[很全]拋物線焦點弦的有關(guān)結(jié)論

1、很全拋物線焦點弦的有關(guān)結(jié)論知識點1：若腫是過拋物線于=2卩.心>0)的焦點F的弦。設(shè)4(.、,必)匕,兒)，(2)=-p2證明：如圖,(1)若38的斜率不存在時，依題意X=心 =y, XxX2 =務(wù)若肋的斜率存在時，設(shè)為化則AB:y = k(x-,與y2=2px聯(lián)立，得=0k1 x - y= 2px n kY - X + * f1P'4綜上："2七.(2) yi2y22 = p4 => yiy2 =±p但陽2 <o,/. yiy2=-p2(2)另證:設(shè) AB :x = my + 與尸=2px 聯(lián)立，得y2 -2pmy-p2 = 0.:. yxy2

2、= -p2知識點2：若腫是過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的弦。設(shè)兒)， 則(1)必2=無+心+卩：(2)設(shè)直線的傾斜角為a,則AB = osin* a證明：(1)由拋物線的定義知AF = X + y,|BF| = *2 + #,= AF + BF = X + x? + p（2）若 a = 90°,則X = = £，由（1）知 1.481 = 2/? = M 211sin- a若a9O0,iH4B:y = x- ,-y2 =2px聯(lián)立，得k2丿"+"止日,朗勺+孔+廠而 k = tan a ,2#2汕 + tan? a）_ 2p4 i.>

3、;tan- a sm" a知識點3：若-JB是過拋物線b=2“O0）的焦點F的弦，則以£為直徑的圓與 拋物線的準(zhǔn)線相切。證明：過點/、B分別向拋物線的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為4、場,過腫中點M向準(zhǔn)線引垂線，垂足為N,設(shè)以-8為直徑的圓的半徑為幾Q 2r = AB = AF + BF = |.丄右 | + BBX | = 2卩的 pl/N| = r.:.以-43為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。知識點4:若腫是過拋物線才=2刃>0）的焦點F的弦。過點/、E分別向拋物線的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為£、坊,則= 90° o證明借助于平行線和等腰三角形容易證明知識點

4、5:若是過拋物線b=2“O>0）的焦點F的弦，拋物線的準(zhǔn)線與x軸相 交于點K,則ZAKF = ABKF.證明：過點&、2分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為4、B】.QAAJ/KF/ZBB=竺而"=A.A.BF = B.BB、K FBAK _ AXA.笛=診而3K.碼190。3# AAXK s ABB.K :. ZA、KA = ABXKB:.ZAKF = ABKF知識點6：若a是過拋物線y2 =2px（p>0）的焦點戸的弦，。為拋物線的頂點，連 接AO并延長交該拋物線的準(zhǔn)線于點C,則BCHOF.證明：設(shè)/（忑）艮心兒），則.v ,yp _ p12x】2 y_ X2p2由知

5、識點 1 知北旳=_p?yc =y2: BCHOFy2逆定理：若是過拋物線y2 =2px(p>0)的焦點F的弦，過點8作BC/OF交拋物線準(zhǔn)線于點C,則/、C、O三點共線。證明略 知識點7：若曲是過拋物線y2 = 2px(p > 0)的焦點F的弦，設(shè)AF = mBF = n.則證法：(1)若丄x軸，則38為通徑，而AB = 2p.112 /. m = ji = pju n p(2)若與x軸不垂直，設(shè)B(x2,y2)9的斜率為I則l:y = k與y2=lpx聯(lián)立，得卜彳k2= 2px> k2x2 -址 +2x +k2p2=04#11+ n+ =m n mn*)=£14

6、由拋物線的定義知m = AF = x1 + £/ = BF =勺+彳#知識點&己知拋物線y2 =2px(p>Q)中拐為其過焦點F的弦，卜F|二二兒則#=丄 £加sin( - &)+丄£sin 02 2 2 2r .PPP) crfrj m =,fi =Din = sin 0 =1 - cos01 + cos6sin* 05#逆定理：已知拋物線r =2p.x（>0）中，.購為其弦且與x軸相交于點M,若 AM = mBM = ”,且$亠他=務(wù)島+晉'則弦AB過焦點。證明：設(shè)5（x2, v2）, ZAMx = 0, A/,0）,則SOB =S±0M+S0M 斗伽 sinS-&）+詁 sin & 弓1 + "sin 8而sin。一 b-,sin& /. sin2 6 “ninmn#:.sin 0 =一）yi乂可設(shè)Hill2 yfnm 2而 s® = ±1 （加+ ）p27: x = a y + / y2 = 2px=> y2 -2pay-2pt = 0/. yxy2 = -2pt 6#由得迸恒過焦點乂,0#拋物線r = 2G?>o）亠亠，過（2p,