大學(xué)微積分l知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(一)

1、 大學(xué)微積分l知識(shí)點(diǎn)總結(jié)【第一部分】大學(xué)階段準(zhǔn)備知識(shí)1、不等式： 引申 雙向不等式：兩側(cè)均在ab0或ab0時(shí)取等號(hào) 柯西不等式：設(shè)a1、a2、.an，b1、b2、.bn均是實(shí)數(shù)，則有：2、函數(shù)周期性和對(duì)稱性的常用結(jié)論1、若f（x+a）=±f（x+b），則f（x）具有周期性；若f（a+x）=±f（b-x），則f（x）具有對(duì)稱性?？谠E：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對(duì)稱性”2、周期性（1）若f（x+a）=f（b+x），則T=|b-a|（2）若f（x+a）=-f（b+x），則T=2|b-a|（3）若f（x+a）=±1/f（x），則T=2a（4）若f（x+a）=【1-f（x）

2、】/【1+f（x）】，則T=2a（5）若f（x+a）=【1+f（x）】/【1-f（x）】，則T=4a3、對(duì)稱性（1）若f（a+x）=f（b-x），則f（x）的對(duì)稱軸為x=（a+b）/2（2）若f（a+x）=-f（b-x）+c，則f（x）的圖像關(guān)于（a+b）/2，c/2）對(duì)稱4、函數(shù)圖象同時(shí)具備兩種對(duì)稱性，即兩條對(duì)稱軸，兩個(gè)對(duì)稱中心，一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)必定為周期函數(shù)，反之亦然。（1）若f（x）的圖像有兩條對(duì)稱軸x=a和x=b，則f（x）必定為周期函數(shù)，其中一個(gè)周期為2|b-a|。（2）若f（x）的圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心（a，0）和（b，0），（ab），則f（x）必定為周期函數(shù)，其中一個(gè)

3、周期為2|b-a|。（3）若f（x）的圖像有一個(gè)對(duì)稱軸x=a和一個(gè)對(duì)稱中心（b，0），（ab），則f（x）必定為周期函數(shù)，其中一個(gè)周期為4|b-a|。3、三角函數(shù)mLn 倒數(shù)關(guān)系： 商的關(guān)系： 平方關(guān)系：平常針對(duì)不同條件的兩個(gè)常用公式：一個(gè)特殊公式：二倍角公式：半角公式：三倍角公式：萬能公式：兩角和公式：和差化積公式：積化和差公式：口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限4、數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)上證明與自然數(shù)N有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，在高中數(shù)學(xué)中常用來證明等式成立和數(shù)列通項(xiàng)公式成立。例如：前n個(gè)奇數(shù)的總和是n2，那么前n個(gè)偶數(shù)的總和是：n2+n最簡單和最常見的數(shù)學(xué)歸納法

4、證明方法是證明當(dāng)n屬于所有正整數(shù)時(shí)一個(gè)表達(dá)式成立，這種方法由下面兩步組成：遞推的基礎(chǔ)：證明當(dāng)n=1時(shí)表達(dá)式成立遞推的依據(jù)：證明如果當(dāng)n=m時(shí)成立，那么當(dāng)n=m+1時(shí)同樣成立（1）第一數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立，n0對(duì)于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況假設(shè)n=k（kn0，k為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立（2） 第二數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于某個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題P（n）驗(yàn)證n=n0時(shí)P（n）成立假設(shè)n0nk時(shí)P（n）成立，并在此基礎(chǔ)上，推出P（k+1）成立（3）倒推歸納法驗(yàn)證對(duì)于無窮多個(gè)自然數(shù)n命題P（n）成立假設(shè)P（k+1）成立，并在此基礎(chǔ)上，推出P（n）成立（4）

5、螺旋式歸納法對(duì)兩個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題驗(yàn)證n=n0時(shí)P（n）成立假設(shè)P（k）（kn0）成立，能推出Q（k）成立，假設(shè)Q（k）成立，能推出P（k）成立。5、初等函數(shù)的含義概念：初等函數(shù)是由冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算以及有限次數(shù)函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生，并且能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)。【有理運(yùn)算：加、減、乘、除、有理數(shù)次乘方、有理數(shù)次開方】【基本初等函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)】6、 二項(xiàng)式定理：即二項(xiàng)展開式，即（a+b）n的展開式7、高等數(shù)學(xué)中代換法運(yùn)用技巧倒代換把原式中的一個(gè)變?cè)蛟街械囊徊糠钟昧硪粋€(gè)變?cè)牡箶?shù)來代替，此種方法被稱為

6、“倒代換”法增量代換若題目中已知xm，則引入輔助元x=m+a（a0），再將輔助元代入題中解題。此種代換方法稱為“增量代換法”三角代換雙代換：引入兩個(gè)輔助元進(jìn)行代換8、其他一些知識(shí)點(diǎn)（1）0不是正數(shù)，不是負(fù)數(shù)。是自然數(shù)。0是偶數(shù)，偶數(shù)分為：正偶數(shù)、負(fù)偶數(shù)和0（2） 正偶數(shù)稱為“雙數(shù)”（3） 正常數(shù)：常數(shù)中的正數(shù)（4） 質(zhì)數(shù)：又稱“素?cái)?shù)”。一個(gè)大于1的自然數(shù)，如果除了1和它自身以外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)，否則稱為“合數(shù)”。最小的質(zhì)（素）數(shù)是2。1既不是素?cái)?shù)，也不是合數(shù)。（5） exp：高等數(shù)學(xué)中，以自然對(duì)數(shù)e為底的指數(shù)函數(shù)（6） 在數(shù)學(xué)符號(hào)中，sup表示上界；inf表示下界（7） ：表示恒等于

7、（8） 0的階乘是1.階乘是一個(gè)遞推定義，遞推公式為：n！=n（n-1）！因?yàn)?的階乘為1，即1！=1×0！，故0！=1【第二部分】函數(shù)與極限常用結(jié)論（等價(jià)無窮小很重要） 其中，e為初等函數(shù)，又稱“冪指函數(shù)”，e即根據(jù)此公式得到，e2.718一些重要數(shù)列的極限： 另一些重要的數(shù)列極限： 列舉一些趨向于0的函數(shù)：柯西極限存在準(zhǔn)則：柯西極限存在準(zhǔn)則又叫柯西收斂原理。給出了極限收斂的充分必要條件是：對(duì)于任意給定的正數(shù)，存在這樣的正整數(shù)N，使得當(dāng)mN，nN時(shí)就有|xn-xm|。這個(gè)準(zhǔn)則的幾何意義表示，數(shù)列Xn收斂的充分必要條件是：該數(shù)列中足夠靠后的任意兩項(xiàng)都無限接近。夾逼定理的兩個(gè)條件：左右

8、極限存在；左右極限相等【極限計(jì)算的技巧總結(jié)（不包含教材介紹的方法以及公式）：】（1）洛比達(dá)法則設(shè)函數(shù)f(x）和F(x）滿足下列條件：xa時(shí)， f(x)=0,F(x)=0;在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)f(x）與F(x）都可導(dǎo)，且F(x）的導(dǎo)數(shù)不等于0;xa時(shí)，(f'(x)/F'(x)）存在或?yàn)闊o窮大則 xa時(shí)，(f(x)/F(x)=(f'(x)/F'(x)（2）等價(jià)無窮小一般要將變量的取值變?yōu)橼呄蛴?的代數(shù)式，如x，令t=1/x無窮小的概念：高階無窮?。寒?dāng)=0時(shí)，如果（B/A)=0,就說B是比A高階的無窮小低階無窮?。寒?dāng)=0時(shí)，如果（B/A)=,就說B是比A低階的無窮小如

9、果（B/A)=K（K0,1），就說B是A的同階非等價(jià)無窮小等價(jià)無窮?。海˙/A）=1，就說B為A的等價(jià)無窮?。?）斯托爾茨定理設(shè)數(shù)列單調(diào)增加到無窮大，則 （5） 求兩個(gè)數(shù)列之商的極限，在兩數(shù)列都具有高次項(xiàng)的情況下，可以直接比較最高次項(xiàng)而忽略較低次項(xiàng)，該原理僅僅限于無窮數(shù)列，對(duì)于有窮數(shù)列不能直取。（6） 分母趨近于0，而分子不為0，其極限不存在或無窮 （8） 在計(jì)算極限題目中，若題目中同時(shí)出現(xiàn)、或者、時(shí)，令t=或（9） 在求極限的過程中如果遇到n次項(xiàng)等高次項(xiàng)而無法解題時(shí)，一般可以通過借助進(jìn)行消去高次項(xiàng)的運(yùn)算，有的也可以使用泰勒公式。（10） 計(jì)算極限時(shí)出現(xiàn)出現(xiàn)或者的形式，應(yīng)用泰勒公式計(jì)算。（11

10、） 三個(gè)重要的結(jié)果（12）有的題目涉及遞推公式、數(shù)列問題如：函數(shù)的連續(xù)性和間斷點(diǎn)問題（1）如何討論并確定函數(shù)的連續(xù)性？若該函數(shù)是初等函數(shù)，則該函數(shù)在其定義域區(qū)間均連續(xù)若是一元函數(shù)，則可對(duì)其求導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)上有意義則函數(shù)在該點(diǎn)必然連續(xù)（可導(dǎo)必連續(xù)）求助極限，函數(shù)在該點(diǎn)極限等于函數(shù)在該點(diǎn)函數(shù)值，計(jì)算時(shí)注意左右極限（2）間斷點(diǎn)問題間斷點(diǎn)的分類：（3）一致連續(xù)與不一致連續(xù)【第三部分】導(dǎo)數(shù)與微分法線斜率和切線斜率相乘等于-1（切線與法線垂直）反函數(shù)求導(dǎo)：反函數(shù)導(dǎo)數(shù)×原函數(shù)導(dǎo)數(shù)=1或?qū)懗桑撼Ｒ姷暮瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)（基礎(chǔ)函數(shù)求導(dǎo)）： ：y=f（x）亦稱為“零階導(dǎo)數(shù)”（函數(shù)的零階導(dǎo)數(shù)就是其本身）隱函數(shù)：F

11、（x，y）=0，y=f（x）帶入即可得到F【x，f（x）】=0，滿足該恒等式即為隱函數(shù)國際數(shù)學(xué)通用標(biāo)記：易錯(cuò)點(diǎn)：求導(dǎo)時(shí)，不能將y與f（x）等同。二者導(dǎo)數(shù)未必一致【帶有絕對(duì)值的函數(shù)該如何求導(dǎo)？】帶有絕對(duì)值的函數(shù)脫掉絕對(duì)值符號(hào)后是一個(gè)分段函數(shù)，應(yīng)當(dāng)分段求導(dǎo)。特別應(yīng)注意的是，分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)嚴(yán)格來講，應(yīng)當(dāng)按定義來求。【經(jīng)典題型總結(jié)】（1） 設(shè)函數(shù)f（x）在x0時(shí)可導(dǎo)，且對(duì)任何非零數(shù)x，y均有f(x·y)=f(x)+f(y),又f(1)存在。證明當(dāng)x0時(shí)，f(x)可導(dǎo)。 證：令x=1，由f(x·y)=f(x)+f(y)得：f(y)=f(1)+f(y)，所以：f(1)=0 對(duì)任何x0，由

12、題設(shè)及導(dǎo)數(shù)定義知， 高階導(dǎo)數(shù)：（1）高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（2） 【淺談高階導(dǎo)數(shù)的求法】高階導(dǎo)數(shù)求法一般包括6種方法，即根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)定義求之；利用高階導(dǎo)數(shù)公式求之；利用萊布尼茨公式求之；用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求之；用泰勒公式求之；交叉法，等等。定義法：運(yùn)用求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則求導(dǎo)，n階導(dǎo)數(shù)一般比較其規(guī)律性高階求導(dǎo)公式：把高階求導(dǎo)公式化為代函數(shù)之和，分別求之萊布尼茨公式求導(dǎo)：當(dāng)所求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)的乘積時(shí)，宜用萊布尼茨公式求之。特別地，當(dāng)其中一個(gè)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)為0，可以用此公式求之；兩個(gè)因子中，其中有一個(gè)函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)有明顯的規(guī)律性時(shí)，可以用此公式。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則還可以推廣到多次復(fù)

13、合的情形。在求導(dǎo)時(shí)，能從外層向內(nèi)層逐層求導(dǎo)，一直求到對(duì)自變量求導(dǎo)數(shù)為止。若存在單值反函數(shù)，常用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，求其反函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)?！久~釋義】單值反函數(shù)：若對(duì)定義域每一個(gè)自變量x，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）是唯一的，則稱f（x）是單值函數(shù)。反過來，對(duì)于任何一個(gè)函數(shù)值y，都有唯一的一個(gè)自變量x與之相對(duì)應(yīng)，則此時(shí)稱y=f（x）為單值反函數(shù)。泰勒公式求導(dǎo)法 證明題：證明一函數(shù)（隱函數(shù)）處處可導(dǎo)：則應(yīng)先根據(jù)題意找出幾個(gè)關(guān)鍵的點(diǎn)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的基本公式：進(jìn)行判定證明f（x）=a，即證F（x）=f（x）-a=0（3）部分初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 一階導(dǎo)數(shù)：切線斜率 二階導(dǎo)數(shù)：曲線曲率關(guān)于曲線凹凸性的兩個(gè)定理及應(yīng)

14、用【經(jīng)典題型總結(jié)】X=f（t）Y=t·f（t）-f（t）（1）設(shè) f（t）存在且f（t）0，求 （2）函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)，求該函數(shù)表達(dá)式（3） f（x）、g（x）都可導(dǎo)，且滿足：f（x）=g（x）、f（x）=g（x） f（0）=0；g（0）=1。證明：g2（x）-f2（x）=1證：由上可知，f（x）=f（x）【微分：】自變量的改變量等于自變量的微分導(dǎo)數(shù)又稱“微商”。微分四則運(yùn)算：設(shè)u=u（x）、v=v（x）在點(diǎn)x處均可微，則u±v、u×v、u/v（v0）在x處都可微，且：截距的性質(zhì)：截距不是距離，所以截距是有正負(fù)的拐點(diǎn)：在數(shù)學(xué)上，拐點(diǎn)是指改變曲線向上或者向下

15、方向的點(diǎn)。直觀地說，拐點(diǎn)是使切線穿越曲線的點(diǎn)（即曲線的凹凸分界點(diǎn)）。若該曲線的圖形函數(shù)在拐點(diǎn)有二階導(dǎo)數(shù)，則二階導(dǎo)數(shù)必為零或者不存在駐點(diǎn)：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)可導(dǎo)、可微、連續(xù)、極限之間的關(guān)系？可導(dǎo) <=> 可微可導(dǎo)(可微） => 連續(xù) => 極限存在 <=> 左極限、右極限都存在且相等（箭頭反方向的話不一定成立）可導(dǎo) => 左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等連續(xù) => 左連續(xù)且右連續(xù) + 極限值等于函數(shù)值 連續(xù) <=> 極限存在且等于函數(shù)值 極限存在 <=> 左極限、右極限都存在且相等在某點(diǎn)處（左、右

16、）極限是否存在與該點(diǎn)處函數(shù)是否有定義無關(guān)【第四部分】微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（1）費(fèi)馬定理 設(shè)f（x）在點(diǎn)x0處取到極值，且f（x0）存在，則f（x0）=0。（2）羅爾定理 如果函數(shù)f(x)滿足：在閉區(qū)間a,b上連續(xù);在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)(a<<b)，使得 f'()=0.（3）拉格朗日中值定理 如果函數(shù) f(x) 滿足:（1）閉區(qū)間a,b上連續(xù)（2）開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。那么:在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)(a<<b)，使等式 f(b)-f(a)=f()(b-a) 成立。（4）柯西中值

17、定理 如果函數(shù)f(x)及F(x)滿足：（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù);（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);（3）對(duì)任一x(a,b)，F(xiàn)'(x)0。那么在(a,b) 內(nèi)至少有一點(diǎn)，使等式f(b)-f(a)/F(b)-F(a)=f'()/F'()成立。（5）泰勒公式與麥克勞林公式泰勒公式：若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時(shí)，可以展開為一個(gè)關(guān)于(x-x.)多項(xiàng)式和一個(gè)余項(xiàng)的和:f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)2,+f'''(x.)/3!&

18、#183;(x-x.)3+f(n)(x.)/n!·(x-x.)n+Rn其中Rn=f(n+1)()/(n+1)!·(x-x.)(n+1),這里在x和x.之間，該余項(xiàng)稱為拉格朗日型的余項(xiàng)。麥克勞林公式：若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時(shí)，可以展開為一個(gè)關(guān)于x多項(xiàng)式和一個(gè)余項(xiàng)的和:f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x2,+f'''(0)/3!·x3+f(n)(0)/n!·xn+Rn其中Rn=f(n+1)(x)/(n+1)!·x(n+1

19、),這里0<<1.兩個(gè)重要且特殊的麥克勞林公式：（6）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值單調(diào)區(qū)間：設(shè)f（x）在區(qū)間I（I可以是開區(qū)間，可以是閉區(qū)間，也可以是半開半閉區(qū)間）上連續(xù)，在區(qū)間I內(nèi)部可導(dǎo)若xI內(nèi)部，f（x）0，則f（x）在區(qū)間I上遞增若xI內(nèi)部，f（x）0，則f（x）在區(qū)間I上遞減若xI內(nèi)部，f（x）0，則f（x）在區(qū)間I上是一個(gè)常值函數(shù)極限與極值：判定極限的方法：f（x）=0，f（x）0，則f（x）一定是極限f（x）=0，f（x）0，則f（x）取極大值f（x）=0，f（x）0，則f（x）取極小值【誤點(diǎn)解析】：使用洛必達(dá)法則之后極限不存在，不能直接說原極限不存在雙階乘：相隔的兩個(gè)數(shù)相乘：

20、如5！=5×3×1不動(dòng)點(diǎn)：g（t）=t的點(diǎn)叫做不動(dòng)點(diǎn)f（x） g（x）滿足此條件，即可證明f（x）、g（x）在x0處n階相切f（x） = g（x）f（x） = g（x）f（x） = g（x） .f(n)（x）= g(n)（x）曲率： （4）圓的各個(gè)位置的曲率是相同的，都是半徑的倒數(shù)反函數(shù)：如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不為0，那么該函數(shù)在定義域區(qū)間上有反函數(shù) 【例談微分中值定理輔助函數(shù)的構(gòu)造模式與方法一】輔助函數(shù)是解決許多數(shù)學(xué)問題的有效工具，中值定理及推導(dǎo)過程中用到了演繹、分析分類等數(shù)理邏輯方法和一些具體的方法。如構(gòu)造輔助函數(shù)等等，下面就介紹幾種重要的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法。（1）湊導(dǎo)數(shù)法例如

21、：設(shè)函數(shù)f（x）在【a、b】上連續(xù)，在（a、b）內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在（a、b），使得2【f（b）-f（a）】=（b2-a2）·f（）證明：令F（x）=x2【f（b）-f（a）】-（b2-a2）·f（x）即可（2）幾何直觀法例如：如果f（x）在【0、1】上可導(dǎo)，且0f（x）1，對(duì)于任何x（0,1）都有f（x）1，試證在（0,1）有且僅有一點(diǎn)，使得f（）=證：令g（x）=f（x）-x 再用反證法證明其唯一性（3）常數(shù)值法（K）在構(gòu)造函數(shù)時(shí)，若表達(dá)式關(guān)于端點(diǎn)處的函數(shù)值具有對(duì)稱性，通常用常數(shù)K值法來構(gòu)造輔助函數(shù)。這種方法一般選取所政等式中含的部分作為K，即將常數(shù)部分分離出來令其得K，

22、恒等式變形，令一端為a與f（a）的代數(shù)式，另一端為b與f（b）的代數(shù)式，將所證等式中的端點(diǎn)值（a或b）改為變量x，移項(xiàng)即為輔助函數(shù)F（x）。再用中值定理，待定系數(shù)法等方法確定K。一般來說，當(dāng)問題涉及到高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，往往考慮多次運(yùn)用中值定理，更多時(shí)要考慮運(yùn)用泰勒公式。例如：設(shè)f（x）在【a、b】上連續(xù)，在（a、b）上可導(dǎo)。0ab。試證明 證：（4）倒推法這種證明方法從要證的結(jié)論出發(fā)，借助與邏輯關(guān)系導(dǎo)出已知的條件和結(jié)論。例如：設(shè)f（x）在【a、b】（0ab）上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且 證：構(gòu)造函數(shù)：f（）·+f（）=0即可（5）乘積因子法對(duì)于某些要證明的結(jié)論，往往出現(xiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之

23、間關(guān)系的證明。直接構(gòu)造函數(shù)往往比較困難，將所證的結(jié)論兩端同時(shí)乘以或除以一個(gè)恒為正或負(fù)的函數(shù)，證明的結(jié)論往往不受影響。例如：若f（x）在【a、b】上連續(xù)，在（a、b）內(nèi)可導(dǎo)，且f（a）=f（b） （6）介值法證明中，引入輔助函數(shù)g（x）=f（x）-·x。將原問題轉(zhuǎn)化為【a、b】內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)g（x）的最大值或最小值至少有1個(gè)必在內(nèi)點(diǎn)達(dá)到，從而可通過g（x）在【a，b】上的可導(dǎo)條件，直接運(yùn)用費(fèi)馬定理完成證明。例如：證明若f（x）在【a，b】上可導(dǎo)，則f（x）可取到f（a）與f（b）之間的一切值（7）分離變量法拉格朗日與柯西中值定理常用來解決多個(gè)中值的問題。以兩個(gè)中值的情況為例說明如下： 若要

24、證明存在、（a，b），使得f（a，b，）=0.則通常應(yīng)將函數(shù)f（a，b，）=0改寫成“變量分離”的形式，即h（a，b）=（）·（）或者h(yuǎn)（a，b）=（）+（）的形式，然后觀察（）、（）是否分別拉格朗日公式的右側(cè)。 【例談微分中值定理輔助函數(shù)的構(gòu)造模式與方法二】（1）使用羅爾定理時(shí)用“積分法”或“解微分方程法”構(gòu)造輔助函數(shù)。使用“積分法”構(gòu)造輔助函數(shù)的基本步驟：將結(jié)論等式中的換成x；對(duì)第一步的結(jié)果進(jìn)行變形，使兩邊求積分；兩邊求不定積分；把第三步的結(jié)果化成C=F（x）的形式，其中C為任意常數(shù)，且f（x）中不含有C；最后的F（x）就是所要構(gòu)造的輔助函數(shù)。（2） 使用拉格朗日定理用“單邊積分法”構(gòu)造輔助函數(shù)。所謂的單邊積分法就是：若所要證明的等式中只含有，就是把有的函數(shù)式與常數(shù)項(xiàng)分離到兩邊，將換成x后進(jìn)行單側(cè)積分求出原函數(shù)即為輔助函數(shù)。若所要證明的等式中含有和，就把含有的函數(shù)式與含有的函數(shù)式分離到等式兩邊，將換成x后進(jìn)行單側(cè)積分求出原函數(shù)即為輔助函數(shù)；將換成x后進(jìn)行單側(cè)積分求出原函數(shù)即為另一輔助函數(shù)。 （3）使用柯西中值定理時(shí)用“上下積