概率論與數(shù)學(xué)建模

1、第六章 概率論與數(shù)學(xué)建模一、隨機(jī)事件及其概率1.隨機(jī)事件：可重復(fù)；可預(yù)測結(jié)果且結(jié)果明確；試驗(yàn)前出現(xiàn)那個(gè)結(jié)果不能確定例如：拋骰子一次，拋一枚硬幣三次等。2.事件的運(yùn)算及其含義：A為B的子事件。其含義是：A發(fā)生則B必發(fā)生：事件A，B相等。其含義是：A發(fā)生則B必發(fā)生，反之亦然：事件A與B的交。其含義是：C發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A，B同時(shí)發(fā)生：事件A與B的并（和）。其含義是：C發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A，B中至少有一個(gè)發(fā)生。：事件A與B的差。其含義是：C發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生并且B不發(fā)生。：事件A與B互不相容。其含義是：A與B不可能同時(shí)發(fā)生。：事件A的對立事件。3.概率：刻化某一事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標(biāo)。 (

2、當(dāng)時(shí)，) 4.古典概論：某個(gè)試驗(yàn)共有n個(gè)等可能的結(jié)果（樣本點(diǎn)），事件A包含其中m個(gè)結(jié)果（樣本點(diǎn)），則認(rèn)為就是事件A的概率。這種基于等可能性確定概率的模型稱為古典概率模型。例6.1.1（Monte Hall Problem）20世紀(jì)60，70年代，美國“電視游戲秀”曾經(jīng)非常流行一個(gè)名叫“Lets Make a Deal”的節(jié)目，由Monte Hall 主持。游戲過程如下：有三扇關(guān)著的門，其中一扇門后面有獎品（一輛汽車），其余兩扇門后面則沒有獎品，若猜中了有獎品的門就能贏取這輛汽車。你從中挑選一扇門，但暫不打開。這時(shí)，主持人在另外兩扇門中挑一個(gè)沒有獎品的門打開，并展示給你和觀眾。然后，主持人問你：

3、是堅(jiān)持原來的選擇，還是換成最后那扇門？解：從能不能得獎的角度看，這個(gè)游戲只有兩個(gè)結(jié)果：不換門得獎（A）、換門能得獎（B）。第一個(gè)門是你“三選一”隨機(jī)（等可能地）挑選的，故P(A)=1/3,自然，另一個(gè)結(jié)果的概率就是P(B)=2/3。因此，正確的決定是換成那扇門。例6.1.2（抽簽原理）袋中有2只紅球8只黑球（除顏色外無法再分辨）。10個(gè)人依次摸球，得紅球者中獎。求：第k個(gè)摸球者中獎的概率，k=1,2,10解法一：假定對解題者來說這些球可辨別。樣本點(diǎn)為一輪抽簽結(jié)束后這10個(gè)球的排列，共有10！個(gè)等可能的樣本點(diǎn)。事件所含樣本點(diǎn)的特征是：兩個(gè)紅球中任選一個(gè)排在第k位（有種可能），而其余9個(gè)球在其余9

4、個(gè)位置上可任意排列（有9！種可能）。因此包含了9！個(gè)樣本點(diǎn)，故.解法二：假定球不可辨，只需關(guān)注紅球落入哪兩個(gè)人之手，樣本空間共有個(gè)等可能的樣本點(diǎn)。事件發(fā)生意味著第k個(gè)人得一紅球，另一紅球落入其余9人中某一人之手，這有種可能，所以。例6.1.3（分球入盒模型）將2只球隨機(jī)地放入3個(gè)可辨的盒子中。求事件A=甲乙兩個(gè)盒子中各有一只球的概率。模型一：假定球可辨，根據(jù)乘法原理，樣本空間有個(gè)等可能的樣本點(diǎn)，而事件A所含的樣本點(diǎn)有個(gè)（兩只球的排列），所以.模型二：假定球不可辨，則樣本空間共有個(gè)樣本點(diǎn)（兩塊隔板就可以代表三個(gè)盒子，兩只球以及兩塊隔板共4個(gè)位置，任選其中兩個(gè)放置隔板）： 而事件A所含的樣本點(diǎn)只有

5、一個(gè)。人的直覺經(jīng)驗(yàn)一般應(yīng)該是這樣的：從物理學(xué)上說，球總是可辨的（難以想象這個(gè)球既是這個(gè)球又是那個(gè)球），所謂不可辨，也只是根據(jù)問題或研究的目的，不在乎它們之間的區(qū)別而已。如果需要，后三種情形還是可以區(qū)別的。因此，現(xiàn)在這6個(gè)樣本點(diǎn)不是等可能的：前三個(gè)均為，后三個(gè)均為。故答案應(yīng)該還是。例6.1.4（浦豐投針問題）在平面上畫一些間距為d的平行線，向此平面投擲一根長為l的（l<a）的針，試求A=此針能與某一直線相交的概率。 略。5.條件概率、乘法公式、獨(dú)立性、全概率公式、貝葉斯公式（1）條件概率：表示事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率。且 (2) 乘法公式：若，有.（3）獨(dú)立性：若,有或。則稱A、

6、B相互獨(dú)立。(4)全概率公式：設(shè)是S的一個(gè)分割，且，則對任一事件,有.條件全概率公式：設(shè)是S的一個(gè)分割，且，,則 例6.1.5（Polya模型）罐子里有r只紅球和b只黑球，隨機(jī)取出一球，放回后再加入同顏色的球c只。如此下去，求第n次取出紅球的概率。解：設(shè)=第n次取出的是紅球，=第n次取出的是黑球，n=1,2,.根據(jù)全概率公式，有 依次遞推，易知有。（5）貝葉斯公式：設(shè)是S的一個(gè)分割，且，則對概率大于零的事件，有 i=1,2,n例6.1.6一個(gè)從不抽煙的60歲男性去醫(yī)院看病，主訴有癥狀A(yù)=慢性咳嗽及非經(jīng)常性憋氣，醫(yī)生安排他做肺部活組織檢驗(yàn)，假定檢驗(yàn)只有三種可能的結(jié)果:=正常（沒有嚴(yán)重的肺?。?，=

7、肺癌，=結(jié)節(jié)病。假設(shè)醫(yī)生根據(jù)臨床經(jīng)驗(yàn)，得知這三種病與該組癥狀之間的關(guān)聯(lián)（條件概率）如下： ，另外，從疾病資料庫中“年齡-性別-抽煙”這個(gè)癥狀組合欄目可以找到，在60歲從不抽煙的男性群體中，患這三種病的先驗(yàn)概率（頻率）為 ，問：肺部活組織檢查前，醫(yī)生對該名男子應(yīng)該如何診斷？解：用貝葉斯公式，已知癥狀組合A,三種疾病的條件概率分別為 雖然結(jié)節(jié)病的先驗(yàn)概率0.009很小，但他患有結(jié)節(jié)病的后驗(yàn)概率卻高達(dá)0.8108.也就是說，雖然這組癥狀與兩種疾?。ǚ伟┖徒Y(jié)節(jié)?。┒急容^相符，但結(jié)合病人的年齡、性別和抽煙等情況綜合考慮，應(yīng)該診斷為結(jié)節(jié)病。下面舉一個(gè)綜合運(yùn)用加法公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式和獨(dú)立

8、性的例子。例6.1.7一個(gè)罪犯單獨(dú)作案，在現(xiàn)場留下了一些DNA信息。法醫(yī)研究后發(fā)現(xiàn)能夠辨別的只有5對，而且無罪的人也可能與此匹配，匹配的概率為。檢查官認(rèn)為罪犯就是該城鎮(zhèn)100萬居民之一。過去10年，該城鎮(zhèn)曾有包括瓊斯在內(nèi)的10000人蹲過監(jiān)獄，他們的DNA資料均記錄在案。在檢查對比這些DNA文檔之前，檢察官根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為有前科的人又犯罪的概率是沒有前科的人犯罪概率的k倍。實(shí)際的DNA對比結(jié)果是：瓊斯是唯一匹配的人。瓊斯有罪的概率是多少？解：設(shè)有前科者的犯罪概率為，無前科者的犯罪概率為，則。由于是單獨(dú)作案，某甲作案與某乙作案不相容，且必有一人作案，故，因此 ，記A=瓊斯是作案者，B=瓊斯是100

9、00人中唯一與現(xiàn)場留下的DNA信息匹配的人，則。我們要求的概率是,由貝葉斯公式 在10000個(gè)有前科的DNA對比試驗(yàn)中，每個(gè)人是否與現(xiàn)場DNA信息匹配是相互獨(dú)立的。這里我們必須再補(bǔ)充一個(gè)假設(shè)：DNA對比試驗(yàn)技術(shù)上完美無缺（即，事實(shí)上匹配的人，對比結(jié)果必然匹配，事實(shí)上不匹配的人，對比結(jié)果必然不匹配）。因此，在瓊斯是作案者（其他9999人都不是作案者）的前提下，瓊斯匹配而其他9999人都不匹配的概率應(yīng)該是 現(xiàn)來求.設(shè)=瓊斯以外的9999個(gè)有前科者這次都沒作案，根據(jù)條件全概率公式，有 顯然其中的 ，注意到，事件意為“該案是990000個(gè)沒有前科者之一所為”，故,即。于是 最終，我們得到 例如，若則新

10、的DNA證據(jù)表明瓊斯作案的概率為，若則瓊斯作案的概率為。二、隨機(jī)變量1.隨機(jī)變量的概念：2.常見的隨機(jī)變量：(1)泊松分布：實(shí)際應(yīng)用：一本書中一頁中的印刷錯(cuò)誤數(shù)。 （小概率事件）某地區(qū)在一天內(nèi)郵件遺失的信件數(shù)。 某一天內(nèi)醫(yī)院的急癥病人數(shù)。 某一地區(qū)一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù) 一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)某種放射性物質(zhì)發(fā)出的經(jīng)過計(jì)數(shù)器的粒子數(shù)等等(2)指數(shù)分布：其中為常數(shù) ，記為 特點(diǎn):無記憶性一個(gè)元件已經(jīng)使用了s小時(shí)，在此情形下，它總共能使用至少s+t小時(shí)的概率，與開始使用時(shí)算起它至少能使用t小時(shí)的概率相等，即元件對已使用過s小時(shí)無記憶。實(shí)際應(yīng)用：可靠性理論、排隊(duì)論，許多“等待時(shí)間”服從指數(shù)分布，一些

11、沒有明顯“衰老”跡象的機(jī)械元器件（如半導(dǎo)體元件）的壽命也可也用指數(shù)分布來描述(3)正態(tài)分布：，記為 圖6.1若，則此分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為。對于一般的正態(tài)分布，通?？梢赞D(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，這樣就可以直接查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表。定理：設(shè)，則，并且 證明：對任意的，有 這說明。于是，又有 圖6.2圖6.3“”原則：原則被實(shí)際工作者發(fā)現(xiàn),工業(yè)生產(chǎn)上用的控制圖和一些產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)都是根據(jù)3原則制定。學(xué)生的考分一般服從正態(tài)分布，為了避免因微小隨機(jī)差異而誤評學(xué)生的表現(xiàn)，很多國家將分?jǐn)?shù)（百分制）超過的評為A級，再以一個(gè)為單位，依次往下評定為B級、C級和D級，分?jǐn)?shù)低于的評為E級。例6.2.1設(shè)從甲地到乙地有兩條路可

12、供選擇。第一條路較短但交通比較擁堵，所需要的時(shí)間（分鐘）服從正態(tài)分布,第二條路較長但意外阻塞可能性較小，所需要的時(shí)間服從正態(tài)分布。（1）如果有70分鐘可用，宜選哪條路？（2）如果只有60分鐘可用，宜選哪條路？解：（1）走第一條路所需設(shè)為,，則70分鐘內(nèi)可以到達(dá)的概率為。走第二條路所需時(shí)間為，則70分鐘內(nèi)可以到達(dá)的概率為（2）假設(shè)同（1），則60分鐘內(nèi)可以到達(dá)的概率分別為 3.隨機(jī)變量的特征數(shù)（數(shù)字特征）：均值（期望）：方差：例6.2.2（分賭本問題）1654年，職業(yè)賭徒de Mere爵士（可能是歷史上最敬業(yè)的賭徒）向法國數(shù)學(xué)家Pascal提出一個(gè)困惑他已久的問題：甲乙二人賭技相同，各出賭資50

13、法郎，假定無平局，事前約定：誰先勝三局則拿走全部賭資100法郎。當(dāng)甲贏了二局、乙贏了一局時(shí)，因故要中止賭博。問：這100法郎要如何分才算公平？解：以下有兩種分法（1）甲得100法郎中的2/3，乙得100法郎中的1/3.這是基于已賭局?jǐn)?shù)：甲贏了二局、乙贏了一局。（2）帕斯卡提出如下的分法：設(shè)想再賭下去，則甲最終所得為一個(gè)隨機(jī)變量，其可能取值為0或100.再賭二局必可結(jié)束，其結(jié)果不外乎以下四種情況之一： 甲甲，甲乙，乙甲，乙乙其中“甲乙”表示第一局甲勝第二局乙勝。因?yàn)橘€技相同，所以在這四種情況中有三種可使甲獲100法郎，只有一種情況（乙乙）下甲獲0法郎。所以甲獲得100法郎的可能性為3/4，獲得0

14、法郎的可能性為1/4，即的分別列為 0 100 0.25 0.75經(jīng)上述分析，帕斯卡認(rèn)為，甲的“期望”所得應(yīng)為： 即甲得75法郎，乙得25法郎。這種分法不僅考慮了已賭局?jǐn)?shù)，而且還包含了對再賭下去的一種“期望”，它比（1）的分法更為合理。例6.2.3在一個(gè)人數(shù)很多的團(tuán)體中普查某種疾病，為此要抽驗(yàn)N個(gè)人的血，可以用兩種方法進(jìn)行。（1）將每個(gè)人的血分別去驗(yàn)，這就需驗(yàn)N次。（2）按K個(gè)人一組進(jìn)行分組，把從K個(gè)人抽來的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如果這混合血液呈陰性反應(yīng)，就生命K個(gè)人的血都呈陰性反應(yīng)，這樣，這K個(gè)人的血就只需驗(yàn)一次，若呈陽性，則再對這K個(gè)人的血液分別進(jìn)行化驗(yàn)，這樣，這K個(gè)人的血總共要化驗(yàn)K+1

15、次。假設(shè)每個(gè)人化驗(yàn)呈陽性的概率為，且這些人的試驗(yàn)反應(yīng)是相互獨(dú)立的，試說明當(dāng)較小的時(shí)，選取適當(dāng)?shù)腒，按第二種方法可以減少化驗(yàn)的次數(shù)，并說明K取什么值時(shí)最適宜。解 各人的血呈陰性反應(yīng)的概率為.因而K個(gè)人的混合血呈陰性反應(yīng)的概率為，K個(gè)人的混合血呈陽性反應(yīng)的概率為。設(shè)以K個(gè)人為一組時(shí)，組內(nèi)每人化驗(yàn)的次數(shù)為，則是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布率為 的數(shù)學(xué)期望為 N個(gè)人平均需化驗(yàn)的次數(shù)為由此可知，只要選擇K使 則N個(gè)人平均需化驗(yàn)的次數(shù)<N，當(dāng)固定時(shí)，我們選取K使得 小于1且渠道最小值，這時(shí)就能得到最好的分組方法。例如，=0.1，則=0.9，當(dāng)K=4時(shí)，L 取到最小值。此時(shí)得到最好的分組方法，若N=1000，

16、此時(shí)以K=4分組，則按第二種方法平均只需化驗(yàn) （次）這樣平均來說，可以減少40%的工作量。三.概率模型：（一）報(bào)童的訣竅模型問題：報(bào)童每天清晨從報(bào)社購進(jìn)報(bào)紙零售，晚上將沒有賣掉的報(bào)紙退回。設(shè)報(bào)紙每份的購進(jìn)價(jià)為b,零售價(jià)為a,退回價(jià)為c(a>b>c)。這就是說，報(bào)童售出一份報(bào)紙賺a-b，退回一份賠b-c。報(bào)童每天如果購進(jìn)的報(bào)紙?zhí)?，不夠賣的，會少賺錢；如果購進(jìn)太多，賣不完，將要賠錢。請你為報(bào)童籌劃一下，他應(yīng)如何確定每天購進(jìn)報(bào)紙的數(shù)量，以獲得最大的收入。分析：需求量是隨機(jī)的，假定報(bào)童已經(jīng)掌握了需求量的隨機(jī)規(guī)律，即在他的銷售范圍內(nèi)每天報(bào)紙的需求量為r份的概率是。有了和a,b,c，就可以建

17、立關(guān)于購進(jìn)量的優(yōu)化模型了。因?yàn)樾枨罅縭是隨機(jī)的，致使報(bào)童每天的收入也是隨機(jī)的，所以作為優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)，應(yīng)該是他長期賣報(bào)的日平均收入，即每天收入的期望值。模型建立與求解：假設(shè)每天購進(jìn)量為n份，則每天的收入為 于是每天購進(jìn)n份報(bào)紙時(shí)的平均收入為 （6.2.1）問題歸結(jié)為：在和a,b,c已知時(shí)，求使最大。通常需求量r的取值和購進(jìn)量都相當(dāng)大，將r近似地看成連續(xù)變量更便于分析和計(jì)算，這時(shí)概率轉(zhuǎn)化為概率密度，式（6.2.1）變成 （6.2.2）計(jì)算 令，得到 （6.2.3）使報(bào)童日平均收入達(dá)到最大的購進(jìn)量應(yīng)滿足（6.2.3）。因?yàn)椋允剑?.2.3）又可表為 （6.2.4）根據(jù)需求量的概率密度的圖形

18、很容易從式（6.2.3）或（6.2.4）確定購進(jìn)量。 圖6.4在上圖中用和分別表示曲線下的兩塊面積，則式（6.2.3）可記作 因?yàn)楫?dāng)購進(jìn)份報(bào)紙時(shí)，是需求量不超過時(shí)的概率，即賣不完的概率，是需求量超過的概率，即賣完的概率，所以式（6.2.3）表明，購進(jìn)的份數(shù)應(yīng)該使賣不完與賣完的概率之比，恰好等于賣出一份賺的錢a-b與退回一份賠的錢b-c之比。顯然，當(dāng)報(bào)童與報(bào)社簽訂的合同使報(bào)童每份賺錢與賠錢之比越大時(shí)，報(bào)童購進(jìn)的份數(shù)就應(yīng)該越多。（二）蔬菜銷售的最優(yōu)訂購量問題問題：某超市蔬菜部在一時(shí)期內(nèi)每天訂購幾種蔬菜銷售，現(xiàn)考慮其中一種蔬菜的銷售利潤問題。設(shè)這種蔬菜每千克批進(jìn)價(jià)為元，零售價(jià)為；若賣不完就在當(dāng)天以每

19、千克元處理掉。這里，；對這種蔬菜每天需支付運(yùn)費(fèi)和行政費(fèi)元。試制訂一個(gè)使得銷售該種蔬菜平均每天利潤達(dá)到最大的最優(yōu)方案，進(jìn)而求出這個(gè)最大平均利潤。問題分析：運(yùn)用數(shù)學(xué)建模方法解決這一問題時(shí)，要抓住以下三個(gè)要點(diǎn)：一是超市蔬菜部每天銷售這種蔬菜的數(shù)量是一個(gè)隨機(jī)變量，因此每天銷售這種蔬菜的利潤也是一個(gè)隨機(jī)變量，顯然后者是前者的函數(shù)，必須根據(jù)問題所提供的信息將這一關(guān)系式列舉出來；二是每天的訂購量必須適當(dāng)，既不能太少，否則供不應(yīng)求，并將會減少收益，也不能太多，否則當(dāng)天因賣不完以較低的價(jià)格處理掉將會影響收益。既然每天銷售這種蔬菜的利潤是一個(gè)隨機(jī)變量，所以作為優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)，不能是每天的利潤，而應(yīng)考慮每天利潤

20、的統(tǒng)計(jì)平均值，即數(shù)學(xué)期望；三是所要求的制訂使得銷售該種蔬菜平均每天利潤達(dá)到最大的最優(yōu)訂購方案是數(shù)學(xué)上的最值問題。模型假設(shè)：為便于在數(shù)學(xué)上建模處理，需作如下假設(shè)：（1）蔬菜批發(fā)市場每天有足夠的這種蔬菜可供超市蔬菜部批進(jìn)；（2）蔬菜部除了支付批進(jìn)這種蔬菜所需的成本費(fèi)用外，其他有關(guān)費(fèi)用已考慮在零售價(jià)之中，不另計(jì)算；（3）記（單位：千克）為在一段時(shí)期內(nèi)，市場上每天對該超市銷售這種蔬菜的需求量，（單位：元）為蔬菜部每天銷售這種蔬菜的利潤，為研究作為的函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性，必須知道的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。假設(shè)蔬菜部已通過長期的銷售經(jīng)驗(yàn)或其他渠道掌握了市場在這段時(shí)期內(nèi)其的概率分布可以近似地用概率密度函數(shù) 刻畫。模型建立：設(shè)

21、在一段時(shí)期內(nèi)，超市蔬菜部每天對這種蔬菜的訂購量為（單位：千克），則由于銷售利潤等于銷售收入減去銷售成本，于是作為的函數(shù)。其表達(dá)式為 此問題的目標(biāo)函數(shù)為每天銷售這種蔬菜的平均利潤，即的數(shù)學(xué)期望是的函數(shù)，記為。利用連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望求法，有 化簡，得 問題歸結(jié)為求使得達(dá)最大的值。模型求解 為求得上式的最大值，將上式對求導(dǎo)，得 令，解得唯一穩(wěn)定點(diǎn)滿足 即注意到的分布函數(shù)單調(diào)遞增，于是得 由于 故使得平均利潤達(dá)最大值的最優(yōu)訂購量由給出。進(jìn)而，最大平均利潤為 （三）軋鋼中的浪費(fèi)模型：問題：將粗大的鋼坯制成合格的鋼材需要兩道工序：粗軋（熱軋），形成剛才的雛形；精軋（冷軋），得到規(guī)定長度的成品材料

22、。由于受到環(huán)境、技術(shù)等因素的影響，得到鋼材的長度是隨機(jī)的，大體上呈正態(tài)分布，其均值可以通過調(diào)整軋機(jī)設(shè)定，而均方差是由設(shè)備的精度決定，不能隨意改變。如果粗軋后的鋼材長度大于規(guī)定長度，精軋時(shí)要把多余的部分切除，造成浪費(fèi)；而如果粗軋后的鋼材長度小于規(guī)定長度，則造成整根鋼材浪費(fèi)。如何調(diào)整軋機(jī)使得最終的浪費(fèi)最小。（1） 問題概述：成品材料的規(guī)定長度已知為，粗軋后的鋼材長度的標(biāo)準(zhǔn)差為，粗軋后的鋼材長度的均值，使得當(dāng)軋鋼機(jī)調(diào)整到m進(jìn)行粗軋，然后通過精軋以得到成品材時(shí)總的浪費(fèi)最少。（2） 問題分析：精軋后的鋼材長度記為，的均值記為m，的方差為，按照題意，。概率密度函數(shù)記為f（x），當(dāng)成品鋼材的規(guī)定長度給定后，

23、記的概率為，=p（）。在軋鋼過程中產(chǎn)生的浪費(fèi)由兩種情況構(gòu)成：若，則浪費(fèi)量為；若，則浪費(fèi)量為。注意到當(dāng)很大時(shí)，的可能性增加，浪費(fèi)量同時(shí)增加；而當(dāng)很小時(shí)，的可能性增加，浪費(fèi)量也增加，因此需要確定一個(gè)合適的使得總的浪費(fèi)量最小。（3） 模型建立與求解：這是一個(gè)優(yōu)化模型，建模的關(guān)鍵是選擇合適的目標(biāo)函數(shù)，并用，m把目標(biāo)函數(shù)表示出來。根據(jù)前面的分析，粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長度為： 利用，和由（1）得：W=m- 以W為目標(biāo)函數(shù)是否合適？由于軋鋼的最終產(chǎn)品是成品材，浪費(fèi)的多少不應(yīng)以每粗軋一根鋼材的平均浪費(fèi)量為標(biāo)準(zhǔn)，而應(yīng)該用每得到一根成品材浪費(fèi)的平均長度來衡量。因此目標(biāo)函數(shù)為：因?yàn)槭且阎某?shù)，所以目標(biāo)函數(shù)可以等價(jià)

24、的取為： 其中，易見平均每得到一根成品鋼材所需要的剛才長度，問題就轉(zhuǎn)化為求m使達(dá)到最小。令則(2)式可表為：其中：可用微分法解的極值問題。注意到，不難推出最優(yōu)值Z應(yīng)滿足方程： （*）記，可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的函數(shù)值和制成表格式給出圖形。Z-3.0-2.5-2.0-1.5 -1.0-0.5227.056.7918.107.2603.4771.680Z00.51.01.52.02.51.2530.8760.6560.5160.4200.355由上表可得方程（*）的根Z*注：當(dāng)給定> =1.253時(shí)，方程（*）不止一個(gè)根，但是可以證得，只有唯一負(fù)根Z*<0，才使取得極小值。（四）火災(zāi)報(bào)警問

25、題（美國）一個(gè)地區(qū)911應(yīng)急服務(wù)中心在過去的一年內(nèi)平均每月要收到171個(gè)房屋火災(zāi)電話，基于這個(gè)資料的，火災(zāi)率被估計(jì)為每月171次，下個(gè)月收到火災(zāi)報(bào)警電話只有153個(gè)，這表明房屋火災(zāi)率實(shí)際上實(shí)際上是減少了，或是或是它只是一個(gè)隨機(jī)波動？分析：第n-1次和第n次火災(zāi)之間的時(shí)間（月），X1，Xn，是獨(dú)立的且每一個(gè)Xn服從參數(shù)為的指數(shù)分布，為報(bào)告的房屋火災(zāi)率（月），即是：，（Xi>0）目標(biāo)：給定=171，確定每月收到153次這樣的少的電話報(bào)警的概率有多大？或者說每月收到153是否屬于正常范圍內(nèi)？建模：， ，將代入得：（利用3原理）：若要有95%的把握，則：若要有98%的把握，則：選擇95%的把握得

26、到： 將=171，n=153代入（1），有：即：因此我們的觀察值是在正常的變化范圍之內(nèi)結(jié)論：斷言火災(zāi)報(bào)警率降低的證據(jù)不充分，它可能是正太隨機(jī)變量的正常結(jié)果。當(dāng)然，若每月都連續(xù)這樣低，則需重新評估。靈敏度分析：當(dāng)=171代入（1）得： 因?yàn)閷θ魏蔚模瑓^(qū)間總會包含1，即在之間都屬于正常范圍。 對于“每月171次”的假設(shè)的敏感性分析。去掉特殊性，假設(shè)每月的均值是，我們有一個(gè)月的報(bào)警電話次數(shù)的觀測值n=153，代入（1），有：因?yàn)閷τ谌魏蔚闹g總會包含1，所以=153屬于正常的變化范圍。（續(xù)）隨機(jī)過程部分一、隨機(jī)過程：熱噪聲電壓：電子元件或器件由于內(nèi)部微觀粒子的隨機(jī)熱騷動所引起的端電壓稱為熱噪聲電壓。

27、它在任一時(shí)刻t的值是一隨機(jī)變量，記為V(t),不同時(shí)刻對應(yīng)不同的隨機(jī)變量，當(dāng)時(shí)間在某區(qū)間，譬如在上推移時(shí)，熱噪聲電壓表現(xiàn)為一族隨機(jī)變量，記為：V(t),t>=0。由于熱騷動的隨機(jī)性，在相同條件下每次測量都將產(chǎn)生不同的電壓時(shí)間函數(shù)。這樣，不斷的獨(dú)立的測量就可以得到一族不同的電壓時(shí)間函數(shù)。tV1(t)V2（t）V3（t）tttjtjtj設(shè)T是一無限實(shí)數(shù)集，我們把依賴于參數(shù)的一族（無限多個(gè)）隨機(jī)變量稱為隨機(jī)過程。記為X(t), 。這時(shí)每一個(gè)，X(t)是一隨機(jī)變量，T叫做參數(shù)集。把t看作為時(shí)間，稱X(t)為時(shí)刻t時(shí)過程的狀態(tài)，而X(t)=x或是t=t1時(shí)過程處于狀態(tài)x。對于一切的，X(t)的所有

28、可能的一切值的全體稱為隨機(jī)過程的狀態(tài)空間。 二、馬爾可夫鏈及其基本方程：將時(shí)間離散化為n=0，1，2，對每個(gè)n，系統(tǒng)的狀態(tài)用隨機(jī)變量Xn表示，設(shè)Xn可以取k個(gè)離散的值Xn=1，2，k，且記即狀態(tài)概率從Xn=iXn+1=j的概率記為即轉(zhuǎn)移概率。如果Xn+1的取值只取決于Xn的取值及轉(zhuǎn)移概率，而與X1，X2，Xn-1的取值無關(guān)，則稱這種離散狀態(tài)按照離散的時(shí)間的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過程叫做馬爾可夫過程。或者說此過程具有馬爾可性或無后效性。注：還可以這樣表示由狀態(tài)轉(zhuǎn)移的無后效性和全概率公式可以寫出馬爾可夫鏈的基本方程為 并且和應(yīng)滿足： （2）引入狀態(tài)概率向量和轉(zhuǎn)移概率矩陣則（1）式可表為：由此可得 ：（2）式表明

29、轉(zhuǎn)移矩陣P是非負(fù)矩陣，且P的行和為1，稱為隨機(jī)矩陣。說明：對于馬爾可夫鏈模型最基本的問題是構(gòu)造狀態(tài)Xn及寫出轉(zhuǎn)移矩陣P，一旦有了P，那么給定初始狀態(tài)概率a（0）就可以用（3）和（4）或計(jì)算任意時(shí)段n的狀態(tài)概率a（n）例題：（1）健康與疾病： 其中（i，j=1，2）0.20.70.30.8n012310.80.780.7787/900.20.220.2222/9若開始處于疾病狀態(tài)，即，n012300.70.770.7777/910.30.230.2232/9更一般的，當(dāng)時(shí)，的趨向與上面兩表相同。結(jié)論：當(dāng)時(shí)，趨向于穩(wěn)定值，與初始狀態(tài)無關(guān)。（2）健康、疾病、死亡0.650，250.180.10.80.021n0125010.80.7570.1293000.180.1890.0326000.20.0540.83811對于例題中的（1）小問，看出從任意狀態(tài)出發(fā)經(jīng)過有限次的轉(zhuǎn)移都能達(dá)到另外的任意狀態(tài)，而（2）小問中則不能。正則鏈定義：一個(gè)有k可狀態(tài)的馬爾可夫鏈，如果存在正整數(shù)N，使從任意的狀態(tài)i經(jīng)N次轉(zhuǎn)移都以大于0的概率到達(dá)狀態(tài)j（