小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的問題與思考

1、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的問題與思考馬口小學(xué)數(shù)學(xué)教研組材料1.最小的一位數(shù)是幾？表示各個不同的計數(shù)單位所占的位置，叫做數(shù)位。表示一個數(shù)占有幾個數(shù)位的數(shù)叫做位數(shù)。3285 ，在十進制中的數(shù)位從右起往左有個位、十位、百位每位數(shù)上的單位數(shù)，個位上是1，十位上10，百位上是100。一個數(shù)如果千位以上的數(shù)字都是0，只有百位上有不為0的數(shù)字，則此數(shù)是三位數(shù)。一個數(shù)若是兩位數(shù)，其中十位數(shù)字不是0所表示的數(shù)叫做二位數(shù)。同理，用一個不是零所表示的數(shù)叫做一位數(shù)。 由此可知，0不是一位數(shù)，所以最小的一位數(shù)絕不是0。那么最小的一位數(shù)是幾呢？我們知道，一個數(shù)中每位數(shù)的單位數(shù)最小，三位數(shù)中最小的數(shù)是100，二位數(shù)中最小的數(shù)是1

2、0，所以，一位數(shù)中最小的數(shù)就是1。2.“0”為什么是偶數(shù)？0÷2=0，所以0是偶數(shù)，因為0能被2整除。0在數(shù)軸上正處于偶數(shù)的位置，也說明0是偶數(shù)。我們一般用2n表示偶數(shù)，當n=0時，2n就是0，說明了0就是偶數(shù)?？隙?是偶數(shù)，不僅如上所述，合乎偶數(shù)的定義，而且在敘述數(shù)學(xué)規(guī)律時有很大便利。例如：中學(xué)代數(shù)講到乘方運算符號法則時，總結(jié)出這么一條規(guī)律：負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)，這里，偶次冪就包括0次冪在內(nèi)。3. 甲數(shù)比乙數(shù)多 ，乙數(shù)比甲數(shù)少幾分之幾？甲數(shù)比乙數(shù)多幾分之幾，是指甲數(shù)比乙數(shù)多的部分占乙數(shù)的幾分之幾，是以乙數(shù)為標準數(shù)的；而乙數(shù)比甲數(shù)少幾分之幾，是指乙數(shù)比甲數(shù)少的部分占

3、甲數(shù)的幾分之幾，是以甲數(shù)為標準數(shù)的。兩者的標準數(shù)不同，因此答案也不一樣。分子不變，還是1，如果是問少幾分之幾，分母就是原分母與分子的和，如果是問多幾分之幾，分母就是原分母與分子的差。4.X÷1273是方程嗎？ 等式是表示兩個數(shù)（或兩個代數(shù)式）相等的算式，而代數(shù)式是用“”“”“×”“÷”、乘方、開方以及括號等表示運算法則或順序的符號聯(lián)結(jié)數(shù)字或字母得到的式子。 “”并不表示7與3之間的某種運算關(guān)系，也不表示運算順序，因此“73”不是代數(shù)式，“X÷1273”不是等式。等式應(yīng)滿足傳遞性和對稱性 根據(jù)87÷1273，73÷1073，無法得出87

4、÷1273÷10將87÷1273變成7387÷12，就毫無意義。5.比值能否用百分數(shù)表示？百分數(shù)是分數(shù)的一種特殊情況，只表示兩個同類量的倍比關(guān)系，而不表示具體的數(shù)量。比值表示兩個數(shù)量的倍比關(guān)系，可分為同類量的倍比關(guān)系和不同類量的倍比關(guān)系。表示同類量的倍比關(guān)系可以用百分數(shù)來表示。如“甲車速度與乙車速度的比值是2”可以說成“甲車速度與乙車速度的比是200%” 。表示不同類量的倍比關(guān)系不能用百分數(shù)表示 。 如根據(jù)“一輛汽車3小時行了180千米”，可得這輛汽車行駛的路程和時間的比值是60千米/時，此處路程和時間的比值不能用百分數(shù)表示。一分為二地考慮。6.互為倒數(shù)

5、的兩個數(shù)成反比例嗎？“兩個數(shù)”可以表示兩個確定的數(shù)，也可以表示兩個變量。 可以看出“兩個數(shù)”可以指具體的數(shù)也可以指變量是不爭的事實，因此，互為倒數(shù)的兩個數(shù)成反比例。7.正方體的體積一定，底面積和高成什么比例？正方體的體積一定，底面積和高不成比例。因為，當正方體的體積一定時，底面積和高都是固定的，不可變。為什么部分學(xué)生會認為正方體的體積一定，底面積和高成反比例呢？ 人教版六年級上冊第42頁是這樣描述的：“如果用字母x、y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的乘積（一定），反比例關(guān)系可以用下面的式子表示：x×y=k(一定)?！辈糠謱W(xué)生可能將這句話簡化成“積一定，成反比”（部分教師教學(xué)時，也講

6、“商一定，成正比；積一定，成反比”），關(guān)注的是“積一定”，而忽略了兩種相關(guān)聯(lián)的量必須是變量這一重要條件。 如何讓學(xué)生深刻理解正、反比例關(guān)系中的“變量”呢？ 以人教版教材為例，教師可充分利用第42頁教材中將相同體積的水倒入不同杯子的實驗及得到的底面積與高的數(shù)據(jù)表，讓學(xué)生充分感知底面積與高的變化規(guī)律，認識到反比例關(guān)系必須建立在“變量”的基礎(chǔ)上。成比例的兩個量必須是變量。8.在同一個圓中，能說圓面積和周長的比是 2分之r 嗎？比可分為同類量的比和不同類量的比.同類量的比，是在兩個相同單位的量之間進行的比，比值表示“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍（或幾分之幾）”，如在同一個圓中周長與直徑的比；不同類量的比，是

7、在兩個單位不同但相關(guān)的量之間進行的，如汽車行駛的路程和時間的比。 我們認為，在同一個圓中面積與周長的比為2分之r ，揭示了同圓中面積與周長的數(shù)量關(guān)系，是圓的一種重要數(shù)學(xué)特征。另外，通過不同類量的比來研究事物的現(xiàn)象普遍存在 。因此，我們認為在同一個圓中，既可以進行同類量的比，如直徑和半徑的比，也可以進行不同類量的比，如面積與周長的比。9.有12個蘋果，要平均分到若干個盤子里，可以怎樣分？ 有學(xué)生說可以分在1個盤子里，行嗎？“平均分”隱含“分成幾部分”、“各部分一樣多”。綜觀教材中涉及“平均分”的內(nèi)容，都是至少分成2份。 我們建議大家注意以下問題： 除法算式并不等于分法。首先，一個算式能表示2種分

8、法；其次，本題應(yīng)該根據(jù)分法寫算式，而不是根據(jù)算式確定分法。生活中的“放法”不等于數(shù)學(xué)中“分法”?！胺址ā笔菍⒄w分成幾個部分，強調(diào)“分”。而“放法”可以分開放到幾處，也可以集中放在一起。將12個蘋果放到1個盤子里，沒有體現(xiàn)“分”的特點，只能算1種放法，而不能算1種分法。10.用0、1、2組成的最大小數(shù)是20.1還是21.0？小數(shù)是十進制分數(shù)的特殊表現(xiàn)形式。從小數(shù)意義的角度看，把單位“1”平均分成10份、100份、1000份表示這樣的十分之幾、百分之幾、千分之幾等的數(shù)（如0.1、0.36、0.854）都是小數(shù)。21.0中的0在十分位上，起了占位的作用。從小數(shù)的結(jié)構(gòu)看，每個小數(shù)都是由整數(shù)部分、小數(shù)

9、點和小數(shù)部分組成。21.0完全符合小數(shù)的基本結(jié)構(gòu)。無論是從小數(shù)的意義還是小數(shù)的結(jié)構(gòu)看，都不能認為可以化成整數(shù)的小數(shù)就不是小數(shù)，因此，毫無疑問，用0、1、2組成最大的小數(shù)應(yīng)該是21.0。11. 是真分數(shù)嗎？n 各種教材中對分數(shù)的定義基本上都是“把單位1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分數(shù)。”n 從這里的定義看，教材中分數(shù)的分子、分母都是非零自然數(shù)。 n 人教版五年級下冊第69頁寫道：“分子比分母小的分數(shù)叫真分數(shù)?！?n 北師大版五年級上冊第34頁寫道：“像 ， ， ， ，這樣的分數(shù)叫真分數(shù)?！?根據(jù)教材中關(guān)于分數(shù)和真分數(shù)的定義，我們認為真分數(shù)的分子和分母都是非零自然數(shù)，所以 不是一個

10、真分數(shù)。12.乙數(shù)是甲數(shù)的 ，甲、乙兩數(shù)和的倒數(shù)除以甲數(shù)，商是多少？解答本題時，多數(shù)教師會根據(jù)“乙數(shù)是甲數(shù)的”設(shè)乙數(shù)為1，甲數(shù)為2，得到“商是 ”。可是，如果設(shè)甲數(shù)為1，乙數(shù)為 ，則最后的結(jié)果為 。這里用的是“依比設(shè)數(shù)法”，小學(xué)階段解決與比（或分數(shù)）有關(guān)的題時，多數(shù)情況下此法很“管用”。 如：“A、B兩個正方形的邊長比是12，求它們的面積比。”設(shè)A、B的邊長分別為1、2，它們的面積比是14，再設(shè)A、B的邊長為符合12條件的其他數(shù)值，它們的面積比仍然為14。 為何用依比設(shè)數(shù)法，有時結(jié)果唯一，有時出現(xiàn)多個結(jié)果？ n 我們不妨從代數(shù)的角度進行分析： 如果設(shè)正方形A、B的邊長分別為x、2x，它們的面積

11、比是 =14，結(jié)果為定值； 如果設(shè)甲、乙兩數(shù)分別為2x、x，則有 ÷2x= ，最后的結(jié)果中仍然含有未知數(shù)，即結(jié)果隨著x值的不同而不同。 嚴格來說，以上兩例都要用代數(shù)方法解答。但是考慮到小學(xué)生的知識現(xiàn)狀，教材中出現(xiàn)的與比有關(guān)的題幾乎全部是屬于“結(jié)果為定值”的情況，即都可以通過依比設(shè)數(shù)法“解答”。建議教學(xué)時，既要讓學(xué)生用依比設(shè)數(shù)的方法解答類似的題目，又要讓學(xué)生學(xué)會用不同的數(shù)去驗證結(jié)果是否為定值。在設(shè)置題目時，要避免結(jié)果不唯一的情況出現(xiàn)。 對于一些學(xué)有余力的學(xué)生，要鼓勵他們盡可能用代數(shù)知識解答這類題目，加強中學(xué)、小學(xué)知識的銜接，為學(xué)生的后續(xù)發(fā)展打下堅實基礎(chǔ)。13.抓住本質(zhì)，揭開謎霧n “3

12、0÷8=60÷（ ）?！?0÷8、60÷18的結(jié)果都是商3余6，但為什么括號里不能填18？n 等式的傳遞性和商不變的性質(zhì)都是數(shù)學(xué)中的重要性質(zhì)，他們應(yīng)該和諧統(tǒng)一，而不是相互矛盾的。 出現(xiàn)矛盾的根源在于： n 第一，教材中的“商”可以分為“全商”和“半商”。 “全商”，如“6÷3=2”、“30÷8=3.75”中的2和3.75，是除法運算的最終結(jié)果，是一個具體的數(shù)值，離開具體的除法環(huán)境仍然有意義。“半商”，如“30÷8=36”、“60÷18=36”中的3，只有和余6結(jié)合起來，才能表示除法的結(jié)果?！?6”不是一個具體的數(shù)，

13、也不是通常意義下的運算式，而是一個組合體（其中3和6的意義不一樣），脫離了具體的除法算式，它的意義不明確。 n 第二，等式的傳遞性是對數(shù)或能算出具體數(shù)值的式而言的。 如由12÷6=2、1÷0.5=2、300÷150=2可得到12÷6=1÷0.5=300÷150=2?！?6”只是為了便于理解而采用的一種表達形式，本身并不是一個數(shù)，也不是通常意義下的式，所以盡管30÷8、60÷18的結(jié)果寫成帶余數(shù)的形式都是“36”，但不能根據(jù)等式的傳遞性推出30÷8=60÷18。14.產(chǎn)品合格率一定，不合格產(chǎn)品數(shù)和

14、合格產(chǎn)品數(shù)成正比例嗎？為什么？n 如果合格率是100%（或0%），那么不合格產(chǎn)品數(shù)（或合格產(chǎn)品數(shù)）為0，不是變量，不能說它們成正比例。 n 如果合格率不為0%或100%，不妨設(shè)合格率為k(0k1，且k為定值）。若總產(chǎn)品數(shù)為x件，則合格產(chǎn)品y=kx，x= 。設(shè)不合格產(chǎn)品為z，則z=xy= y=( 1)y，其中 1為定值，不妨記為a，則有z=ay(a為定值且不為0)，即不合格產(chǎn)品和合格產(chǎn)品成正比例。 n 為避免出現(xiàn)合格率為0%或100%時學(xué)生理解困難，甚至鉆牛角尖，建議原題附上合格率范圍“0k1”。15、 9956870574省略億后面的尾數(shù)求近似值是10000000000還是100億？n 約有4

15、5%的教師認為10000000000和100億相等，都行。 人教版四年級上冊第15頁例題“1275610000=1萬”邊旁注：“是舍還是入，要看省略的尾數(shù)部分的最高位是小于5還是等于或大于5”；第22頁習(xí)題“1276270000 億”邊旁注“不是整億數(shù)的用四舍五入法省略億位后面的尾數(shù)”，可見“省略億位后面的尾數(shù)”是按“四舍五入”取近似值，保留到億位。 n 10000000000和100億雖然相等，但作為近似數(shù)時，10000000000精確到個位，有11個有效數(shù)字；而100億是精確到億位，只有3個有效數(shù)字。因此，本題的答案是100億。17、直觀經(jīng)驗有時并不可靠· 把一塊長方體木塊削成圓柱體，以最大的面為底面削成的圓柱體是不是能削成的圓柱體中體積最大的？老師“論證”的方法主要有兩類：根據(jù)經(jīng)驗說理。若長方體有一組面是正方形，則以正方形的面為底削成的最大圓柱體的體積是能削成的圓柱體中體積最大的（記為經(jīng)驗A）；若長方體中沒有正方形的面，則以棱長最接近的兩棱所在的面為底削成的最大圓柱體是能削成的圓柱體中體積最大的（記為經(jīng)驗B）。這種“論證”受“正方形內(nèi)剪出的面積最大的圓是面積相等的四邊形中能剪出的圓中面積最大的”、“長方形的兩鄰邊相差越小越接愛