高二數(shù)學(xué)組合1(1)學(xué)習(xí)資料

1、高二數(shù)學(xué)組合1(1)3、排列數(shù)公式：)2( ) 1( nnnAnn 3 2 1nAnn！! )(! mnnAmn規(guī)定 0！=1) 1() 2( ) 1( +mnnnnAmn1全排列數(shù)（階乘）全排列數(shù)（階乘） 2階乘變形階乘變形 1!1,2!2,3!6,4!24,5!120,6!720,7!50402 !3 !( 3 )= 1 ! ,= 2( n + 1 ) != n !n!+ 123111112(5)-=,-=,11n-=n! (n+11!2!2! 2!3!3!)! (n+1)! !.n!nn,!,!113232121+ + + + !.n!nn!n,!,!1322221112+ + + +

2、+ + + + !.nn!n!n,!,! + + 122231124(1)、從甲、乙、丙、從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2名去名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，參加一項(xiàng)活動(dòng)，1名同學(xué)參加上午的活名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？種不同的選法？問題問題甲乙甲乙乙丙乙丙乙甲乙甲丙乙丙乙甲丙甲丙丙甲丙甲NoImage23A 從從3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2名，不同的選法有名，不同的選法有3種：種：甲、乙甲、乙 乙、丙乙、丙 丙、甲丙、甲 所選出的所選出的2名同學(xué)之間與名同學(xué)之間與無順序關(guān)系無順序關(guān)系，即甲、乙和乙、甲是同一種選法即甲、乙和乙、甲

3、是同一種選法 。 (2) 從甲、乙、丙從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2名去名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？ 從不在同一條直線上的三點(diǎn)從不在同一條直線上的三點(diǎn)A A、B B、C C中，中，每次取出兩個(gè)點(diǎn)作一條直線，問可以得到每次取出兩個(gè)點(diǎn)作一條直線，問可以得到幾條不同的直線？幾條不同的直線？ 根據(jù)直線的性質(zhì)，過任意兩點(diǎn)可以作根據(jù)直線的性質(zhì)，過任意兩點(diǎn)可以作一條直線，并且只能作一條直線，所以過一條直線，并且只能作一條直線，所以過 兩點(diǎn)只能連成一條直線，因此可以得到三兩點(diǎn)只能連成一條直線，因此可以得到三條直線：條直線：ABAB、BCBC、CACA，直線

4、，直線ABAB與與BABA直線是直線是一條直線，這也就是說，一條直線，這也就是說，“把兩點(diǎn)連成直把兩點(diǎn)連成直線線”時(shí)，時(shí)，不考慮點(diǎn)的順序不考慮點(diǎn)的順序 。 以上兩個(gè)引例所研究的問題是不同以上兩個(gè)引例所研究的問題是不同的，但是它們有數(shù)量上的共同點(diǎn)，即它的，但是它們有數(shù)量上的共同點(diǎn)，即它們的實(shí)質(zhì)都是：們的實(shí)質(zhì)都是： 從從3個(gè)不同的元素里每次取出個(gè)不同的元素里每次取出2個(gè)個(gè)元素，元素，不管怎樣的順序不管怎樣的順序并成一組，一并成一組，一共有多少不同的組？共有多少不同的組？ 一般地，從一般地，從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)個(gè)不同元素中取出

5、不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)個(gè)元素的一個(gè)組合組合。一、組合定義一、組合定義 排列與元素的順序有關(guān)，而組合與元素的排列與元素的順序有關(guān)，而組合與元素的順序無關(guān)，這是它的順序無關(guān)，這是它的 一般地，從一般地，從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素個(gè)元素并成一組并成一組，叫做從，叫做從n個(gè)不同元素中取個(gè)不同元素中取出出m個(gè)元素的一個(gè)個(gè)元素的一個(gè)組合。組合。組合定義組合定義思考思考: :排列與組合的概念，它們有什么共同點(diǎn)、排列與組合的概念，它們有什么共同點(diǎn)、 不同點(diǎn)？不同點(diǎn)？ 共同點(diǎn)共同點(diǎn):都要都要“從從n個(gè)不同元素中任取個(gè)不同元素中任取m個(gè)元個(gè)元素素” 不同點(diǎn)不同點(diǎn):對于所取出的元素，

6、排列要對于所取出的元素，排列要“按照一按照一定定的順序排成一列的順序排成一列”，而組合卻是，而組合卻是“不管怎樣的不管怎樣的順序并成一組順序并成一組”排列排列與元素的順序有關(guān)，與元素的順序有關(guān)，而而組合組合則與元素的順序無關(guān)則與元素的順序無關(guān) 一般地，從一般地，從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素個(gè)元素并成一組并成一組，叫做從，叫做從n個(gè)不同元素中取個(gè)不同元素中取出出m個(gè)元素的一個(gè)個(gè)元素的一個(gè)組合。組合。思考：思考：abab和和baba是幾個(gè)排列？幾個(gè)組合？是幾個(gè)排列？幾個(gè)組合？組合定義組合定義 如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，那么如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，那么不管它們順序如

7、何，都是不管它們順序如何，都是 當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同（即使當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同（即使只有一個(gè)元素不同），就是只有一個(gè)元素不同），就是判斷下列問題是組合問題還是排列問題判斷下列問題是組合問題還是排列問題? (1)設(shè)集合設(shè)集合A=a,b,c,d,e，則集合，則集合A的含有的含有3個(gè)個(gè)元素的子集有多少個(gè)元素的子集有多少個(gè)?(2)某鐵路線上有某鐵路線上有5個(gè)車站，則這條鐵路線上共個(gè)車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車票需準(zhǔn)備多少種車票? 有多少種不同的火車票價(jià)？有多少種不同的火車票價(jià)？組合組合問題問題排列排列問題問題(3)10名同學(xué)分為人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語兩個(gè)名同學(xué)分為人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和

8、英語兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，共有多少種分法學(xué)習(xí)小組，共有多少種分法?組合組合問題問題組合組合問題問題(4)10人聚會(huì)，見面后每兩人之間要握手相互人聚會(huì)，見面后每兩人之間要握手相互問候，共需握手多少次問候，共需握手多少次?組合組合問題問題(5)從從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)安排游覽個(gè)安排游覽,有多少種有多少種不同的方法不同的方法?組合組合問題問題(6)從從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)個(gè),并確定這并確定這2個(gè)風(fēng)景個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序點(diǎn)的游覽順序,有多少種不同的方法有多少種不同的方法?排列排列問題問題 排列、組合是不同的兩個(gè)事件，區(qū)分的辦排列、組合是不同的兩個(gè)事件，區(qū)分的辦法是首先弄清楚事件是什么

9、？區(qū)別的標(biāo)志是有法是首先弄清楚事件是什么？區(qū)別的標(biāo)志是有無順序，而區(qū)分有無順序的辦法是：把問題的無順序，而區(qū)分有無順序的辦法是：把問題的一個(gè)選擇結(jié)果一個(gè)選擇結(jié)果找出來，然后找出來，然后交換這個(gè)結(jié)果中任交換這個(gè)結(jié)果中任意兩個(gè)元素的位置意兩個(gè)元素的位置，看是否會(huì)產(chǎn)生，看是否會(huì)產(chǎn)生新的變化新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，為組合問題無新變化，即說明無順序，為組合問題練習(xí)：練習(xí)：在在4個(gè)不同元素個(gè)不同元素a、b、c、d中取出中取出2個(gè)，個(gè)，共有多少種不同的組合？請你寫出所有的組合。共有多少種不同的組合？請你寫出所有的組合。

10、ab ac ad bc bd cd 從從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取個(gè)不同元素中取出出m個(gè)元素的個(gè)元素的組合數(shù)組合數(shù)。用符號(hào)。用符號(hào) 表示表示mnC組合數(shù)定義組合數(shù)定義 是一個(gè)數(shù)，應(yīng)該把它與“組合”區(qū)別開來 mnC 由前面練習(xí)知由前面練習(xí)知（1）從）從3個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)個(gè)元素的組合數(shù)（2）從）從4個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)個(gè)元素的組合數(shù)思考：從思考：從4個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)個(gè)元素的組合數(shù)C43是多少？是多少？C32=3C4

11、2=6 由于從由于從4個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出3個(gè)的排列數(shù)個(gè)的排列數(shù)A43可以求得，我們可以考察一下可以求得，我們可以考察一下C43和和A43的關(guān)的關(guān)系。系。 從從4個(gè)不同元素個(gè)不同元素a、b、c、d中取出中取出3個(gè)元素個(gè)元素的組合與排列的關(guān)系如下：的組合與排列的關(guān)系如下：組合組合排列排列abcabc acb bac bca cab cbaabdabd adb bad bda dab dbaacdbcdacd adc cad cda dac dcabcd bdc cbd cdb dbc dcb 每一個(gè)組合都對應(yīng)著每一個(gè)組合都對應(yīng)著6個(gè)不同的排列，個(gè)不同的排列，因此，求從因此，求從4個(gè)不

12、同元素中取出個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素個(gè)元素的排列數(shù)的排列數(shù)A43，可以分為以下兩步：，可以分為以下兩步： 第一步，從第一步，從4個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的個(gè)元素的組合，組合， 共有共有C43（=4）個(gè)；）個(gè)； 第二步，對每一個(gè)組合中的第二步，對每一個(gè)組合中的3個(gè)不同元素作個(gè)不同元素作全排列，各有全排列，各有A33（=6）個(gè)。）個(gè)。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得333434ACA因此，因此，333434AAC 一般地，求從一般地，求從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元個(gè)元素的排列數(shù)素的排列數(shù)Anm，可分為以下，可分為以下2步：步： 第一步，從第一步，從n個(gè)不同元素

13、中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的個(gè)元素的組合數(shù)，共有組合數(shù)，共有Cnm個(gè)；個(gè)； 第二步，對每一個(gè)組合中的第二步，對每一個(gè)組合中的m個(gè)不同元素作個(gè)不同元素作全排列，各有全排列，各有Amm個(gè)。個(gè)。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得mmmnmnACA因此，因此，mmmnmnAAC!) 1()2)(1(mmnnnn+這里這里 Nmn,并且并且mn這個(gè)公式叫做這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式組合數(shù)公式組合數(shù)公式組合數(shù)公式(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm + + ( ,)n mNmn ，!()!mnnCm nm例例1、計(jì)算、計(jì)算（1）C74 ；（；（2）C107477 6 5 4(1):3

14、54!C 解71010 9 8 7 6 5 4(2):1207!C 解法一71010!10 9 8(2):1207! 3!3!C 解法二11mmnnmCCnm+ + + 例例 2 2、 求求 證證NoImage!()!mnnCm n m證明：證明：11mnmCnm+1!(1)!(1)!mnn mmn m+1!(1)! ()(1)!mnmn m n m+!()!nm nm11mmnnmCCnm+解：由題意可得：解：由題意可得：2x-3 x-1x+1 2x-3解得解得24x2x 或x=3或x=4當(dāng)當(dāng)x=2時(shí)，時(shí)， 原式的值為原式的值為4當(dāng)當(dāng)x=3時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)x=4時(shí)，時(shí)，原式的值為原式的值為7原式的值為原式的值為11所求的值為所求的值為4或或7或或11:,*x-12x-32x-3x+1練習(xí) 設(shè)xN 求C+C的值*xN練習(xí)2、甲，乙，丙，丁4個(gè)足球隊(duì)舉行單循環(huán)賽： （1）共需比賽多少場？列出各場比賽的雙方；（2）冠亞軍共有多少種可能？列出所有冠亞軍情況。解（1）共需分別為場比賽.6123424C甲、乙、丙、丁 乙、丙、丁丙、?。?）冠亞軍共有分別為種可能,123424A甲冠軍乙 丙 丁亞軍乙冠軍甲 丙 丁亞軍丙冠軍甲 乙 丁亞軍丁冠軍甲 乙 丙亞軍