微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用總結(jié)

1、1 基礎(chǔ)知識(shí)詳解先回顧一下第一章的幾個(gè)重要定理1、lim f(x) A f (x) A ，這是極限值與函數(shù)值(貌似是鄰域)之間的關(guān)系 x x02、: = +o( ) ，這是兩個(gè)等價(jià)無(wú)窮小之間的關(guān)系3、零點(diǎn)定理：條件：閉區(qū)間a,b上連續(xù)、f(a)f(b) 0 (兩個(gè)端點(diǎn)值異號(hào))結(jié)論：在開(kāi)區(qū)間(a,b)上存在，使得f( ) 04、介值定理：條件：閉區(qū)間a,b上連續(xù)、f(a) A B f(b)結(jié)論：對(duì)于任意min(代B) C max(A,B)，定在開(kāi)區(qū)間(a,b上存在，使得f( ) C。5、介值定理的推論：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定可以取得最大值 M 和最小值 m 之間的一切值。第三章 微分中值定理和導(dǎo)

2、數(shù)的應(yīng)用1、羅爾定理 條件：閉區(qū)間a,b連續(xù)，開(kāi)區(qū)間(a,b可導(dǎo)，f(a)=f(b)結(jié)論：在開(kāi)區(qū)間(a,b上存在，使得f '( )°2、拉格朗日中值定理?xiàng)l件：閉區(qū)間a,b連續(xù)，開(kāi)區(qū)間(a,b可導(dǎo)結(jié)論：在開(kāi)區(qū)間(a,b)上存在，使得f(b) f (a) f'( )(b a)3、柯西中值定理?xiàng)l件：閉區(qū)間a,b連續(xù)，開(kāi)區(qū)間(a,b)可導(dǎo)，g(x) 0, x (a,b)f(b)f(a)f'()結(jié)論：在開(kāi)區(qū)間(a,b)上存在，使得g(b)g(a)匚廠：g(b)g(a)g ()拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情況，當(dāng)g(x)=x時(shí)，柯西中值定理就變成了拉格朗日中值定理

3、。4、對(duì)羅爾定理，拉格朗日定理的理解。羅爾定理的結(jié)論是導(dǎo)數(shù)存在 0值，一般命題人出題證明存在 0值，一般都用羅爾定理。當(dāng) 然也有用第一章的零點(diǎn)定理的。但是兩個(gè)定理有明顯不同和限制，那就是，零點(diǎn)定理兩端點(diǎn)相乘小于0,則存在0值。而羅爾定理是兩個(gè)端點(diǎn)大小相同，則導(dǎo)數(shù)存在 0值。如果翻來(lái) 覆去變形無(wú)法弄到兩端相等，那么還是別用羅爾定理了，兩端相等，證明0值是采用羅爾定理的明顯特征。拉格朗日定理是兩個(gè)端點(diǎn)相減，所以一般用它來(lái)證明一個(gè)函數(shù)的不等式：m2(x) f(xJ-f(X2)m1(x)； 一般中間都是兩個(gè)相同函數(shù)的減法，因?yàn)檫@樣便于直接應(yīng)用拉格朗日，而且根據(jù)拉格朗日的定義， 一般區(qū)間就是 x1, x

4、25、洛必達(dá)法則應(yīng)用注意正常求極限是不允許使用洛必達(dá)法則的，洛必達(dá)法則必須應(yīng)用在正常求不出來(lái)的不定式極 限中。不定式極限有如下 7 種：每次調(diào)用洛必達(dá)方法求解極限都必須遵從上述守則。6、泰勒公式求極限。如果極限是 xlimx0 f (x) 那么就在 x0 附近展開(kāi)。如果極限是 lxim f (x) ，那么就 變形成 ltimt0 f (t ) ，再在 t0 附近展開(kāi)。一般都是化成 ltim0 f (t) 用邁克勞林展開(kāi)式 展開(kāi)。那么展開(kāi)多少步呢？一般分子分母展開(kāi)的冪應(yīng)該是一樣的，便于上下幾次方相抵消，分子 分母尾部都跟著一個(gè)皮亞諾型余項(xiàng)。如果展開(kāi)了，發(fā)現(xiàn)分母是表面外觀的 2 次方，而上面 如果

5、展開(kāi)后分子的結(jié)果為 0，則還要繼續(xù)往更高階次展開(kāi)。分母一定會(huì)跟著分子有同樣階 的。算吧，很大的計(jì)算量。 。7、用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)曲線的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間。條件：閉區(qū)間a,b連續(xù)，開(kāi)區(qū)間(a,b可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)f'(x)0( 0)結(jié)論1： f(x)在閉區(qū)間a,b上單增(單減)結(jié)論 2： f '(x) 0或不存在 則此點(diǎn)一定是 可靠而全面的 對(duì)單調(diào)的分界點(diǎn)8、函數(shù)曲線的凹凸性和拐點(diǎn)(左右凹凸變化的分界點(diǎn))方法一：條件：區(qū)間連續(xù)。結(jié)論：若 f(Xl 2x2)f(Xl)2 f (X2)，則該曲線在(x1,x2)凹若"f (Xl) 2 f (X2)，則該曲線在(x1,x2)凸方法二：條件

6、：閉區(qū)間a,b連續(xù)，開(kāi)區(qū)間(a,b)存在一階和二階導(dǎo)數(shù)結(jié)論 1： f ''(x)0 在a,b凹；f ''(x)0 在a,b凸；結(jié)論2 : f ''(x)0或不存在 則此點(diǎn)一定是全面的但僅是可能的拐點(diǎn)。然后驗(yàn)證f ''(X)、f ''-(X)的符號(hào)。異號(hào)則一定為拐點(diǎn)。9 函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)，最值點(diǎn)。定理1:極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)0定理2：條件：f (x)在Xo點(diǎn)處連續(xù)，在Xo附近的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)結(jié)論：f'(Xo) 0, f ' (Xo) 0則在Xo點(diǎn)取得極大值。f'(Xo) 0,

7、 f ' (Xo) 0則在Xo點(diǎn)取得 極小值。若左右鄰域內(nèi)符號(hào)不變，則該點(diǎn)無(wú)極值。定理3：結(jié)論：f''(Xo) 0，則在Xo點(diǎn)取得極小值。f''(Xo) 0，則在Xo點(diǎn)取得極小值。f''(Xo)=O, 則該點(diǎn)可能是極值，也可能不是極值?？偨Y(jié)：一階導(dǎo)數(shù)就能得出極值點(diǎn)。二階導(dǎo)數(shù)也能得出，但二階導(dǎo)數(shù)有限制f'(xo) o。最值：在極值中挑出個(gè)最大的，最小的點(diǎn)，再跟兩端的值大小比較一下，得到的就是閉區(qū) 間最大值，最小值。10、曲率曲率定義是：K d，曲率半徑用a表示，是曲率的導(dǎo)數(shù)，即a丄。所謂曲率半徑，| ds|K是指如果在該點(diǎn)出以這么半

8、徑畫(huà)一個(gè)圓，那么該圓的圓弧點(diǎn)上處處的曲率都是K。如何推導(dǎo)曲率？課本典型題:2擴(kuò)展三個(gè)定理的條件都是閉區(qū)間連續(xù)，開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)。然后羅爾定律是f(a)=f(b)，結(jié)論是導(dǎo)數(shù)為0拉格朗日中值定理結(jié)論是存在導(dǎo)數(shù)。柯西定理形象來(lái)說(shuō)是拉格朗日中值定理的變形(見(jiàn)物理意義)。f帀）羅爾定理常用于以下幾種題:1 f'(x)在(a, b)上是否存在零點(diǎn)？顯然，只要找到f(a) f(b)的a和b即可。找到了 還能知道至少有幾個(gè)零點(diǎn)，以及每個(gè)零點(diǎn)的區(qū)域。如已知f (x) (x 1)(x 2)(x 3)，說(shuō)明f'(x)0有幾個(gè)實(shí)根？范圍是什么？等。2 證明 f (x)在(a， b)上是否存在零點(diǎn)？注意1是

9、f'(x)是否存在零點(diǎn)。故可以求出F(x) f (x)dx，這樣就成了求F'(x)在(a,b上是否存在零點(diǎn)。和1 樣的方法了。3證明f(x)的根不超過(guò)多少個(gè)。如證明其根不超過(guò)3個(gè)。那么，記住用反證法+羅爾定理。設(shè)根有四個(gè)，分別為x1<x2<x3<x4。則由羅爾定理，f'(x)肯定有三個(gè)不等的根，f''(x)有 兩個(gè)不等的根，f(3)(x)有一個(gè)不等的根。但是算到f(3)(x)時(shí)，結(jié)果卻是無(wú)根。故假設(shè)錯(cuò)誤， 根不超過(guò)3個(gè)。拉格朗日中值定理常用于證明不等式：1 證明 P(a,b) F(a,b)Q(a,b)，想辦法把整個(gè)式子都變變形，最重要的

10、是把F(a,b)變成兩個(gè)同函數(shù)相減的方式，f (b) f(a)的形式，再用拉格朗日中值定理改為導(dǎo)數(shù)的形式與兩端比較。柯西中值定理常用于證明不等式：1證明P(x) Q(x)方法：把原式轉(zhuǎn)換成匚兇 1或1的形式。因?yàn)榭挛髦兄刀ɡ韺?shí)質(zhì)是兩G(x)個(gè)函數(shù)相除轉(zhuǎn)換成導(dǎo)數(shù)相除，因此要想法給弄成除的形式。拉格朗日中值定理是弄成減的 形式。然后證明一下兩個(gè)導(dǎo)數(shù)相除大于或者小于 1就行了證明函數(shù)恒等f(wàn)(x) g(x) , x (a,b)證明原則：1 f'(x)g'(x)，x (a,b)【當(dāng)然還有個(gè)條件就是f,g在(a,b)存在導(dǎo)數(shù)】2找到任意一點(diǎn)X。(a,b)，使得f(x°) g(x&

11、#176;)如果x a,b還需要驗(yàn)證f (x), g(x)在a,b連續(xù)2洛必達(dá)法則應(yīng)用有兩個(gè)條件詩(shī)衍0或者衍一lim匸兇 A，即必須存在結(jié)果，可以是無(wú)窮大，也可以是0等，但不能是諸如g'(x)1A lim sin(;)之類(lèi)的沒(méi)具體的玩意。但是注意，如果用洛必達(dá)法則算出就是這類(lèi)沒(méi)具體的玩意，也不能證明該函數(shù)除法式無(wú)極限。只能證明洛必達(dá)法則此時(shí)適用性太小。3洛必達(dá)法則應(yīng)用求1的七種類(lèi)型的未定式極限 確定無(wú)窮小的階是多少K階無(wú)窮小的定義：若limr C 0,k 0，則稱B是a你 階無(wú)窮小 無(wú)窮小階的運(yùn)算法則：設(shè)f(x)是x的n階無(wú)窮小，g(x)是 x的m階無(wú)窮小，則有:f(x)+g(x)是x

12、的min( n , m )階無(wú)窮小 f(x)*g(x)是x的n+m階無(wú)窮小f(x)/g(x)是x的abs( n - m階無(wú)窮小這一節(jié)內(nèi)容關(guān)于應(yīng)用洛必達(dá)法則討論極限的問(wèn)題我學(xué)的很差。泰勒中值定理的來(lái)源想象：任何一個(gè)函數(shù)f(x),在0點(diǎn)附近都可以曲線化直的表示成b f(0) b f'(0) b f''(0) b f(n)(0)用導(dǎo)數(shù)一算，恰好有b00P ,b11,b2廠bnn故在x0點(diǎn)處可得泰勒展開(kāi)公式：(前提：f(x)在含X。的某個(gè)開(kāi)區(qū)間(a , b上具有(n+1 )階的導(dǎo)數(shù)，這樣才能得到拉格朗日 余項(xiàng))f (x0)2 f (n)(x0)nrf (x)f(Xo) f

13、9;(Xo)(x Xo)- (x x0).- (x Xo)Rn(x)當(dāng) n=02!n!時(shí)，f (X) f(x°) f'( )(x X0)其中f'( )(x X0)是n=0時(shí)的拉格朗日余項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng)為：換成表示為：X0(x x°),(0,1)這樣表示很常見(jiàn)(不要求精確時(shí))可使用佩亞諾余項(xiàng):Rn(x) o(x xo)n (注意：不是拉格朗日余項(xiàng)的n+1次方)最開(kāi)始推導(dǎo)時(shí)，x在0處的仿f (x)多項(xiàng)式稱為麥克勞林公式，是泰勒公式的簡(jiǎn)單形式。f(n 1)( x) n使用邁克勞林公式時(shí)，對(duì)應(yīng)拉格朗日余項(xiàng)可以改為Rn(x) (x ,(o,i)但是注意這僅是邁克勞林時(shí)用

14、。故可以不記這個(gè)特殊形式的式子。只記基本的式子佩亞諾余項(xiàng)x0=0即可常用的麥克勞林公式(泰勒公式涉及大量運(yùn)算，而卻?？歼@幾個(gè)式子的變形)3 x sin x x 3!5x/ An 15 (l) (2n 1)!R2n(X)顯然n從1開(kāi)始2n 1xx2cosx 12!ln(1 x) x x24x4!(廳芒r (x)(2n)!R2n 1(x)顯然n從0開(kāi)始x33X4xn八/ a n 1 八|_(、丁 .( 1)Rn(x)顯然n從1開(kāi)始4n(1 x)1 x(1)x22!3(1)(2)x3!(1)( 2).( n!n 1) nx Rn(x)顯然n從0開(kāi)始ex 1 x -2!xnn! Rn(x)麥克勞林展開(kāi)

15、式比較容易，可以現(xiàn)用現(xiàn)推導(dǎo)大體記一下，然后根據(jù)推出的前兩個(gè)值就能想到全部的結(jié)論。一般第二個(gè)值如果是負(fù)的,就說(shuō)明會(huì)有(-1)八(k+1)次方等注意擴(kuò)展:本節(jié)課的“泰勒公式(及其擴(kuò)展公式)”可以做什么?1對(duì)0型的函數(shù)式，可以用泰勒公式求極限，還可以用來(lái)確定無(wú)窮小的階0 設(shè)lim f (x) lim g(x) o，并有泰勒公式:x ax af(x) A(x a)n o(x a)n)，其中 x a，A 為非零常數(shù)g(x) B(x a)m o(x a)m)，其中 x a，B 為非零常數(shù)A ,n m0 ,n m，顯然這個(gè)得零是因?yàn)閒比g更快趨近于0而已x a g(x),n m求極限的情況一般都是 兩個(gè)無(wú)關(guān)

16、的函數(shù)相減。如cosx-ln(1+x)啊，cosx-eAx啊，很多式子還 伴隨的是除法形式，因?yàn)檫@樣能將多余的無(wú)窮小系數(shù)給約為 0.舉例中的x是bx，xAt的變形 式。 若求得泰勒公式f (x) A(x a)n o(x a)n)，則x a時(shí)，f(x)是x-a的n階無(wú)窮小 2由泰勒公式求f (n)(xo)其實(shí)就是將f(x)用泰勒公式展開(kāi)后得到第n階的通項(xiàng)公式，顯然為 空f(shuō)(X0)xn，因此n!n!f(n)(Xo)顯然值為An導(dǎo)出即可。注意的是，有時(shí)候并不能得出f(n)(X°)。而是其他形式，如展開(kāi)式n階通項(xiàng)為( ”代蘭，顯然結(jié)果是f(2n)(0) (2n)!少。得出的結(jié)果奇形怪n!n!

17、n!狀的都有，有些n是從3,開(kāi)始的，這時(shí)候就還得考慮f'(), f''()等。因此也要注意考慮n。3由f(x)含佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式可以得到f(bx), f(xm)的含佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式，其中b為常數(shù)，m為自然數(shù)，只需令t bx,t xm即可。顯然在佩亞諾余項(xiàng)上f(bx)，f(xm)可以隨意換項(xiàng)。4在求f(x)g(x)的三階麥克勞林式時(shí)，顯然分別展開(kāi)3階的結(jié)果為2323f (x)g (x) =( Ao + A x + A2x + Rx +0X3)*( Bo + Bix + B2x + B3x +OX3)將其乘開(kāi)時(shí)為取三階麥克勞林式，只需加階數(shù)3的式子即可本節(jié)在泰勒公式

18、的變形靈活運(yùn)用上掌握的不好。本節(jié)涉及大量運(yùn)算，但大部分都是前面給出的五個(gè)基本公式的變形。因此一定要熟練背誦使用尋找拐點(diǎn)還是劃分單調(diào)區(qū)間的點(diǎn)，都是找f'' (x)或者f' (x)等于0，或者不存在的點(diǎn)。定義要求是在(開(kāi)區(qū)間)可導(dǎo)，閉區(qū)間連續(xù)，但是得到的范圍就按連續(xù)的區(qū)間來(lái)，即閉區(qū)間1根據(jù)定義，求極值總結(jié)的三種方法： 基本定義f (x)f(X0) f'(X。)兩端異號(hào) f'(x。)0, f''(xo) 0若f''(Xo)0則f (x)在x0處可能是最大最小值也可能沒(méi)有極值。說(shuō)不準(zhǔn)。2可導(dǎo)函數(shù)求極值(或最值)的步驟： 求出導(dǎo)數(shù)f'(x) 求出f'(x)=0的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)。(如果是求最值還要求定義域端點(diǎn)) 得出點(diǎn)后求極值要判斷駐點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)兩端導(dǎo)數(shù)是否異號(hào)。異號(hào)的話則該點(diǎn)為極值點(diǎn)(求最值還可以不看導(dǎo)數(shù)兩旁異號(hào)，直接帶進(jìn)去求出所有值就比較出最大最小值了)3