導數(shù)觀點下的函數(shù)問題

1、導數(shù)觀點下的函數(shù)問題 導數(shù)工具性強，綜合性也強，可以用來解決許多問題。 用導數(shù)研究函數(shù)，可以使解題過程編的程序化，為用函數(shù)解決實際問題帶來方便。用導數(shù)研究函數(shù)是高考的一大熱點，各地的高考題中都有一道用導數(shù)研究函數(shù)的解答題，總的看來，用導數(shù)研究函數(shù)有如下的三種基本題型。一、 研究函數(shù)的單調性利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，是根據函數(shù)的導數(shù)大于零的區(qū)間使函數(shù)的單調遞增區(qū)間、導數(shù)小于零的區(qū)間是函數(shù)的單調遞減區(qū)間的方法研究例1 已知函數(shù)f(x)=xax+(a1)，。討論函數(shù)的單調性。分析：先確定函數(shù)的定義域，求出導數(shù)后，通過討論不等式的解區(qū)間判斷單調性。解析：的定義域為。2分（i）若即, 則 故在單調增加。

2、(ii)若,而,故,則當時，;當及時，故在單調減少，在單調增加。(iii)若,即,同理可得在單調減少，在單調增加?！军c評】用導數(shù)的方法判斷函數(shù)的單電性和單調區(qū)間是最實用的方法。這種方法具有步驟清晰，可操作性強的特點。二，研究函數(shù)的極值用導數(shù)研究極值的基本方法是根據可導函數(shù)在某點去的極值，則函數(shù)的導數(shù)在該點等于零，并且在該點附近導數(shù)值左右變號。例2、已知函數(shù)f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，其中aR且a時，求函數(shù)f(x)的極值.分析：求出導數(shù)令導數(shù)等于零，根據極值的判斷法確定極大值點和極小值點。 解：f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2.由a知，2aa

3、2.以下分兩種情況討論：(1)若a>，則2a<a2.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)在(，2a)，(a2，)內是增函數(shù)，在(2a，a2)內是減函數(shù)函數(shù)f(x)在x2a處取得極大值f(2a)，且f(2a)3ae2a.函數(shù)f(x)在xa2處取得極小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.(2)若a<，則2a>a2.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)在(，a2)，(2a

4、，)內是增函數(shù)，在(a2，2a)內是減函數(shù)函數(shù)f(x)在xa2處取得極大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.函數(shù)f(x)在x2a處取得極小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.【點評】導數(shù)等于0只是可導函數(shù)在一點處取得極值的必要條件，是否存在極值，還要檢驗導數(shù)在該點左右是不是變號。 三、研究函數(shù)的最值用導數(shù)研究函數(shù)在指定區(qū)間上最值的基本方法是研究函數(shù)在該區(qū)間上的極值和端點值，然后通過比較找到最值。例2 已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)x2(xa)，求在區(qū)間0,2上的最大值分析：先求極值點，根據極值點是否在區(qū)間0,2內進行分類討論，當極值點在該區(qū)間0,2內時，再與端點值進行比較解析：f(x)x

5、22a x 令f(x)0，解得x0或xa.當a0，即a0時，f(x)在0，2單調遞增，從而f(x) 最大值是f (2)84a當a2，即a3時，f(x)在0，2上單調遞減，從而f(x) 最大值是f (0)0，當0<a<2，即0<a<3，f(x)在0，a上單調遞減，在a，2單調遞增， 從而f(x) 84a， <a2 0， 2<a<3 綜上所訴f(x) 84a， a2 0， a >2 【點評】函數(shù)的最值問題是函數(shù)的單調性和函數(shù)極值問題的綜合，在一般的高考試題中求解函數(shù)最值需要進行分類討論，分類的標準一是看極值點的位置，二是看端點值，即最值是函數(shù)在指定區(qū)間內的極值和端點值中最大的值和最小的值。 .4分 （2） 8分（3） .14分5、（2009隨州曾都一中第一次月考）已知二次函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)的圖象與直線y=x相切.（1）求的解析式（2）若函數(shù)上是單調減函數(shù)，那么：求k的取值范圍；是否存在區(qū)間m，n（mn，使得在區(qū)間m，n上的值域恰好為km，kn？若存在，請求出區(qū)間m，n；若不存在，請說明理由.（1）f（x+1）為偶函數(shù)，恒成立，即（2a+b）x=0恒成立，2a+b=0，b=2a，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切，二次方程有兩相等實數(shù)根，（5分）（2），故k的取值范圍為（8分）4、（2009荊州中學期末）