微分方程穩(wěn)定性理論簡介

1、這里簡單介紹下面將要用到的有關內容：一、 一階方程的平衡點及穩(wěn)定性設有微分方程 （1）右端不顯含自變量t，代數(shù)方程 （2）的實根稱為方程（1）的平衡點（或奇點），它也是方程（1）的解（奇解）如果從所有可能的初始條件出發(fā)，方程（1）的解都滿足 （3）則稱平衡點是穩(wěn)定的（穩(wěn)定性理論中稱漸近穩(wěn)定）；否則，稱是不穩(wěn)定的（不漸近穩(wěn)定）。判斷平衡點是否穩(wěn)定通常有兩種方法，利用定義即（3）式稱間接法，不求方程（1）的解，因而不利用（3）式的方法稱直接法，下面介紹直接法。將在做泰勒展開，只取一次項，則方程（1）近似為： （4） （4）稱為（1）的近似線性方程。也是（4）的平衡點。關于平衡點的穩(wěn)定性有如下的結論

2、：若，則是方程（1）、（4）的穩(wěn)定的平衡點。若，則不是方程（1）、（4）的穩(wěn)定的平衡點對于方程（4）的穩(wěn)定性很容易由定義（3）證明，因為（4）的一般解是 （5）其中C是由初始條件決定的常數(shù)。二、 二階（平面）方程的平衡點和穩(wěn)定性方程的一般形式可用兩個一階方程表示為 （6）右端不顯含t，代數(shù)方程組 （7）的實根稱為方程（6）的平衡點。記為如果從所有可能的初始條件出發(fā)，方程（6）的解都滿足 （8）則稱平衡點是穩(wěn)定的（漸近穩(wěn)定）；否則，稱P0是不穩(wěn)定的（不漸近穩(wěn)定）。為了用直接法討論方法方程（6）的平衡點的穩(wěn)定性，先看線性常系數(shù)方程 （9）系數(shù)矩陣記作并假定A的行列式于是原點是方程（9）的唯一平衡點

3、，它的穩(wěn)定性由的特征方程的根（特征根）決定，上方程可以寫成更加明確的形式： （10）將特征根記作，則 （11）方程（9）的解一般有形式（）或（）為任意實數(shù)。由定義（8），當全為負數(shù)或有負的實部時是穩(wěn)定的平衡點，反之，當有一個為正數(shù)或有正的實部時是不穩(wěn)定的平衡點微分方程穩(wěn)定性理論將平衡點分為結點、焦點、鞍點、中心等類型，完全由特征根或相應的取值決定，下表簡明地給出了這些結果，表中最后一列指按照定義（8）式得下馬看花關于穩(wěn)定性的結論。表1 由特征方程決定的平衡點的類型和穩(wěn)定性平衡點類型穩(wěn)定性穩(wěn)定結點穩(wěn)定不穩(wěn)定結點不穩(wěn)定鞍點不穩(wěn)定穩(wěn)定退化結點穩(wěn)定不穩(wěn)定退化結點不穩(wěn)定穩(wěn)定焦點穩(wěn)定不穩(wěn)定焦點不穩(wěn)定中心不

4、穩(wěn)定 由上表可以看出，根據(jù)特征方程的系數(shù)的正負很容易判斷平衡點的穩(wěn)定性，準則如下：若 （12）則平衡點穩(wěn)定，若 （13）則平衡點不穩(wěn)定以上是對線性方程（9）的平衡點穩(wěn)定性的結論，對于一般的非線性方程（6），可以用近似線性方法判斷其平衡點的穩(wěn)定性，在點將和作泰勒展開，只取一次項，得（6）的近似線性方程 (14)系數(shù)矩陣記作特征方程系數(shù)為,顯然，點對于方程（14）的穩(wěn)定性由表1或準則（12）、（13）決定，而且已經證明了如下結論:若方程（14）的特征根不為零或實部不為零，則點對于方程（6）的穩(wěn)定性與對于近似方程（14）的穩(wěn)定性相同。這樣，點對于方程（6）的穩(wěn)定性也由準則（12）、（13）決定。第六

5、節(jié) 種群的相互競爭與相互依存當某個自然環(huán)境中只有一種生物的群體（生態(tài)學上稱為種群）生存時，人們常用Logistic模型來描述這個群數(shù)量的演變過程，即 (1)x（t）是種群在時刻t的數(shù)量，是固有增長率，N是環(huán)境資源容許的種群最大數(shù)量，在前面我們曾應用過這種模型，由方程（1）可以直接得到，=N是穩(wěn)定平衡點，即t時x(t)N，從模型本身的意義看這是明顯的結果。如果一個自然環(huán)境中有兩個或兩個以上種群生存，那么它們之間就要存在著或是相互競爭，或是相互依存，或是弱肉強食（食餌與捕食者）的關系。這里將從穩(wěn)定狀態(tài)的角度分別討論這些關系。一、種群的相互競爭當兩個種群為了爭奪有限的食物來源和生活空間而進行生存競爭

6、時，最常見的結局是競爭力較弱的種群滅絕，競爭力較強的種群達到環(huán)境容許的最大數(shù)量。人們今天可以看到自然界長期演變成的這樣的結局，例如一個小島上雖然有四種燕子棲息，但是它們的食物來源各不相同，一種只在陸地上覓食，另兩種分別在淺水的海灘上和離岸稍遠的海中捕魚，第四種則飛越寬闊的海面到遠方攫取海味，每一種燕子在它各自生存環(huán)境中的競爭力明顯地強于其它幾種，這里我們建立一個模型解釋類似的現(xiàn)象，并分析產生這種結局的條件。模型建立 有甲乙兩個種群，當它們獨自在一個自然環(huán)境中生存時，數(shù)量的演變均遵從Logistic規(guī)律，記是兩個種群的數(shù)量，是它們的固有增長率，N1、N2是它們的最大容量， 于是對于種群甲有 其中

7、因子反映由于甲方有限資源的消耗導致的對它本身增長的阻滯作用，可解釋為相對于N1而言單位數(shù)量的甲消耗的供養(yǎng)甲的食物量（設食物總量為1）。當兩個種群在同一自然環(huán)境中生存時，考察由于乙消耗同一種有限資源對甲的增長產生的影響，可以合理地在因子中再減去一項，該項與種群乙的數(shù)量（相對于N2而言）成正比，得到種群甲方增長的方程 (2)這里的意義是，單位數(shù)量乙（相對N2而言）消耗的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲（相對N1）消耗的供養(yǎng)甲的食物量的倍。類似地，甲的存在也影響了乙的增長，種群乙的方程應該是 (3)對可作相應的解釋。在兩種群的相互競爭中、是兩個關鍵指標，從上面對它們的解釋可知，1表示在消耗供養(yǎng)甲的資源中，

8、乙的消耗多于甲，因而對甲增長的阻滯作用乙大于甲，即乙的競爭力強于甲，對1可作相應的理解。一般地說，與之間沒有確定的關系，但是可以把下面這種特殊情況作為較常見的一類實際情況的典型代表，即兩個種群在消耗資源中對甲增長的阻作用對乙增長的阻滯作用相同，具體地說就是，因為單位數(shù)量的甲和乙消耗的供養(yǎng)甲方食物量之比是1：，消耗的供養(yǎng)甲方食物量之比是：1，所謂阻滯作用相同即 1：=：1，所以這種特殊情形可以定量地表示為=1 （4）即、互為倒數(shù)，可以簡單地理解為，如果一個乙消耗的食物是一個甲的=倍，則一個甲消耗的食物是一個乙的=1/。下面我們仍然討論、相互獨立的一般情況，而將條件（4）下對問題的分析留給大家討論

9、。穩(wěn)定性分析 為了研究兩個種群相互競爭的結局，即t時的趨向，不必要解方程（2）、（3）,只需對它的平衡點進行穩(wěn)定性分析。首先根據(jù)微分方程（2）、（3）解代數(shù)方程組 （5）得到4個平衡點：因為僅當平衡點們于平面坐標系的第一象限時（）才有實際意義，所以對而言要求、同時小于1，或同時大于1。按照判斷平衡點性的方法（見前面）計算將4個平衡點p、q的結果及穩(wěn)定條件列入下表*）表1 種群競爭模型的平衡點及穩(wěn)定性平衡點pq穩(wěn)定條件不穩(wěn)定注：表中最后一列“穩(wěn)定條件”除了要求p>0,q>0以外，還有其他原因，見下面的具體分析。為了便于對平衡點P1、P2、P3的穩(wěn)定條件進行分析，在相平面上討論它們。在

10、代數(shù)方程組（5）中記對于、的不同取值范圍，直線=0和=0在相平面上的相對位置不同，下面給出它們的4種情況;并對這4種情況進行分析1、。由表1知對于有0，0，穩(wěn)定；的穩(wěn)定性還可以從t時相軌線的趨向來分析，圖1中 =0和 =0兩條直線將相平面（）劃分為3個區(qū)域：O（1）穩(wěn)定圖1 穩(wěn)定 (6) (7) (8)可以證明，不論軌線從哪個區(qū)域出發(fā)，t時都將趨向P1（N1，0）。若軌線從S1出發(fā)，由（6）可知隨著t的增加軌線向右上方運動，必然進入S2；若軌線從S2出發(fā)，由（7）可知軌線向右下方運動，那么它或者趨向點，或者進入S3，但是進入S3是不可能的，因為，如果設軌線在某時刻t1經直線=0進入S3，則(t

11、1)/=0,由方程（2）不難算出由（7）、（8）知0, 故，表明(t)在t1達到極小值，而這是不可能的，因為在S2中0,即(t)一直是增加的；若軌線從S3出發(fā)，由（8）可知軌線向左下方運動，那么它或者趨向點，或者進入S2，而進入S2后，根據(jù)上面的分析最終也將趨向。綜上分析可以畫出軌線示意圖（圖1），因為直線=0上d=0，所以在=0上軌線方向垂直于軸；在=0上d=0,軌線方向平行于軸。2、，類似的分析可知穩(wěn)定。O（2）穩(wěn)定圖2 穩(wěn)定3、，由表1知對于點0，0，故穩(wěn)定，對軌線趨勢的分析見圖3。O（3）穩(wěn)定圖3 穩(wěn)定4、，由表1知對于點0，故不穩(wěn)定（鞍點），軌線或者趨向，或者趨向，由軌線的初始位置決

12、定，示意圖見圖4，在這種情況下和都不能說是穩(wěn)定的，正因為這樣，所以穩(wěn)定（與初始條件無關）的條件需要加上，穩(wěn)定的條件加上。O（4）不穩(wěn)定圖4不穩(wěn)定結果解釋 根據(jù)建模過程中的含義，說明、點穩(wěn)定在生態(tài)上的意義。1、，意味著在對供養(yǎng)甲的資源的競爭中乙弱于甲，意味著在對供養(yǎng)乙的資源的競爭中甲強于乙，于是種群乙終滅絕，種群甲趨向最大容量，即趨向平衡點2、，情況與1正好的相反。3、，因為在競爭甲的資源中乙較弱，而在競爭乙的資源中甲較弱，于是可以達到一個雙方共存的穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，這是種群競爭中很少出現(xiàn)的情況。4、，請大家作出解釋。生態(tài)學中有一個競爭排斥原理；若兩個種群的單個成員消耗的資源差不多相同，而環(huán)境能承

13、受的種群甲的最大容量比種群乙大，那么種群乙終將滅亡，用本節(jié)的模型很容解釋這個原理。將方程（2）、（3）改寫為原理的兩個條件相當于從這3個式子顯然可得，這正是穩(wěn)定，即種群乙滅絕的條件。二、種群的相互依存自然界中處于同一環(huán)境下兩個種群相互依存而共生的現(xiàn)象是很普遍的，植物可以獨立生存。昆蟲的的授粉作用又可以提高植物的增長率，而以花粉為食物的昆蟲卻不能離開植物單獨存活，人類與人工飼養(yǎng)的牲畜之間也有類似的關系，這種共生現(xiàn)象可以描述如下。設種群甲可以獨立存在，按Logistic規(guī)律增長，種群乙為甲提供食物，有助于甲的增長，類似于前面的方程（2），種群甲的數(shù)量演變規(guī)律可以寫作（r1、N1、N2的意義同前）

14、(9)前面的號這里變成+號，表示乙不是消耗甲的資源而是為甲提供食物，的含義是:單位數(shù)量乙（相對于N2）提供的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲（相對于N1）消耗的供養(yǎng)甲食物量的倍。種群乙沒有甲的存在會滅亡，設其死亡率為r2，則乙單獨存在時有 (10)甲為乙提供食物，于是（2）式右端應加上甲對乙增長的促進作用，有 (11)顯然僅當時種群乙的數(shù)量才會增長，與此相同乙的增長又會受到自身的阻滯作用，所以93）式右端還要添加Logistic項，方程變?yōu)?(12)方程（9）、（12）構成相互依存現(xiàn)象的數(shù)學模型，下面利用平衡點的穩(wěn)定性分析，討論時間足夠長以后兩個種群的變化趨向。類似于前面的作法將方程（9）、（12）

15、的平衡點及其穩(wěn)定性分析的結果列入表2表2 種群依存模型的平衡點及穩(wěn)定性平衡點穩(wěn)定條件不穩(wěn)定顯然，點穩(wěn)定才表明兩個種群在同一環(huán)境里相互依存而共生，我們著重分析穩(wěn)定的條件。由的表達式容易看出，要使平衡點有實際意義，即位于相平面第一象限 ()，必須滿足下面兩個條件中的一個：而由表2中點的、可知，僅在條件下才是穩(wěn)定的（而在下是鞍點，不穩(wěn)定），圖5畫出了條件下相軌線的示意圖，其中,。直線和將相平面（）劃分為4個區(qū)域：；。從這4個區(qū)域中的正負不難看出其相軌線的趨向如圖5所示。O圖5 在條件A1下穩(wěn)定的相軌線 分析條件的實際意義，其關鍵部分是1，考慮到的含義，這表示種群甲要為乙提供足夠的食物維持其生長，而&