人教版八年級下冊182 特殊平行四邊形 講義

1、【知識體系】【要點梳理】要點一、矩形1定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.2性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）四個角都是直角；（3）對角線互相平分且相等； （4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3面積：判定：（1) 有一個角是直角的平行四邊形是矩形. （2）對角線相等的平行四邊形是矩形. （3）有三個角是直角的四邊形是矩形.要點詮釋：由矩形得直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）直角三角形中，30度角所對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半要點二、菱形1. 定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)； （2）四條邊相等； （3）

2、兩條對角線互相平分且垂直，并且每一條對角線平分一組對角； （4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3面積：4判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊相等的四邊形是菱形.要點四、正方形1. 定義：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.2性質(zhì)：（1）對邊平行； （2）四個角都是直角；（3）四條邊都相等；（4）對角線互相垂直平分且相等，對角線平分對角；（5) 兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；（6）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3面積：邊長邊長對角線對角線4判定：（1）有一個角是直角的菱形是正方形；（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（

3、3）對角線相等的菱形是正方形；（4）對角線互相垂直的矩形是正方形；（5）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形類型一、矩形1、已知：如圖，D是ABC的邊AB上一點，CNAB，DN交AC于點M，MAMC求證：CDAN；若AMD2MCD，求證：四邊形ADCN是矩形【思路點撥】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出DACNCA，然后利用“角邊角”證明AMD和CMN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得ADCN，然后判定四邊形ADCN是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等即可得證；根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和推出MCDMDC，再根據(jù)等角對等邊可得

4、MDMC，然后證明ACDN，再根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形即可得證【答案與解析】證明：CNAB，DACNCA，在AMD和CMN中，AMDCMN（ASA），ADCN，又ADCN，四邊形ADCN是平行四邊形，CDAN；AMD2MCD ，AMDMCDMDC，MCDMDC，MDMC，由知四邊形ADCN是平行四邊形，MDMNMAMC，ACDN，四邊形ADCN是矩形【總結(jié)升華】要判定一個四邊形是矩形，通常先判定它是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形構(gòu)成矩形的條件，判定有一個角是直角或?qū)蔷€相等2、如圖所示，在矩形ABCD中，AB6，BC8將矩形ABCD沿CE折疊后，使點D恰好落在對角線AC上的點F處，求EF

5、的長.【思路點撥】要求EF的長，可以考慮把EF放入RtAEF中，由折疊可知CDCF，DEEF，易得AC10，所以AF4，AE8-EF，然后在RtAEF中利用勾股定理求出EF的值【答案與解析】解：設(shè)EF， 由折疊可得：DEEF，CFCD6， 又 在RtADC中， AFACCF4，AEADDE8 在RtAEF中， 即， 解得：3 EF3【總結(jié)升華】在矩形折疊問題中往往根據(jù)折疊找出相等的量，然后把未知邊放在合適的直角三角形中，再利用勾股定理進行求解舉一反三：【變式】把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊，使頂點B和點D重合，折痕為EF若AB 3，BC 5，則重疊部分DEF的面積是_【答案】5.

6、1.提示：由題意可知BFDF，設(shè)FC，DF5，在RtDFC中，解得，BFDE3.4，則3.435.1.類型二、菱形3、如圖,在菱形ABCD中，BAD80，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，E為垂足，連結(jié)DF，則CDF等于( ).A.80 B.70 C.65 D.60【答案】D；【解析】解：連結(jié)BF，由FE是AB的中垂線，知FBFA，于是FBAFAB40.CFB404080,由菱形ABCD知，DCCB，DCFBCF，CFCF，于是DCFBCF，因此CFDCFB80,在CDF中, CDF180408060.【總結(jié)升華】運用菱形的性質(zhì)可以證明線段相等、角相等、線段的平行及垂直等問題，關(guān)鍵是要記住它

7、們的判定和性質(zhì).舉一反三：【變式】用兩張等寬的紙帶交叉重疊地放在一起，重合的四邊形ABCD是菱形嗎？如果是菱形請給出證明，如果不是菱形請說明理由【答案】四邊形ABCD是菱形；證明：由ADBC，ABCD得四邊形ABCD是平行四邊形,過A，C兩點分別作AEBC于E，CFAB于FCFBAEB90 AECF（紙帶的寬度相等）ABECBF，RtABERtCBF,ABBC,四邊形ABCD是菱形. 類型三、正方形4、如圖，一個含45的三角板HBE的兩條直角邊與正方形ABCD的兩鄰邊重合，過E 點作EFAE交DCE的角平分線于F點，試探究線段AE與EF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【思路點撥】AEEF根據(jù)正方形的性

8、質(zhì)推出ABBC，BADHADDCE90，推出HAECEF，根據(jù)HEB是以B為直角的等腰直角三角形，得到BHBE，H45，HACE，根據(jù)CF平分DCE推出HFCE，根據(jù)ASA證HAECEF即可得到答案【答案與解析】 探究：AEEF 證明：BHE為等腰直角三角形, HHEB45，BHBE. 又CF平分DCE，四邊形ABCD為正方形， FCEDCE45， HFCE. 由正方形ABCD知B90，HAE90DAE90AEB, 而AEEF，F(xiàn)EC90AEB， HAEFEC. 由正方形ABCD知ABBC，BHABBEBC， HACE, AHEECF （ASA）, AEEF.【總結(jié)升華】充分利用正方形的性質(zhì)和

9、題目中的已知條件，通過證明全等三角形來證明線段相等.舉一反三：【變式】如圖所示，E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊中點，連接EF、FG、GH、HE，則四邊形EFGH為_形 (1)當四邊形滿足_條件時，四邊形EFGH是菱形 (2)當四邊形滿足_條件時，四邊形EFGH是矩形 (3)當四邊形滿足_條件時，四邊形EFGH是正方形 在橫線上填上合適的條件，并說明你所填條件的合理性【答案】四邊形EFGH為平行四邊形；解：(1)ACBD，理由：如圖，四邊形ABCD的對角線ACBD，此時四邊形EFGH為平行四邊形，且EHBD，HGAC，得EHGH，故四邊形EFGH為菱形(2)ACBD，理由：如圖，四邊形A

10、BCD的對角線互相垂直，此時四邊形EFGH為平行四邊形易得GHBD，即GHEH，故四邊形EFGH為矩形(3)ACBD且ACBD，理由：如圖，四邊形ABCD的對角線相等且互相垂直，綜合(1)(2)可得四邊形EFGH為正方形 本題是以平行四邊形為前提，加上對角線的特殊條件來判定特殊的平行四邊形，加上鄰邊相等為菱形，加上對角線互相垂直為矩形，綜合得到正方形幾種特殊四邊形性質(zhì)、判定四邊形性 質(zhì)判 定邊角對角線矩形對邊平行且相等四個角是直角相等且互相平分有一個角是直角的平行四邊形是矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形菱形四條邊相等對角相等，鄰角互補垂直且互相平分，每一條對角線

11、平分一組對角有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；四條邊都相等的四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 .正方形四條邊相等四個角是直角相等、垂直、平分，并且每一條對角線平分一組對角鄰邊相等的矩形是正方形對角線垂直的矩形是正方形有一個角是直角的菱形是正方形對角線相等的菱形是正方形類型一、矩形的判定1、如圖，矩形的周長為，兩條對角線相交于點，過點作的垂線，分別交于點，連結(jié)，則的周長為（ ）A5cmB8cmC9cmD10cm【解析】D舉一反三【變式】如圖，已知矩形ABCD沿對角線BD折疊，記點C的對應(yīng)點為C，若ADC20，則BDC的度數(shù)為_【答案與解析】55【變式2】矩形的邊長為10和15,其中

12、一個內(nèi)角平分線分長邊為兩部分,這兩部分的長度分別為( ) A. 6和9 B. 5和10 C. 4和11 D. 7和8【解析】【答案】B【變式3】四邊形ABCD的對角線交于點O，在下列條件中，不能說明它是矩形的是 （ ） A. AB=CD，AD=BC，BAD=90 B.BAD=ABC=90,BAD+ADC=180C、BAD=BCD,ABC+ADC=180 D. AO=CO,BO=DO,AC=BD【答案】C2、在平行四邊形中，過點作于點E，點F在邊上，連接，。（1）求證：四邊形是矩形。（2）若,求證：平分?！窘馕觥孔C明：（1）因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以DC/AB，即DF/BE，又因為DF

13、=BE，所以四邊形DEBF為平行四邊形。又因為DEAB，所以DEB=90，所以平行四邊形DEBF為矩形。（2）因為四邊形DEBF為矩形，所以BFC=90。在BFC中，CF=3，BF=4，根據(jù)勾股定理得，所以根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，AD=BC=5，所以AD=DF=5，所以DAF=DFA。因為DC/AB，所以DFA=FAB，所以DAF=FAB，即AF平分DAB?！九e一反三】【變式】如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F(1)求證：AB=CF；(2)當BC與AF滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形ABFC是矩形，并說明理由【解析】解答：(1)證明：四邊形ABCD是平行四

14、邊形，ABCD，AB=CD，BAE=CFE，ABE=FCE，E為BC的中點，EB=EC，ABEFCE，AB=CF.(2)當BC=AF時，四邊形ABFC是矩形。理由如下：ABCF，AB=CF，四邊形ABFC是平行四邊形，BC=AF，四邊形ABFC是矩形。3、如圖，ABC中，點O是AC上一個動點，過點O作直線MNBC，設(shè)MN交BCA的平分線于點E，交BCA的外角平分線于點F， (1)求證：OE=OF；(2)當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形，并證明你的結(jié)論。【解析】舉一反三【變式】如圖，在等邊三角形ABC中，點D是BC邊的中點，以AD為邊作等邊三角形ADE.(1)求CAE的度數(shù)；(2)取AB

15、邊的中點F，連結(jié)CF、CE，試證明四邊形AFCE是矩形【解析】【考點】等邊三角形的性質(zhì)以及矩形的判定方法矩形的判定定理：(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；(2)對角線相等的平行四邊形是矩形； (3)有三個角是直角的四邊形是矩形.類型二、菱形的判定1. 如圖在ABC中，AD平分BAC交BC于D點，過D作DEAC交AB于E點, 過D作DFAB交AC于F點. 求證：（1）四邊形AEDF是平行四邊形 ；（2）23 ；（3）四邊形AEDF是菱形。【解析】舉一反三【變式】已知：如圖ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F求證：四邊形AFCE是菱形【解析】證明：AEFC.EAC=F

16、CA.在AOE與COF中,EO=FO，AOECOF(ASA).四邊形AFCE為平行四邊形，又EFAC，四邊形AFCE為菱形；2. 如圖，ABC中，AD是邊BC上的中線，過點A作AEBC，過點D作DEAB，DE與AC、AE分別交于點O、點E，連接EC（1）求證：AD=EC；（2）當BAC=時，求證：四邊形ADCE是菱形【解析】【方法總結(jié)】舉一反三【變式】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一點，BE交AC于F，連接DF（1）證明：BAC=DAC，AFD=CFE（2）若ABCD，試證明四邊形ABCD是菱形；（3）在（2）的條件下，試確定E點的位置，EFD=BCD，并說明理由

17、類型三、正方形的判定與性質(zhì)1、如圖，在正方形ABCD中，P是AD上任一點，PEAC,PFBD,點E、F分別是垂足，BD+AC=14，則PE+PF=_【答案】3.5(三角形APE為等腰直角三角形，所以PE+PF的長為對角線長度一半)舉一反三【變式1】在正方形ABCD中，E是BC上一點，AE把正方形分成兩部分，且，AB=6, 則AE=_【答案】【變式2】在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的是（ ） AAC=BD，ABCD，AB=CD B. ADBC，A=C C. AO=BO=CO=DO，ACBD D. AO=CO，BO=DO，AB=BC【答案】C【變式3】如圖所示，正方

18、形的面積為12，是等邊三角形，點在正方形內(nèi)，在對角線上有一點，使的和最小，則這個最小值為（）ABC3 D【答案】A【解析】2. 已知：如圖所示，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共頂點A，試說明：DGBE?！窘馕觥颗e一反三【變式1】如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，C90，A、B的平分線交于點D，DEBC于E，DFAC于F，試說明四邊形CEDF為正方形?！窘馕觥俊咀兪?】如圖，正方形ABCD中對角線AC、BD相交于O，E為AC上一點，AGEB交EB于G，AG交BD于F。證明OE=OF【解析】動點平行四邊形解題一般步驟：（1）設(shè)未知數(shù)，一般以時間為未知數(shù)，用含未知數(shù)的式子表示出線段長；

19、（2）列等式。尋找不同線段的等量關(guān)系（注意題目中的多解性），列一元方程，解方程； （3）作答：根據(jù)未知數(shù)做答并檢驗。【典型例題】1.如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，B90，AB8 cm，AD24 cm，BCP從點A出發(fā)，以1 cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以3 cm/s的速度向點B運動規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動從運動開始，使PQCD和PQCD，分別需經(jīng)過多少時間？為什么？解：設(shè)經(jīng)過ts時，PQCD，此時四邊形PQCD為平行四邊形PD(24t)cm，CQ3t cm，24t3t，t6.當t6 s時，PQCD，且PQCD.設(shè)經(jīng)過ts時，PQCD，分別過點

20、P，D作BC 邊的垂線PE，DF，垂足分別為E，F(xiàn).當CFEQ 時，四邊形PQCD為梯形(腰相等)或平行四邊形BADFB90，四邊形ABFD是矩形ADBF.AD24 cm，BC26 cm，CFBCBF2 cm.當四邊形PQCD 為梯形(腰相等)時，PD2(BCAD)CQ，(24t)43t.t7.當t7 s 時，PQCD.當四邊形PQCD 為平行四邊形時，由知當t6 s時，PQCD.綜上所述，當t6 s時，PQCD；當t6 s或t7 s時，PQCD.【舉一反三】【變式】如圖,在四邊形ABCD中,AD/BC,且ADBC,BC=6cm,點P、Q分別從A、C兩點的位置同時出發(fā),點P以1cm/s的速度由

21、點A向點D運動,點Q以2cm/s的速度由點C出發(fā)向點B運動.試探究:幾秒后四邊形ABQP是平行四邊形?【解析】【變式2】如圖，矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于O點，點P是線段AD上一動點(不與點D重合)，PO的延長線交BC于Q點(1)求證：四邊形PBQD為平行四邊形；(2)若AB3 cm，AD4 cm，點P從點A出發(fā)，以1 cm/s的速度向點D勻速運動設(shè)點P運動時間為ts，問四邊形PBQD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由解：(1)證明：四邊形ABCD是矩形，ADBC，ODOB.PDOQBO.在POD和QOB中，PODQOB(ASA)OPOQ.又OBOD，四邊形P

22、BQD為平行四邊形(2)點P從點A出發(fā)運動ts時，APt cm，PD(4t)cm.當四邊形PBQD是菱形時，PBPD(4t)cm.四邊形ABCD是矩形，BAP90.在RtABP中，AB3 cm，AP2AB2PB2，即t232(4t)2，解得t.點P運動時間為s時，四邊形PBQD為菱形教師：本專題你有哪些收獲和感悟？課后作業(yè)一選擇題1. 如圖，ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，DE平分ADC交BC邊于點E，則BE的長等于（ ）2在口ABCD中，AB3，AD4，A120，則口ABCD的面積是( ) A. B.C. D.3.如圖所示，將一張矩形紙ABCD沿著GF折疊(F在BC邊上，不與B，C重

23、合)，使得C點落在矩形ABCD的內(nèi)部點E處，F(xiàn)H平分BFE，則GFH的度數(shù)滿足( )A90180 B90 C090 D隨著折痕位置的變化而變化 4. 在數(shù)學(xué)活動課上，老師和同學(xué)們判斷一個四邊形門框是否為矩形，下面是某合作學(xué)習(xí)小組的4位同學(xué)擬定的方案，其中正確的是（ ）A測量對角線是否相互平分 B測量兩組對邊是否分別相等C測量一組對角是否都為直角 D測量其中三個角是否都為直角5.正方形具備而菱形不具備的性質(zhì)是（ ）A. 對角線相等； B. 對角線互相垂直；C. 每條對角線平分一組對角； D. 對角線互相平分.6. 如圖所示，口ABCD的周長為16，AC、BD相交于點O，OEAC，交AD于點E，則

24、DCE的周長為( ) A4 B6 C8 D10 7. 矩形對角線相交成鈍角120，短邊長為，則對角線的長為（ ）A BCD8. 如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E為AB的中點，且OE，則菱形ABCD的周長為（ ）ABCD9如圖，若口ABCD與口EBCF關(guān)于B，C所在直線對稱，ABE90，則F_10矩形的兩條對角線所夾的銳角為60，較短的邊長為12，則對角線長為_.11如圖，菱形ABCD的邊長為2，ABC45，則點D的坐標為_12.如圖，ABCD中，AC=AD，BEAC于E.若D=70,則ABE=., 有一塊邊長為4的正方形塑料模板ABCD，將一塊足夠大的直角三角形的直角頂點

25、落在點A，兩條直角邊分別與CD交于點F，與CB的延長線交于點E，則四邊形AECF的面積是 _.14已知菱形ABCD的面積是12，對角線AC4，則菱形的邊長是_15.菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足為E，AB那么，菱形ABCD的面積是_，對角線BD的長是_16. 如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，若AOD=120，AB=1，則AC=,BC =.17. 如圖，在口ABCD中，AC、BD交于點O，AEBC于E，EO交AD于F，求證：四邊形AECF是矩形18.如圖，在矩形ABCD中，點E在BC上，AE=AD，DFAE于F，連接DE證明：DF=DC19. 已知：如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE AF（1）求證：BE DF；（2）連接AC交EF于點O，延長OC至點M，使OM OA，連接EM、