復(fù)變函數(shù)論論文

1、物理與電子信息學(xué)院期中論文論 文 目 錄1 摘要12 關(guān)鍵詞13 引言14 理論15 參考文獻(xiàn)68英文摘要6全文共 15 頁 2,148 字復(fù)變函數(shù)論（學(xué)號(hào)：20101101926 劉艷玲）（物理與電子信息學(xué)院 物理學(xué)專業(yè)2010級(jí)，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）指導(dǎo)老師： 孫永平摘要：了解利用柯西定理來對(duì)復(fù)變函數(shù)的定分積和不定積分的分類。運(yùn)用留數(shù)定理來求解實(shí)變函數(shù)的積分。利用達(dá)朗貝爾，泰勒，解析延拓和洛朗法對(duì)級(jí)數(shù)進(jìn)行展開，在運(yùn)用傅里葉變換來對(duì)特殊級(jí)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。關(guān)鍵字：復(fù)數(shù)；復(fù)變函數(shù)；積分；級(jí)數(shù)；留數(shù)；傅里葉變換；1引言了解利用柯西定理來對(duì)復(fù)變函數(shù)的定分積和不定積分的分類。運(yùn)用留數(shù)定理來求解

2、實(shí)變函數(shù)的積分。利用達(dá)朗貝爾，泰勒，解析延拓和洛朗法對(duì)級(jí)數(shù)進(jìn)行展開，在運(yùn)用傅里葉變換來對(duì)特殊級(jí)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。2復(fù)變函數(shù)2.1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算2.1.1.1復(fù)數(shù)的基本概念Z=x+iy (1.1.1)這叫作復(fù)數(shù)的代數(shù)式，x和y則分別叫作該復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，并分別記作Res和Imz。復(fù)數(shù)z可表示為三角式和指數(shù)式，即 叫作該復(fù)數(shù)的模,叫作該復(fù)數(shù)的幅角。2.1.2 復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)由此明顯可見加法的結(jié)合律和交換律成立。 商的定義n次冪應(yīng)用 n次根號(hào)的應(yīng)用 2.1.2復(fù)變函數(shù)2.1.2.1復(fù)變函數(shù)定義 一般地，當(dāng)z=x+iy在復(fù)平面上變化時(shí)，如果對(duì)于z的每一個(gè)值，都有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)值相對(duì)應(yīng)，則稱為z的復(fù)變函

3、數(shù)。寫作： =f（z）=u（x，y）+iv（x，y）為了更好的理解這個(gè)定義，我們需要了解以下概念：區(qū)域、鄰域、內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、境界線、閉區(qū)域、開區(qū)域等。2.1.2.2區(qū)域的定義 區(qū)域：（1）點(diǎn)集中的每個(gè)點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn) （2）點(diǎn)集是連通的，即點(diǎn)集中的任何兩點(diǎn)都可以用一條曲線連接起來且線上的點(diǎn)全屬于該點(diǎn)集。閉區(qū)域：包括境界線的區(qū)域叫閉區(qū)域。開區(qū)域：不包括境界線的區(qū)域叫閉區(qū)域。鄰域：以Zo為圓心，以任意小正數(shù)為半徑作一圓，則圓內(nèi)所有點(diǎn)的集合稱為Zo的鄰域。內(nèi)點(diǎn)： Zo及其鄰域均屬于點(diǎn)集E，則該點(diǎn)叫作E的內(nèi)點(diǎn)。外點(diǎn)： Zo及其鄰域均不屬于點(diǎn)集E，則該點(diǎn)叫作E的外點(diǎn)。境界線：若Zo及其鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn)，也有

4、不屬于E的點(diǎn)，則該點(diǎn)為境界點(diǎn)，境界點(diǎn)的全體稱為境界線。2.1.2.3復(fù)變函數(shù)例 2.1.3導(dǎo)數(shù)設(shè)是在z點(diǎn)及其鄰域定義的單值函數(shù).若在z點(diǎn)存在，并且與的方式無關(guān)則稱在z點(diǎn)可導(dǎo).可導(dǎo)的充要條件：u(x,y) 和v(x,y) 的偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)，且滿足C-R條件 。（點(diǎn)解析一定可導(dǎo)，可導(dǎo)不一定解析；區(qū)域等同）3復(fù)變函數(shù)的積分3.1.1復(fù)變函數(shù)的積分f(z)都用實(shí)部和虛部表出，所以復(fù)變函數(shù)的路積分有如下性質(zhì): 1.常數(shù)因子可以移到積分號(hào)之外. 2.函數(shù)的和的積分等于各個(gè)函數(shù)的積分的和. 3.反轉(zhuǎn)積分路徑,積分變號(hào). 4.全路徑上的積分等于各段上積分之和. 5.積分路徑不僅依賴于起點(diǎn)和終點(diǎn)還與積分路徑有

5、關(guān).3.2.1柯西定理 單通區(qū)域柯西定理（無孔無洞） 復(fù)通區(qū)域柯西定理 總結(jié)起來，柯西定理說的是1. 閉單通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線積分為零，2. 閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿著所有外境界線正方向積分為零，3. 閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆時(shí)針方向積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時(shí)針方向積分之和。3.3.1不定積分若 函數(shù)F(z)在單通區(qū)域B上解析，則沿B上任意一路L的積分的值只跟起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)而與路徑無關(guān)。記作 3.4.1柯西公式 例一、計(jì)算積分 I, 其中 C 為不經(jīng)過點(diǎn) 0 和 1 的正向曲線。解： (1) 如果 0 和 1 都不在C 中，則被積函數(shù)解析，因此, 由 Cauchy 定理得 I=

6、0; (2) 若僅 0 在 C 內(nèi), 函數(shù) 在 C 上及 C 包圍的區(qū)域解析，由 Cauchy 積分公式，得到 （3）若僅 1 在 C 內(nèi), 函數(shù)在 C 上及 C 包圍的區(qū)域解析， 由 Cauchy 積分公式，得到(4) 若 0 和 1 都在 C 內(nèi)，由Cauchy 定理而在 上及 包圍的圓內(nèi) 解析，同樣，在 上及 包圍的圓內(nèi) 解析，故利用 Cauchy 積分公式，有上面的結(jié)果得最后，我們有：其中 D 為曲線 C 包圍的區(qū)域。4. 冪級(jí)數(shù)展開4.1.1復(fù)數(shù)項(xiàng)冪級(jí)數(shù)設(shè)有復(fù)數(shù)項(xiàng)的無窮級(jí)數(shù)柯西收斂判據(jù)成立，這就是說，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是，對(duì)于任一給定的小正數(shù)，必有N存在，使得n>N時(shí)

7、， P為任意正整數(shù)。4.2.1冪級(jí)數(shù) 其都是復(fù)習(xí)常數(shù)，這樣的級(jí)數(shù)叫作以為中心的冪級(jí)數(shù)。應(yīng)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法（達(dá)朗貝爾判別法）可知 絕對(duì)收斂，引入記號(hào)R 4.3.1泰勒級(jí)數(shù)展開定理 設(shè)f(z)在以為圓心的圓解析，則對(duì)圓內(nèi)任意z點(diǎn)，f(z)可展開為冪級(jí)數(shù), 為圓內(nèi)包含且與同心的圓。4.4.1洛朗級(jí)數(shù)展開定理 設(shè)f(z)在環(huán)形區(qū)域解析，則對(duì)圓環(huán)內(nèi)任意z點(diǎn)，f(z)可展開為冪級(jí)數(shù). 其中 ，積分路徑為位于環(huán)內(nèi)按逆時(shí)針方向繞內(nèi)圓一周的任一閉合曲線。例1、求和在 z=0 鄰域的 Taylor 展開。故收斂半徑類似收斂半徑例2、在的鄰域?qū)⒄归_。解：其中于是例3、在的鄰域?qū)⒄归_解： 5留數(shù)定理設(shè)函數(shù)在回路

8、所圍區(qū)域B上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外解析，在閉區(qū)域上除外連續(xù)，則5.1.1留數(shù)定理 將洛朗級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分 右邊各項(xiàng)除去的一項(xiàng)全是零，而的一項(xiàng)里的積分等于，于是 而洛朗級(jí)數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)，叫作函數(shù) 在 點(diǎn)的留數(shù)。通常記作，這樣， 留數(shù)定理 設(shè)函數(shù)f(z)在回路l 所圍區(qū)域B上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn) 設(shè)函數(shù)在回路所圍區(qū)域B上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外解析，在閉區(qū)域上除外連續(xù)，則留數(shù)定理將回路積分歸結(jié)為被積分函數(shù)在的回路所圍區(qū)域上個(gè)孤立奇點(diǎn)留數(shù)之和。一階：M階：例1：求在其奇點(diǎn)的殘數(shù)。解：?jiǎn)螛O點(diǎn) 2i, 三階極點(diǎn)0z=2i z=0 *例2或例3考一類。例2：解：例3：解：?jiǎn)螛O點(diǎn) ， 5.2.1應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分類

9、型一 被積函數(shù)是三角函數(shù)的有理式，積分區(qū)間是。作自變數(shù)代換 則類型二 ，積分區(qū)間是，復(fù)變函數(shù)在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，在上 半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的，當(dāng)z在上平面時(shí)，。 則類型三 積分區(qū)間是，偶函數(shù)F(x),奇函數(shù)G（x）在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的。當(dāng)z在上平面時(shí)， 。 同理6 傅里葉變換6.1.1傅里葉級(jí)數(shù) 6.1.1.1 周期函數(shù)的傅里葉展開若函數(shù)以為周期，即 =則可取三角函數(shù)族作為基本函數(shù)族，將展開為級(jí)數(shù) =+ （2）三角函數(shù)族正交，其中任意兩個(gè)函數(shù)的乘積在一個(gè)周期上的積分等于零，可以求得（2）中的展開系數(shù)為其中 （3）狄里希利定理：若函數(shù)滿足條件：（1）處處連續(xù)或在

10、每個(gè)周期中只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；（2）在每個(gè)周期中只有有限個(gè)極值點(diǎn)則級(jí)數(shù)（2）收斂，且級(jí)數(shù)和=（4）6.1.2.1奇函數(shù)及偶涵數(shù)的傅里葉展開 1.若周期函數(shù)是奇函數(shù)，則由傅里葉的計(jì)算公式（3）可見及均等于零，展開（2）為 = 這叫做傅里葉正弦級(jí)數(shù)。由于對(duì)稱性，其展開系數(shù)為 2.若周期函數(shù)為偶函數(shù)則展開式為 =+ 這叫做傅里葉余弦級(jí)數(shù)。由于對(duì)稱性，其展開系數(shù)為 =6.2.1傅里葉積分與傅里葉變換 6.2.1.1實(shí)數(shù)形式的傅里葉變換 設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，一般來說，它是非周期的，不能展為傅里葉級(jí)數(shù)。所以我們將非周期函數(shù)看作是某個(gè)周期函數(shù)于周期時(shí)的極限情形.這樣，的傅里葉級(jí)數(shù)展開式 =+ （5）引入不連續(xù)參量=（=0,1,2，） ，=-=這樣（5）式稱為 =+ （6）傅里葉系數(shù)為 對(duì)與系數(shù)，若有限，則 =當(dāng)時(shí)（5）的余弦部分為正弦部分為于是（5）式的形式為 =上式稱為傅里葉積分。其中 此式稱為的 福利葉變換式。6.2.1.2奇函數(shù)的傅里葉積分是傅里葉正弦積分 = 是的傅里葉正弦變換 滿足條件2. 偶函數(shù)的傅里葉積分是傅里葉余弦積分 =是的傅里葉余弦變換 滿足條件6.3.1.函數(shù) 6.3.