微分幾何期末1

1、2、空間曲線的形狀由曲率與撓率唯一確定. （）3、二階微分方程總表示曲面上兩族曲線. （×）4、連接曲面上兩點(diǎn)的所有曲線段中，測(cè)地線一定是最短的（×）5、坐標(biāo)曲線網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是，這里是第一基本量（）6、在空間曲線的非逗留點(diǎn)處，密切平面存在且唯一。 ( )7、空間曲線的曲率與撓率完全確定了空間曲線的形狀與位置。 ( × )8、在曲面的非臍點(diǎn)處，最多有二個(gè)漸近方向。 ( )9、LN-M2不是內(nèi)蘊(yùn)量。 ( × )10、高斯曲率恒為零的曲面一定是可展的。 ( )11、曲線=(s)為一般螺線的充要條件為(,)=0 （）12、主法向量正向總是指向曲線凹入的方

2、向。（）13、不存在兩條不同曲線,使得一條曲線的主法線都是另一曲線的主法線。（×）14、曲面上平點(diǎn)對(duì)應(yīng)的杜邦指標(biāo)線是一條直線。（×）15、每一個(gè)可展曲面或是柱面,或是錐面,或是一條曲線的切線曲面。（）16、橢圓的曲率和撓率特征為k=1,=0。(×)17、若曲線的所有切線都經(jīng)過定點(diǎn),則該曲線一定是直線. ()18、球面曲線的主法線必過球心（×）19、曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件為L(zhǎng)=N=0. (×)20、曲面上的漸進(jìn)網(wǎng)一定存在. （×）21、在光滑曲線的正常點(diǎn)處，切線存在而且唯一。 ()22、圓的曲率、撓率特征是：k=常數(shù)，=0

3、。 (×)23、在曲面的非臍點(diǎn)處，有且僅有二個(gè)主方向。 ()24、高斯曲率與第二基本形式有關(guān)，不是內(nèi)蘊(yùn)量。 (×) 25、曲面上連接兩點(diǎn)的最短線一定是測(cè)地線。 (×)26、在空間曲線的非逗留點(diǎn)處，密切平面存在且唯一。 ( )27、在曲面的非臍點(diǎn)處，有且僅有二個(gè)主方向。 ( )28、存在第一類基本量E=1，F(xiàn)=3，G=3的曲面。 ( )29、LN-M2是內(nèi)蘊(yùn)量。（）30、曲面上一定存在著曲率線網(wǎng)和漸近線網(wǎng) ( )31、保角變換一定是等距變換（´）32、空間曲線的位置和形狀由曲率與撓率唯一確定. （´）33、高斯曲率恒為零的曲面必是可展曲面. （&

4、#214;）34、測(cè)地曲率是內(nèi)蘊(yùn)量（Ö）35、曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件為L(zhǎng)=N=0. (×)36、曲面上曲率線網(wǎng)一定存在. ()37、存在第一類基本量E=1，F(xiàn)=-3，G=3的曲面 (×)38、高斯曲率與第二基本形式有關(guān)，不是內(nèi)蘊(yùn)量。 (×)39、曲面上的直線一定是測(cè)地線。 ()1、半徑為的圓的曲率為.2、曲面的坐標(biāo)曲線網(wǎng)正交的充要條件是F=0,3、坐標(biāo)曲線網(wǎng)成為曲率線網(wǎng)的充要條件是.4、在臍點(diǎn)處曲面的第一, 第二類基本量滿足_,5、使法曲率達(dá)到最大值和最小值的方向是主方向方向.6、向量函數(shù)r=r(t)具有固定長(zhǎng)的充要條件是。7、曲線r=r(

5、t)的撓率是。8、曲面上曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件L=N=0。9、直紋曲面的高斯曲率值滿足。10、球面上的測(cè)地線是大圓。11、曲線r=r(s)的曲率定義是。12、空間曲線為一般螺線的充要條件是它的副法向量_與一固定方向成定角_。13、曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件是M=0。14、坐標(biāo)網(wǎng)是漸近線網(wǎng)的充要條件是L=N=0。15、平面上的測(cè)地線一定是_直線_。16、當(dāng)曲線參數(shù)是自然參數(shù)時(shí)，它的一階導(dǎo)向量的長(zhǎng)度是_1_。17、螺旋線在點(diǎn)（1,0,0）處的單位切向量是_，法平面方程是_。18、設(shè)為曲面上曲線，點(diǎn)P在上，在P點(diǎn)的測(cè)地曲率為1，又在P點(diǎn)沿切方向的法曲率為2，則在P點(diǎn)的曲率為。19、曲

6、面的第一、二、三基本形式的關(guān)系是。20、向量函數(shù)平行于固定平面的充要條件是21、曲率是空間曲線的切向量對(duì)于弧長(zhǎng)的旋轉(zhuǎn)速度.22、以杜邦(Dupin)指標(biāo)線為分類標(biāo)準(zhǔn),曲面上的點(diǎn)分為橢圓點(diǎn),雙曲點(diǎn),拋物點(diǎn),平點(diǎn).23、曲面上一點(diǎn)的主曲率是曲面在這點(diǎn)所有方向的法曲率的最大值和最小值.24、曲面的第三基本形式是它的球面表示的第一基本形式. 25、若曲面和曲面等距，則的高斯曲率K=0。26、柱面的第一基本形式為。27、設(shè)若曲面上的曲線，若既是漸近線又是測(cè)地線，則是 直線。又若曲面上的曲線既是漸近線又是曲率線，則是平面曲線。28、曲面在點(diǎn)A（1，3，4）的切平面方程是。29、曲面上曲線的弧長(zhǎng)是_等距_不

7、變量。30、球極投影給出（除北極外）到平面的一個(gè)變換是_保角_變換。31、圓的曲率和撓率特征為k=大于零的常數(shù)_，=0_。32、曲率恒等于0的曲線是_直線_。33、在曲面上的任意點(diǎn)，主方向的數(shù)目總為_2_。34、已知，則，35、已知曲面，則它的第一基本形式為，第二基本形式為，高斯曲率，平均曲率，點(diǎn)處沿方向的法曲率，點(diǎn)處的兩個(gè)主曲率分別為1、已知空間正則參數(shù)曲線求基本向量.求的曲率和撓率. 答：2、求曲面z = axy上坐標(biāo)曲線x = x,y =的交角.解 ；曲面的向量表示為=x,y,axy, 坐標(biāo)曲線x = x的向量表示為= x,y,axy ，其切向量=0，1，ax；坐標(biāo)曲線y =的向量表示為

8、=x , ,ax，其切向量=1，0，a，設(shè)兩曲線x = x與y =的夾角為，則有cos = 3.求拋物面在原點(diǎn)處的主曲率、高斯曲率和平均曲率，并判斷原點(diǎn)是否為臍點(diǎn).解； 曲面方程即， ， 。在（0，0）點(diǎn),E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a . ，所以-4a+4=0 ，兩主曲率分別為 = 2 a , = 2 a ，所以，高斯曲率平均曲率H=(1/2)*(k1+k2)=2a 4、求曲線的曲率和撓率：解：因?yàn)?，所以?.確定螺旋面上的曲率線。解  對(duì)于正螺面，       &

9、#160;                           曲率線的方程為，                     

10、;   化簡(jiǎn)得     ，即     。  積分得。所求曲率線為，。    6.已知曲面的第一基本形式為，求坐標(biāo)曲線的測(cè)地曲率.解，                       u-線的測(cè)地曲率   

11、                             v-線的測(cè)地曲率        7、求曲面的漸近曲線.又8、 求曲線= t,t,t在原點(diǎn)的密切平面、法平面、從切面、切線、主法線、副法線。解 ；原點(diǎn)對(duì)應(yīng)t=0 ,(0)=+t,- t,+t=0,1,1，

12、2+ t,- t,2+t =2,0,2 ， 所以切線方程是  ，法面方程是 y + z = 0 ；密切平面方程是=0 ，即x+y-z=0 ，主法線的方程是  即 ；從切面方程是2x-y+z=0 ,副法線方程式9、 求曲面的漸近線.解：曲面的向量表示為,.漸近線的微分方程為,即一族為dy=0, 即,為常數(shù). 另一族為2ydx=-xdy, 即.10、求曲面上的曲率線的方程. 解 M=,N=0.代入曲率線的微分方程得所求曲率線的方程是: .11、將圓柱螺線=acost，asint，bt化為自然參數(shù)表示。解 = -a,asintco

13、st,b，s = ，所以，代入原方程得=a, a, 12、求雙曲面z=axy上的曲率線.解：，N=0 . 由=0得,積分得兩族曲率線為.13、求第一基本形式為的曲面高斯曲率 。 證： 因?yàn)?#160;，所以=-=4c 14、求曲線x=1+3t+2,y=2-2t+5,z=1-的撓率，并求出它所在的平面方程 。證=3+4t, -+10t,-2t，=4，10，-，  ，0，0曲線的撓率是，所以曲線為平面曲線。曲線所在平面是曲線在任一點(diǎn)的密切平面。對(duì)于=0,有 =,，=3, -,0，=4，10，-，  ，0，0。所以曲線的密切平面，即曲線所在平面是即2

14、x+3y+19z 27015、求三次曲線在點(diǎn)的切線和法平面。解 ，切線為，法平面為 。16、計(jì)算拋物面在原點(diǎn)的第一基本形式,第二基本形式.解 曲面的向量表示為, , E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,  I=,  II=17、求出拋物面在(0,0)點(diǎn)沿方向(dx:dy)的法曲率., ，,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率18、求正交網(wǎng)的坐標(biāo)曲線的測(cè)地曲率。解： 因?yàn)樽鴺?biāo)網(wǎng)是正交的，所以F=0，故，而對(duì)u-曲線來說，=0，故，對(duì)v-曲線來說，=&

15、#160;，所以19、在xoz 平面上去圓周y = 0,并令其繞軸旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)面,參數(shù)方程為=(b+acos)cos, (b+acos)sin, asin,求圓環(huán)面上的橢圓點(diǎn)、雙曲點(diǎn)、拋物點(diǎn)。解：E =, F= 0 , G=, L = a, M = 0, N = cos(b+acos),   LN -=a cos(b+acos) ,由于b > a > 0 , b+acos > 0,所以LN - 的符號(hào)與cos的符號(hào)一致,當(dāng)0<和 <<2時(shí),LN ->0 ,曲面上的點(diǎn)為橢圓點(diǎn)，即圓環(huán)面外側(cè)的點(diǎn)為橢圓點(diǎn)；當(dāng)-<&

16、lt;，曲面上的點(diǎn)為雙曲點(diǎn), 即圓環(huán)面內(nèi)側(cè)的點(diǎn)為雙曲點(diǎn)；當(dāng)=或 時(shí)，LN -=0，為拋物點(diǎn)，即圓環(huán)面上、下兩緯圓上的點(diǎn)為拋物點(diǎn)。20、求球面=上任意點(diǎn)的切平面和法線方程。解： ，=任意點(diǎn)的切平面方程為即xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ；法線方程為  21、設(shè)曲面的第一基本形式為I =，求它上面兩條曲線u + v = 0 ,uv = 0的交角。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一類基本量，曲線u + v = 0與u v = 0的交點(diǎn)為u = 0, v = 0,交點(diǎn)處的第一類基本量為，。曲線u + v = 0的方向

17、為du = -dv , u v = 0的方向?yàn)閡=v , 設(shè)兩曲線的夾角為，則有cos= 。22、求曲線在平面與y = 9a之間的弧長(zhǎng)。解：曲線的向量表示為，曲面與兩平面與y = 9a的交點(diǎn)分別為x=a 與x=3a ,，所求弧長(zhǎng)為23、求正螺面=ucosv,usinv,av上的測(cè)地線。解：易計(jì)算出E=1，F(xiàn)=0，G=，所以測(cè)地線的微分方程化為，對(duì)第一式積分得（常數(shù)）。于是，將此式代入第二式并積分，則得所求測(cè)地線為 24、在曲線x = coscost ,y = cossint , z = tsin的副法線的正向取單位長(zhǎng)，求其端點(diǎn)組成的新曲線的密切平面。 解： = -cossi

18、nt, coscost, sin  ,= -coscost,-cossint , 0 sinsint ,- sincost , cos 新曲線的方程為= coscost + sinsint，cossint- sincost，tsin + cos 對(duì)于新曲線=-cossint+sincost，coscost+sinsint，sin =sin(-t),cos(-t),sin , = -cos(-t), sin(-t),0 ,其密切平面的方程是25、求曲線的曲率k和撓率。解：因?yàn)椋?#160;   ，= 

19、60;                    26、求曲線的切線曲面的主曲率，平均曲率，曲率線方程。解：設(shè)曲線（s為弧長(zhǎng)參數(shù)）的切線曲面為，                      

20、60;                   則有，                               

21、;              ，                    E=1+，F(xiàn)=1，G=1，L=M=0 ，N=0             

22、60;                                          , H=       

23、0;                                                 

24、0;   曲率線方程為=0，即s=常數(shù)，或v=-s+c27、求曲面高斯曲率。解： 可得K=028、求曲面的漸近曲線.解 設(shè)則，因漸近曲線的微分方程為即或漸近曲線為或1、證明極小曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)或平點(diǎn).證：由H=0有=0或=-0 .若=0,則沿任意方向,=0 ,即對(duì)于任意的du:dv , ,所以有L=M=N=0,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為平點(diǎn).若=-0,則K=<0 ,即LN-M<0,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為雙曲點(diǎn).2、證明如果曲線的所有切線都經(jīng)過一的定點(diǎn)，則此曲線是直線。證：取定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建坐標(biāo)系，曲線的方程設(shè)為，則曲線在任意點(diǎn)的切線方程是，由條件切線都過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，可見，

25、所以具有固定方向，故是直線3、證明曲面=是可展曲面.證： 已知曲面方程可改寫為=+v，令=，=，則=+ v，且0，這是直紋面的方程 ，它滿足=0 ,所以所給曲面為可展曲面。4、證明不存在曲面，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1.證 ；若存在曲面滿足題設(shè)條件，則所給E,F,G,L,M,N 必須滿足在正交坐標(biāo)網(wǎng)下的GCM公式，但，所以不滿足高斯公式，故不存在滿足題設(shè)條件的曲面。5、證明曲面=cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v是可展曲面。證： 曲面的方程可改寫為=+ u，其中=cosv-vsinv,sinv+vcosv,2v，=-sinv,

26、cosv,1 ，易見0，所以曲面為直紋面，又因?yàn)?0，所以所給曲面為可展曲面6、 證明在曲面上的給定點(diǎn)處,沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù).證； 曲面上的給定點(diǎn)處兩主曲率分別為 、，任給一方向及與其正交的方向+，則這兩方向的法曲率分別為，即為常數(shù)。7、證明撓曲線(的曲線)的主法線曲面是不可展曲面.8、證明如果一條曲線的所有法平面包含常向量，那么這曲線是直線或平面曲線.證：設(shè)所給的常向量為，則。所以，兩邊對(duì)求微商得，即。若，則曲線是直線。若，則，于是，由于，所以有。由可知，從而，所以，即曲線為平面直線9、設(shè)在兩條曲線、的點(diǎn)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)的切線平行，證明它們?cè)趯?duì)

27、應(yīng)點(diǎn)的主法線以及副法線也互相平行。證設(shè)曲線：=與：點(diǎn)s與一一對(duì)應(yīng)，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線平行，則=, 兩端對(duì)s求微商得,即 ，(這里k0，若k=0，則無定義)，所以，即主法線平行，那么兩曲線的副法線也平行。10、設(shè)空間兩條曲線和的曲率處處不為零，若曲線和可以建立一一對(duì)應(yīng)，且在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的主法線互相平行，求證曲線和在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線夾固定角.解；設(shè) 則由知從而 ， 即這表明曲線和在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線夾固定角11、給出曲面上一條曲率線，設(shè)上每一點(diǎn)處的副法向量和曲面在該點(diǎn)的法向量成定角. 求證是一條平面曲線.證  ；設(shè)   ，其中是的自然參數(shù)，記，則，兩邊求導(dǎo)，得，

28、60;     由為曲率線知，即，因此 . 若，則為平面曲線；                               若，則因?yàn)榍嫔系囊粭l曲率線，故. 而，所以，即為常向量. 于是為平面曲線. 12、如果兩曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)有公共的副法線，則它們是

29、平面曲線。證 ：設(shè)一曲線為：，則另一曲線的表達(dá)式為： ，為曲線在點(diǎn)s的主法向量，也應(yīng)為在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的副法線的方向向量。與正交，即·，于是，為常數(shù)。，k（k）也與正交，即·-=0,而,所以有，曲線為平面曲線。同理曲線為平面曲線。13、求證：如果測(cè)地線同時(shí)為漸近線，則它是直線；證  因?yàn)樗o曲線是測(cè)地線，所以； 又因?yàn)樗o曲線是漸近線，所以，而 ，所以k=0，故所給曲線是直線。14、證明曲線為一般螺線的充要條件為，其中k0.曲線為一般螺線的充要條件為 為常數(shù),即=0,也是   。15、若曲線的主法線是曲線的副法線，的曲率、

30、撓率分別為，求證，其中是常數(shù)。證明：設(shè)曲線，曲線。在的主法線與在的副法線重合，則。于是有， ，。因?yàn)椋谑?，上式兩邊點(diǎn)乘，可得，從而是常數(shù)。設(shè)，則。上式兩邊對(duì)求微商，可得。上式兩邊點(diǎn)乘，可得，即    。16證明正螺面=vcosu,vsinu,au+b(a0)不是可展曲面。017、證明如果一條曲線的所有法平面包含常向量，那么曲線是直線或平面曲線。證：根據(jù)已知，若是常向量，則k=0 ，這時(shí)曲線是直線。否則在兩邊微分得·=，即k·=,所以·=，又因，所以，而為單位向量，所以可知為常向量，于是，即，此曲線為平面曲線。18、證明過原點(diǎn)平行于圓

31、柱螺線=a，a，bt的副法線的直線軌跡是錐面.證= -a,a,b ,  =-a,- a,0 ，×=為副法線的方向向量，過原點(diǎn)平行于副法線的直線的方程是 ，消去參數(shù)t得。19、證明：若曲面是（非平面）極小曲面，則該曲面有二族互相正交的漸近曲線。證：因?yàn)槭菢O小曲面，所以，為非平面，即有 則K<0,所以極小曲面上的點(diǎn)是雙曲點(diǎn)。必有兩族漸近曲線。設(shè)兩族漸近曲線主方向的交角為，則由歐拉公式有=           兩族漸近曲線正交20、 證明一條曲線

32、的所有切線不可能同時(shí)都是另一條曲線的切線證 設(shè)曲線與在對(duì)應(yīng)點(diǎn)有公共的切線，且的表達(dá)式為： ，則：，其切向量為k應(yīng)與平行，所以k，從而曲線為直線。同理曲線為直線，而且是與重合的直線。所以作為非直線的兩條不同的曲線不可能有公共的切線。  21、設(shè)非直線曲線和另一條曲線之間建立的一一對(duì)應(yīng)，使得在對(duì)應(yīng)點(diǎn)，曲線的切線是的主法線，證明是平面曲線。 解：設(shè)曲線：（s為弧長(zhǎng)參數(shù)）則為      兩邊對(duì)s求導(dǎo)有     （1）