冪級數(shù)的應(yīng)用

1、幕級數(shù)的應(yīng)用將函數(shù)展開成幕級數(shù)，從形式上看，好似把問題復(fù)雜化了，但是由于幕級數(shù)的前n項局部和是x的多項式，而多項式是最簡單的函數(shù)之一，因此用幕級數(shù)代 替某個函數(shù)，實 際上為函數(shù)的多項式逼近創(chuàng)造了條件。 正是由于這個原因，函數(shù) 的幕級數(shù)展開式有著應(yīng)泛 的應(yīng)用。一、函數(shù)值的近似計算禾U用函數(shù)的幕級數(shù)展開式可以近似計算函數(shù)值，即在展開式的收斂敬意上 以近似地利用這個級數(shù)按精確度要求計算出來.e,精確到小數(shù)第四位.n,令x 1，有例1計算常數(shù)解利用ex,函數(shù)值可n 0 n!n o n!12!13!n!假設(shè)取n 8，那么81n!1n!(n 1)!11n!(n 1)(n 2)(n 1)(n1)!17 7!

2、為到達這個精確度，可觀察余項1，故計算出1041 11 1 -2!3!18!2.7183.例2計算5 245精確到小數(shù)第四位.解因為52455 24353535 12355 245由于這是一個交錯級數(shù)，故其誤差可利用| rn | Un 1確定.取n 2，這時,3 23|r21177?2!52例3計算In 2的值，精確到小數(shù)第四位解如果利用ln(1 x)的展開式:In 2 ln(1 1)1 -2理論上可計算In 2,但這是一種“內(nèi)耗很大的交錯級數(shù)，其誤差不超過第項的值1n 1.欲使| rn |14，r104n至少要取9999項，這太麻煩了，n 1旳十需要去掉帶負號的項，故尋找收斂速度較快的級數(shù)來

3、代替4x4In(1 x) x減去In(1 x)其差是x 2，解出x,1 In 111代入上式，3x-2 x xIn 2231 1 1 1333 5 351 12n12n 13其誤差3 32n 3rn (x)2n 132n 11)32n 13234故得出2n(2n(2n1)32n4(2 n 1)3 2n 1這時In 27873211041 12 3 3 3A 57 i70.69311計算015 5!二、定積分的近似計算利用幕級數(shù)不僅可以計算一些函數(shù)的近似值，而且還可以計算一些定積分 的近似值，具體地說，如果被積函數(shù)在積分區(qū)間上能展開成幕級數(shù)，匹dx，精確到小數(shù)第四位.x幕級數(shù)逐項積分，用積分后的

4、級數(shù)就可計算出定積分的近似值由于|im匹1，因此所給積分不是廣義積分，如果定義輕在 x 0x處的值為 1,那么它在積分區(qū)間那么把這個0,1上連續(xù).由于業(yè)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)利用正弦函數(shù)的展開式si nx3!51，兩邊同除以x,得到表示，因此需要通過幕級數(shù)展開式來計算-4x5!sin x再逐項積分x10.94611 .sin4x1dxdx0 x01 3x . dx 0 3!3 3!4x . dx0 5.?13 3!15!7!這是收斂的交錯級數(shù)，其誤差I(lǐng) rn |3，有1Un 1 ,3x5xi .sinx i / dx 10 x計算1 I弋20 x2解 易見e$的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，因此考

5、慮用幕級數(shù)展開式計n!2，得e0 n!n 2n(1)x故有21 xe 2dx0 02x4 x6Xdx-2 2!2233!23dx1122! 253!23 71113取前四項的和作為近似值，誤差為故得出x22 dx24!24 91031 丄403360.3412以上例題說明，幕級數(shù)在函數(shù)值及定積分的近似計算中有著廣泛應(yīng)用對于用幕級數(shù)近似計算函數(shù)值，其思路和以前學(xué)過的用微分近似公式或泰勒公式近似求值的思路相似.對于用幕級數(shù)近似計算定積分，特別是在某些被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示時，便顯示出幕級數(shù)方法的優(yōu)越性 .利用幕級數(shù)進行近似計算的重要一步是根據(jù)精確度要求確定展開式的項數(shù)n .這可通過估計

6、余項rn的誤差得到：一種方法是將余項式子的各項放大，使之 成為幾何級 數(shù)，從而利用幾何級數(shù)的和來確定 n值如例1,例3，另一種方法 是利用收斂的交錯 級數(shù)的特點：|rn | Uni，由此來確定n值如例2,例4,例5).、歐拉公式最后應(yīng)用復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)的幕級數(shù)展開式形 說明數(shù)學(xué)中重要的歐拉公式的在復(fù)變量的理論中，我們定義指數(shù)函數(shù)ez z為復(fù)變量為23n Zz z_z1! 2!3!n!成與推導(dǎo)過程當(dāng)z xi時，上式成為|z|，即z屬于整個復(fù)平面exidxi11!(xi)22!(xi)3(xi)n n!3!注意到i21, i3 4 5i,i1, i i,從而xi24 x6 x3 x5 x7 xex1 -2!4!6!3! x5!7!cosx i sin x(1)即有exi cosx isinx把上式x換成x，又有xi?e cosx isinxxixie e2cosx將(1)(2)兩式兩邊相減且同除以 21，得xixie e2i將兩式兩邊相加且同除以 2,得上述的一都稱為歐拉公式，它們建立了實三角函數(shù)和復(fù)指函數(shù)之間的聯(lián)系在中，取x，可得克萊茵(Klei n,1849-1925,德國)認為，這是數(shù)學(xué)中最漂亮的公式之一 ？有人 把(5) 列為10個最優(yōu)美的數(shù)學(xué)定理之首，它把數(shù)學(xué)中最重要的5個數(shù)sin x1,用一個等式聯(lián)系起來，顯示了數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一美，(5)顯示了數(shù)學(xué)各領(lǐng)域之間很強的聯(lián)系且通