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1、恰當(dāng)采用放縮法 巧證導(dǎo)數(shù)不等式鄭州市第四十四中學(xué) 蘇明亮放縮法是高中數(shù)學(xué)中一種重要的數(shù)學(xué)方法,尤其在證明不等式中經(jīng)常用到由于近幾年數(shù)列在高考中的難度要求降低,放縮法的應(yīng)用重點(diǎn)也逐漸從證明數(shù)列不等式轉(zhuǎn)移到導(dǎo)數(shù)壓軸題中,尤其是在導(dǎo)數(shù)不等式證明中更是大放異彩.下面試舉幾例,以供大家參考一、利用基本不等式放縮,化曲為直例1(2012年高考遼寧卷理科第21題()設(shè).證明:當(dāng)時(shí),.證明:由基本不等式,當(dāng)時(shí),故.記,則.當(dāng)時(shí),所以在內(nèi)是減函數(shù).故又由,所以,即, 故當(dāng)時(shí),.評(píng)注:本題第()問若直接構(gòu)造函數(shù),對(duì)進(jìn)行求導(dǎo),由于中既有根式又有分式,因此的零點(diǎn)及相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)很難確定,而通過對(duì)進(jìn)行放縮處理,使問題
2、得到解決.上面的解法中,難點(diǎn)在用基本不等式證明,亦即是將拋物線弧放大化簡(jiǎn)為直線段,而該線段正是拋物線弧在左端點(diǎn)處的切線,這種“化曲為直”的方法是我們用放縮法處理函數(shù)問題的常用方法.二、利用單調(diào)性放縮,化動(dòng)為靜例2(2013年新課標(biāo)全國(guó)卷第21題()已知函數(shù).當(dāng)時(shí),證明.證法1:函數(shù)的定義域?yàn)?,則.設(shè),因?yàn)?,所以在上單調(diào)遞增.又,故在上有唯一實(shí)根.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),從而當(dāng)時(shí),取得最小值為. 由方程的根為,得,故(當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)),又因?yàn)闀r(shí),所以.取等號(hào)的條件是,及同時(shí)成立,這是不可能的,所以,故 .證法2:因在定義域上是增函數(shù),而,所以,故只需證明當(dāng)時(shí),即可.當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增.又,故在上有唯一實(shí)根
3、,且.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),從而當(dāng)時(shí),取得最小值.由得,故.綜上,當(dāng)時(shí),. 評(píng)注:借助導(dǎo)數(shù)取值研究函數(shù)單調(diào)性是證明初等不等式的重要方法.證法1直接求導(dǎo)證明,由于其含有參數(shù),因而在判斷的零點(diǎn)和求取得最小值顯得較為麻煩;證法2利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化動(dòng)為靜,證法顯得簡(jiǎn)單明了.此外,本題也是處理函數(shù)隱零點(diǎn)問題的一個(gè)經(jīng)典范例.三、活用函數(shù)不等式放縮,化繁為簡(jiǎn)兩個(gè)常用的函數(shù)不等式: 兩個(gè)常用的函數(shù)不等式源于高中教材(人教A版選修2-2,)的一組習(xí)題,曾多次出現(xiàn)在高考試題中,筆者曾就此問題寫過專題文章1.例3(2014年高考新課標(biāo)卷理科第21題)設(shè)函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(I)求(II)證明:.分析:本題以曲
4、線的切線為背景,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,用導(dǎo)數(shù)作工具研究函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)最值以及不等式的證明.第(I)問較容易,一般學(xué)生都能做出來,只需求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),易得.第(II)問難度較大,主要考查考生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明不等式的能力及運(yùn)算求解能力,是近年來高考?jí)狠S題的熱點(diǎn)問題.本題第(II)問證法較多,下面筆者利用函數(shù)不等式來進(jìn)行證明.證明:由,得,即,故(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)) 又由,得,故,兩邊取自然對(duì)數(shù)得,即(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)) 由于、式等號(hào)不能同時(shí)成立,兩式相加得,兩邊同乘以,得. 評(píng)注:本題證明中利用函數(shù)不等式,并進(jìn)行適當(dāng)變形,結(jié)合不等式性質(zhì)進(jìn)行證明,從而避免了繁雜的計(jì)算,過程簡(jiǎn)潔自然,易于理解.例
5、4(2016年高考山東卷理科第20題()已知.當(dāng)時(shí),證明對(duì)于任意的成立.證明:的定義域?yàn)?,時(shí),由 得,.即只需證,令,則.設(shè),則在單調(diào)遞減,因?yàn)?,所以在上存在使得時(shí),時(shí),所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,由于,因此當(dāng)時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào),所以,即對(duì)于任意的恒成立.評(píng)注:要證明,比較麻煩的是式子中有,如果能讓它消失,問題勢(shì)必會(huì)簡(jiǎn)單些,所以自然就想到了利用比較熟悉的函數(shù)不等式進(jìn)行放縮,方法自然,水到渠成.上述兩個(gè)常用函數(shù)不等式的變式: 四、巧用已證不等式放縮,借水行舟例5(2016年高考新課標(biāo)卷文科21題)設(shè)函數(shù).(I)證明當(dāng)時(shí),;(II)設(shè),證明當(dāng)時(shí),.證明:(I)易證當(dāng)時(shí),即.(II)由題
6、設(shè),設(shè),則,令,解得.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.由(I)知,故,又,故當(dāng)時(shí),.所以當(dāng)時(shí),評(píng)注:本題第(II)問利用第(I)中已證明的不等式及巧妙地求出,進(jìn)而利用在單調(diào)性及端點(diǎn)值證明出利用已證不等式(或結(jié)論)服務(wù)后面問題的情況,在高考和模考試題中屢屢出現(xiàn),這種解題中的“服務(wù)意識(shí)”不僅可以避開復(fù)雜的計(jì)算,往往也為解題思路指明了方向下面再看一例:例6(2013年高考遼寧卷理科21題)已知函數(shù) 當(dāng)時(shí),(I)證明: ;(II)確定的所有可能取值,使得 恒成立證明:(I)證明:要證時(shí),只需證明記,則當(dāng)時(shí),因此在上是增函數(shù),故所以,要證時(shí), ,只需證明綜上,(II)解: 設(shè),則記,則當(dāng)時(shí),于是在上是減
7、函數(shù),從而當(dāng)時(shí),故在上是減函數(shù)于是,從而所以,當(dāng)時(shí), 在上恒成立下面證明,當(dāng)時(shí), 在上不恒成立 ,記,則,當(dāng)時(shí),故在上是減函數(shù),于是在上的值域因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以存在,使得,此時(shí),即 在上不恒成立 綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是 評(píng)注:本題第二問是一道典型的恒成立求參問題,這類題目很容易讓考生想到用分離參數(shù)的方法,但分離參數(shù)后利用高中所學(xué)知識(shí)無法解決(筆者研究發(fā)現(xiàn)不能解決的原因是分離參數(shù)后,出現(xiàn)了“型”的式子,解決這類問題的有效方法就是高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則);若直接構(gòu)造函數(shù),里面涉及到指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及高次函數(shù),處理起來難度很大本題解法中兩次巧妙利用第一問的結(jié)論,通過分類討論和假設(shè)反正,使問題得到解決上述幾道導(dǎo)數(shù)不等式都不是考查某個(gè)單一的初等函數(shù),而是綜合考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)(尤其與“”和“”有關(guān))、三角函數(shù)以及帶根號(hào)的冪函數(shù)和其它函數(shù)綜合在一起,如果直接求導(dǎo)或求函數(shù)零點(diǎn)較為困難,而通過上述放縮法處理,或化動(dòng)為靜或化曲為直或化繁為簡(jiǎn)或借水行舟,其實(shí)就是將這些難以處理的函數(shù)轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的函數(shù)進(jìn)行處理由于放縮的尺度不
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