放縮法在導數(shù)壓軸題中的應用

1、恰當采用放縮法 巧證導數(shù)不等式鄭州市第四十四中學 蘇明亮放縮法是高中數(shù)學中一種重要的數(shù)學方法，尤其在證明不等式中經(jīng)常用到由于近幾年數(shù)列在高考中的難度要求降低，放縮法的應用重點也逐漸從證明數(shù)列不等式轉移到導數(shù)壓軸題中，尤其是在導數(shù)不等式證明中更是大放異彩.下面試舉幾例，以供大家參考一、利用基本不等式放縮，化曲為直例1（2012年高考遼寧卷理科第21題（）設.證明：當時，.證明：由基本不等式，當時，故.記，則.當時，所以在內是減函數(shù).故又由，所以，即， 故當時，.評注：本題第()問若直接構造函數(shù)，對進行求導，由于中既有根式又有分式，因此的零點及相應區(qū)間上的符號很難確定，而通過對進行放縮處理，使問題

2、得到解決.上面的解法中，難點在用基本不等式證明，亦即是將拋物線弧放大化簡為直線段，而該線段正是拋物線弧在左端點處的切線，這種“化曲為直”的方法是我們用放縮法處理函數(shù)問題的常用方法.二、利用單調性放縮，化動為靜例2（2013年新課標全國卷第21題（）已知函數(shù).當時，證明.證法1：函數(shù)的定義域為，則.設，因為，所以在上單調遞增.又，故在上有唯一實根.當時，；當時，從而當時，取得最小值為. 由方程的根為，得，故（當且僅當取等號），又因為時，所以.取等號的條件是，及同時成立，這是不可能的，所以，故 .證法2：因在定義域上是增函數(shù)，而，所以，故只需證明當時，即可.當時，在上單調遞增.又，故在上有唯一實根

3、，且.當時，；當時，從而當時，取得最小值.由得，故.綜上，當時，. 評注：借助導數(shù)取值研究函數(shù)單調性是證明初等不等式的重要方法.證法1直接求導證明，由于其含有參數(shù)，因而在判斷的零點和求取得最小值顯得較為麻煩；證法2利用對數(shù)函數(shù)的單調性化動為靜，證法顯得簡單明了.此外，本題也是處理函數(shù)隱零點問題的一個經(jīng)典范例.三、活用函數(shù)不等式放縮，化繁為簡兩個常用的函數(shù)不等式： 兩個常用的函數(shù)不等式源于高中教材（人教A版選修2-2，）的一組習題，曾多次出現(xiàn)在高考試題中，筆者曾就此問題寫過專題文章1.例3（2014年高考新課標卷理科第21題）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（I）求（II）證明：.分析：本題以曲

4、線的切線為背景，考查導數(shù)的幾何意義，用導數(shù)作工具研究函數(shù)的單調性，求函數(shù)最值以及不等式的證明.第（I）問較容易，一般學生都能做出來，只需求出函數(shù)的導數(shù)，易得.第（II）問難度較大，主要考查考生運用導數(shù)知識證明不等式的能力及運算求解能力，是近年來高考壓軸題的熱點問題.本題第（II）問證法較多，下面筆者利用函數(shù)不等式來進行證明.證明：由，得，即，故（當且僅當時取等號） 又由，得，故，兩邊取自然對數(shù)得，即（當且僅當時取等號） 由于、式等號不能同時成立，兩式相加得，兩邊同乘以，得. 評注：本題證明中利用函數(shù)不等式，并進行適當變形，結合不等式性質進行證明，從而避免了繁雜的計算，過程簡潔自然，易于理解.例

5、4（2016年高考山東卷理科第20題（）已知.當時，證明對于任意的成立.證明：的定義域為，時，由 得，.即只需證，令，則.設，則在單調遞減，因為，所以在上存在使得時，時，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，由于，因此當時，當且僅當時取得等號，所以，即對于任意的恒成立.評注：要證明，比較麻煩的是式子中有，如果能讓它消失，問題勢必會簡單些，所以自然就想到了利用比較熟悉的函數(shù)不等式進行放縮，方法自然，水到渠成.上述兩個常用函數(shù)不等式的變式： 四、巧用已證不等式放縮，借水行舟例5（2016年高考新課標卷文科21題）設函數(shù).（I）證明當時，；（II）設，證明當時，.證明：（I）易證當時，即.（II）由題

6、設，設，則，令，解得.當時，單調遞增；當時，單調遞減.由（I）知，故，又，故當時，.所以當時，評注：本題第（II）問利用第（I）中已證明的不等式及巧妙地求出，進而利用在單調性及端點值證明出利用已證不等式（或結論）服務后面問題的情況，在高考和?？荚囶}中屢屢出現(xiàn)，這種解題中的“服務意識”不僅可以避開復雜的計算，往往也為解題思路指明了方向下面再看一例：例6（2013年高考遼寧卷理科21題）已知函數(shù) 當時，（I）證明： ；（II）確定的所有可能取值，使得 恒成立證明：（I）證明：要證時，只需證明記，則當時，因此在上是增函數(shù)，故所以，要證時， ，只需證明綜上，（II）解： 設，則記，則當時，于是在上是減

7、函數(shù)，從而當時，故在上是減函數(shù)于是，從而所以，當時， 在上恒成立下面證明，當時， 在上不恒成立 ，記，則，當時，故在上是減函數(shù)，于是在上的值域因為當時，所以存在，使得，此時，即 在上不恒成立 綜上，實數(shù)的取值范圍是 評注：本題第二問是一道典型的恒成立求參問題，這類題目很容易讓考生想到用分離參數(shù)的方法，但分離參數(shù)后利用高中所學知識無法解決（筆者研究發(fā)現(xiàn)不能解決的原因是分離參數(shù)后，出現(xiàn)了“型”的式子，解決這類問題的有效方法就是高等數(shù)學中的洛必達法則）；若直接構造函數(shù)，里面涉及到指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及高次函數(shù)，處理起來難度很大本題解法中兩次巧妙利用第一問的結論，通過分類討論和假設反正，使問題得到解決上述幾道導數(shù)不等式都不是考查某個單一的初等函數(shù)，而是綜合考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)（尤其與“”和“”有關）、三角函數(shù)以及帶根號的冪函數(shù)和其它函數(shù)綜合在一起，如果直接求導或求函數(shù)零點較為困難，而通過上述放縮法處理，或化動為靜或化曲為直或化繁為簡或借水行舟，其實就是將這些難以處理的函數(shù)轉化為較為簡單的函數(shù)進行處理由于放縮的尺度不