關(guān)于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的處理的新設(shè)想

1、 關(guān)于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的處理的新設(shè)想在教材數(shù)學(xué)分析簡明教程（鄧東皋 尹小玲編著，高等教育出版社）中，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的三大性質(zhì)：介值定理，最大值定理，一致連續(xù)性定理，都是在他們需要出現(xiàn)的時候才出現(xiàn)，而且它們的證明都是用實(shí)數(shù)連續(xù)性定理證明的。整個體系可以用下圖表示出來。實(shí)數(shù)連續(xù)性定理單調(diào)有界原理最值定理介值定理一致連續(xù)性定理連續(xù)函數(shù)可積定理羅爾中值定理反函數(shù)連續(xù)性定理在教學(xué)中，我們也可嘗試在單調(diào)有界原理之后，引入?yún)^(qū)間套，再用區(qū)間套定理來證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的三大性質(zhì)?；蛑苯佑脤?shí)數(shù)連續(xù)性定理證明區(qū)間套定理，再用區(qū)間套定理證明單調(diào)有界原理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的三大性質(zhì)。即采用如下的體系：實(shí)數(shù)連續(xù)性

2、定理單調(diào)有界原理區(qū)間套定理一致連續(xù)性定理最值定理介值定理連續(xù)函數(shù)可積定理羅爾中值定理反函數(shù)連續(xù)性定理實(shí)數(shù)連續(xù)性定理區(qū)間套定理單調(diào)有界原理介值定理最值定理一致連續(xù)性定理反函數(shù)連續(xù)性定理羅爾中值定理連續(xù)函數(shù)可積定理為方便使用我們的教材，下面分別給出用區(qū)間套定理推出單調(diào)有界原理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的三大性質(zhì)的證明。單調(diào)有界原理 若數(shù)列單調(diào)上升有上界，則必有極限。證明 用區(qū)間套定理。設(shè)是單調(diào)上升有上界的數(shù)列。若是的上界，則是常值數(shù)列，必有極限。不妨設(shè)不是的上界，記，設(shè)是的一個上界。二等分，分點(diǎn)為，若是的上界，令，否則，令，。二等分，分點(diǎn)為，。如此繼續(xù)下去，得一區(qū)間套，滿足，不是的上界，是的上界。由區(qū)間套

3、定理，存在唯一的實(shí)數(shù)。這時有故，使得 由不是的上界知，使得，由單調(diào)上升及是的上界得，當(dāng)時，有 即。介值定理 若在連續(xù)，則存在，使得證明 用區(qū)間套定理。記，二等分，分點(diǎn)為，若，則定理證完，否則，若，則取，若，則取；二等分，分點(diǎn)為，。如此繼續(xù)下去，得一區(qū)間套，滿足，。根據(jù)區(qū)間套定理，知存在唯一的實(shí)數(shù)，這時有。由在連續(xù)，知， 故，定理證完。最大值定理 若在上連續(xù)，則在上達(dá)到其最大值與最小值。證明 用區(qū)間套定理二等分，分點(diǎn)為。則，兩區(qū)間中至少有一區(qū)間滿足性質(zhì)：另一區(qū)間中的每一個點(diǎn)，在這個區(qū)間中存在一個點(diǎn)，使得。事實(shí)上，不妨設(shè)滿足上述性質(zhì)，則，使得。因?yàn)槿舨蝗唬沟?，有，即滿足上述性質(zhì)。記，二等分，分點(diǎn)

4、為，則，兩區(qū)間中至少有一區(qū)間滿足上述性質(zhì)，將這個區(qū)間記為；二等分，分點(diǎn)為，則，兩區(qū)間中至少有一區(qū)間滿足上述性質(zhì)，將這個區(qū)間記為；，如此繼續(xù)下去，得一區(qū)間套，由區(qū)間套定理，存在唯一的實(shí)數(shù)。 下證。，使，但。由區(qū)間套的構(gòu)造，使得。對， ，使，但。于是，使得。，如此繼續(xù)下去，得一數(shù)列，滿足，且。由于以及的連續(xù)性，即。一致連續(xù)性定理（康托（cantor，1845-1918）定理） 若在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù)。證明 用區(qū)間套定理用反證法。若不然，在上不一致連續(xù)，則，有，但。記，三等分，分點(diǎn)為，。則在區(qū)間，兩區(qū)間中至少有一區(qū)間具有性質(zhì)（P）：對上述，在該區(qū)間中存在，滿足，但 。因?yàn)槿舨蝗?，在區(qū)間，兩區(qū)間都不具有上述性質(zhì)（P），則對上述，只要，就有。，只要，就有。令，則，只要，就有同時在或中，從而有。這與最初的假設(shè)矛盾。將，兩區(qū)間中具有上述性質(zhì)（P）的區(qū)間記為，三等分，如此繼續(xù)下去，得一區(qū)間套，滿足，具有上述性質(zhì)（P），由區(qū)間套定理，存在唯一的實(shí)數(shù)。由在點(diǎn)連續(xù)，則，當(dāng)時，有由，則，當(dāng)時，有，于是有這與具有上述性質(zhì)（P）矛盾。故在上一致連續(xù)。最后給出用實(shí)數(shù)連續(xù)性定理證明區(qū)間套定理的證明。區(qū)間套定理 設(shè)是一區(qū)間套，則存在唯一的實(shí)數(shù)。證明 用實(shí)數(shù)連續(xù)性定理。令，則是的一個分劃。事實(shí)上，即非空；由的定義，不漏；，則，故，即不亂。故確是的