第九章第2講排列與組合

1、第 2 講排列與組合1排列與排列數(shù)公式(1)排列與排列數(shù)從 n 個不同元素中取出m（mn）個元素 按照一定的順序排成一列排列 所有不同排列的個數(shù)排列數(shù)(2)排列數(shù)公式Amnn(n1)(n2)(nm1)n?。╪m） ！(3)排列數(shù)的性質(zhì)Annn！ ；0！12組合與組合數(shù)公式(1)組合與組合數(shù)從 n 個不同元素中取出m（mn）個元素 合成一組組合 所有不同組合的個數(shù)組合數(shù)(2)組合數(shù)公式CmnAmnAmmn（n1） （n2）（nm1）m！n！m！ （nm） ！.(3)組合數(shù)的性質(zhì)C0n1；CmnCnmn；CmnCm1nCmn1做一做1某校一年級有 5 個班，二年級有 7 個班，三年級有 4 個班，

2、分年級舉行班與班之間的籃球單循環(huán)賽，共需進(jìn)行比賽的場數(shù)是()AC25C27C24BC25C27C24CA25A27A24DC216答案：A2用數(shù)字 1，2，3，4，5 組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為()A8B24C48D120答案：C1辨明兩個易誤點(diǎn)(1)易混淆排列與組合問題，區(qū)分的關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)，排列問題與順序有關(guān)，組合問題與順序無關(guān)(2)計算 Amn時易錯算為 n(n1)(n2)(nm)2排列與組合問題的識別方法識別方法排列若交換某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，即排列問題與選取元素順序有關(guān)組合若交換某兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即組合問題

3、與選取元素順序無關(guān)做一做3(2014高考大綱全國卷)有 6 名男醫(yī)生、5 名女醫(yī)生，從中選出 2 名男醫(yī)生、1 名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有()A60 種B70 種C75 種D150 種解析：選 C.由題意知，選 2 名男醫(yī)生、1 名女醫(yī)生的方法有 C26C1575(種)4在一展覽會上，要展出 5 件藝術(shù)作品，其中不同書法作品 2 件、不同繪畫作品 2 件、標(biāo)志性建筑設(shè)計 1 件，在展臺上將這 5 件作品排成一排，要求 2 件書法作品必須相鄰，2 件繪畫作品不能相鄰，則該次展出這 5 件作品不同的擺放方案共有_種(用數(shù)字作答)解析：將 2 件必須相鄰的書法作品看作一個整體，同 1

4、 件建筑設(shè)計展品全排列，再將 2件不能相鄰的繪畫作品插空，故共有 A22A22A2324(種)不同的展出方案答案：24考點(diǎn)一_排列應(yīng)用題_3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方案的方法種數(shù)(1)選其中 5 人排成一排；(2)排成前后兩排，前排 3 人，后排 4 人；(3)全體站成一排，男、女各站在一起；(4)全體站成一排，男生不能站在一起；(5)全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾解(1)問題即為從 7 個元素中選出 5 個全排列，有 A572 520(種)排法(2)前排 3 人，后排 4 人，相當(dāng)于排成一排，共有 A775 040(種)排法(3)相鄰問題(捆綁法)：男生必須

5、站在一起，是男生的全排列，有 A33種排法；女生必須站在一起，是女生的全排列，有 A44種排法；全體男生、女生各視為一個元素，有 A22種排法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有 NA33A44A22288(種)(4)不相鄰問題(插空法)：先安排女生共有 A44種排法，男生在 4 個女生隔成的五個空中安排共有 A35種排法，故 NA44A351 440(種)(5)先安排甲，從除去排頭和排尾的 5 個位中安排甲，有 A155(種)排法；再安排其他人，有 A66720(種)排法所以共有 A15A663 600(種)排法在本例條件下，求不同的排隊方案的方法種數(shù)：(1)甲不在中間也不在兩端；(2)甲、乙兩人必

6、須排在兩端解：(1)先排甲有 4 種，其余有 A66種，故共有 4A662 880(種)排法(2)先排甲、乙，再排其余 5 人，共有 A22A55240(種)排法規(guī)律方法求解排列應(yīng)用題的主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中先整體后局部“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價轉(zhuǎn)化的方法考點(diǎn)二_組合應(yīng)用題_要

7、從 5 名女生，7 名男生中選出 5 名代表，按下列要求，分別有多少種不同的選法？(1)至少有 1 名女生入選；(2)男生甲和女生乙入選；(3)男生甲、女生乙至少有一個人入選解(1)法一：至少有 1 名女生入選包括以下幾種情況：1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男，5 女由分類加法計數(shù)原理知總選法數(shù)為C15C47C25C37C35C27C45C17C55771(種)法二：“至少有 1 名女生入選”的反面是“全是男代表”可用間接法求解從 12 名人中任選 5 人有 C512種選法，其中全是男代表的選法有 C57種所以“至少有 1 名女生入選”的選法有 C512C5777

8、1(種)(2)男生甲和女生乙入選，即只要再從除男生甲和女生乙外的 10 人中任選 3 名即可，共有 C22C310120(種)選法(3)間接法：“男生甲、女生乙至少有一個人入選”的反面是“兩人都不入選”，即從其余 10 人中任選 5 人有 C510種選法，所以“男生甲、女生乙至少有一個人入選”的選法數(shù)為 C512C510540(種)在本例條件下，求至多有 2 名女生入選的選法種數(shù)解：至多有 2 名女生入選包括以下幾種情況：0 女 5 男，1 女 4 男，2 女 3 男，由分類加法計數(shù)原理知總選法數(shù)為C57C15C47C25C37546(種)規(guī)律方法解決組合類問題的方法：(1)“含有”或“不含有

9、”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取(2)“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解用直接法和間接法都可以求解通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理考點(diǎn)三_排列、組合的綜合應(yīng)用(高頻考點(diǎn))_排列與組合是高考命題的一個熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題高考對排列與組合綜合應(yīng)用題的考查主要有以下四個命題角度：(1)分配問題；(2)排列問題；(3)定位問題；(4)選派問題(1)(2014高考四川卷)六個人

10、從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有()A192 種B216 種C240 種D288 種(2)(2015蘭州市、張掖市聯(lián)合診斷)某校從 8 名教師中選派 4 名教師同時去 4 個邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地 1 人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有()A150 種B300 種C600 種D900 種(3)(2014高考北京卷)把 5 件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品 A 與產(chǎn)品 B 相鄰，且產(chǎn)品 A 與產(chǎn)品 C 不相鄰，則不同的擺法有_種解析(1)第一類：甲在最左端，有 A5554321120(種)方法；第二類：乙在最左端，有 4A444432

11、196(種)方法所以共有 12096216(種)方法(2)若甲去，則乙不去，丙去，再從剩余的 5 名教師中選 2 名，有 C25A44240 種方法；若甲不去，則丙不去，乙可去可不去，從 6 名教師中選 4 名，共有 C46A44360 種方法因此共有 600 種不同的選派方案(3)將產(chǎn)品 A 與 B 捆綁在一起，然后與其他三種產(chǎn)品進(jìn)行全排列，共有 A22A44種方法，將產(chǎn)品 A，B，C 捆綁在一起，且 A 在中間，然后與其他兩種產(chǎn)品進(jìn)行全排列，共有 A22A33種方法于是符合題意的排法共有 A22A44A22A3336(種)答案(1)B(2)C(3)36規(guī)律方法解排列組合問題要遵循兩個原則：

12、一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)(1)(2014高考遼寧卷)6 把椅子擺成一排，3 人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A144B120C72D24(2)(2015東北三校聯(lián)合模擬)一個五位自然數(shù) a1a2a3a4a5，ai0，1，2，3，4，5，i1，2，3，4，5，當(dāng)且僅當(dāng) a1a2a3，a3a4a5時稱為“凹數(shù)”(如 32 014，53 134 等)，則滿足條件的五位自然數(shù)中“凹數(shù)”的個數(shù)為()A110B137C145D146(3)將 6 名教師分到

13、 3 所中學(xué)任教，一所 1 名，一所 2 名，一所 3 名，則有_種不同的分法(4)(2015保定市調(diào)研考試)已知集合 M1，2，3，4，5，6，集合 A、B、C 為 M 的非空子集，若xA、yB、zC，xyz 恒成立，則稱“ABC”為集合 M 的一個“子集串”，則集合 M 的“子集串”共有_個解析：(1)插空法在已排好的三把椅子產(chǎn)生的 4 個空檔中選出 3 個插入 3 人即可故排法種數(shù)為 A3424.故選 D.(2)分四種情況進(jìn)行討論：a3是 0， a1和 a2有 C25種排法， a4和 a5有 C25種排法， 則五位自然數(shù)中“凹數(shù)”有 C25C25100 個； a3是 1， 有 C24C2

14、436 個； a3是 2， 有 C23C239 個； a3是 3， 有 C22C221 個 由分類加法計數(shù)原理知五位自然數(shù)中“凹數(shù)”共有 1003691146 個(3)將 6 名教師分組，分三步完成：第一步，在 6 名教師中任取 1 名作為一組，有 C16種取法；第二步，在余下的 5 名教師中任取 2 名作為一組，有 C25種取法；第三步，余下的 3 名教師作為一組，有 C33種取法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有 C16C25C3360 種取法再將這 3 組教師分配到 3 所中學(xué)，有 A336 種分法故共有 606360 種不同的分法(4)由題意可先分類，再分步：第一類，將 6 個元素全部取出來，

15、可分兩步進(jìn)行：第一步，取出元素，有 C66種取法，第二步，分成三組，共 C25種分法，所以共有 C66C25個子集串；第二類，從 6 個元素中取出 5 個元素，共 C56種取法，然后將這 5 個元素分成三組共C24種分法，所以共有 C56C24個子集串；同理含 4 個元素的子集串?dāng)?shù)為 C46C23；含 3 個元素的子集串?dāng)?shù)為 C36C22.集合 M 的子集串共 C66C25C56C24C46C23C36C22111 個答案：(1)D(2)D(3)360(4)111方法思想分類討論思想求解排列、組合問題(2014高考重慶卷)某次聯(lián)歡會要安排 3 個歌舞類節(jié)目， 2 個小品類節(jié)目和1 個相聲類節(jié)目

16、的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A72B120C144D168解析解決該問題分為兩類：第一類分兩步，先排歌舞類 A33，然后利用插空法將剩余3 個節(jié)目排入左邊或右邊 3 個空，故不同排法有 A332A3372.第二類也分兩步，先排歌舞類A33，然后將剩余 3 個節(jié)目放入中間兩空排法有 C12A22A22，故不同的排法有 A33A22A22C1248，故共有 120 種不同排法，故選 B.答案B名師點(diǎn)評對于有附加條件的排列組合問題應(yīng)遵循兩個原則：一是按元素的性質(zhì)分類，二是按事件發(fā)生的過程分類本題在排歌舞類節(jié)目后再進(jìn)行分類，把剩余 3 個節(jié)目插入兩個空還是三個空1.航空母艦“遼寧艦”在

17、某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有 5 架殲15飛機(jī)準(zhǔn)備著艦如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦，而甲、丁兩機(jī)不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有()A12 種B16 種C24 種D36 種解析：選 D.當(dāng)甲排在邊上時，有 2A3312 種方法；當(dāng)甲不排在邊上時，有 12A2224 種方法，這樣一共有 122436 種不同的著艦方法2(2014高考浙江卷)在 8 張獎券中有一、二、三等獎各 1 張，其余 5 張無獎將這 8張獎券分配給 4 個人，每人 2 張，不同的獲獎情況有_種(用數(shù)字作答)解析：把 8 張獎券分 4 組有兩種分法，一種是分(一等獎，無獎)、(二等獎，無獎)、(三等獎，無獎)、(無獎，無獎)四

18、組，分給 4 人有 A44種分法；另一種是一組兩個獎，一組只有一個獎，另兩組無獎，共有 C23種分法，再分給 4 人有 C23A24種分法，所以不同獲獎情況種數(shù)為 A44C23A24243660.答案：601數(shù)列an共有六項，其中四項為 1，其余兩項各不相同，則滿足上述條件的數(shù)列an共有()A30 個B31 個C60 個D61 個解析： 選 A.在數(shù)列的六項中， 只要考慮兩個非 1 的項的位置， 即得不同數(shù)列， 共有 A2630 個不同的數(shù)列2(2015昆明市第一次摸底)從 4 部甲型和 5 部乙型手機(jī)中任意取出 3 部，其中至少要有甲型與乙型手機(jī)各 1 部，則不同取法共有()A35 種B70

19、 種C84 種D140 種解析：選 B.由題知不同取法有 C14C25C24C1570 種3(2015陜西西安檢測)某市擬從 4 個重點(diǎn)項目和 6 個一般項目中各選 2 個項目作為本年度要啟動的項目，則重點(diǎn)項目 A 和一般項目 B 至少有一個被選中的不同選法的種數(shù)是()A15B45C60D75解析：選 C.從 4 個重點(diǎn)項目和 6 個一般項目中各選 2 個項目作為本年度啟動的項目，所有的選法種數(shù)是 C24C2690.重點(diǎn)項目 A 和一般項目 B 都沒有被選中的選法種數(shù)是 C23C2530，故重點(diǎn)項目 A 和一般項目 B 至少有一個被選中的不同選法種數(shù)是 903060.4(2015福建三明調(diào)研)

20、將 A，B，C，D，E 排成一列，要求 A，B，C 在排列中順序為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，這樣的排列數(shù)有()A12 種B20 種C40 種D60 種解析：選 C.(排序一定用除法)五個元素沒有限制全排列數(shù)為 A55，由于要求 A，B，C 的次序一定(按 A，B，C 或 C，B，A)，故除以這三個元素的全排列 A33，可得A55A33240.5身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍(lán)色衣服的有一人，現(xiàn)將這五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法種數(shù)為()A24B28C36D48解析：選 D.穿紅色衣服的人相鄰的排法有 C14A22A3348 種，同理穿黃色

21、衣服的人相鄰的排法也有 48 種而紅色、黃色同時相鄰的有 A22A22A3324 種故穿相同顏色衣服的不相鄰的排法有 A552482448 種6C5nnC9nn1_解析：由組合數(shù)的定義得05nn09nn1，解之得 4n5，nN*，n4 或 n5.當(dāng) n4 時，原式C14C555，當(dāng) n5 時，原式C05C4616.答案：5 或 167(2015濰坊檢測)張、王兩家夫婦各帶 1 個小孩一起到動物園游玩，購票后排隊依次入園，為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個小孩一定要排在一起，則這 6 人的入園順序排法種數(shù)為_(用數(shù)字作答)解析：第一步：將兩位爸爸排在兩端有 2 種排法；第二步：將兩個小

22、孩視作一人與兩位媽媽任意排在中間的三個位置上有 A33種排法；第三步：將兩個小孩排序有 2 種排法故總的排法有 22A3324(種)答案：248(2015江蘇揚(yáng)州中學(xué)檢測)在三位正整數(shù)中，若十位數(shù)字小于個位和百位數(shù)字，則該數(shù)為“駝峰數(shù)” 比如：“102”“546”為“駝峰數(shù)”，由數(shù)字 1，2，3，4，5 這五個數(shù)字構(gòu)成的無重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”的十位上的數(shù)字之和為_解析：三位“駝峰數(shù)”中 1 在十位的有 A24個，2 在十位的有 A23個，3 在十位上的有A22個，所以所有三位“駝峰數(shù)”的十位上的數(shù)字之和為 121622330.答案：309男運(yùn)動員 6 名，女運(yùn)動員 4 名，其中男女隊長各 1

23、名，選派 5 人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運(yùn)動員 3 名，女運(yùn)動員 2 名；(2)至少有 1 名女運(yùn)動員解：(1)任選 3 名男運(yùn)動員，方法數(shù)為 C36，再選 2 名女運(yùn)動員，方法數(shù)為 C24，共有 C36C24120(種)方法(2)法一：至少 1 名女運(yùn)動員包括以下幾種情況：1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男，由分類加法計數(shù)原理可得總選法數(shù)為C14C46C24C36C34C26C44C16246(種)法二：“至少有 1 名女運(yùn)動員”的反面是“全是男運(yùn)動員”，因此用間接法求解，不同選法有 C510C56246(種)10從 1 到 9 的 9

24、個數(shù)字中取 3 個偶數(shù) 4 個奇數(shù)，試問：(1)能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？(2)上述七位數(shù)中，3 個偶數(shù)排在一起的有幾個？(3)(1)中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有幾個？解：(1)分三步完成：第一步，在 4 個偶數(shù)中取 3 個，有 C34種情況；第二步，在 5 個奇數(shù)中取 4 個，有 C45種情況；第三步，3 個偶數(shù)，4 個奇數(shù)進(jìn)行排列，有 A77種情況所以符合題意的七位數(shù)有 C34C45A77100 800(個)(2)上述七位數(shù)中，3 個偶數(shù)排在一起的有 C34C45A55A3314 400(個)(3)上述七位數(shù)中， 3 個偶數(shù)排在一起， 4 個奇數(shù)也排在一起的有 C

25、34C45A33A44A225 760(個)15 名志愿者分到 3 所學(xué)校支教，每個學(xué)校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有()A150 種B180 種C200 種D280 種解析：選 A.依題意 5 個人分配到 3 個學(xué)校且每校至少去一個人，因此可將 5 人按人數(shù)分成 1，2，2 與 1，1，3 兩種，當(dāng)人數(shù)是 1，2，2 時，有C15C24C22A22A3390(種)當(dāng)人數(shù)是 1，1，3 時，則有C15C14C33A22A3360(種)，因此共有 9060150(種)2(2015浙江溫州十校聯(lián)考)任取三個互不相等的正整數(shù)，其和小于 100，則由這三個數(shù)構(gòu)成的不同的等差數(shù)列共有()A528

26、 個B1 056 個C1 584 個D4 851 個解析：選 B.先確定等差數(shù)列的中間項，再確定第一、三項設(shè)這三個成等差數(shù)列的數(shù)分別為 a，b，c.由題意得 abc100，即 3b100，得 b 可以取 2，3，33，共 32 個數(shù)第一類，b2 時，a，c 的取值共有 2 個(a1，c3 和 a3，c1，對應(yīng)的是兩個數(shù)列)；第二類，b3 時，a，c 的取值共有 4 個；第三十二類，b33 時，a，c 的取值共有 64 個根據(jù)分類加法計數(shù)原理，可得滿足題意的數(shù)列共有 24641 056 個3甲、乙、丙 3 人站到共有 7 級的臺階上，若每級臺階最多站 2 人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是_(用數(shù)字作答)解析：3 個人各站一級臺階有 A37210(種)站