同濟(jì)六高等數(shù)學(xué)下知識(shí)點(diǎn)整理

1、1、 向量在軸上的投影：性質(zhì)：（即Prj），其中為向量與軸的夾角；（即PrjPrj+Prj）；（即PrjPrj）.2、 兩個(gè)向量的向量積：設(shè)，則=+=注：3、 二次曲面（1） 橢圓錐面：；（2） 橢圓拋物面：； （旋轉(zhuǎn)拋物面：（把把面上的拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)）（3） 橢球面：； （旋轉(zhuǎn)橢球面：（把面上的橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)）（4） 單葉雙曲面：； （旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面：（把面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)）（5） 雙葉雙曲面：； （旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面：（把面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)）（6） 雙曲拋物面（馬鞍面）：；（7） 橢圓柱面：； 雙曲柱面：； 拋物柱面：4、 平面方程（1） 平面的點(diǎn)法式方程：，其中 是平面上一點(diǎn)，為平面的一個(gè)

2、法向量.（2） 平面的一般方程：，其中為平面的一個(gè)法向量.注：由平面的一般方程可得平面的一個(gè)法向量若=0，則平面過原點(diǎn)；若若（3） 平面的截距式方程：，其中分別叫做平面在軸上的截距.5、 兩平面的夾角：特殊：6、 點(diǎn)到平面的距離公式：7、 空間直線方程（1） 空間直線的一般方程：（2） 空間直線的對(duì)稱式（點(diǎn)向式）方程：，其中為直線的一個(gè)方向向量，為直線上一點(diǎn)（3） 空間直線的參數(shù)方程：8、 兩直線的夾角： 特殊：9、 直線與平面的夾角：特殊： 直線與平面平行或在平面內(nèi)：10、平面束的方程：設(shè)直線由方程組所確定，其中不成比例，則平面為通過直線的所有平面（不包含平面）第九章1、內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；邊界

3、點(diǎn)不一定是聚點(diǎn)2、二重極限存在是指以任何方式趨于時(shí)，都無限接近于A，因此當(dāng)以不同方式趨于時(shí)，趨于不同的值，那么這個(gè)函數(shù)的極限不存在3、偏導(dǎo)數(shù)：求時(shí)，只要把其他量看作常量而對(duì)求導(dǎo)數(shù)； 求時(shí)，只要把其他量看作常量而對(duì)求導(dǎo)數(shù)； 注意：（1）偏導(dǎo)數(shù)都存在并不一定連續(xù)；（2）為整體，不可拆分； （3）分界點(diǎn)，不連續(xù)點(diǎn)處求偏導(dǎo)數(shù)要用定義求4、若函數(shù)在點(diǎn)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)、必定存在，且函數(shù)在點(diǎn)的全微分為5、若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、在點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分6、連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)不一定存在，偏導(dǎo)數(shù)存在,不一定連續(xù)；連續(xù),不一定可微，但可微,一定連續(xù)； 可微,偏導(dǎo)數(shù)一定存在，偏導(dǎo)數(shù)存在,不一定可微； 可微,偏導(dǎo)數(shù)

4、不一定都連續(xù)；偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù),一定可微7、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則： （1）一元函數(shù)與多元函數(shù)符合的情形：若函數(shù)及都在點(diǎn)可導(dǎo)，函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且有 （2）多元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形：若函數(shù)及都在點(diǎn)具有對(duì)及對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且； （3）其他情形：若函數(shù)在點(diǎn)具有對(duì)及對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且；8、隱函數(shù)求導(dǎo)公式：（1）函數(shù)：（2）函數(shù)：，9、空間曲線的切線與法平面：設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為為曲線上一點(diǎn)假定上式的三個(gè)函數(shù)都在上可導(dǎo)，且三個(gè)導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零則

5、向量為曲線在點(diǎn)處的一個(gè)切向量，曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，法平面方程為：如果空間曲線的方程以的形式給出，則在點(diǎn)處的切線方程為：，法平面方程為：如果空間曲線的方程以的形式給出，則在點(diǎn)處的切線方程為：法平面方程為：10、曲面的切平面與法線：設(shè)曲面方程為，為曲面上一點(diǎn)，則曲面在點(diǎn)處的切平面方程為：，法線方程為：11、方向?qū)?shù)：若函數(shù)在點(diǎn)可微，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向的方向?qū)?shù)存在，且，其中是方向的方向余弦12、梯度：稱為函數(shù)在點(diǎn)的梯度，記作，即=13、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極值，則14、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域里連續(xù)且有一階及二階偏導(dǎo)數(shù)，又，令，則在點(diǎn)處是否取得極值的條件如下：（1）時(shí)具有極值，且

6、當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極小值；（2）時(shí)沒有極值；（3）時(shí)可能有極值，也有可能沒有極值15、具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值求法： 第一步：解方程組，求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)； 第二步：對(duì)每一個(gè)駐點(diǎn)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值和； 第三步：定出的符號(hào)，按14的結(jié)論判定是不是極值，是極大值還是極小值注：上述步驟是求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)得情況下，那么在考慮函數(shù)極值時(shí)，除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外，如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，那么對(duì)這些點(diǎn)也要考慮16、拉格朗日乘數(shù)法：要找函數(shù)在附加條件下的可能極值點(diǎn)，可以先作拉格朗日函數(shù)，其中及的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與方程聯(lián)立起來：，由這方程組解出及，這樣得到的就是函數(shù)在

7、附加條件下的可能極值點(diǎn)第十章1、二重積分的性質(zhì) 性質(zhì)1：設(shè)為常數(shù)，則.性質(zhì)2：如果閉區(qū)域被有限曲線分為有限個(gè)部分閉區(qū)域，則在上的二重積分等于在各個(gè)部分閉區(qū)域上的二重積分之和.（二重積分對(duì)于積分區(qū)域具有可加性）性質(zhì)3：如果在上，為的面積，則性質(zhì)4：如果在上，則有：特殊地，由于則.性質(zhì)5：設(shè)分別是在閉區(qū)域上的最大值和最小值，是的面積，則有.性質(zhì)6（二重積分的中值定理）：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域連續(xù)，是的面積，則在上至少存在一點(diǎn),使得.2、二重積分直角坐標(biāo)的計(jì)算法： （1）若積分區(qū)域D可用不等式，（X型）來表示，其中、在區(qū)間 （2）若積分區(qū)域D可用不等式，（Y型）來表示，其中、在區(qū)間注：確定次序原則：（1）

8、函數(shù)原則：內(nèi)層積分可以積出；（2） 區(qū)域原則；（3） 少分塊原則.3、二重積分極坐標(biāo)的計(jì)算法：（極坐標(biāo)系中的面積元素：）若積分區(qū)域D可用不等式，來表示，其中、在區(qū)間：（詳見P145,146）4、確定上下限原則： （1）每層下限小于上限； （2）內(nèi)層一般是與外層積分變量的有關(guān)的函數(shù)，也可以是常數(shù)； （3）外層一定為常數(shù).5、利用被積函數(shù)的奇偶性及積分區(qū)域的對(duì)稱性簡化： （1）若積分區(qū)域D關(guān)于對(duì)稱，則：，其中（2）若積分區(qū)域D關(guān)于對(duì)稱，則：，其中6、直角坐標(biāo)三重積分的計(jì)算： （1）先一后二：若，閉區(qū)域，則：（詳見P158,159） （2）先二后一（截面法）： S1：將向某軸投影，如軸，； S2：對(duì)

9、，用平行于面的平面截，截出部分記為； S3：計(jì)算； S4：計(jì)算若空間區(qū)域，其中是豎坐標(biāo)為的平面截閉區(qū)域所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域，則：注：適用于被積函數(shù)只有一個(gè)變量或?yàn)槌?shù)7、柱面坐標(biāo)三重積分的計(jì)算：；=常數(shù)，即以軸為軸的圓柱面；=常數(shù)，即過軸的半平面； =常數(shù)，即與面平行的平面柱面坐標(biāo)系中的體積元素：，其中再化為三次積分計(jì)算，其中，為沿軸穿線穿過的兩個(gè)平面方程（個(gè)人理解）8、球面坐標(biāo)三重積分的計(jì)算：，球面坐標(biāo)系中的體積元素：，其中，再化為三次積分計(jì)算，其中，為沿軸穿線穿過的兩個(gè)平面方程（個(gè)人理解）典例：求由曲面與所圍成立體體積（利用三種坐標(biāo)系求解）解：表示球心在原點(diǎn)，半徑為的球體，表示上半面圓錐

10、體直角坐標(biāo)：柱面坐標(biāo)：球面坐標(biāo)：十一章1、對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算法：設(shè)在曲線弧上有定義且連續(xù)，的參數(shù)方程為 ，其中，在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則曲線積分存在，且同理：空間曲線：2、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方法：設(shè)、在有向曲線弧上有定義且連續(xù)，的參數(shù)方程為，當(dāng)參數(shù)單調(diào)地由變到時(shí)，點(diǎn)從的起點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)，在以及為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則曲線積分存在，且（下限對(duì)應(yīng)于的起點(diǎn)，上限對(duì)應(yīng)于的終點(diǎn)）同理：空間曲線：3、平面曲線上兩類曲線積分的聯(lián)系：，其中為有向曲線弧在點(diǎn)處的切向量方向角，同理：空間曲線上兩類曲線積分的聯(lián)系：4、格林公式：設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑曲線圍城，函數(shù)及在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有，其中是D的取正向的邊界曲線注：取，則，左端表示閉區(qū)D的面積A的兩倍，因此，5、設(shè)D為單連通區(qū)域，函數(shù)及在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下列四個(gè)命題等價(jià)：（1）沿D內(nèi)任一條光滑曲線有（2）對(duì)D內(nèi)任一條分段光滑曲線曲線積分與路徑無關(guān)（3）存在，使得（4）在D內(nèi)沒一點(diǎn)都有6、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法：7、對(duì)坐標(biāo)的區(qū)面積分的計(jì)算法：，等式右端符號(hào)取決于積分曲面上下側(cè)，等式右端符號(hào)取決于積分曲面左右側(cè)，等式右端符號(hào)取決