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1、2010年和2011年高考中的全國新課標(biāo)卷中的第21題中的第步,由不等式恒成立來求參數(shù)的取值范圍問題,分析難度大,但用洛必達法則來處理卻可達到事半功倍的效果。洛必達法則簡介:法則1 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件:(1) 及; (2)在點a的去心鄰域內(nèi),f(x) 與g(x) 可導(dǎo)且g'(x)0; (3),那么 =。 法則2 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件:(1) 及; (2),f(x) 和g(x)在與上可導(dǎo),且g'(x)0; (3),那么 =。 法則3 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件:(1) 及; (2)在點a的去心鄰域內(nèi),f(x) 與g(x) 可導(dǎo)且g
2、'(x)0; (3),那么 =。利用洛必達法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點之一,在解題中應(yīng)注意: 將上面公式中的xa,x換成x+,x-,洛必達法則也成立。洛必達法則可處理,型。在著手求極限以前,首先要檢查是否滿足,型定式,否則濫用洛必達法則會出錯。當(dāng)不滿足三個前提條件時,就不能用洛必達法則,這時稱洛必達法則不適用,應(yīng)從另外途徑求極限。 若條件符合,洛必達法則可連續(xù)多次使用,直到求出極限為止。二高考題處理1.(2010年全國新課標(biāo)理)設(shè)函數(shù)。(1) 若,求的單調(diào)區(qū)間;(2) 若當(dāng)時,求的取值范圍原解:(1)時,.當(dāng)時,;當(dāng)時,.故在單調(diào)減少,在單調(diào)增加(II)由(I)知,當(dāng)且僅當(dāng),從而
3、當(dāng),即時,而,于是當(dāng)時,.由可得.從而當(dāng)時,故當(dāng)時,而,于是當(dāng)時,.綜合得的取值范圍為原解在處理第(II)時較難想到,現(xiàn)利用洛必達法則處理如下:另解:(II)當(dāng)時,對任意實數(shù)a,均在;當(dāng)時,等價于令(x>0),則,令,則,知在上為增函數(shù),;知在上為增函數(shù),;,g(x)在上為增函數(shù)。由洛必達法則知,故綜上,知a的取值范圍為。2(2011年全國新課標(biāo)理)已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為。()求、的值;()如果當(dāng),且時,求的取值范圍。原解:()由于直線的斜率為,且過點,故即解得,。()由()知,所以??紤]函數(shù),則。(i)設(shè),由知,當(dāng)時,h(x)遞減。而故當(dāng)時,可得;當(dāng)x(1,+)時,h(x)&
4、lt;0,可得 h(x)>0從而當(dāng)x>0,且x1時,f(x)-(+)>0,即f(x)>+.(ii)設(shè)0<k<1.由于=的圖像開口向下,且,對稱軸x=.當(dāng)x(1,)時,(k-1)(x2 +1)+2x>0,故 (x)>0,而h(1)=0,故當(dāng)x(1,)時,h(x)>0,可得h(x)<0,與題設(shè)矛盾。(iii)設(shè)k1.此時,(x)>0,而h(1)=0,故當(dāng)x(1,+)時,h(x)>0,可得 h(x)<0,與題設(shè)矛盾。綜合得,k的取值范圍為(-,0原解在處理第(II)時非常難想到,現(xiàn)利用洛必達法則處理如下:另解:(II)由題設(shè)可得,當(dāng)時,k<恒成立。令g (x)=(),則,再令(),則,易知在上為增函數(shù),且;故當(dāng)時,當(dāng)x(1,+)時,;在上為減函數(shù),在上為增函數(shù);故>=0在上為增函數(shù)=0當(dāng)時,當(dāng)x(1,+)時,當(dāng)時,當(dāng)x(1,+)時,在上為減函數(shù),在上為增函數(shù)由洛必達法則知,即k的取值范圍為(-,0規(guī)律總結(jié):對恒成立問題中的求參
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