二重積分的系統(tǒng)題型與題法2009

1、一、二重積分的六大對(duì)稱性 如果積分區(qū)域具有軸或點(diǎn)對(duì)稱（令表示的一半?yún)^(qū)域，即中對(duì)應(yīng)部分，余類推），被積函數(shù)同時(shí)具有奇偶性，那么，二重積分的計(jì)算可以得到不同程度的簡(jiǎn)化，這一技巧在研考數(shù)學(xué)中每年都必出題，務(wù)必理解記住下列6類對(duì)稱性定理。 關(guān)于軸對(duì)稱（關(guān)于軸對(duì)稱類推）關(guān)于都對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱當(dāng)和關(guān)于某一直線對(duì)稱，對(duì)同一被積函數(shù)，則關(guān)于軸對(duì)稱萬(wàn)能輪換對(duì)稱性 輪換對(duì)稱性描述 如果將與及交換，即 , ，后，積分區(qū)域方程不變，則將被積函數(shù)中的變量作同樣變換后所獲得的積分值與原積分值相等，這個(gè)性質(zhì)在二重積分，三重積分，曲線積分和曲面積分等六類多元函數(shù)積分中都成立。輪換對(duì)稱性實(shí)例二、 二重積分次序選擇原則與積分次序

2、的更換方法陳氏穿線法【原創(chuàng)】后積先定常數(shù)限，先積方向正直穿；相交必須同一線，否則域內(nèi)要分拆；隱含邊界須周全，6類對(duì)稱掛耳邊；極坐標(biāo)逆弧線，多種邊界同園拆。先看積分區(qū)域的邊界方程，那個(gè)變量?jī)绱胃?，就后積此變量； 題型一 關(guān)于積分交換次序題法【例1】計(jì)算 由所圍。解：冪次高，所以先積若被積函數(shù)只有一個(gè)變量，就后積此變量；【例2】，D由所圍。解：被積函數(shù)只有一個(gè)變量，先積積分次序一般以盡可能不拆分區(qū)域（即為正規(guī)區(qū)域）為基準(zhǔn)?！纠?】 更換積分次序 解： 及 作圖形，得：【例4】 交換積分次序 解： 畫出圖形，得：【例5】更換積分次序 解： 【例6】更換積分次序 解：如改為先后則有下列兩點(diǎn)技巧的邊界曲

3、線全都用極坐標(biāo)表示 若以原點(diǎn)為圓心的一系列同心圓與y區(qū)域的邊界曲線中的不同曲線相交，則應(yīng)在交點(diǎn)處用逆時(shí)針園弧線把的區(qū)間分為兩個(gè)正規(guī)區(qū)域：三、換元法技巧以盡可能簡(jiǎn)便為出發(fā)點(diǎn)，再參考的特征。如球?qū)ΨQ用球坐標(biāo)，錐體用柱坐標(biāo)等，微分元換算利用雅可比行列式。 其中雅可比矩陣 題型二 關(guān)于對(duì)稱性題法【例7】:解：為偶函數(shù)數(shù)，關(guān)于都對(duì)稱，正好是的，故【例8】計(jì)算 解：（1） 關(guān)于對(duì)稱關(guān)于都是奇數(shù)（2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為偶函數(shù)，故=【例9】 設(shè)區(qū)域D由所圍，試計(jì)算解：作輔助線，則D分為。顯然，關(guān)于X軸對(duì)稱，關(guān)于Y軸對(duì)稱?！纠?0】 計(jì)算解：由于D關(guān)于X，Y輪換對(duì)稱性，故 中被積函數(shù)又可以輪換，積分值不變又由于D

4、關(guān)于X，Y軸均對(duì)稱，故【例11】設(shè)二元函數(shù)， 計(jì)算二重積分，其中。解：記，【例12】計(jì)算，其中：，求。解：關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于是偶函數(shù)，則 題型三 關(guān)于極坐標(biāo)題法陳氏第14技能否使用極坐標(biāo)主要由被積函數(shù)的特點(diǎn)決定，而不是由區(qū)域特點(diǎn)所決定；使用極坐標(biāo)方式有兩種：原位法：平移法：，選擇的原則是使被積函數(shù)容易積出，一般來(lái)說，被積函數(shù)具有或形式時(shí)，使用極坐標(biāo)會(huì)大大簡(jiǎn)化計(jì)算。如果選擇不當(dāng)會(huì)使積分求解復(fù)雜。常用結(jié)論【例13】計(jì)算 設(shè)在單位圓上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且在邊界上為零，試證明：解：積分區(qū)域?yàn)椋?顯然本題適合用原點(diǎn)極坐標(biāo)，由對(duì)稱性知：積分區(qū)域?yàn)椋?使用原點(diǎn)極坐標(biāo)，【例14】計(jì)算 。解：為偏心圓域，由于被積函

5、數(shù)的特點(diǎn)，故可使用極坐標(biāo)，而這里有兩種取法。如使用原位法，即 如使用平移法，即 ，本質(zhì)上是把圓心平移到原點(diǎn)，則 顯然上述積分十分繁瑣，本題不能使用平移法。但在別的場(chǎng)合，必須使用平移法以簡(jiǎn)便計(jì)算，因?yàn)槠揭品ㄓ袀€(gè)優(yōu)點(diǎn)就是能使積分上下限常數(shù)化。參見下例?！纠?5】求積分。解：方法一：平移法方法二：原位法讀者可以嘗試計(jì)算上述積分，其中的計(jì)算過程要必平移法復(fù)雜得多！【例16】 求球面 被平面和 所夾部分的表面積解：上半球由于對(duì)稱性【例17】 由在第一象限所圍成的區(qū)域。解：由解出相當(dāng)困難，為此采取極坐標(biāo)，令 為廣義極坐標(biāo)，則所研究的曲線在第一象限，于是解出上下限， 【例18】 求橢球體的體積 （廣義極坐標(biāo)

6、）解：作廣義極坐標(biāo)變換 再采用穿線法，有【例19】求曲線包圍的面積。解： 【例20】求曲線包圍的面積。解：題型四 關(guān)于換元題法【例21】計(jì)算 所圍區(qū)域。解：令【例22】求 和 所圍的面積。解：作變換，令，由此把原有的曲線區(qū)域變成矩形區(qū)域【例23】計(jì)算由曲線所圍成的面積。（）解：令，雅克比行列式故【例24】解：設(shè) ；題型五 關(guān)于隱含邊界題法【例25】計(jì)算解： 用隱含邊界圓弧將區(qū)間分為和兩部分，使用原點(diǎn)極坐標(biāo)，得【例26】 解：題中為隱含邊界【例27】 解：評(píng) 注 如果本題改為，則【例28】 解：關(guān)于Y軸對(duì)稱（二個(gè)區(qū)域），而被積函數(shù)相等，故xy【例29】 解：（利用）同步練習(xí)： 答案：?！纠?0】

7、計(jì)算 解：隱含邊界為 ，令【例31】計(jì)算。解：使用和或共3條隱含邊界把積分區(qū)間從上到下劃分為，故 【例32】，由所圍。解：隱含放邊界 在圖上畫出此輔助線。用表示積分區(qū)域的下半部分，則：【例33】計(jì)算。解：隱含邊界把區(qū)域的第一象限部分分為左右兩子域【例34】計(jì)算積分。 解：將區(qū)間分為5個(gè)部分【例35】計(jì)算積分。解：將區(qū)域分為由下到上的4個(gè)積分區(qū)間?！纠?6】 求【例37】計(jì)算解：【例38】計(jì)算，其中。解：用雙曲線的上支將分成兩塊：而為非正規(guī)區(qū)域，過點(diǎn)作平行于軸的直線，把分為左右兩個(gè)正規(guī)區(qū)域和題型六 關(guān)于含參積分題法【例39】已知；求。解：當(dāng)時(shí)，記 當(dāng)時(shí)，記根據(jù)積分中值定理：【例40】 設(shè)函數(shù) ，

8、 ，求。 解：含參數(shù)的積分問題采用平移法決定參數(shù)的取值范圍是作者的精妙秘訣。平移法的思想是：先畫出的區(qū)域圖，再令為基準(zhǔn)直線，然后把該基準(zhǔn)直線分別平移到的全部邊界點(diǎn)上，如本題，把基準(zhǔn)直線平移到邊界點(diǎn)，得分界直線，再把基準(zhǔn)直線平移到邊界點(diǎn)，得分界直線，于是得出所求積分關(guān)于參數(shù)的三個(gè)分段點(diǎn)，所以有，把基準(zhǔn)直線平移到該區(qū)域任意位置，得直線，該直線與軸的交點(diǎn)為，于是，把基準(zhǔn)直線平移到該區(qū)域任意位置，得直線，該直線與軸的交點(diǎn)在區(qū)域外，不可作為積分限，但該直線與交于，為于是，【例41】，求。解： 利用區(qū)間變換將參量轉(zhuǎn)移到被積函數(shù)中，令 【例42】，求。解： 利用極坐標(biāo)等將參量轉(zhuǎn)移到積分變限中，令 【例43】, 求解：【例44】計(jì)算題型七 二重積分應(yīng)用題法【例45】設(shè)為恒大于零的連續(xù)函數(shù)，求證：。證明：采用二重積分的逆向思