121解三角形的應(yīng)用舉例一

1、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問(wèn)題，了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ)；激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力過(guò)程與方法：首先通過(guò)巧妙的設(shè)疑，順利地引導(dǎo)新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，采用“提出問(wèn)題引發(fā)思考探索猜想總結(jié)規(guī)律反饋訓(xùn)練”的教學(xué)過(guò)程，根據(jù)大綱要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開(kāi)例題，設(shè)計(jì)變式，同時(shí)通過(guò)多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學(xué)生掌握解法，能夠類比解決實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問(wèn)題的

2、解教學(xué)難點(diǎn)根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出示意圖重難點(diǎn)講解1解與三角形有關(guān)的應(yīng)用題的基本思路和步驟(1)解三角形應(yīng)用題的基本思路 實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題的解實(shí)際問(wèn)題的解(2)解三角形應(yīng)用題的步驟準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語(yǔ)；畫(huà)出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；分析與所研究的問(wèn)題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，通過(guò)合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理正確求解，并作答2對(duì)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的一些名稱、術(shù)語(yǔ)的含義的理解(1)坡角：坡向與水平向的夾角，如圖(2)仰角和俯角：在視線和水平線所成角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角，如圖(3)方位角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目

3、標(biāo)方向線所成的角，如圖中B點(diǎn)的方位角為(4)方向角：從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角，如南偏西60，指以正南方向?yàn)槭歼?，順時(shí)針?lè)较蛳蛭餍D(zhuǎn)60如圖中ABC為北偏東60或?yàn)闁|偏北30教學(xué)過(guò)程（1）解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的過(guò)程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問(wèn)題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解例題講解【例1】如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是55m，BAC=，ACB=。求A、B兩點(diǎn)的距離(精確到)分析：這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離

4、的問(wèn)題，題目條件告訴了邊AB的對(duì)角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出AC的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得AB65.7(m)答:A、B兩點(diǎn)間的距離為【例2】如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的方法。分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問(wèn)題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn)。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離。解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測(cè)得CD=a，并且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得BCA，

5、ACD，CDB，BDA，在ADC和BDC中，應(yīng)用正弦定理得 AC BC計(jì)算出AC和BC后，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離 AB評(píng)注：可見(jiàn)，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問(wèn)題的方案，但有些過(guò)程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來(lái)選擇最佳的計(jì)算方式?！纠?】A、B是水平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距800m，在A點(diǎn)測(cè)得山頂C的仰角為45，BAD120，又在B點(diǎn)測(cè)得ABD45，其中D是點(diǎn)C到水平面的垂足，求山高CD【點(diǎn)撥】由題目可獲取以下主要信息：A、B之間的距離為800m；在A處測(cè)得C的仰角為45；BAD120，ABD45；求CD 解

6、答本題可先求出BDA，然后由正弦定理求出AD即可【解析】如圖，由于CD平面ABD，CAD45， 所以CDAD 因此，只需在ABD中求出AD即可，在ABD中，BDA1804512015， 由， 得AD800(1)(m)CDAD800(1)2186(m)答：山高CD約為2186 m【規(guī)律方法】在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角和俯角的概念，區(qū)別在于視線在水平線的上方還是下方，一般步驟是：根據(jù)已知條件畫(huà)出示意圖；分析與問(wèn)題有關(guān)的三角形；運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解；要綜合運(yùn)用立體幾何知識(shí)與平面幾何知識(shí)；注意方程思想的運(yùn)用課時(shí)小結(jié)解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：（1）分析：理解題意，分清已知與未

7、知，畫(huà)出示意圖（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解同步達(dá)綱練習(xí)一、選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)1半徑為1的圓內(nèi)接三角形的面積為，則abc的值為()AB1C2D42海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75視角，則B、C間的距離是()A10海里B海里C5海里D5海里3在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為q ，沿BE方向前進(jìn)30

8、 m至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為2q ，再繼續(xù)前進(jìn)10m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4q ，則q 等于()A15B10C5D204在200 m的山頂上，測(cè)得山下一塔塔頂與塔底的俯角分別為30，60，則塔高為()AmBmCmDm5ABC中，若2BAC，周長(zhǎng)的一半p10，且面積為10，則三邊長(zhǎng)分別是()A4，7，9B5，6，9C5，7，8D6，7，7二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)1等腰三角形頂角的余弦為，則底角的正弦值為_(kāi)2某人向正東方向走x千米后，他向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走3千米，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好千米，則x的值為_(kāi)千米3一蜘蛛沿東北方向爬行x cm捕捉到一只小蟲(chóng)，然后向右轉(zhuǎn)

9、105，爬行10 cm捕捉到另一只小蟲(chóng)，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135爬行回它的出發(fā)點(diǎn)，那么x_4坡度為45的斜坡長(zhǎng)為100 m，現(xiàn)在要把坡度改為30，則坡底要伸長(zhǎng)_5ABC中，已知a比b長(zhǎng)2，b比c長(zhǎng)2，且最大角的正弦是，則面積S_三、解答題(本大題共5小題，每小題6分，共30分)1在ABC中，已知acosAbcosB，試確定ABC的形狀2如圖，在斜度一定的山坡上的一點(diǎn)A測(cè)得山頂上一建筑物頂端C對(duì)于山坡的斜度為15，向山頂前進(jìn)了100米后，又從B點(diǎn)測(cè)得斜度為45，設(shè)建筑物的高為50m，求此山對(duì)于地平面的斜度的傾角3在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A為(-1)海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75方向

10、，距A2海里的C處的緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的時(shí)間？4為了測(cè)量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A和B，望對(duì)岸的標(biāo)記物C，測(cè)得CAB45，CBA75，AB120米，求河的寬度5在ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若，求證：B為銳角參考答案一、選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)1B分析：SABCabsinC，又SABC，sinC，abc，abc12D分析：如圖，C180-60-7545，AB10，BC5(海里)3A分析：如圖，BCCA，CDDA，設(shè)AEh

11、，則2cos2q ，cos2q 2q 30，q 154A分析：如圖，設(shè)塔高AB為h，RtCDB中，CD200，BCD90-6030BC在ABC中，ABCBCD30，ACB60-3030BAC120（m）5C分析：2BAC，又ABCp B60cosBcos60，B所對(duì)的邊不是最長(zhǎng)邊不是最短邊，由余弦定理可知，選C二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)1分析：設(shè)底角為a ，則頂角為p -2a cos(p -2a )，cos2a -1-2sin2a -，2sin2a sin2a ，sina 或sina -(舍去)22或分析：如圖，設(shè)出發(fā)點(diǎn)為A，則由已知可得ABx千米，BC3千米ABC18

12、0-15030AC，CAB60或CAB120當(dāng)CAB60時(shí)，ACB180-30-6090x2千米當(dāng)CAB120，ACB180-120-3030xAC千米3cm分析：如圖，ABC180-10575BCA180-13545，BC10 cmA180-75-4560x(cm)450() m分析：如圖，DB100 mBDA45，BCA30設(shè)CDx(xDA)tan30DAtan45又DABDcos45100x-DA50(-1)50()(m)5分析：ab2，bc2a邊對(duì)的角最大，且ba-2，ca-4；cosA=1當(dāng)1時(shí)，無(wú)解當(dāng)-1時(shí)，a7b5，c3SABCbcsinA53三、解答題(本大題共5小題，每小題6

13、分，共30分)1解：acosAbcosBaa2(b2c2-a2)b2(a2c2-b2)c2(a2-b2)a4-b4c2(a2-b2)(a2-b2)(a2b2)(a2-b2)(a2b2-c2)0a2b2或a2b2c2ABC是等腰三角形或是直角三角形2解：在ABC中，BAC15CBA180-45135，AB100 mACB30由正弦定理，得BC又在BCD中，CBD45，CDB90q ，CD50 m解得cosq -1q 42.94山對(duì)于地平面的斜度的傾斜角為42.943解：如圖，設(shè)緝私船追上走私船所需要的時(shí)間為t小時(shí)，則有CD10t，BD10t，在ABC中，AB-1，AC2，BAC4575120BC由正弦定理可得