浙教版八年級(jí)下冊(cè) 第4章平行四邊形培優(yōu)講義（含解析）

1、平行四邊形 第1講 命題點(diǎn)一：利用多邊形內(nèi)(外)角和定理求邊角問題【思路點(diǎn)撥】(1)多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n2)×180°(n3)且n為整數(shù)此公式推導(dǎo)的基本方法是從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出(n3)條對(duì)角線，將n邊形分割為(n2)個(gè)三角形，這(n2)個(gè)三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和除此方法之外還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形(2)多邊形的外角和等于360°.多邊形的外角和指在每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，則n邊形取n個(gè)外角，無(wú)論邊數(shù)是幾，其外角和永遠(yuǎn)為360°.借助內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角概念共同

2、推出以下結(jié)論：外角和180°n180°(n2)360°.例1一塊正六邊形硬紙片(如圖)，做成一個(gè)底面仍為正六邊形且高相等的無(wú)蓋紙盒(側(cè)面均垂直于底面，見圖)，需在每一個(gè)頂點(diǎn)處剪去一個(gè)四邊形，例如圖中的四邊形AGAH，那么GAH的大小是 60° .例2(保送生模擬題)E，F(xiàn)是四邊形ABCD邊AD，BC上的點(diǎn)，連結(jié)EF，將四邊形ABFE沿直線EF折疊，使點(diǎn)A，點(diǎn)B落在四邊形ABCD的內(nèi)部，分別為A，B，再折疊將點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，折痕為GH，則下列結(jié)論一定正確的是(C)A12342C B1234180°CC1234360°2C D123454

3、0°2C 命題點(diǎn)二：平行四邊形的定義與性質(zhì)例3(2019·武漢期中改編)(1)在圖，中，給出ABCD的頂點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)(如圖所示)，寫出圖，中的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，它們分別是 (5,2) ， (ce，d) ， (cea，d) .(2)通過對(duì)圖，的觀察和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)的探究，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：無(wú)論ABCD處于直角坐標(biāo)系中哪個(gè)位置，當(dāng)其頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(a，b)，B(c，d)，C(m，n)，D(e，f)時(shí)，則四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)a，c，m，e之間的等量關(guān)系為 mace ；縱坐標(biāo)b，d，n，f之間的等量關(guān)系為 nbdf .例4在ABC中，ABAC，P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PEAC交AB

4、于點(diǎn)E，PFAB交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F.(1)如圖，若點(diǎn)P在BC邊上，此時(shí)PD0，猜想并寫出PD，PE，PF與AB滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想(2)如圖，若點(diǎn)P在ABC內(nèi)，猜想并寫出PD，PE，PF與AB滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想(3)如圖，若點(diǎn)P在ABC外，猜想并寫出PD，PE，PF與AB滿足的數(shù)量關(guān)系(不必證明)解：(1)PDPEPFAB理由如下：ABAC，PFAB，PEAC，四邊形PFAE是平行四邊形BC，EPBC，BFPCBEPB，即BPE為等腰三角形BEPE.又四邊形PFAE是平行四邊形，PFAE.PEPFBEAEAB又PD0，PDPEPFAB(2)PDPEPFAB理由

5、如下：如圖，過點(diǎn)P作MNBC分別交AB，AC于點(diǎn)M，N.由題意，得四邊形PFAE，四邊形PDBM為平行四邊形PFAE，PDBM.由題(1)的證明方法可同證MEP為等腰三角形PEME.PDPEPFBMEMAEAB(3)PEPFPDAB 命題點(diǎn)三：利用平行四邊形的性質(zhì)解決邊、角問題【思路點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)比較綜合，包括平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等邊三角形的性質(zhì)要解答本題，可以參照下面的思路：在等邊三角形中，三條邊相等，三個(gè)角都是60°，則可由60°角及平行四邊形對(duì)角相等的性質(zhì)可得DAE1，即DAEFCD，得出DFDE，同理可得出三條邊都相等，進(jìn)而可得出結(jié)論.

6、例5(浙江省自主招生模擬題)如圖所示，在ABCD中，ABE和BCF都是等邊三角形求證：DEF是等邊三角形證明：ABE和BCF都是等邊三角形，且四邊形ABCD是平行四邊形AEABCD，CFBCADBAEBCF60°，即DAEBAD1BCD60°.在ABCD中，BADBCD，DAE1.DAEFCDDFDE.2180°ABECBFBCD60°BCD，160°BCD，12EADEAEB，ADBCBF，BEFAEDDEEF.DEDFEF，即DEF為等邊三角形例6如圖，在ABC中，C90°，點(diǎn)M在BC上，且BMAC，ANMC，AM與BN相交于點(diǎn)P

7、，求證：BPM45°.解：如圖，過點(diǎn)M作MEAN，且MEAN，連結(jié)NE，BE，則四邊形AMEN為平行四邊形，從而得到NEAM，MEBCMECM，EMBMCA90°，BMAC，BEMAMCBEAMNE，12，34.1390°，2490°，且BENE.BEN為等腰直角三角形，BNE45°.AMNE，BPMBNE45°. 命題點(diǎn)四：中心對(duì)稱的應(yīng)用【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的作法，在解題過程中，正確理解軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵.例7如圖，A，B，C是由三個(gè)相同的小正方形拼成的圖形，請(qǐng)你再添加一個(gè)同樣大

8、小的小正方形(要求新添加的小正方形與原小正方形至少有一邊重合)，使所得的新圖形分別為下列(1)(2)(3)題要求的圖形，請(qǐng)畫出示意圖(1)是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形(2)是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形(3)既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形解：(1)如圖，取其中一個(gè)涂色的小正方形，則構(gòu)成的圖形是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形(2)如圖，取其中一個(gè)涂色的小正方形，則構(gòu)成的圖形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形(3)如圖，在右邊一個(gè)正方形上側(cè)畫一個(gè)正方形，則構(gòu)成的圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形例8圖、圖均為7×6的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C在格點(diǎn)上(1)在圖中確定格點(diǎn)D，并畫出以

9、A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形，使其為軸對(duì)稱圖形(畫一個(gè)即可)(2)在圖中確定格點(diǎn)E，并畫出以A，B，C，E為頂點(diǎn)的四邊形，使其為中心對(duì)稱圖形(畫一個(gè)即可)解：(1) (2)課后練習(xí)1在ABCD中，BAD的平分線AE 交BC于點(diǎn)E，且BE3，若ABCD的周長(zhǎng)是16，則EC的長(zhǎng)度是(A)A2 B3C4 D62在凸四邊形ABCD中，ABCD，且ABBCCDAD，則(C)AAD>BC BAD<BC CADBC DAD與BC的大小關(guān)系不能確定3如圖，在ABCD中，ABC75°，AFBC于點(diǎn)F，AF交BD于點(diǎn)E.若DE2AB，則AED的大小是(B)A60° B65°

10、; C70° D75°4(武漢市自主招生模擬題)如圖，在ABCD中，BC2AB，CEAB于點(diǎn)E，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，若AEF54°，則B等于 (D)A54° B60° C66° D72°5如圖，五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30°內(nèi)角的菱形EFGH(不重疊無(wú)縫隙)若四個(gè)平行四邊形面積的和為28 cm2，四邊形ABCD的面積是18 cm2，則四個(gè)平行四邊形周長(zhǎng)的總和為(B)A72 cm B64 cm C56 cm D48 cm6如圖，在五邊形ABCDE中，ABCAED90°，ABCDAEBCDE2，則五邊形ABCDE

11、的面積為(C)A2 B3 C4 D57如圖，在ABC中，ABAC，APQPQBBC，則A 20° .8如圖，OABC的頂點(diǎn)A，C分別在直線x1和x4上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則對(duì)角線OB長(zhǎng)的最小值為 5 .9在面積為15的ABCD中，過點(diǎn)A作AE直線BC于點(diǎn)E，作AF直線CD于點(diǎn)F，若AB5，BC6，則CECF的值為11或1.10如圖，在ABCD中，ABC60°，AEAD交BD于點(diǎn)E，若DE2DC，則DBC的大小是 20° .11(2019·吉林省“城市杯”初中數(shù)學(xué)應(yīng)用能力展示真題)如圖，在四邊形ABCD中，AC90°，ABAD，若這個(gè)四邊形的面積為1

12、6，則BCCD 8 .12如圖，在ABCD中，AEBC于點(diǎn)E，AFCD于點(diǎn)F，EAF45°，且AEAF2，求ABCD的周長(zhǎng)解：EAF45°，C360°AECAFCEAF135°.BD180°C45°.AEBE，AFDF.設(shè)AEx，則AF2x.在RtABE中，根據(jù)勾股定理，得ABx.同理可得AD(2x)4x.ABCD的周長(zhǎng)為2(ABAD)2(x4x)8.13如圖，一個(gè)凸六邊形的六個(gè)內(nèi)角都是120°，六條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，e，f，則下列等式中成立的是(C)Aabcdef Bacebdf Cabde Dacbd14如圖，在

13、ABCD中，ABBC8，B60°，P是AB上一點(diǎn)，BP3，Q是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形APQD沿直線PQ折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A.當(dāng)CA的長(zhǎng)度最小時(shí)，CQ的長(zhǎng)為是 7 .15在ABCD中，BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F.(1)在圖中，證明CECF.(2)若ABC90°，G是EF的中點(diǎn)(如圖)，直接寫出BDG的度數(shù)(3)若ABC120°，F(xiàn)GCE，F(xiàn)GCE，分別連結(jié)DB，DG(如圖)，求BDG的度數(shù)解：(1)AF平分BAD，BAFDAF.四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ABCDDAFCEF，BAFF.CEFF.CECF.(2)BDG45°.(3)如圖，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)H，使AHAD，連結(jié)DH，