要設(shè)計(jì)和發(fā)射一個(gè)帶有X射線望遠(yuǎn)鏡和其他科學(xué)儀器的氣球

1、212013061022年亮男數(shù)學(xué)（2013）2、煉油廠將 A、B、C 三種原料加工成甲乙丙三種汽油。一桶原油加工成汽油的費(fèi)用為 4 元，每天至多能加工汽油 14，000 桶。原油的買入價(jià)、買入量、辛烷值、硫含量，及汽油的賣出價(jià)、 需求量、辛烷值、硫含量由下表給出。 問(wèn)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃， 在滿足需求的條件下使利潤(rùn)最大？一般來(lái)說(shuō)，作廣告可以增加銷售，估計(jì)一天向一種汽油投入一元廣告費(fèi)，可以使這種汽油日銷量增加 10 桶。問(wèn)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃和廣告計(jì)劃使利潤(rùn)最大？原油類別買入價(jià)（元/買入量（桶 /辛烷值（） 硫含量（）桶）天）A455000120.5B35500062.0C25500083.0汽油類別

2、賣出價(jià)（元 /需求量（桶 /辛烷值（） 硫含量（）桶）天）甲703000101.0乙60200081丙50100061.0符號(hào)說(shuō)明：X1,X2,X3分別為 A類原油生產(chǎn)成甲，乙，丙三種汽油的量。Y1,Y2,Y3分別為 B類原油生產(chǎn)成甲，乙，丙三種汽油的量Z1,Z2,Z3 分別為 C類原油生產(chǎn)成甲，乙，丙三種汽油的量PA,PB,PC分別為甲，乙，丙三種汽油中投入廣告的花費(fèi)一、 不考慮廣告投入時(shí)的模型求解：由以上述條件可知：PA=PB=PC=0;總利潤(rùn)為：70*3000+60*2000+50*1000-45*(X1+X2+X3)-35*(Y1+Y2+Y3)-25*(Z1+Z2+Z3)-4*(X1+

3、X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3)針對(duì)買入量與總產(chǎn)量得條件：X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z314000;X1+X2+X35000;Y1+Y2+Y35000;Z1+Z2+Z35000;針對(duì)需求量得條件：X1+Y1+Z13000;X2+Y2+Z22000;X3+Y3+Z31000;針對(duì)辛烷值得條件：12%*X1+6%*Y1+8%*Z110%*(X1+Y1+Z1);12%*X2+6%*Y2+8%*Z22%*(X2+Y2+Z2);12%*X3+6%*Y3+8%*Z36%*(X3+Y3+Z3);針對(duì)硫含量得條件：0.5%*X1+2.0%*Y1+3.0%*Z11.0%*(

4、X1+Y1+Z1);0.5%*X2+2.0%*Y2+3.0%*Z20.8%*(X2+Y2+Z2);0.5%*X3+2.0%*Y3+3.0%*Z31.0%*(X3+Y3+Z3);X1,X2,X3，Y1,Y2,Y3,Z1,Z2,Z3均為非負(fù)整數(shù)；結(jié)果分析與檢驗(yàn)利用 LING0 9.0 求解在上述四條件下利潤(rùn)的最大值得：不考慮廣告投入時(shí)用LINGO 9.0 求解利潤(rùn)最大值所用程序：max=70*3000+60*2000+50*1000-45*(X1+X2+X3)-35*(Y1+Y2+Y3)-25*(Z1+Z2+Z3)-4*(X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3);X1+X2+X3+Y

5、1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3<=14000;X1+X2+X3<=5000;Y1+Y2+Y3<=5000;Z1+Z2+Z3<=5000;X1+Y1+Z1>=3000;X2+Y2+Z2>=2000;X3+Y3+Z3>=1000;0.12*X1+0.06*Y1+0.08*Z1>=0.10*(X1+Y1+Z1);0.12*X2+0.06*Y2+0.08*Z2>=0.02*(X2+Y2+Z2);0.12*X3+0.06*Y3+0.08*Z3>=0.06*(X3+Y3+Z3);0.005*X1+0.02*Y1+0.03*Z1<=0.01

6、*(X1+Y1+Z1);0.005*X2+0.02*Y2+0.03*Z2<=0.008*(X2+Y2+Z2);0.005*X3+0.02*Y3+0.03*Z3<=0.01*(X3+Y3+Z3);gin(X1);gin(X2);gin(X3);gin(Y1);gin(Y2);gin(Y3);gin(Z 1);gin(Z2);gin(Z3);直接求解結(jié)果：Global optimal solution found.Objective value: 110000.0Total solver iterations: 6Variable Value Reduced Cost X1 2400.

7、000 0.000000 X2 1600.000 0.000000 X3 800.0000 0.000000 Y1 0.000000 2.000000 Y2 0.000000 2.000000 Y3 0.000000 2.000000 Z1 600.0000 0.000000 Z2 400.0000 0.000000 Z3 200.0000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 110000.0 1.000000 2 80 00.000 0.000000 3 200.0000 0.000000 4 5000.000 0.000000 5 3 800

8、.000 0.000000 6 0.000000 -45.00000 7 0.000000 -45.00000 8 0.000000 -45.00000 9 36.00000 0.000000 10 184.0000 0.000000 11 52.00000 0.000000 12 0.000000 800.0000 13 0.000000 800.0000 14 0.000000 800.0000當(dāng) X1=2400,X2=1600, X3=800,Z1=600,Z2=400,Z3=200, 其余變量值為 0；即用 A 類原油生產(chǎn) 2400 桶甲類汽油，生產(chǎn) 1600 桶乙類石油，生產(chǎn) 800

9、 桶丙類石油，用 C類原油生產(chǎn) 600 桶甲類汽油，用 C類原油生產(chǎn) 400 桶乙類汽油，用 C類原油生產(chǎn) 200 桶丙類汽油時(shí)， 總利潤(rùn)達(dá)到最大值為 110000 元。二、考慮廣告投入時(shí)的模型求解：對(duì)甲、乙、丙三種汽油的廣告投入分別設(shè)為PA、PB、PC.總利潤(rùn)變 :70*(3000+10*PA)+60*(2000+10*PB)+50*(1000+10*PC)-45*(X1+X2+X3)-35*(Y1+Y2+Y3)-25*(Z1+Z2+Z3)- 4*(X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3)-PA-PB-PC;針對(duì)需求量得到的條件變?yōu)椋篨1+Y1+Z13000+10*PA;X2+

10、Y2+Z22000+10*PB;X3+Y3+Z31000+10*PC;其余條件與不考慮廣告投入時(shí)相同.結(jié)果分析與檢驗(yàn)利用 LING0 9.0 求解在上述條件下利潤(rùn)的最大值得：考慮廣告投入時(shí)利用LINGO 9.0 求解利潤(rùn)最大值所用程序：max=70*(3000+10*PA)+60*(2000+10*PB)+50*(1000+10*PC)-45 *(X1+X2+X3)-35*(Y1+Y2+Y3)-25*(Z1+Z2+Z3)- 4*(X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3)-PA-PB-PC;X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3<=14000;X1+X2+X3&

11、lt;=5000;Y1+Y2+Y3<=5000;Z1+Z2+Z3<=5000;X1+Y1+Z1>=3000+10*PA;X2+Y2+Z2>=2000+10*PB;X3+Y3+Z3>=1000+10*PC;0.12*X1+0.06*Y1+0.08*Z1>=0.10*(X1+Y1+Z1);0.12*X2+0.06*Y2+0.08*Z2>=0.02*(X2+Y2+Z2);0.12*X3+0.06*Y3+0.08*Z3>=0.06*(X3+Y3+Z3);0.005*X1+0.02*Y1+0.03*Z1<=0.01*(X1+Y1+Z1);0.005*

12、X2+0.02*Y2+0.03*Z2<=0.008*(X2+Y2+Z2);0.005*X3+0.02*Y3+0.03*Z3<=0.01*(X3+Y3+Z3);gin(X1);gin(X2);gin(X3);gin(Y1);gin(Y2);gin(Y3);gin(Z 1);gin(Z2);gin(Z3);直接求解結(jié)果：Global optimal solution found.Objective value: 129959.1Extended solver steps: 0Total solver iterations: 18Variable Value Reduced Cost P

13、A 109.9000 0.000000 PB 0.00 0000 0.000000 PC 0.000000 0.000000 X1 2733.000 -20.90000 X2 1600.000 -10.90000 X3 667.0000 -0.9000000 Y1 1366.000 -30.90000 Y2 400.0000 -20.90000 Y3 333.0000 -10.90000 Z1 0.000000 -40.90000 Z2 0.000000 -30.90000 Z3 0.000000 -20.90000Row Slack or Surplus Dual Price 1 12995

14、9.1 1.000000 2 69 01.000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 2901.000 0.000000 5 5 000.000 0.000000 6 0.000000 -69.90000當(dāng) PA=109,PB=0,PC=0,X1=2733,X2=1600,X3=667,Y1=1366,Y2=400, Y3=333,即對(duì)甲類汽油投入廣告費(fèi) 109 元，對(duì)乙 , 丙類汽油不投入廣告費(fèi)，同時(shí)用 A 類原油生產(chǎn)甲類汽油 2733 桶，生產(chǎn)乙類汽油 1600 桶，生產(chǎn)丙汽油 667 桶，用 B 類原油生產(chǎn)甲類汽油 1366 桶，生產(chǎn)乙類汽油 400 桶，生產(chǎn)丙

15、類汽油 333 桶，不用 C類原油時(shí)，總利潤(rùn)可得最大為 129959.1 元.3. 要設(shè)計(jì)和發(fā)射一個(gè)帶有 X 射線望遠(yuǎn)鏡和其他科學(xué)儀器的氣球。 對(duì)于性能的粗糙的度量方法是以氣球所能到達(dá)的高度和所攜帶儀器的重量來(lái)表達(dá)，很清楚，高度本身是氣球體積的一個(gè)函數(shù)。根據(jù)過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)作出的結(jié)論，是求極大滿意性能函數(shù)Pf (V ,W )100V0.3V 280W0.2W 2 ，此處 V 是體積，w 是儀器重量。承包項(xiàng)目的預(yù)算限額為1040 美元，與體積 v 有關(guān)的費(fèi)用是 2v，與設(shè)備有關(guān)的費(fèi)用是4W，為了保證在高度方面的性能與科學(xué)設(shè)備方面的性能之間合理平衡，設(shè)計(jì)者要滿足約束條件80W100W，找出由體積和設(shè)備重

16、量來(lái)表達(dá)的最優(yōu)設(shè)計(jì)，并用線性化方法求解。解：由題意可以問(wèn)題的V 和 W 應(yīng)滿足的約束條件為s.t.然后求解目標(biāo)函數(shù)Pf (V ,W )100V0.3V 280W0.2W 2 的最大值。我們可以用非線性規(guī)劃的線性逼近的方法將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成近似的線性函數(shù)然后用線性規(guī)劃的求解的方法即可得出結(jié)果。根據(jù)題意建立模型：Max f = 100-0.3+80W-0.2s.t.設(shè)置變量為：體積 V：x1設(shè)備重量 W ：x2模型求解的 Matlab 程序如下：（1）建立非線性目標(biāo)函數(shù)文件functionf=qiqiu01(x)f=0.3*x(1)2-100*x(1)+0.2*x(2)2-80*x(2);(2) 建

17、立主程序求解x0=1;1;A=1,2;5,-4;b=520;0;Aeq=;beq=;vlb=0;0; vub=;x,fval=fmincon('qiqiu01',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);xfval%求出的結(jié)果為：x =148.5714185.7143fval =1.6194e+004由上可知體積 V 為 148.5714，重量為 185,7143 時(shí)為最優(yōu)的設(shè)計(jì)。4. 某廠向用戶提供發(fā)動(dòng)機(jī)，合同規(guī)定，第一、二、三季度末分別交貨40 臺(tái)、 60 臺(tái)、 80 臺(tái)每季度的生產(chǎn)費(fèi)用為f ( x)axbx 2 （元），其中 x 是該季生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)若交貨后有剩余，可用

18、于下季度交貨，但需支付存儲(chǔ)費(fèi)，每臺(tái)每季度 c 元已知工廠每季度最大生產(chǎn)能力為 100臺(tái)，第一季度開(kāi)始時(shí)無(wú)存貨，設(shè)a=50、b=0.2 、c=4，問(wèn)工廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，才能既滿足合同又使總費(fèi)用最低解：分析：?jiǎn)栴}的關(guān)鍵在于由于工廠的生產(chǎn)能力足以滿足每個(gè)季度用戶的需求，但是為了使總費(fèi)用最少， 那么利用每個(gè)季度生產(chǎn)費(fèi)用的不同，可用利用上個(gè)生產(chǎn)費(fèi)用低的季度多生產(chǎn)來(lái)為下個(gè)季度進(jìn)行準(zhǔn)備， 前提是本月節(jié)省下的費(fèi)用減去總的發(fā)動(dòng)機(jī)存儲(chǔ)費(fèi)用還有剩余， 這樣生產(chǎn)才有價(jià)值，才可能滿足合同的同時(shí)又能使總費(fèi)用最低?；炯僭O(shè)：1 、工廠的生產(chǎn)能力不受外界環(huán)境因素影響。2 、為使總費(fèi)用最低，又能滿足合同要求，各個(gè)季度之間的生產(chǎn)數(shù)量之間是有聯(lián)系的。3 、第一季度開(kāi)始時(shí)無(wú)存貨。4 、工廠每季度的生關(guān)費(fèi)用與本季度生產(chǎn)的發(fā)動(dòng)機(jī)臺(tái)數(shù)有關(guān)。5 、生產(chǎn)要按定單的數(shù)量來(lái)進(jìn)行， 生產(chǎn)的數(shù)量應(yīng)和訂單的數(shù)量相同，以避免生產(chǎn)出無(wú)用的機(jī)器。符號(hào)規(guī)定：X1第一季度生產(chǎn)發(fā)動(dòng)機(jī)的數(shù)量X2 第二季度生產(chǎn)發(fā)動(dòng)機(jī)的數(shù)量X3第三季度生產(chǎn)發(fā)動(dòng)機(jī)的數(shù)量建模：1、三個(gè)季度發(fā)動(dòng)機(jī)的總的生產(chǎn)量為180 臺(tái)。2、每個(gè)季度的生產(chǎn)量和庫(kù)存機(jī)器的數(shù)量