八年級數(shù)學(xué)下冊分式知識點總結(jié)

1、1、 分式的定義：如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。2、 判斷分式的依據(jù):例：下列式子中，、8a2b、-、2-、中分式的個數(shù)為（ ） A、 2 B、 3 C、 4 D、 5練習(xí)題：（1）下列式子中，是分式的有.（1） ； ；.（7）（8）（9）二、 分式有意義的條件是分母不為零；【B0】分式?jīng)]有意義的條件是分母等于零；【B=0】分式值為零的條件分子為零且分母不為零?！綛0且A=0 即子零母不零】例2.注意：（0）例1：當(dāng)x時，分式有意義； 例2：分式中，當(dāng)時，分式?jīng)]有意義例3：當(dāng)x時，分式有意義。 例4：當(dāng)x時，分式有意義例5：，滿足關(guān)系時，分式無意義；例6：無論x取

2、什么數(shù)時，總是有意義的分式是（ ）AB. C. D.例7：使分式有意義的x的取值范圍為（）ABCD例8：分式無意義，則x的值為（ ）三、分式的值為零：使分式值為零：令分子=0且分母0，注意：當(dāng)分子等于0時，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。例1：當(dāng)x時，分式的值為0.例2：當(dāng)x時，分式的值為0.例3：如果分式的值為零,則a的值為( ) A. B.2 C.-2 D.以上全不對例4：能使分式的值為零的所有的值是 （ ）A.x=0B.x-1 C.x=0 或x=1 D.或例5：要使分式的值為0，則x的值為（ ）A.3或-3 B.3 C.-3 D 2例6：若,則a是( )例9：當(dāng)X=時

3、，分式的值為零。例10：已知-=3，則=。三、分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘或除以一個不等于0的整式，分式的值不變。 例1： ； ；如果成立,則a的取值范圍是_；例2：例3：如果把分式中的a和b都擴(kuò)大10倍，那么分式的值（ ）A、擴(kuò)大10倍 B、縮小10倍 C、是原來的20倍 D、不變例4：如果把分式中的x，y都擴(kuò)大10倍，則分式的值（ ）A 擴(kuò)大100倍 B擴(kuò)大10倍 C不變 D縮小到原來的例5：如果把分式中的x和y都擴(kuò)大2倍，即分式的值（ ）A、擴(kuò)大2倍； B、擴(kuò)大4倍；C、不變；D縮小2倍例6：如果把分式中的x和y都擴(kuò)大2倍，即分式的值（ ）A、擴(kuò)大2倍； B、擴(kuò)大4倍；C、不變；

4、D縮小2倍例7：如果把分式中的x和y都擴(kuò)大2倍，即分式的值（ ）A、擴(kuò)大2倍； B、擴(kuò)大4倍； C、不變； D縮小倍例8：若把分式的x、y同時縮小12倍，則分式的值（）A擴(kuò)大12倍B縮小12倍C不變D縮小6倍例9：若x、y的值均擴(kuò)大為原來的2倍，則下列分式的值保持不變的是（ ）A、 B、 C、 D、例10：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式可變形為（ ）A.B.C.D.例11：不改變分式的值，使分式的分子、分母中各項系數(shù)都為整數(shù)， ；例12：不改變分式的值，使分子、分母最高次項的系數(shù)為正數(shù)，= 。例13.不改變分式的值，使分子、分母最高次項的系數(shù)為正數(shù)，則是（ ）。四、分式的約分：關(guān)鍵先是分解因式。分式

5、的約分及最簡分式：約分的概念：把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分分式約分的依據(jù)：分式的基本性質(zhì)分式約分的方法：把分式的分子與分母分解因式，然后約去分子與分母的公因式約分的結(jié)果：最簡分式（分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式）約分主要分為兩類：第一類：分子分母是單項式的，主要分?jǐn)?shù)字，同字母進(jìn)行約分。第二類：分子分母是多項式的，把分子分母能因式分解的都要進(jìn)行因式分解，再去找共同的因式約去。例1：下列式子（1）；（2）；（3）；（4）中正確的是（ ）A 、1個 B 、2 個 C、 3 個 D、 4 個例2：下列約分正確的是（ ）A、； B、；C、；D、例3：下列式子正確的是( )

6、AB.C. D.例4：下列運算正確的是（ ）A、 B、C、D、例5：化簡的結(jié)果是（ ）A. B. C. D.例7：約分：；=； 。例8：約分：； ； ；_例9：分式，中，最簡分式有( )A1個 B2個 C3個 D4個，中是最簡分式的有（ ）。例9.約分：（1）；（2）例10.通分：（1），； （2），2+3x+1=0，求x2+的值例12.已知x+=3，求的值4、 分式的通分及最簡公分母：通分：主要分為兩類：第一類：分母是單項式；第二類：分母是多項式（要先把分母因式分解）分為三種類型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三種類型?！岸?、三”型：指幾個分母之間沒有關(guān)系，最簡公分母就是它們的乘

7、積。例如：最簡公分母就是?！岸⑺摹毙停褐钙湟粋€分母完全包括另一個分母，最簡公分母就是其一的那個分母。例如：最簡公分母就是“四、六”型：指幾個分母之間有相同的因式，同時也有獨特的因式，最簡公分母要有獨特的；相同的都要有。例如：最簡公分母是：這些類型自己要在做題過程中仔細(xì)地去了解和應(yīng)用，仔細(xì)的去發(fā)現(xiàn)之間的區(qū)別與聯(lián)系。例1：分式的最簡公分母（ ）A BC D例2：對分式，通分時， 最簡公分母是（ ）Ax2y B例3：下面各分式：,，其中最簡分式有（）個。A. 4B. 3C. 2D. 1例4：分式，的最簡公分母是.例5：分式a與的最簡公分母為_；例6：分式的最簡公分母為。五、分式的運算：分式的乘，除

8、，乘方以及加減分式的乘法：乘法法測：·=.分式的除法：除法法則：÷=·=分式的乘方：求n個相同分式的積的運算就是分式的乘方，用式子表示就是()n分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示為：()n=(n為正整數(shù))分式的加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜阜质?，然后再加減?；旌线\算:運算順序和以前一樣。能用運算率簡算的可用運算率簡算。例題：計算：（1） （2） （3）（4） （5）（6）（7） (8)（9）(10)求值題：（1）已知：，求的值。（2） 已知：，求的值。（3）已知：，求的值。乘方例題：計算：（

9、1）（2）=（3） =（4）=（5）（6）（7）已知：求的值。(8).當(dāng)分式-的值等于零時，則x=_。 (9)已知a+b=3，ab=1，則+的值等于_。(10).先化簡，再求值:-+，其中a=。8、分式的加減：分式加減主體分為：同分母和異分母分式加減。1、同分母分式不用通分，分母不變，分子相加減。2、異分母分式要先通分，在變成同分母分式就可以了。通分方法：先觀察分母是單項式還是多項式，如果是單項式那就繼續(xù)考慮是什么類型，找出最簡公分母，進(jìn)行通分；如果是多項式，那么先把分母能分解的要因式分解，考慮什么類型，繼續(xù)通分。分類：第一類：是分式之間的加減，第二類：是整式與分式的加減。例1：=例2：=例3

10、：= 例4：=例5計算：（1） （2） （3） （4） .例6：化簡+等于（ ） A B C D例7：（2）（2） （4）（5） （6）（7） (8)(9) （10） +.例8：計算的結(jié)果是（ ）A B C D 例9：請先化簡：，然后選擇一個使原式有意義而又喜歡的數(shù)代入求值.例10：已知： 求的值。9、 分式的混合運算：例1：例2：例3：例4： 例5：例6：例7:例8： 10、分式求值問題：例1：已知x為整數(shù)，且+為整數(shù)，求所有符合條件的x值的和.例2：已知x2，y，求÷的值.例3：已知實數(shù)x滿足4x2-4x+l=O，則代數(shù)式2x+的值為_例4：已知實數(shù)a滿足a22a8=0，求的值.

11、例5：若求的值是（）A B C D例6：已知，求代數(shù)式的值例7：先化簡，再對取一個合適的數(shù)，代入求值練習(xí)題：（1） ，其中x=5.（2） ,其中a=5 （3）,其中a=-3，b=2（4） ；其中a=85； （5），其中x= -1（6）先化簡，再求值：÷(x+2).其中x2.（7）（8）先化簡，再選擇一個你喜歡的數(shù)代入求值11、分式其他類型試題：例1：觀察下面一列有規(guī)律的數(shù)：，根據(jù)其規(guī)律可知第個數(shù)應(yīng)是（n為正整數(shù)）例2：觀察下面一列分式：根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，它的第8項是，第n項是。例3：當(dāng)x=_時,分式與互為相反數(shù).例4：在正數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算，其規(guī)則為，根據(jù)這個規(guī)則的解為（） ABC或1

12、D或例5：已知，則；例6： 已知，則（）ABCD例7：已知，求的值；例8：設(shè),則的值是( ) A. B.0 C.1 D.12、化為一元一次的分式方程：（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知數(shù)的方程分式方程。（2）解分式方程的過程，實質(zhì)上是將方程兩邊同乘以一個整式（最簡公分母），把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。解分式方程時，方程兩邊同乘以最簡公分母時，最簡公分母有可能為，這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一定要驗根。（3）解分式方程的步驟：（1）能化簡的先化簡； (2)方程兩邊同乘以最簡公分母，化為整式方程；(3)解整式方程； (4)驗根例1：如果分式的值為1，則x的值是；例2：要使的值相等，則x=_。

13、例3：當(dāng)m=_時，方程=2的根為.例4：如果方程 的解是x5，則a。例5：(1) (2) 例6:解方程：例7：已知：關(guān)于x的方程無解，求a的值。例8：已知關(guān)于x的方程的根是正數(shù)，求a的取值范圍。例9：若分式與的2倍互為相反數(shù)，則所列方程為_；例10：當(dāng)m為何值時間？關(guān)于的方程的解為負(fù)數(shù)？例11：解關(guān)于的方程例12：解關(guān)于x的方程:例13：當(dāng)a為何值時,的解是負(fù)數(shù)?例14：先化簡,再求值:,其中x,y滿足方程組例15知關(guān)于x的方程的解為負(fù)值，求m的取值范圍。練習(xí)題： (1) (2) (3)(4) (5) (6)(7) (8）（9） 13、分式方程的增根問題：（1）增根應(yīng)滿足兩個條件：一是其值應(yīng)使

14、最簡公分母為0，二是其值應(yīng)是去分母后所的整式方程的根。 （2）分式方程檢驗方法：將整式方程的解帶入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解。例1：分式方程+1=有增根，則m=例2：當(dāng)k的值等于時，關(guān)于x的方程不會產(chǎn)生增根；例3：若解關(guān)于x的分式方程會產(chǎn)生增根，求m的值。例4：取時，方程會產(chǎn)生增根；例5：若關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為_。例6：當(dāng)k取什么值時？分式方程有增根.例7：若方程有增根，則m的值是（ ）A4 B3 C-3 D1例8：若方程有增根，則增根可能為（ ）A、0 B、2 C、0或2 D、115、分式的應(yīng)用題：（1）列

15、方程應(yīng)用題的步驟是什么？ (1)審；(2)設(shè)；(3)列；(4)解；(5)答（2）應(yīng)用題有幾種類型；基本公式是什么？基本上有四種：a.行程問題：基本公式：路程=速度×時間而行程問題中又分相遇問題、追及問題b.數(shù)字問題： 在數(shù)字問題中要掌握十進(jìn)制數(shù)的表示法c.工程問題： 基本公式：工作量=工時×工效d.順?biāo)嫠畣栴}: v順?biāo)?v靜水+v水 v逆水=v靜水-v水工程問題：例1：一項工程，甲需x小時完成，乙需y小時完成，則兩人一起完成這項工程需要_小時。例2：小明和小張兩人練習(xí)電腦打字，小明每分鐘比小張少打6個字，小明打120個字所用的時間和小張打180個字所用的時間相等。設(shè)小明打

16、字速度為x個/分鐘，則列方程正確的是（ ）A. B.C. D.例3：某工程需要在規(guī)定日期內(nèi)完成,如果甲工程隊獨做,恰好如期完成; 如果乙工作隊獨做,則超過規(guī)定日期3天,現(xiàn)在甲、乙兩隊合作2天,剩下的由乙隊獨做,為x天,下面所列方程中錯誤的是( )A.B. C. D.例4：一件工程甲單獨做小時完成，乙單獨做小時完成，甲、乙二人合作完成此項工作需要的小時數(shù)是（）A. B. C. D.例5：趙強(qiáng)同學(xué)借了一本書，共280頁，要在兩周借期內(nèi)讀完，當(dāng)他讀了一半時，發(fā)現(xiàn)平時每天要多讀21頁才能在借期內(nèi)讀完.他讀了前一半時,平均每天讀多少頁?如果設(shè)讀前一半時,平均每天讀x頁,則下列方程中,正確的是（ ）A、

17、B、C、 D、例6：某煤廠原計劃天生產(chǎn)120噸煤，由于采用新的技術(shù)，每天增加生產(chǎn)3噸，因此提前2天完成任務(wù)，列出方程為（ ）A B C D 例7：某工地調(diào)來72人參加挖土和運土工作，已知3人挖出的土1人恰好能全部運走，問怎樣調(diào)配勞動力才使挖出來的土能及時運走且不窩工？要解決此問題，可設(shè)派人挖土列方程；例8：八（1）、八（2）兩班同學(xué)參加綠化祖國植樹活動，已知八（1）班每小時比八（2）班多種2棵樹，八（1）班種66棵樹所用時間與八（2）班種60棵樹所用時間相同，求：八（1）、八（2）兩班每小時各種幾棵樹？例9：某一一項工程預(yù)計在規(guī)定的日期內(nèi)完成，如果甲獨做剛好能完成，如果乙獨做就要超過日期3天，

18、現(xiàn)在甲、乙兩人合做2天，剩下的工程由乙獨做，剛剛好在規(guī)定的日期完成，問規(guī)定日期是幾天？例10：服裝廠接到加工720件衣服的訂單，預(yù)計每天做48件，正好可以按時完成，后因客戶要求提前5天交貨，則每天應(yīng)比原計劃多做多少件？例11：為加快西部大開發(fā)的步伐，決定新修一條公路，甲、乙兩工程隊承包此項工程。如果甲工程隊單獨施工，則剛好可以按期完成；如果乙工程隊單獨施工就要超過6個月才能完成?，F(xiàn)在甲、乙兩隊先共同施工4個月，剩下的由乙隊單獨施工，則也剛好可以按期完成。問師宗縣原來規(guī)定修好這條公路需多長時間？例12：某工程由甲、乙兩隊合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊共4350元；乙、丙兩隊合做10天完成，廠家

19、需付乙、丙兩隊共4750元；甲、丙兩隊合做5天完成全部工程的，廠家需付甲、丙兩隊共2750元。（1）求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超過20天完成全部工程，問可由哪隊單獨完成此項工程花錢最少？請說明理由。價格價錢問題：例1：“五一”江北水城文化旅游節(jié)期間，幾名同學(xué)包租一輛面包車前去旅游，面包車的租價為180元，出發(fā)時又增加了兩名同學(xué)，結(jié)果每個同學(xué)比原來少攤了3元錢車費，設(shè)參加游覽的同學(xué)共x人，則所列方程為（）A B C D例2：用價值100元的甲種涂料與價值240元的乙種涂料配制成一種新涂料，其每千克售價比甲種涂料每千克售價少3元，比乙種涂料每千克的售價多1元，求

20、這種新涂料每千克的售價是多少元？若設(shè)這種新涂料每千克的售價為x元，則根據(jù)題意可列方程為_例3：某工程隊要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工人的月工資分別為600元和1000元，現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2倍，問甲、乙同種工種各招聘多少人時，可使得每月所付的工資最少？例4：為了幫助遭受自然災(zāi)害的地區(qū)重建家園，某學(xué)校號召同學(xué)們自愿捐款。已知第一次捐款總額為4800元，第二次捐款總額為5000元，第二次捐款人數(shù)比第一次捐款人數(shù)多20人，而且兩次人均捐款額恰好相等。那么這兩次各有多少人進(jìn)行捐款？例5：隨著IT技術(shù)的普及，越來越多的學(xué)校開設(shè)了微機(jī)課.某初中計劃拿出72萬元

21、購買電腦，由于團(tuán)體購買，結(jié)果每臺電腦的價格比計劃降低了500元，因此實際支出了64萬元.學(xué)校共買了多少臺電腦？若每臺電腦每天最多可使用4節(jié)課，這些電腦每天最多可供多少學(xué)生上微機(jī)課？(該校上微機(jī)課時規(guī)定為單人單機(jī))例6：光明中學(xué)兩名教師帶領(lǐng)若干名三好學(xué)生去參加夏令營活動，聯(lián)系了甲、乙兩家旅游公司，甲公司提供的優(yōu)惠條件是：1名教師收行業(yè)統(tǒng)一規(guī)定的全票，其余的人按折收費，乙公司則是：所有人全部按8折收費經(jīng)核算甲公司的優(yōu)惠價比乙公司的優(yōu)惠價便宜，那么參加活動的學(xué)生人數(shù)是多少人？例7：某商廈用8萬元購進(jìn)奧運紀(jì)念運動休閑衫，面市后供不應(yīng)求，商廈又用萬元購進(jìn)了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的2倍，

22、但單價貴了4元，商廈銷售這種運動休閑衫時每件定價都是58元，最后剩下的150件按八折銷售，很快售完，請問在這兩筆生意中，商廈共贏利多少元？順?biāo)嫠畣栴}：例1：A、B兩地相距48千米，一艘輪船從A地順流航行至B地，又立即從B地逆流返回A地，共用去9小時，已知水流速度為4千米/時，若設(shè)該輪船在靜水中的速度為x千米/時，則可列方程（ ）A、B、C、D、例2：一只船順流航行90km與逆流航行60km所用的時間相等，若水流速度是2km/h，求船在靜水中的速度，設(shè)船在靜水中速度為xkm/h，則可列方程（ ）A、 = B、=C、+3=D、+3=例3：輪船順流航行66千米所需時間和逆流航行48千米所需時間相同

23、，已知水流速度是每小時3千米，求輪船在靜水中的速度。行程問題：例1：在一段坡路，小明騎自行車上坡的速度為每小時V1千米，下坡時的速度為每小時V2千米，則他在這段路上、下坡的平均速度是每小時（ ）A、 千米 B、千米 C、千米 D、無法確定例2：甲、乙兩人分別從兩地同時出發(fā)，若相向而行，則小時相遇；若同向而行，則小時甲追上乙那么甲的速度是乙的速度的（）倍 倍 倍 倍例3：八年級A、B兩班學(xué)生去距學(xué)校4.5千米的石湖公園游玩，A班學(xué)生步行出發(fā)半小時后，B班學(xué)生騎自行車開始出發(fā)，結(jié)果兩班學(xué)生同時到達(dá)石湖公園，如果騎自行車的速度是步行速度的3倍，求步行和騎自行車的速度各是多少千米/小時？例4：A、B兩地的距離是80公里，一輛公共汽車從A地駛出3小時后，一輛小汽車也從A地出發(fā)，它的速度是公共汽車的3倍，已知小汽車比公共汽車遲20分鐘到達(dá)B地，求兩車的速度。例5：甲、乙兩火車站相距1280千米，采用“和諧”號動車組提速后，列車行駛速度是原來速度的3.2倍，從甲站到乙站的時間縮短了11小時，求列車提速后的速度。數(shù)字問題：例1：一個分?jǐn)?shù)的分子比分母小6,如果分子分母都加1,則這個分?jǐn)?shù)等于,求這個分?jǐn)?shù).例2：一個兩位數(shù)，個位數(shù)字是2，如果把十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)，所得到的新的兩位數(shù)與