一元微積分1222

1、白云霄第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)(一)函數(shù)一、 函數(shù)的解析式二、 函數(shù)的性質(zhì)三、 幾種特殊函數(shù)（1）；（2）：與的關(guān)系；（3）分段函數(shù)；（4）復(fù)合函數(shù)；題型1 求函數(shù)表達(dá)式例1 設(shè)，求例2設(shè)是周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)時，.求當(dāng)時，的表達(dá)式.例3 設(shè)，求的表達(dá)式.例4 已知，且，求例5 已知，求題型2 函數(shù)奇偶性例1設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（ ） （A）若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù) （B）若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù) （C）若為周期函數(shù)，則為周期函數(shù) （D）若為單調(diào)函數(shù)，則為單調(diào)函數(shù)例2求題型3 判別函數(shù)的有界性例1 設(shè)，且，證明：.例2設(shè)，判別的有界性.（二）極限極限的定義極限的性質(zhì)極限的運算法則極限的計算極限的

2、應(yīng)用1求極限的方法1) 洛必達(dá)法則；2) 等價無窮小因子代換；3) 無窮小與有界量之積為無窮小4) 重要極限5) 導(dǎo)數(shù)的定義6) 夾逼準(zhǔn)則7）定積分的定義基本公式： 如果存在7) 單調(diào)有界原理8）泰勒公式：當(dāng)時， 例：求用（最后一項比高階無窮?。┰剑@樣比用洛比達(dá)法則簡單題型1研究數(shù)列的極限例1設(shè)，證明收斂并求例2 設(shè)，證明收斂并求題型2項和的極限常用到的方法有：夾逼準(zhǔn)則；定積分定義；級數(shù)求和.例1 證明收斂例2設(shè)數(shù)列 ，則例2 證明收斂例3 極限；求例5 證明收斂例6 證明收斂例7 證明收斂題型3多項乘積的極限常用到的方法有：乘以某個因子，引發(fā)連鎖反應(yīng)；取對數(shù)后再求極限.例8（1）當(dāng)時，求

3、（2）當(dāng)時，求題型4未定式的極限型，常用到的方法有：（1）等價無窮小代換；（2）分解因式或根式有理化后消去零因子；（3）洛必達(dá)法則；（4）利用麥克勞林展開式；例9（1）（2）（3）（4）設(shè)函數(shù)連續(xù)，求型，常用到的方法有：（1）抓大頭法；（2）洛必達(dá)法則；例10（1）（2）（3）（4）型（合并、提取、代換）例11型（下放）型例12題型5求分段函數(shù)的極限例1求下列函數(shù)在分段點處的極限例3 求題型6求極限的反問題例3（1）當(dāng)時，與是同階無窮小，則（2）已知時，求（3）已知），求（4）設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足，求。（5）已知求（6）已知求（三）連續(xù)例1（1）討論的連續(xù)性（2）討論，的連續(xù)性（3）已知，其中有

4、連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且.試確定，使得連續(xù).例2 確定函數(shù)的間斷點及其類型（1）（2）例3（1）求的間斷點，并判別其類型。（2）求的間斷點，并判別其類型。例4設(shè)在上連續(xù)，且， 證明：在內(nèi)至少有一個根。例5設(shè)，. 證明：存在，使得例6 設(shè)，. 證明：存在，使得第二章導(dǎo)數(shù)與微分題型1 利用導(dǎo)數(shù)定義的題目命題的特點： 若表達(dá)式中含有抽象函數(shù)記號，只知道連續(xù)，卻沒有告訴是否可導(dǎo)，則求導(dǎo)數(shù)時必須用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)； 求分段函數(shù)在分段點處的導(dǎo)數(shù)時，必須用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)；例如表達(dá)式中含有絕對值的函數(shù)，一定要先去掉絕對值再求導(dǎo). 某一些函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)用定義計算有時也相當(dāng)方便.例1 設(shè)存在，求下列極限： ；例2 設(shè)在有定義

5、，對任意的，恒有；當(dāng)時，.試判斷是否存在.解例3設(shè)，試判斷是否存在. 例4 設(shè)，其中在可導(dǎo)，求.例5設(shè)在連續(xù)，且，討論在的連續(xù)性及可導(dǎo)性.例5 設(shè)在內(nèi)二階可導(dǎo)，求.例6設(shè)，在處連續(xù)，但又不可導(dǎo)，又存在，則是在處可導(dǎo)的（ ）條件.（A）充要； （B）充分非必要；（C）必要非充分； （D）非充分非必要例6 設(shè)，則使得存在的最高階數(shù)為例7 設(shè)，判別不可導(dǎo)點的個數(shù). 例9設(shè)在內(nèi)有定義，且滿足，求. 例10設(shè)在上定義，且，又有，求.題型2 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1設(shè)求. 例2 設(shè)，求.例3 做變換，試將方程化為關(guān)于的方程.題型3 求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路提示：由方程所確定的隱函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)的計算有三種方法：方程兩邊

6、對求導(dǎo)，要記住是的函數(shù)；用公式；對方程兩邊取微分.例4 設(shè)有方程，求. 設(shè)有方程，求題型4 求參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例5 設(shè)，其中三階可導(dǎo)，且，求.例6 設(shè)，求.例7設(shè)，求.解先化為參數(shù)方程，再求導(dǎo).題型5 對數(shù)求導(dǎo)法方法提示：對于冪指函數(shù)、連乘積（包括乘方、開方或商的形式）函數(shù)，先對式子兩邊取自然對數(shù)，再同時對求導(dǎo).例8求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 求題型6 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式：萊布尼茲公式例9求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)：例10求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)： ，則 ，則第三章微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題型一、求切線方程和法線方程例1與 在點 處的切線相同，寫出此切線方程，并求。 例2已知曲線的極坐標(biāo)方程，求曲線上對應(yīng)

7、于處的切線與法線的直角坐標(biāo)方程。 例3設(shè)為周期是的連續(xù)函數(shù)，在鄰域內(nèi)，恒有。其中，在處可導(dǎo)，求曲線在點處的切線方程。題型二：有關(guān)中值定理的證明題 例1設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，。 試證：必存在，使 例2設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且求證：存在使例3設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，對任意，有， 求證存在使 證：由積分中值定理可知存在使得令，可知例4設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，試證： （1）存在，使。（2）對任意實數(shù)，存在，使得例5設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，求證在內(nèi)任意兩個零點之間至少有一個的零點例6設(shè)，在二階可導(dǎo)，且，又 求證：（1）在內(nèi)；（2）存在，使例7設(shè)在可導(dǎo)， 試證：必存在，使例8設(shè)在可導(dǎo)， 試證：必存在，使例9設(shè)在上連

8、續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，求證：存在，使得例10設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且，證明： （I）存在，使得（II）存在，使例11設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，若極限存在，證明： （1）在內(nèi)； （2）在內(nèi)存在，使； （3）在內(nèi)存在與（2）中相異的點，使例12設(shè)在上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，。求證：，使。例13設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，試證：在內(nèi)至少存在一點，使成立。題型三、證明不等式證明不等式的方法（1）利用單調(diào)性證明（2）利用極值或最值證明（3）利用中值定理（4）利用凹凸性證明 （5）利用泰勒公式證明求證：當(dāng)時，例1 設(shè)，求證：例3設(shè)，證明證一：對函數(shù)在上用拉格朗日中值定理再來證明在時單調(diào)減少

9、從而，即 故 證二：設(shè)，則 當(dāng)時，故單調(diào)減少 因此時，由可知單調(diào)增加 題設(shè)，于是 故，即題型四、有關(guān)函數(shù)性狀的研究例1若，在內(nèi)，則在內(nèi)（ ）.（A）； （B）； （C）； （D）.例2設(shè)函數(shù)，是大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且，則當(dāng)時，有（ ）.（A）； （B）； （C）； （D）例3 設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則有（ ） （A）一個極小值點和兩個極大值點 （B）兩個極小值點和一個極大值點 （C）兩個極小值點和兩個極大值點 （D）三個極小值點和一個極大值點例4設(shè)的導(dǎo)數(shù)在處連續(xù)，又, 則（ ） （A）是的極小值點 （B）是的極大值點（C）是曲線的拐點（D）不是極值點，也不是曲線的拐點 例5設(shè)有

10、二階導(dǎo)數(shù)，滿足 求證：時，為極小值 證： （2）情形 這時方程條件用代入下行，無法得出上面的公式存在 連續(xù)， （用洛必達(dá)法則） = （再用洛必達(dá)法則） =是極小值題型五 方程的根的研究例1就的不同取值情況，確定方程在開區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)。例2求證：方程在內(nèi)只有兩個不同的實根.題型6 求漸近線例1. 求的漸近線例2有幾條漸近線？第四章一元積分學(xué)一、不定積分2.不定積分第一換元積分法（湊微分法）的幾種形式：3. 不定積分第二換元積分法（1）三角代換（設(shè)）若被積函數(shù)中含有，則可作代換；若被積函數(shù)中含有，則可作代換；若被積函數(shù)中含有，則可作代換；注：若被積函數(shù)中含有，則可先配方，再化為上述情形.若被積函數(shù)

11、中含有上述被開方式，同樣可考慮使用相應(yīng)代換.不定積分最后一步反解變量時，可以借助于輔助直角三角形.（2）倒代換當(dāng)分母關(guān)于的最高次數(shù)大于分子關(guān)于的最高次數(shù)時，可作代換（3）一般代換當(dāng)被積函數(shù)含某個出現(xiàn)頻率較高、或者不易處理的函數(shù)時，可代換之.例如根式代換：若被積函數(shù)中含有、，則可令，取最小公倍數(shù)；若被積函數(shù)中含有，則可令；還有如指數(shù)函數(shù)代換、冪函數(shù)代換等.題型一原函數(shù)與不定積分例1(1)若，則.(2)已知的一個原函數(shù)為，則.(3)已知的一個原函數(shù)為，則.(4)已知的，求.(5)設(shè)為的一個原函數(shù)，當(dāng)時，有，且，求.題型二求不定積分例1 求下列不定積分例2 設(shè)，求.例3 二、定積分1. 若在上連續(xù)，

12、則變上限積分成立：2. 關(guān)于連續(xù)函數(shù)的定積分的幾個重要結(jié)論從而當(dāng)為奇函數(shù)時，有從而當(dāng)為偶函數(shù)時，有，設(shè)是周期為的連續(xù)函數(shù)，則題型1 關(guān)于變限積分的求解與應(yīng)用例1 設(shè)在上連續(xù)，且，求當(dāng)時的最小值.例2設(shè)均連續(xù)，則例3設(shè)連續(xù)，求.例4設(shè)連續(xù)，求.例5計算例6計算下列各題： 設(shè)連續(xù)，求. 設(shè)在連續(xù)，求.例7已知兩曲線與在點處的切線相同，且，試求極限： ；例8若，則依賴于和依賴于和依賴于，不依賴于依賴于和例9設(shè)，則不為常數(shù)恒等于零為負(fù)數(shù)為正數(shù)例10設(shè)，連續(xù)，且，則在內(nèi)單調(diào)增加且為下凸單調(diào)增加且為上凸單調(diào)減少且為下凸單調(diào)減少且為下凸例11設(shè)，求.例12設(shè)，求.例13設(shè)連續(xù)，且 (為常數(shù)) ，試討論在的連

13、續(xù)性. 例14設(shè)在上連續(xù)，且對于任意兩點，有，求.例15 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，對所有， 均有，求例16設(shè)在上連續(xù)，求證：例17設(shè)函數(shù)，. 當(dāng)時，證明：； 求型2 帶絕對值符號的函數(shù)的定積分例18例19 設(shè)，求.題型3 使用代換的定積分例20求例21求例22求例23求例24求例25求例26設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，為偶函數(shù)，且滿足（為常數(shù)）. 證明： 計算：題型4 反常積分的計算例27求；求例28 求題型5 定積分等式的證明例29設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且大于0，證明：存在一個，使得例30設(shè)在區(qū)間上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：題型6 定積分不等式的證明例31設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，證明柯西不等式：例32設(shè)在區(qū)間上單調(diào)增且連續(xù)，證明：例

14、33設(shè)在可導(dǎo)，.試證：例34設(shè)在區(qū)間上有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：，其中題型7 定積分的應(yīng)用 例1求曲線在點處法線與曲線所圍成圖形的面積 例2設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)，證明，且唯一，使得，所圍面積是，所圍面積的三倍。 例3設(shè)在上為任一非負(fù)連續(xù)函數(shù)。 （1）試證：，使上以為高的矩形面積等于上以為曲邊的曲邊梯形面積。（2）又設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明（1）中唯一。 例4求由曲線和直線，所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。 解一：解出，平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積 平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積 所求體積 解二：例5設(shè)是由拋物線和直線，及所圍成的平面區(qū)域；是由拋物線和直線，所圍成的平面區(qū)域，其中。 （1

15、）試求繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積；繞軸而成的旋轉(zhuǎn)體體積（如圖） （2）問當(dāng)為何值時，取得最大值？試求此最大值例6：為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m，抓斗自重400N，纜繩每米重50N，抓斗抓起污泥重2000N，提升速度3m/s，提升過程中污泥以20N/s的速率從抓斗縫隙中漏掉，現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口，問克服重力需作多少焦耳的功？ 說明：（1）；，分別表示米，牛頓，秒，焦耳。 （2）抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長度忽略不計。 解：所需作功，是克服抓斗自重所作的功，是克服纜繩重力作的功是提取污泥所作的功 所以第五章 微分方程題型一、一階微分方程例1

16、求的通解。例2 求微分方程的通解例3 設(shè)是的一個解，求此微分方程滿足的特解例4設(shè)，其中，在內(nèi)滿足以下條件，且， （1）求所滿足的一階微分方程（2）求出的表達(dá)式例4 設(shè)連續(xù)，求例6解下列微分方程：題型二、可降階的微分方程例1求的通解例2求下列微分方程的通解題型三高階常系數(shù)線性微分方程例1解下列微分方程： ，當(dāng)為以下幾種形式時，求方程的通解. 設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且是全微分方程，求方程的通解. 下列微分方程以（為任意常數(shù)）為通解的是. 若二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為，則非齊次方程滿足條件，的解為.例2求解歐拉方程：例3解例4設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，是的反函數(shù)。 （1）試將所滿足的微分方程

17、變換為滿足的微分方程； （2）求變換后的微分方程滿足初始條件，的解。設(shè)，其中連續(xù)，求例6 已知，是某二階線性非齊次常系數(shù)微分方程的三個解，求此微分方程及其通第六章 向量代數(shù)與空間解析幾何例填空題 設(shè)，則時，向量與互相垂直 設(shè)，則 設(shè)均為單位向量，且，則 設(shè)，則例求過點且與直線垂直的平面方程例求過點且過直線的平面方程例求過點，與直線垂直，又與直線相交的直線方程例求過點且與直線垂直相交的直線方程例6設(shè)與是兩條異面直線 求與的公垂線方程； 求與的距離例7求直線在平面上的投影直線方程例8求直線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程解的參數(shù)方程為對某一取定的，對應(yīng)曲線上的一點，點到軸的距離為，點繞軸旋轉(zhuǎn)所得空間圓周

18、為，消去即得旋轉(zhuǎn)面方程 例9求直線在平面上的投影直線的方程，并求繞軸一周所成曲面的方程。 解：過作垂直于的平面，的法向量故的方程為 投影直線的方程為 從（1）+（2）得 從（1）（2）得 這樣得到的另一個方程為 于是繞軸一周所得曲面方程為 即第七章多元函數(shù)微分學(xué)題型1 二元函數(shù)的極限例1 求下列極限：討論例2 討論函數(shù)在點的連續(xù)性.題型2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與可微性例3 討論例2中函數(shù)的可微性例4 設(shè)函數(shù).討論在點處的連續(xù)性和可微性.例4 設(shè)函數(shù).求.題型3 求抽象復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及全微分例6 設(shè)，其中均可微，求.例7 設(shè)，其中具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求.例8 設(shè)，且，又.求題型4 隱函數(shù)及隱函數(shù)方

19、程組的微分法例9 設(shè)函數(shù)由方程確定, 則，.例10 設(shè)函數(shù)，其中是由所確定的隱函數(shù)，求.例11設(shè)，是由和所確定的函數(shù)，其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求例12 設(shè)，而是由所確定的函數(shù)，求.例13 設(shè)變換可把方程簡化為.求常數(shù).題型5多元函數(shù)極值例14 設(shè)與均為可微函數(shù)，且. 已知是在約束條件下的一個極值點，下列正確的是若，則. 若，則.若，則. 若，則.例15 求函數(shù)在區(qū)域上的最大值和最小值.例16已知函數(shù)的全微分，并且。求在橢圓域上的最大值和最小值。練習(xí)：設(shè)函數(shù)，區(qū)域例17設(shè)曲線，求曲線上距離面最遠(yuǎn)的點和最近的點.例18在球面位于第一卦限的部分上求一點，使得在該點處，函數(shù)取得最大值

20、.例19求曲面位于第一卦限部分上的一點，使該點的切平面與三個坐標(biāo)面所圍的四面體體積最小.以下為數(shù)一內(nèi)容題型6 方向?qū)?shù)與梯度例20函數(shù)在點處，沿曲面在點的外法線方向的方向?qū)?shù)是.例21函數(shù)在點處，沿曲線在此點的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)是.例22在橢球面上求一點，使函數(shù)在該點沿方向的方向?qū)?shù)最大. 例23確定常數(shù)，使在右半平面上的向量為某二元函數(shù)的梯度，并求.題型7 多元函數(shù)微分學(xué)在幾何中的應(yīng)用例25求過直線，且與曲線在點處的切線平行的平面方程.例26設(shè)有曲面和直線，求的切平面，使垂直于.第八章 無窮級數(shù)（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三）題型一、主要用部分和數(shù)列的極限討論級數(shù)的斂散性例1 設(shè)數(shù)列收斂，級數(shù)收斂，證明

21、收斂例2設(shè)，.證明：存在；級數(shù)收斂.題型二、用判別法討論級數(shù)的斂散性例4判別下列級數(shù)的斂散性，并說明是條件收斂還是絕對收斂。 例5設(shè)級數(shù)收斂，則收斂例5 正項數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散，問是否收斂？ 題型三、級數(shù)收斂性方面的綜合題 例7設(shè)（1）求的值。（2）證明：對任意正常數(shù)，收斂。 例8設(shè)有方程，其中正整數(shù)，證明方程有唯一正實根，并證明 當(dāng)時，級數(shù)收斂。 證：記 當(dāng)時， 故在上單調(diào)增加。 而，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知存在唯一正實根 由與知， 故當(dāng)時， 而正項級數(shù)收斂， 所以當(dāng)時，級數(shù)收斂。例8 證明數(shù)列收斂.題型四 求收斂域、和函數(shù)例10求下列級數(shù)的收斂域：例11求下列冪級數(shù)的和函數(shù)。（1） （2）

22、例12求冪級數(shù)的收斂域、和函數(shù).例13設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為，求： （1）所滿足的一階微分方程（2）的表達(dá)式例14求的和例15求的和.例16求的和題型五 函數(shù)展開為冪級數(shù)例1把展成的冪級數(shù)例2將展成的冪級數(shù)，并求的和 解：收斂，函數(shù)在處連續(xù) 將代入， 又，故得例2 求在處的泰勒級數(shù)題型六 傅立葉級數(shù)例1 設(shè)是周期為2的周期函數(shù)，它在區(qū)間上的定義為，則其傅里葉級數(shù)在處收斂于例2. 設(shè)，則= .例3將函數(shù)展成以2為周期的傅里葉級數(shù)，并由此求級數(shù)的和。第九章 多元積分學(xué)題型1 二重積分的計算常見題型及考查點： 交換積分次序 利用奇偶對稱性、輪換對稱性簡化二重積分的計算 分塊積分（即被積函數(shù)含有絕對值、最值

23、函數(shù)的）例1 完成下列各題 ； 交換積分次序：； 設(shè)區(qū)域，則； 設(shè)區(qū)域，則； 設(shè)區(qū)域，則； 設(shè)區(qū)域，則； 設(shè)連續(xù)，且，其中是由，及所圍成的區(qū)域，則； 設(shè)，則； ； 設(shè)，則.題型2三重積分的計算基本方法：坐標(biāo)面投影法（即先一后二）特殊方法：（1）截面法，即先二后一；（2）球面坐標(biāo)法.例1 求，其中為曲面及圍成的區(qū)域.例2 設(shè)，其中，試將分別在直角坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系下化為三次積分.例3 設(shè)，其中為連續(xù)函數(shù)，為曲面及圍成的區(qū)域，試將分別在直角坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系下化為三次積分.例4 求，其中由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面所圍成的立體.例5 求，其中為，為常數(shù).例6 將積分化

24、為三次積分，其中分別是： 曲面及平面圍成的區(qū)域； 曲面及平面圍成的區(qū)域； 曲面，及平面圍成的區(qū)域.例8 證明：由以及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體（密度）對軸的轉(zhuǎn)動慣量為，其中為連續(xù)的正值函數(shù).題型3對弧長的曲線積分的計算方法提示：曲線方程代入和，化為定積分，下限小于上限.例如，曲線方程為則要注意的幾點：1.化為定積分后，積分限必須滿足下限小于上限；2.盡可能使用奇偶對稱性、輪換對稱性簡化積分的計算；.例1 完成下列各題1. 設(shè)為橢圓，其周長是，則；2. 設(shè)圓周，則；3. 設(shè)星形線，則；4. 設(shè)圓周，則；5. 設(shè)，則；6. 設(shè)圓周，則；7. 設(shè)，則；題型4對坐標(biāo)的曲線積分的計算方法

25、提示： 曲線方程代入和，化為定積分，起點積到終點.注：此時未必有下限小于上限. 若是平面曲線，還可以使用格林公式化為二重積分.即：使用時，一定要注意格林公式的條件.當(dāng)時，積分與路徑無關(guān)，則選擇折線路徑進(jìn)行積分. 若是空間曲線，還可以使用斯托克斯公式化為第二類型曲面積分.即：或：要注意的正向與的側(cè)符合右手法則.例1完成下列各題 設(shè)為正向圓周，則，； 設(shè)為曲線上從點到點的弧，其中為常數(shù)，則； 設(shè)為曲線上從點到點的弧，則； 設(shè)為曲線上從點到點的弧，則； 設(shè)為正向橢圓，則； 設(shè)為曲線上從點到點的弧，則；例2設(shè)是不過原點、無重點且分段光滑的連續(xù)閉曲線，方向為逆時針方向.試計算積分.注：若上述曲線包含原點在內(nèi)時，證明積分.例3曲線積分與路徑無關(guān)的題目 已知，若曲線積分與路徑無關(guān)，求(1) ；(2) . 設(shè)，試求使曲線積分與