初中數(shù)學(xué)幾何輔助線作法小結(jié)

1、三角形中常見輔助線的作法：延長中線構(gòu)造全等三角形；利用翻折，構(gòu)造全等三角形；引平行線構(gòu)造全等三角形；作連線構(gòu)造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻

2、轉(zhuǎn)折疊”5) 截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答（一）、倍長中線（線段）造全等1：已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.2：如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.3：如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分BAE.中考應(yīng)用以的兩邊

3、AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖當(dāng)為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；（2）將圖中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(0<<90)后，如圖所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由（二）、截長補短1.如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC2：如圖，ACBD，EA,EB分別平分CAB,DBA，CD過點E，求證;ABAC+BD3：如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB

4、+BP4：如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求證：5:如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點，求證;AB-ACPB-PC中考應(yīng)用（三）、平移變換1.AD為ABC的角平分線，直線MNAD于A.E為MN上一點，ABC周長記為，EBC周長記為.求證.2：如圖，在ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD（四）、借助角平分線造全等1：如圖，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD2：如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說明BE=CF的理由；

5、（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.中考應(yīng)用如圖，OP是MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。（五）、旋轉(zhuǎn)1：正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為

6、CD上的一點，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù).2：D為等腰斜邊AB的中點，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。（1） 當(dāng)繞點D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF。（2） 若AB=2，求四邊形DECF的面積。3.如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則的周長為；中考應(yīng)用1、已知四邊形中，繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（圖1）（圖2）（圖3）2、已知:PA=,

7、PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)APB=45°時,求AB及PD的長;(2)當(dāng)APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應(yīng)APB的大小.3、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q與等邊的周長L的關(guān)系圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當(dāng)點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時；（II）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時，猜想（I）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你

8、的猜想并加以證明；（III）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=，則Q=（用、L表示）圓中作輔助線的常用方法（1）作弦心距，以便利用弦心距與弧、弦之間的關(guān)系與垂徑定理。（2）若題目中有“弦的中點”和“弧的中點”條件時，一般連接中點和圓心，利用垂徑定理的推論得出結(jié)果。（3）若題目中有“直徑”這一條件，可適當(dāng)選取圓周上的點，連結(jié)此點與直徑端點得到90度的角或直角三角形。（4）連結(jié)同弧或等弧的圓周角、圓心角，以得到等角。（5）若題中有與半徑（或直徑）垂直的線段，如圖1，圓O中，BDOA于D，經(jīng)常是：如圖1（上）延長BD交圓于C，利用垂徑定理。如圖1（下）延長AO交圓于E，連結(jié)BE

9、，BA，得RtABE。圖1（上）圖1（下）（6）若題目中有“切線”條件時，一般是：對切線引過切點的半徑，（7）若題目中有“兩圓相切”（內(nèi)切或外切），往往過切點作兩圓的切線或作出它們的連心線（連心線過切點）以溝通兩圓中有關(guān)的角的相等關(guān)系。（8）若題目中有“兩圓相交”的條件，經(jīng)常作兩圓的公共弦，使之得到同弧上的圓周角或構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形解決，有時還引兩連心線以得到結(jié)果。（9）有些問題可以先證明四點共圓，借助于輔助圓中角之間的等量關(guān)系去證明。（10）對于圓的內(nèi)接正多邊形的問題，往往添作邊心距，抓住一個直角三角形去解決。例題1：如圖，在圓O中，B為的中點，BD為AB的延長線，OAB=500，求CBD的度

10、數(shù)。例題2:如圖3,在圓O中,弦AB、CD相交于點P，求證：APD的度數(shù)=（弧AD+弧BC）的度數(shù)。一、造直角三角形法1.構(gòu)成Rt,常連接半徑例1. 過O內(nèi)一點M ,最長弦AB = 26cm,最短弦CD = 10cm ,求AM長;2.遇有直徑,常作直徑上的圓周角例2. AB是O的直徑,AC切O于A,CB交O于D,過D作O的切線,交AC于E. 求證:CE = AE;3.遇有切線,常作過切點的半徑例3 .割線AB交O于C、D,且AC=BD,AE切O于E,BF切O于F.求證:OAE = OBF;4.遇有公切線,常構(gòu)造Rt(斜邊長為圓心距,一直角邊為兩半徑的差,另一直角邊為公切線長)例4 .小O1與大

11、O2外切于點A,外公切線BC、DE分別和O1、O2切于點B、C和D、E，并相交于P，P = 60°。求證：O1與O2的半徑之比為1：3；5正多邊形相關(guān)計算常構(gòu)造Rt例5.O的半徑為6,求其內(nèi)接正方形ABCD與內(nèi)接正六邊形AEFCGH的公共部分的面積.二、欲用垂徑定理常作弦的垂線段例6. AB是O的直徑,CD是弦,AECD于E,BFCD于F.(1)求證:EC = DF;(2)若AE = 2,CD=BF=6,求O的面積;三、轉(zhuǎn)換割線與弦相交的角，常構(gòu)成圓的內(nèi)接四邊形例7. AB是O直徑,弦CDAB,M是上一點,AM延長線交DC延長線于F.求證: F = ACM;四、切線的綜合運用1已知過

12、圓上的點，常_例8.如圖，已知：O1與O2外切于P，AC是過P點的割線交O1于A，交O2于C，過點O1的直線ABBC于B.求證：BC與O2相切. 例9.如圖，AB是O的直徑，AE平分BAF交O于E，過E點作直線與AF垂直交AF延長線于D點，且交AB于C點求證：CD與O相切于點E2.兩個條件都沒有,常_例10.如圖，AB是半圓的直徑，AMMN，BNMN，如果AM+BNAB，求證: 直線MN與半圓相切；例11.等腰ABC中,AB=AC,以底邊中點D為圓心的圓切AB邊于E點. 求證:AC與D相切;例12菱形ABCD兩對角線交于點O，O與AB相切。求證：O也與其他三邊都相切；五、兩圓相關(guān)題型1兩圓相交

13、作_例13.O1與O2相交于A、B，過A點作直線交O1于C點、交O2于D點，過B點作直線交O1于E點、交O2于F點. 求證:CEDF;2.相切兩圓作_例14. O1與O2外切于點P,過P點的直線分別交O1與O2于A、B兩點，AC切O1于A點，BC交O2于D點。求證：BAC = BDP；3兩圓或三圓相切作_例15.以AB=6為直徑作半O,再分別以O(shè)A、OB為直徑在半O內(nèi)作半O1與半O2，又O3與三個半圓兩兩相切。求O3的半徑；4一圓過另一圓的圓心，作_例16.兩個等圓O1與O2相交于A、B兩點，且O1過點O2，過B點作直線交O1于C點、交O2于D點. 求證：ACD是等邊三角形；六、開放性題目例1

14、7已知：如圖，以的邊為直徑的交邊于點，且過點的切線平分邊（1）與是否相切？請說明理由；（第23題）（2）當(dāng)滿足什么條件時，以點，為頂點的四邊形是平行四邊形？并說明理由新文章哦· 劉項原來不讀書 (魏伯河)· 高考恢復(fù)三十年回顧：幾多歡欣幾多愁 ()· 萬寧調(diào)研（二）大茂初級中學(xué) (吳益平)· 如何引導(dǎo)學(xué)生"開口說" (梁珠)· 高考改革三十年：在迷霧中尋找方向 ()· 我要做太陽 (無淚淚痕)· 上海是怎樣取得高考自主權(quán)的 ()· 教學(xué)拾萃（一） (文昌市會文中心小學(xué)華春雨)四邊形輔助線做法一、

15、 和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法1利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例1 如圖1，已知點O是平行四邊形ABCD的對角線AC的中點，四邊形OCDE是平行四邊形.求證:OE與AD互相平分.2利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形例2 如圖2，在ABC中，E、F為AB上兩點，AE=BF，ED/AC，F(xiàn)G/AC交BC分別為D，G.求證:ED+FG=AC.3利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例3 如圖3，已知AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證BF=AC.二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題.例4 如圖5，

16、在ABC中，ACB=90°，BAC的平分線交BC于點D，E是AB上一點，且AE=AC，EF/BC交AD于點F，求證：四邊形CDEF是菱形.例5如圖6，四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個定點，F(xiàn)是AC上一個動點，求證EF+BF的最小值等于DE長.3 與矩形有輔助線作法和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：（1）計算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題；（2）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對角線借助對角線相等這一性質(zhì)解決問題和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少.例6 如圖7，已知矩形ABCD內(nèi)一點，PA=3，PB=4，PC=5.求PD的長.例7如圖8，過正方形ABCD的頂點B作

17、BE/AC，且AE=AC，又CF/AE.求證：BCF=AEB.五、 與梯形有關(guān)的輔助線的作法和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：（1）作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形；（2）作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形；（3）作一對角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形；（4）延長兩腰構(gòu)成三角形；（5）作兩腰的平行線等.例8 已知，如圖9，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=AC，BAC=90°，BD=BC，BD交AC于點0.求證：CO=CD.例9 如圖10，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，AD+BC=10，DEBC于E.求DE的長.六、 和中位線有關(guān)輔

18、助線的作法例10 如圖11，在四邊形ABCD中，AC于BD交于點0，AC=BD，E、F分別是AB、CD中點，EF分別交AC、BD于點H、G.求證：OG=OH.中考數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何證明題1. （1）如圖1所示，在四邊形中，=，與相交于點，分別是的中點，聯(lián)結(jié)，分別交、于點，試判斷的形狀，并加以證明；（2）如圖2，在四邊形中，若，分別是的中點，聯(lián)結(jié)FE并延長，分別與的延長線交于點，請在圖2中畫圖并觀察，圖中是否有相等的角，若有，請直接寫出結(jié)論：；（3）如圖3，在中，點在上，分別是的中點，聯(lián)結(jié)并延長，與的延長線交于點，若，判斷點與以AD為直徑的圓的位置關(guān)系，并簡要說明理由圖 1 圖2 圖3練習(xí)1、為了讓州城居民有更多休閑和娛樂的地方，政府又新建了幾處廣場，工人師傅在鋪設(shè)地面時，準(zhǔn)備選用同一種正多邊形地磚.現(xiàn)有下面幾種形狀的正多邊形地磚，其中不能進行平面鑲嵌的是（）A. 正三角形B. 正方形C. 正五邊形D. 正六邊形2、矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，則AG的長為（）A1BCD2 DCABGHFE3、把正方形繞著點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形，邊與交于點（如圖）試問線段與線段相等嗎？請先觀察猜想，然后再證明你的猜想二、 與梯形有關(guān)的輔助線的作法和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：（