你的想法？    預(yù)設(shè)：25÷5=5，就是把25 m平均分成了5段，因?yàn)閮啥硕家?，所以要?棵樹。    還可以這樣畫：這里的藍(lán)色線段表示什么？（間隔數(shù)）紅色線段呢？（植樹棵數(shù)）教師：不畫圖，你能把下面的表格填寫完整嗎？ 

32、   （根據(jù)學(xué)生回答，教師在課件上輸入數(shù)據(jù)）你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？    預(yù)設(shè)：棵數(shù)要比間隔數(shù)多1。（追問：可以用怎樣的一個(gè)式子表示？）棵數(shù)=間隔數(shù)+1。    教師：誰(shuí)能說說為什么要“+1”？（因?yàn)閮啥硕家?，所以栽樹的棵樹比間隔數(shù)多1。）你能用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決開頭的問題嗎？（指名回答，分析講解）    教師：回顧這個(gè)問題的解答過程，說說你的想法。    歸納小結(jié)：在解決較復(fù)雜或數(shù)據(jù)較大的問題時(shí)，可以先從簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)出發(fā)得出規(guī)律，然后將規(guī)律運(yùn)用于復(fù)雜問題進(jìn)行解決。

33、    【設(shè)計(jì)意圖】“畫示意圖抽象出線段圖不畫圖”的教學(xué)過程，體現(xiàn)了從具體到抽象、從特殊到一般的設(shè)計(jì)理念，也正是在這一進(jìn)程中，通過積極有效的教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生建立起“一條線段兩端都栽”這類植樹問題的數(shù)學(xué)模型。四、利用新知，解決問題    教師：根據(jù)剛才學(xué)到的知識(shí)，還可以解決許多生活中的問題。（課件出示問題）    1在一條全長(zhǎng)2 km的街道兩旁安裝路燈（兩端也要安裝），每隔50 m安一盞。一共要安裝多少盞路燈？    教師：讀完這個(gè)題目，你覺得有哪些地方需要特別引起注意？    預(yù)設(shè)1：?jiǎn)挝徊唤y(tǒng)一，要先進(jìn)行轉(zhuǎn)化再計(jì)算。    預(yù)設(shè)2：兩旁。（追問：表示什么？）就是兩邊。你能通過畫圖的方法表示出“兩旁”嗎？在計(jì)算時(shí)該怎樣體現(xiàn)？（先算出一邊的路燈的數(shù)量，再乘以2。）    學(xué)生練習(xí)，指名回答。2 km=2000 m    （2000÷50+1）×2=82（盞）答：一共要安裝82盞路燈。    教師：2000÷50算的是什么？（間隔數(shù)）“+1”說明了什么？（兩端都要安裝）&