平行四邊形未知點的確定

1、一 引入：1平行四邊形的特征2注意點：判斷題目中的四邊形是不是確定，若給出的四邊形確定則無需分類討論二 新課1已知三點在圖形上確定第四點方法：分別將三條線段作為對角線，若無需寫出過程則直接用中點坐標(biāo)公式進(jìn)行求解，若需寫出證明過程可用幾何方法求解（三角形全等、三角形相似、勾股定理、點的對稱，平移等）例題1：（2013湘潭）如圖，在坐標(biāo)系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，A（1，0），B（0，2），拋物線y=x2+bx2的圖象過C點（1）求拋物線的解析式；（2）平移該拋物線的對稱軸所在直線l當(dāng)l移動到何處時，恰好將ABC的面積分為相等的兩部分？（3）點P是拋物線上一動點，

2、是否存在點P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由2. 已知兩點，在直線和拋物線上尋找第三、第四點構(gòu)造平行四邊形（1） 兩點在直線同側(cè)時方法：平移一邊尋找第三、第四兩點當(dāng)已知的兩點構(gòu)造的直線與坐標(biāo)軸垂直時，利用點的坐標(biāo)求出線段長，再根據(jù)線段長相等求解（與x軸垂直時，用上面的點減去下面的點，與y軸垂直時，用右面的點減去左面的點）例題2：如圖1，已知拋物線yx2bxc經(jīng)過A(0, 1)、B(4, 3)兩點 （1）求拋物線的解析式；（2）求tanABO的值；（3）過點B作BCx軸，垂足為C，在對稱軸的左側(cè)且平行于y軸的直線交線段AB于點N，交拋物線于點M，若四邊形M

3、NCB為平行四邊形，求點M的坐標(biāo)當(dāng)已知的兩點構(gòu)造的直線與坐標(biāo)軸不垂直時，利用中點坐標(biāo)公式構(gòu)造等式，進(jìn)而組成二元一次方程組，或未知點的縱坐標(biāo)與已知點縱坐標(biāo)的關(guān)系例3（2012山西）綜合與實踐：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+2x+3與x軸交于AB兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點（1）求直線AC的解析式及BD兩點的坐標(biāo)；（2）點P是x軸上一個動點，過P作直線lAC交拋物線于點Q，試探究：隨著P點的運動，在拋物線上是否存在點Q，使以點AP、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（3）請在直線AC上找一點M，使BDM的周長最小

4、，求出M點的坐標(biāo)（2） 兩點在直線異側(cè)時，分別將直線當(dāng)成邊和對角線進(jìn)行分類討論 如例4如圖，拋物線y=x2+bx+c的頂點為D（-1，-4），與y軸交于點C（0，-3），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）。（1） 求拋物線的解析式；（2）連接AC，CD，AD，試證明ACD為直角三角形；（3）若點E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點F，使以A，B，E，F(xiàn)為頂點的的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。三 練習(xí)題類型一：已知三個定點、一個動點的平行四邊形存在性問題1.已知拋物線與軸的一個交點為A(-1,0)，與y軸的正半軸交于點C直接寫出拋物線的

5、對稱軸，及拋物線與軸的另一個交點B的坐標(biāo)；當(dāng)點C在以AB為直徑的P上時，求拋物線的解析式；坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點,使得以點M和中拋物線上的三點A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在,請求出點的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由2、已知拋物線（）與軸相交于點，頂點為.直線分別與軸，軸相交于兩點，并且與直線相交于點.(1)填空：試用含的代數(shù)式分別表示點與的坐標(biāo)，則；(2)如圖，將沿軸翻折，若點的對應(yīng)點恰好落在拋物線上，與軸交于點，連結(jié)，求的值和四邊形的面積；(3)在拋物線（）上是否存在一點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.第（2）題xyBCODAMNNxy

6、BCOAMN備用圖類型2 已知兩個定點，再找兩個點構(gòu)成平行四邊形確定兩定點連接的線段為一邊，則兩動點連接的線段應(yīng)和已知邊平行且相等）3已知，如圖拋物線與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在B點左側(cè)。點B的坐標(biāo)為(1，0),OC=30B (1)求拋物線的解析式； (2)若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值： (3)若點E在x軸上，點P在拋物線上。是否存在以A、C、E、P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形?若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由兩定點連接的線段沒確定為平行四邊形的邊時，則這條線段可能為平行四邊形得邊或?qū)蔷€4如圖，拋物線與x軸交A、B兩點（A點在

7、B點左側(cè)），直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標(biāo)為2（1）求A、B 兩點的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；（3）點G拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由例題答案：例題1考點：二次函數(shù)綜合題分析：如解答圖所示：（1）首先構(gòu)造全等三角形AOBCDA，求出點C的坐標(biāo)；然后利用點C的坐標(biāo)求出拋物線的解析式；（2）首先求出直線BC與AC的解析式，設(shè)直線l與BC、AC交于點E、F，則可求出EF的

8、表達(dá)式；根據(jù)SCEF=SABC，列出方程求出直線l的解析式；（3）首先作出PACB，然后證明點P在拋物線上即可解答：解：（1）如答圖1所示，過點C作CDx軸于點D，則CAD+ACD=90°OBA+OAB=90°，OAB+CAD=90°，OAB=ACD，OBA=CAD在AOB與CDA中，AOBCDA（ASA）CD=OA=1，AD=OB=2，OD=OA+AD=3，C（3，1）點C（3，1）在拋物線y=x2+bx2上，1=×9+3b2，解得：b=拋物線的解析式為：y=x2x2（2）在RtAOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=SABC=AB2=設(shè)直線

9、BC的解析式為y=kx+b，B（0，2），C（3，1），解得k=，b=2，y=x+2同理求得直線AC的解析式為：y=x如答圖1所示，設(shè)直線l與BC、AC分別交于點E、F，則EF=（x+2）（x）=xCEF中，CE邊上的高h(yuǎn)=ODx=3x由題意得：SCEF=SABC，即：EFh=SABC，（x）（3x）=×，整理得：（3x）2=3，解得x=3或x=3+（不合題意，舍去），當(dāng)直線l解析式為x=3時，恰好將ABC的面積分為相等的兩部分（3）存在如答圖2所示，過點C作CGy軸于點G，則CG=OD=3，OG=1，BG=OBOG=1過點A作APBC，且AP=BC，連接BP，則四邊形PACB為平行

10、四邊形過點P作PHx軸于點H，則易證PAHBCG，PH=BG=1，AH=CG=3，OH=AHOA=2，P（2，1）拋物線解析式為：y=x2x2，當(dāng)x=2時，y=1，即點P在拋物線上存在符合條件的點P，點P的坐標(biāo)為（2，1）點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、全等三角形、平行四邊形、等腰直角三角形等知識點試題難度不大，但需要仔細(xì)分析，認(rèn)真計算例題2：滿分解答（1）將A(0, 1)、B(4, 3)分別代入yx2bxc，得解得，c1所以拋物線的解析式是（2）在RtBOC中，OC4，BC3，所以O(shè)B5如圖2，過點A作AHOB，垂足為H在RtAOH

11、中，OA1，所以 圖2所以， 在RtABH中，（3）直線AB的解析式為設(shè)點M的坐標(biāo)為，點N的坐標(biāo)為，那么當(dāng)四邊形MNCB是平行四邊形時，MNBC3解方程x24x3，得x1或x3因為x3在對稱軸的右側(cè)（如圖4），所以符合題意的點M的坐標(biāo)為（如圖3）圖3 圖4考點伸展第（3）題如果改為：點M是拋物線上的一個點，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標(biāo)那么求點M的坐標(biāo)要考慮兩種情況：MNyMyN或MNyNyM由yNyM4xx2，解方程x24x3，得（如圖5）所以符合題意的點M有4個：，圖5例題3解答：解：（1）當(dāng)y=0時，x2+2x+3=0，解得x

12、1=1，x2=3點A在點B的左側(cè)，AB的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0）當(dāng)x=0時，y=3C點的坐標(biāo)為（0，3）設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1（k10），則，解得，直線AC的解析式為y=3x+3y=x2+2x+3=（x1）2+4，頂點D的坐標(biāo)為（1，4） （2）拋物線上有三個這樣的點Q，當(dāng)點Q在Q1位置時，Q1的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點Q1的坐標(biāo)為（2，3）；當(dāng)點Q在點Q2位置時，點Q2的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點Q2坐標(biāo)為（1+，3）；當(dāng)點Q在Q3位置時，點Q3的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線解析式可得，點Q3的坐標(biāo)為（1，3）；綜上可得滿足題意的點Q有三個，分別為：Q1（2，3），Q2

13、（1+，3），Q3（1，3） （3）點B作BBAC于點F，使BF=BF，則B為點B關(guān)于直線AC 的對稱點連接BD交直線AC與點M，則點M為所求，過點B作BEx軸于點E1和2都是3的余角，1=2RtAOCRtAFB，由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，AC=，AB=4，BF=，BB=2BF=，由1=2可得RtAOCRtBEB，即BE=，BE=，OE=BEOB=3=B點的坐標(biāo)為（，）設(shè)直線BD的解析式為y=k2x+b2（k20），解得，直線B'D的解析式為：y=x+，聯(lián)立B'D與AC的直線解析式可得：，解得，M點的坐標(biāo)為（，）例題4解：（1）由

14、題意得解得：b=2，c=-3，則解析式為：y=x2+2x-3；（2）由題意結(jié)合圖形，則解析式為：y=x2+2x-3，解得x=1或x=-3，由題意點A（-3，0）， AC=，CD=，AD=，由AC2+CD2=AD2，所以ACD為直角三角形；（3）3，若AB為一邊，則EF平行且等于AB等于4，則E、F的縱坐標(biāo)相等，設(shè)F(X1,Y1)，則X1=-5 Y1=12或X1=3 Y1=12，若AB為對角線，則EF也為對角線，因E在對稱軸上，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對角線平分，所以只有頂點D符合。因此F點為（-5，12）或（3，12）或（-1，-4）練習(xí)題答案1.解：對稱軸是直線：，點B的坐標(biāo)是(3,

15、0) 2分說明：每寫對1個給1分，“直線”兩字沒寫不扣分如圖，連接PC，點A、B的坐標(biāo)分別是A(-1,0)、B (3,0)，AB4在RtPOC中，OPPAOA211，b3分當(dāng)時，4分5分存在6分理由：如圖，連接AC、BC設(shè)點M的坐標(biāo)為當(dāng)以AC或BC為對角線時，點M在x軸上方，此時CMAB，且CMAB由知，AB4，|x|4，x±4點M的坐標(biāo)為9分說明：少求一個點的坐標(biāo)扣1分當(dāng)以AB為對角線時，點M在x軸下方過M作MNAB于N，則MNBAOC90°四邊形AMBC是平行四邊形，ACMB，且ACMBCAOMBNAOCBNMBNAO1，MNCOOB3，0N312點M的坐標(biāo)為 12分說

16、明：求點M的坐標(biāo)時，用解直角三角形的方法或用先求直線解析式，然后求交點M的坐標(biāo)的方法均可，請參照給分綜上所述，坐標(biāo)平面內(nèi)存在點，使得以點A、B、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形其坐標(biāo)為說明：綜上所述不寫不扣分；如果開頭“存在”二字沒寫，但最后解答全部正確，不扣分。2.（1）.4分直線AM y= -X+a 與直線解方程組的得N坐標(biāo)（2）由題意得點與點關(guān)于軸對稱，將的坐標(biāo)代入得，（不合題意，舍去），.2分，點到軸的距離為3.，直線的解析式為，它與軸的交點為點到軸的距離為.2分（3）當(dāng)點在軸的左側(cè)時，若是平行四邊形，則平行且等于，把向上平移個單位得到，坐標(biāo)為，代入拋物線的解析式，得：（不舍題意，舍去

17、）， .2分當(dāng)點在軸的右側(cè)時，若是平行四邊形，則與互相平分，與關(guān)于原點對稱，將點坐標(biāo)代入拋物線解析式得：，（不合題意，舍去），2分存在這樣的點或，能使得以為頂點的四邊形是平行四邊形3.解：（1）對稱軸1分又OC=3OB=3，C（0，3）2分方法一：把B(1,0)、C(0，3)代入得： 解得：4分方法二：B（1，0），A(-4，0)可令 把C(0，-3)代入得：4分（2）方法一：過點D作DMy軸分別交線段AC和x軸于點M、N。 5分A(-4，0)，C(0，-3)設(shè)直線AC的解析式為代入求得：6分令，7分當(dāng)時，DM有最大值3此時四邊形ABCD面積有最大值。8分方法二：過點D作DQy軸于Q，過點C作

18、x軸交拋物線于，從圖象中可判斷當(dāng)D在下方的拋物線上運動時，四邊形ABCD才有最大值。則=5分令則7分當(dāng)時，四邊形ABCD面積有最大值。8分（3）如圖所示，討論：過點C作x軸交拋物線于點，過點作AC交x軸于點，此時四邊形為平行四邊形，9分C(0，-3)令得： 。14分4、（1）令y=0，解得或（1分）A（-1，0）B（3，0）；（1分）將C點的橫坐標(biāo)x=2代入得y=-3，C（2，-3）（1分）直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1 （2）設(shè)P點的橫坐標(biāo)為x（-1x2）（注：x的范圍不寫不扣分）則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，-x-1），（1分） E（1分）P點在E點的上方，PE=（2分）當(dāng)時，PE的最大值=（1分）（3）存在4個這樣的點F，當(dāng)AF為平行四邊形的邊時：當(dāng)AF為平行四邊形的對角線時：詳解題意得A(-1,0) B(3,0) C(2,-3) G(x,x²-2x-3) F(a,0)(1)AC AF都是邊. 四邊形ACGF, 則CGAF,則x²-2x-3=-3,得x