2.第二章群論自測練習(xí)

1、自測練習(xí)一、概念解釋1.置換 2. 群的方程定義3群的公理化定義 4. 群的階 5.循環(huán)群 6. 群的指數(shù)二、判斷題1.對于群G的任意兩個元來說，方程和都在G中有解。2.任何一個子群都同一個變換群同構(gòu)。3. 設(shè),均為群G的子群，則也為G的子群。 （ ）4. 群G的不變子群N的不變子群M未必是G的不變子群。（ ）5.的置換是一個4循環(huán)置換。6. 群G中元素a的逆元存在，但不一定唯一。三、選擇題1. 下面是交換半群，但不是群的是（ ）。A. B. C. , 其中是非零整數(shù)集合 D. 2. 設(shè)是群的單位元，是的兩個元素，則（ ）。A. B. C. 若，則 D.3.精確到同構(gòu), 4階群有(

2、)個。A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 以下結(jié)論正確的是 ( )。A.全體非零整數(shù)對普通乘法作成一個群B.全體奇數(shù)對普通加法作成一個群C.實數(shù)域上全體階矩陣對普通乘法作成一個群D.、實數(shù)域上行列式等于1的全體階矩陣對普通乘法作成一個群5. 若分別是群的2011階, 2012階子群, 則是群的( ) 。 A.1階子群 B.2011階子群C.2012階子群D.20112012階子群6. 以下結(jié)論正確的是 ( )。A.無限群中除了單位元外其余元的階都是無限B.無限群中至少有一個無限階元C.有限群中階大于2的元的個數(shù)一定是偶數(shù)D.有限群中兩個有限階元的乘積可能是無限階元7. 在4次對稱群中，

3、階等于的元的個數(shù)是( )。 A.B.C.D.98. 設(shè)是群的不變子群，以下結(jié)論不正確的是( )。A、若是交換群，則是交換群 B、若是非交換群，則是非交換群C、若是循環(huán)群，則是循環(huán)群 D、若中元的階都有限,則中元的階都有限四、填空題1設(shè)群中元素的階為，如果，那么與存在整除關(guān)系為。2凱萊定理說：任一個子群都同一個同構(gòu)。3. 設(shè)是循環(huán)群，則與整數(shù)加群同構(gòu)的一個充要條件是。4. 設(shè)是整數(shù)加群，是的子群，則商群的階是。5. 模的剩余類加群到模的剩余類加群的同態(tài)映射有個。6. (是素數(shù))階群的子群有個。7. 在全體非零復(fù)數(shù)對普通乘法作成的群中，由生成的子群的所有元素是。8. 若是次對稱群的階子群，則商群的

4、階是。9. 在同構(gòu)的意義下，(是素數(shù))階群共有個。10. 在實數(shù)域上全體2階可逆矩陣對普通乘法作成的群中，由生成的子群的所有元素是。11. 模12的剩余類加群的單位元是.12.已知群中元素的階為，則的階等于.13. 整數(shù)加群的所有生成元是.14. 次對稱群的階是.五、計算題1.設(shè)G是由有理數(shù)域上全體2階滿秩方陣對方陣普通乘法作成的群，試求G中下列各元素的階：, ab.2.設(shè)，其中1）將分解成不相連循環(huán)置換的乘積； 2）求的階； 3）求及。3. 設(shè)9次置換，（1）將表成互不相交的輪換乘積；(2) 將表示成形式為對換的乘積；(3)求出的逆與的階。六、解答與證明題1.請舉一個幺半群其中有一個元素的左

5、逆元不一定是右逆元，右逆元也不一定是左逆元。2.設(shè)G是由以下四個二階方陣作成的集合，證明：G對方陣的普通乘法作成一個交換群，并給出乘法表。3.假設(shè)是階群，則包含有2階元素；如果是奇數(shù)并且是Abel群，則只有一個2階元素。證明4.實數(shù)集R，對運算能否作成群，并說明理由。5.設(shè)G=（a）是循環(huán)群，證明：當(dāng)時，G=（a）與n次單位根群同構(gòu)。6.設(shè)G是整數(shù)環(huán)Z上行列式等于1或-1的全體n階方陣作成集合，證明：對于方陣的普通乘法G作成一個群。7.設(shè)R是一個有單位元1的環(huán)，,證明：如果在中有逆元，則在中也有逆元。8.設(shè)為所有實數(shù)對作成的集合，對運算，能否構(gòu)成群，說明理由。9.令G=，且G有如下乘法： e

6、a b e e a b a a b eb b e a證明：G對此乘法作成一個群。10.非零實數(shù)集R對運算能否作成群，說明理由。11.實數(shù)集R，對運算能否作成群，并說明理由。12.證明：在群G中只有單位元滿足方程。13.設(shè)是一個階大于1的群，證明：若中除單位元外其余元素的階都相同，則這個相同的階不是無限就是一個素數(shù)。14.證明：任何群都不能是兩個非平凡子群的并。15.兩個子群的乘積不一定是子群。16.證明：群是有限群當(dāng)且僅當(dāng)只有有限個子群。17.試舉出滿足以下條件的群：1）G是無限群，除單位元外，每個元素的階都無限。2）G是無限群，G中除單位元外，既有有限階元素，也有無限階元素。18.證明：在任

7、意群中，與同階。19. 假定群的階為,且.證明：,這里.20.一個群的可以寫成形式的元叫做換位子,證明：(1)所有有限個換位子的乘積組成的集合是的一個不變子群,稱為的導(dǎo)群或換位子群； (2)是交換群； (3)若是的一個不變子群，并且是交換群，那么.21.假定是一個群G的元間的一個等價關(guān)系，并且對于G的任意三個元來說，有。 證明：與G的單位元e等價的元所作成的集合是G的一個子群。22.設(shè)循環(huán)群=是可換群.23.設(shè)G是一個階大于1的群,證明：G只有平凡子群當(dāng)且僅當(dāng)G為素數(shù)階循環(huán)群。24.假定群G的不變子群N的階是2,證明:G的中心C(G)包含N.25.假定G和是兩個群,并且是G到的同態(tài)滿射。 (1

8、). 證明是群G的正規(guī)子群；(2). 證明是同構(gòu)映射當(dāng)且僅當(dāng)=。26.證明：階是的群一定包含一個階是的子群，其中，是素數(shù).27.設(shè)G=（a）是循環(huán)群，證明：當(dāng)時，G=（a）與整數(shù)加群同構(gòu)。28.整數(shù)加群是否與偶數(shù)加群同態(tài)？整數(shù)環(huán)是否與偶數(shù)環(huán)同態(tài)？請簡要陳述理由.29.設(shè)，證明：的充要條件是的任意兩個左陪集的乘積是左陪集。30設(shè)是群的子群，證明：(1)；（2）當(dāng)有限時，則當(dāng)且僅當(dāng)。31.設(shè)是群到群的同態(tài)滿射，證明：。自測練習(xí)參考答案一、概念解釋參見課本二、判斷題1.， 2.， 3.×, 4., 5.× , 6.×三、選擇題1. （A ） 2. （C ） 3. （B

9、） 4. （D ） 5. （A ） 6. （C） 7. （D ）8.(B ）四、填空題1.2. 變換群 3. 4. 2 5. 6 6. 2 7.8. 2 9. 1 10. 11.0 12. 3 13.14.五、計算題1.G的單位元為又對任意的整數(shù)n 即a 的階為4，b 的階為3, ab 的階為無限2.1）； 2）的階為；3）， 3.（1）（2）（3）。六、解答與證明題1.設(shè)是正整數(shù)集合，則是一個幺半群。做變換，是一個單射但不是滿射，是一個滿射但不是單射，并且有但是，則是的左逆元不是右逆元，同樣是的右逆元不是左逆元。2.由題設(shè)可列乘法表：a b c da a b c db b a d cc c

10、d a bd d c b a由此表可知：方陣普通乘法是G的代表運算，a 是G的單位元，又由于對角線位置上的元素相等，故乘法可以交換，且每個元素G中都有逆元，結(jié)合率顯然成立。故G對方陣普通乘法作成一個交換群。3.（1）由于是一個偶數(shù)階群，則中階等于2的元素的個數(shù)一定是奇數(shù)，所以群包含一定有2階元素；（2）假設(shè)有兩個不同的2階元素，又由于是Abel群，則易知是的一個4階子群，于是由 Lagrange定理知，進而，但這于是奇數(shù)矛盾，所以只有一個2階元素。4.R不能作成群，因為R對所給運算來說沒有單位元。若R有單位元x，則由于，由所給運算有：，即單位元，而，但，這與是單位元矛盾。5.設(shè)的階為n ,則易

11、看出映射是G=（a）到n次單位根群（e）= (e為n次原根)的一個同構(gòu)映射，故G=（a）。6.G顯然非空，又任取A，B，則，于是AB是整數(shù)方陣，且，故，即G對乘法封閉。結(jié)合律顯然成立，且E是G單位元。又設(shè)，由于A是整數(shù)方陣，故A的伴隨矩陣也是整數(shù)方陣；又故，即也是整數(shù)方陣，即G 中每一個元在G中都有逆元，從而證得G 作成一個群。7.令c是1+ab的逆元，則有：c（1+ab）=(1+ab) c=1 或：c-1+cab=c-1+abc=0,于是有：（1-bca）(1+ba)=1-bca+ba-bcaba=1-bc-1+cab a=1 同理有：（1+ba）(1-bca)=1.即1-bca是1+ba的

12、逆元。8.不能作成群，因為所給運算不滿足結(jié)合律，例：取則 即結(jié)合律不成立，不能作成群。9.G對此乘法作成一個群。1、證：由乘法表可知，G對所給乘法封閉，e 是單位元，又，即每個元素在G中都有逆元，因此要證G是一個群，只要再證結(jié)合律成立即可。任取，則顯然有：其次令，且，則由乘法表知：，可知結(jié)合律成立。10.非零實數(shù)集R對運算不能作成群。因為，但方程，即在R中無解，由群的定義知R對所給代數(shù)運算，不能作成群。11.R不能作成群，因為R對所給運算來說沒有單位元。若R有單位元x，則由于，由所給運算有：，即單位元，而，但，這與是單位元矛盾。12.設(shè)e是群G 的單位元，則e顯然滿足方程另外設(shè)且，則有 即a=

13、e, 即只有e滿足方程。13.若中除單位元外其余元素的階均是無限，則結(jié)論已對；若中非單位元素的階都，若是合數(shù)，即，則中任意的元素，有，這與易知矛盾，所以必是素數(shù)。14.假設(shè)群是兩個非平凡子群的并，即。由于是是兩個非平凡子群，故有，使得，又由于，所以有，又因為，故必有，。若，則由于是是子群，故矛盾，若，則由于是是子群，故矛盾，因此15.，則，當(dāng)然不可能是的子群，因為。16.群是有限群當(dāng)且僅當(dāng)只有有限個子群。證明：若群是有限群，則的子集的個數(shù)是有限的，從而其子群的個數(shù)當(dāng)然是有限的；反之，只有有限個子群，則中顯然不能有無限階元素，因為無限循環(huán)群有無限個子群，這樣中每個元素的階都是有限的，任取，則是的

14、一個有限子群，再取，于是又是的一個異于有限子群，但只有有限子群，故這種過程不能無限地持續(xù)下去，從而存在正整數(shù)，使得，而每個都是有限的，于是群是有限群。17.1）如整數(shù)加群G除單位元O外，每個元的階都無限。2）如：全體非零有理數(shù)對普通乘法作成一個群，滿足題設(shè)條件，除單位元1的階是1外，-1的階是2，而其余各元素的階都是無限。18.設(shè)，反之若，有即與有相同的階。19. 因,故存在整數(shù),使得,這樣,有,故是的一個生成元,從而20.（1） 由于,；的兩個元的乘積仍是有限個換位子的乘積,因而仍是的一個元；一個換位子的逆仍是一個換位子,所以的一個元的逆仍是的一個元,這樣是的一個子群；對于,，所以是的一個不

15、變子群.（2）令,那么,由此得,即,因而是交換群.（3） 因為是交換群,所以對的任何兩個元和, ,由此得,這樣含有一切換位子,因而含有.21.設(shè)H=e,由于是等價關(guān)系，故ee,即;,則ae, be因而ae, beb,由題設(shè)可得e, e,-10分; 由對稱性及傳遞性得,e,再由題設(shè)得e即,那么與G的單位元e等價的元所作成的集合G的一個子群。22.，由于，從而=是可換群。23.充分性，由Lagrange定理知，顯然成立。必要性，因為，所以存在。設(shè)，則，但是，由假設(shè)，；若，則是的非平凡子群，與假設(shè)矛盾；若是合數(shù)，即，則，從而是的非平凡子群與假設(shè)矛盾。因此G為素數(shù)階循環(huán)群。，,有,必有, 否則,便得n=e的矛盾,從而,an=na,另外顯然ae=ea,故。25.先證非空， 其次證是子群；最后證的不變性。 2、只證是單射即可。26.取而，則由Lagrange定理知，其中，則的階是，所以是的一個階子群。27.設(shè)，則