加乘原理綜合應(yīng)用(共21頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上加乘原理綜合運(yùn)用知識(shí)框架圖7 計(jì)數(shù)綜合7-3 加乘原理綜合運(yùn)用7-3-1簡(jiǎn)單加乘原理綜合運(yùn)用7-3-2加乘原理與數(shù)字問(wèn)題7-3-3加乘原理與圖論教學(xué)目標(biāo)1.復(fù)習(xí)乘法原理和加法原理；2.培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用加法原理和乘法原理的能力3.讓學(xué)生懂得并運(yùn)用加法、乘法原理來(lái)解決問(wèn)題，掌握常見的計(jì)數(shù)方法，會(huì)使用這些方法解決問(wèn)題在分類討論中結(jié)合分步分析，在分步分析中結(jié)合分類討論；教師應(yīng)該明確并強(qiáng)調(diào)哪些是分類，哪些是分步并了解與加、乘原理相關(guān)的常見題型：數(shù)論類問(wèn)題、染色問(wèn)題、圖形組合知識(shí)要點(diǎn)一、加乘原理概念生活中常有這樣的情況：在做一件事時(shí)，有幾類不同的方法，在具體做的時(shí)候，只要采用其中

2、某一類中的一種方法就可以完成，并且這幾類方法是互不影響的那么考慮完成這件事所有可能的做法，就要用到加法原理來(lái)解決還有這樣的一種情況：就是在做一件事時(shí)，要分幾步才能完成，而在完成每一步時(shí)，又有幾種不同的方法要知道完成這件事情共有多少種方法，就要用到乘法原理來(lái)解決二、加乘原理應(yīng)用應(yīng)用加法原理和乘法原理時(shí)要注意下面幾點(diǎn)：加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘積在很多題目中，加法原理和乘法原理都不是單獨(dú)出現(xiàn)的，這就需要我們能夠熟練的運(yùn)用好

3、這兩大原理，綜合分析，正確作出分類和分步加法原理運(yùn)用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問(wèn)題可以使用加法原理解決我們可以簡(jiǎn)記為：“加法分類，類類獨(dú)立”乘法原理運(yùn)用的范圍：這件事要分幾個(gè)彼此互不影響的獨(dú)立步驟來(lái)完成，這幾步是完成這件任務(wù)缺一不可的，這樣的問(wèn)題可以使用乘法原理解決我們可以簡(jiǎn)記為：“乘法分步，步步相關(guān)”例題精講模塊一、簡(jiǎn)單加乘原理綜合應(yīng)用【例 1】 商店里有2種巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有2種水果糖：蘋果味、梨味、橙味小明想買一些糖送給他的小朋友如果小明只買一種糖，他有幾種選法？如果小明想買水果糖、巧克力糖各種，他有幾種選法？（2級(jí)）【解析】

4、小明只買一種糖，完成這件事一步即可完成，有兩類辦法：第一類是從種巧克力糖中選一種 有種辦法；第二類是從種水果糖中選一種，有種辦法因此，小明有種選糖的方法小明完成這件事要分兩步，每步分別有種、種方法，因此有種方法【例 2】 從北京到廣州可以選擇直達(dá)的飛機(jī)和火車，也可以選擇中途在上?；蛘呶錆h作停留，已知北京到上海、武漢和上海、武漢到廣州除了有飛機(jī)和火車兩種交通方式外還有汽車問(wèn)，從北京到廣州一共有多少種交通方式供選擇？（2級(jí)）【解析】 從北京轉(zhuǎn)道上海到廣州一共有種方法，從北京轉(zhuǎn)道武漢到廣州一共也有種方法供選擇，從北京直接去廣州有2種方法，所以一共有種方法【例 3】 從學(xué)而思學(xué)校到王明家有3條路可走，

5、從王明家到張老師家有2條路可走，從學(xué)而思學(xué)校到張老師家有3條路可走，那么從學(xué)而思學(xué)校到張老師家共有多少種走法？（2級(jí)）【解析】 根據(jù)乘法原理，經(jīng)過(guò)王明家到張老師家的走法一共有種方法，從學(xué)而思學(xué)校直接去張老師家一共有3條路可走，根據(jù)加法原理，一共有種走法【鞏固】 如下圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丙地有4條路，從甲地到丁地有3條路可走，從丁地到丙地也有3條路，請(qǐng)問(wèn)從甲地到丙地共有多少種不同走法？（2級(jí)）【解析】 從甲地到丙地有兩種方法：第一類，從甲地經(jīng)過(guò)乙地到丙地，根據(jù)乘法原理，走法一共有種方法，；第二類，從甲地經(jīng)過(guò)丁地到丙地，一共有種方法根據(jù)加法原理，一共有種走法【鞏固】 王老師從重慶到南

6、京，他可以乘飛機(jī)、汽車直接到達(dá)，也可以先到武漢，再由武漢到南京他從重慶到武漢可乘船，也可乘火車；又從武漢到南京可以乘船、火車或者飛機(jī)，如圖那么王老師從重慶到南京有多少種不同走法呢？（2級(jí)）【解析】 從重慶到南京的走法有兩類：第一類從重慶經(jīng)過(guò)武漢去南京，根據(jù)乘法原理，有(種)走法；第二類不經(jīng)過(guò)武漢，有2種走法根據(jù)加法原理，從重慶到南京一共有種不同走法【例 4】 如下圖，八面體有12條棱，6個(gè)頂點(diǎn)一只螞蟻從頂點(diǎn)出發(fā)，沿棱爬行，要求恰好經(jīng)過(guò)每一個(gè)頂點(diǎn)一次問(wèn)共有多少種不同的走法？（6級(jí)）【解析】 走完6個(gè)頂點(diǎn)，有5個(gè)步驟，可分為兩大類：第二次走點(diǎn)：就是意味著從點(diǎn)出發(fā)，我們要先走，中間的一點(diǎn)，再經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

7、但之后只能走，點(diǎn)，最后選擇后面兩點(diǎn)有種(從到的話，是不能到的)；第二次不走：有種(同理，不能到)；共計(jì)：種【例 5】 如果從3本不同的語(yǔ)文書、4本不同的數(shù)學(xué)書、5本不同的外語(yǔ)書中選取2本不同學(xué)科的書閱讀，那么共有多少種不同的選擇？（4級(jí)）【解析】 因?yàn)閺?qiáng)調(diào)2本書來(lái)自不同的學(xué)科，所以共有三種情況：來(lái)自語(yǔ)文、數(shù)學(xué)：3×4=12；來(lái)自語(yǔ)文、外語(yǔ)：3×5=15；來(lái)自數(shù)學(xué)、外語(yǔ)：4×5=20；所以共有121520=47【例 6】 某條鐵路線上，包括起點(diǎn)和終點(diǎn)在內(nèi)原來(lái)共有7個(gè)車站，現(xiàn)在新增了3個(gè)車站，鐵路上兩站之間往返的車票不一樣，那么，這樣需要增加多少種不同的車票？（6級(jí)）

8、【解析】 1、新站為起點(diǎn)，舊站為終點(diǎn)有3×7=21張，2、舊站為起點(diǎn)，新站為終點(diǎn)有7×3=21張，3、起點(diǎn)、終點(diǎn)均為新站有3×2=6張，以上共有21216=48張 【例 7】 某件工作需要鉗工2人和電工2人共同完成現(xiàn)有鉗工3人、電工3人，另有1人鉗工、電工都會(huì)從7人中挑選4人完成這項(xiàng)工作，共有多少種方法？（6級(jí)）【解析】 分兩類情況討論：都會(huì)的這1人被挑選中，則有：如果這人做鉗工的話，則再按乘法原理，先選一名鉗工有 3種方法，再選2名電工也有3種方法；所以有種方法；同樣，這人做電工，也有9種方法都會(huì)的這一人沒有被挑選，則從3名鉗工中選2人，有3種方法；從

9、3名電工中選2人，也有3種方法，一共有種方法所以，根據(jù)加法原理，一共有種方法【例 8】 某信號(hào)兵用紅，黃，藍(lán)，綠四面旗中的三面從上到下掛在旗桿上的三個(gè)位置表示信號(hào)每次可掛一面，二面或三面，并且不同的順序，不同的位置表示不同的信號(hào)一共可以表示出多少種不同的信號(hào)？（6級(jí)）【解析】 由于每次可掛一面、二面或三面旗子，我們可以根據(jù)旗桿上旗子的面數(shù)分三類考慮：第一類，可以從四種顏色中任選一種，有4種表示法； 第二類，要分兩步完成：第一步，第一面旗子可以從四種顏色中選一種，有4種選法；第二步，第二面旗子可從剩下的三種中選一種，有3種選法根據(jù)乘法原理，共有種表示法； 第三類，要分三步完成：第一步，第一面旗子

10、可以從四種顏色中選一種，有4種選法；第二步，第二面旗子可從剩下的三種中選一種，有3種選法；第三步，第三面旗子可從剩下的兩種顏色中選一種，有2種選法根據(jù)乘法原理，共有種表示法 根據(jù)加法原理，一共可以表示出種不同的信號(hào)【鞏固】 五面五種顏色的小旗，任意取出一面、兩面或三面排成一行表示各種信號(hào)，問(wèn)：共可以表示多少種不同的信號(hào)？（6級(jí)）【解析】 分3種情況：取出一面，有5種信號(hào)；取出兩面：可以表示種信號(hào)；取出三面：可以表示：種信號(hào)；由加法原理，一共可以表示：種信號(hào)【例 9】 五種顏色不同的信號(hào)旗，各有5面，任意取出三面排成一行，表示一種信號(hào)，問(wèn)：共可以表示多少種不同的信號(hào)？（6級(jí)）【解析】 方法一：取

11、出的3面旗子，可以是一種顏色、兩種顏色、三種顏色，應(yīng)按此進(jìn)行分類 一種顏色： 5種可能； 兩種顏色： 三種顏色： 所以，一共可以表示種不同的信號(hào)方法二：每一個(gè)位置都有5種顏色可選，所以共有種【鞏固】 紅、黃、藍(lán)、白四種顏色不同的小旗，各有2，2，3，3面，任意取出三面按順序排成一行，表示一種信號(hào)，問(wèn)：共可以表示多少種不同的信號(hào)？如果白旗不能打頭又有多少種？（6級(jí)）【解析】 (一)取出的3面旗子，可以是一種顏色、兩種顏色、三種顏色，應(yīng)按此進(jìn)行分類第一類，一種顏色：都是藍(lán)色的或者都是白色的，2種可能；第二類，兩種顏色： 第三類，三種顏色： 所以，根據(jù)加法原理，一共可以表示種不同的信號(hào)(二)白棋打頭

12、的信號(hào)，后兩面旗有種情況所以白棋不打頭的信號(hào)有種【例 10】 (2008年清華附中考題)小紅和小明舉行象棋比賽，按比賽規(guī)定，誰(shuí)先勝頭兩局誰(shuí)贏，如果沒有勝頭兩局，誰(shuí)先勝三局誰(shuí)贏共有 種可能的情況（6級(jí)）【解析】 小紅和小明如果有誰(shuí)勝了頭兩局，則勝者贏，此時(shí)共2種情況；如果沒有人勝頭兩局，即頭兩局中兩人各勝一局，則最少再進(jìn)行兩局、最多再進(jìn)行三局，必有一人勝三局，如果只需再進(jìn)行兩局，則這兩局的勝者為同一人，對(duì)此共有種情況；如果還需進(jìn)行三局，則后三局中有一人勝兩局，另一人只勝一局，且這一局不能為最后一局，只能為第三局或第四局，此時(shí)共有種情況，所以共有種情況【例 11】 （2009年“數(shù)學(xué)解題能力展示”

13、中年級(jí)復(fù)賽試題）過(guò)年了，媽媽買了7件不同的禮物，要送給親朋好友的5個(gè)孩子每人一件其中姐姐的兒子小強(qiáng)想從智力拼圖和遙控汽車中選一個(gè)，朋友的女兒小玉想從學(xué)習(xí)機(jī)和遙控汽車中選一件那么，媽媽送出這5件禮物共有種方法（6級(jí)）【解析】 若將遙控汽車給小強(qiáng)，則學(xué)習(xí)機(jī)要給小玉，此時(shí)另外3個(gè)孩子在剩余5件禮物中任選3件，有種方法；若將遙控車給小玉，則智力拼圖要給小強(qiáng)，此時(shí)也有60種方法；若遙控車既不給小強(qiáng)、也不給小玉，則智力拼圖要給小強(qiáng)，學(xué)習(xí)機(jī)要給小玉，此時(shí)仍然有60種方法所以共有種方法【例 12】 有3所學(xué)校共訂300份中國(guó)少年報(bào)，每所學(xué)校訂了至少98份，至多102份問(wèn)：一共有多少種不同的訂法？（6級(jí)）【解析

14、】 可以分三種情況來(lái)考慮：3所學(xué)校訂的報(bào)紙數(shù)量互不相同，有98，100，102；99，100，101兩種組合，每種組各有種不同的排列，此時(shí)有種訂法3所學(xué)校訂的報(bào)紙數(shù)量有2所相同，有98，101，101；99，99，102兩種組合，每種組各有3種不同的排列，此時(shí)有種訂法3所學(xué)校訂的報(bào)紙數(shù)量都相同，只有100，100，100一種訂法由加法原理，不同的訂法一共有種【例 13】 玩具廠生產(chǎn)一種玩具棒，共節(jié)，用紅、黃、藍(lán)三種顏色給每節(jié)涂色這家廠共可生產(chǎn)_種顏色不同的玩具棒（8級(jí)）【解析】 每節(jié)有種涂法，共有涂法(種)但上述種涂法中，有些涂法屬于重復(fù)計(jì)算，這是因?yàn)橛行┯螒虬舻惯^(guò)來(lái)放時(shí)的顏色與順著放時(shí)的顏色

15、一樣，卻被我們當(dāng)做兩種顏色計(jì)算了兩次可以發(fā)現(xiàn)只有游戲棒的顏色關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱時(shí)才沒有被重復(fù)計(jì)算，關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱的游戲棒有(種)故玩具棒最多有種不同的顏色【例 14】 奧蘇旺大陸上的居民使用的文字非常獨(dú)特，他們文字的每個(gè)單詞都由個(gè)字母、組成，并且所有的單詞都有著如下的規(guī)律，字母不打頭，單詞中每個(gè)字母后邊必然緊跟著字母，和不會(huì)出現(xiàn)在同一個(gè)字母之中，那么由四個(gè)字母構(gòu)成的單詞一共有多少種？（8級(jí)）【解析】 分為三種：第一種：有兩個(gè)的情況只有1種 第二種，有一個(gè)的情況，又分3類第一類，在第一個(gè)位置，則在第二個(gè)位置，后邊的排列有種，減去、同時(shí)出現(xiàn)的兩種，總共有14種，第二類，在第二個(gè)位置，則在第三個(gè)位置，總共有

16、種.第三類，在第三個(gè)位置，則在第四個(gè)位置，總共有種. 第三種，沒有的情況:分別計(jì)算沒有的情況:種.沒有的情況：種.沒有、的情況：種.由容斥原理得到一共有種.所以，根據(jù)加法原理，一共有種【例 15】 從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加接力賽，求滿足下列條件的參賽方案各有多少種：甲不能跑第一棒和第四棒；甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒（6級(jí)）【解析】 先確定第一棒和第四棒，第一棒是除甲以外的任何人，有5種選擇，第四棒有4種選擇，剩下的四人中隨意選擇2個(gè)人跑第二、第三棒，有種，由乘法原理，共有：種參賽方案 先不考慮甲乙的特殊要求，從6名隊(duì)員中隨意選擇4人參賽，有種選擇.考慮若甲跑第一棒，其余5人隨意選擇3人參

17、賽，對(duì)應(yīng)種選擇，考慮若乙跑第二棒，也對(duì)應(yīng)種選擇，但是從360種中減去兩個(gè)60種的時(shí)候，重復(fù)減了一次甲跑第一棒且乙跑第二棒的情況，這種情況下，對(duì)應(yīng)于第一棒第二棒已確定只需從剩下的4人選擇2人參賽的種方案，所以，一共有種不同參賽方案模塊二、加乘原理與數(shù)字問(wèn)題【例 16】 由數(shù)字1，2，3 可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)？（4級(jí)）【解析】 因?yàn)橛?，2，3共3個(gè)數(shù)字，因此組成的數(shù)有3類：組成一位數(shù)；組成二位數(shù)；組成三位數(shù)它們的和就是問(wèn)題所求組成一位數(shù)：有3個(gè)；組成二位數(shù)：由于數(shù)字可以重復(fù)使用，組成二位數(shù)分兩步完成；第一步排十位數(shù)，有3種方法；第二步排個(gè)位數(shù)也有3種方法，因此由乘法原理，有個(gè)；組成三位

18、數(shù)：與組成二位數(shù)道理相同，有個(gè)三位數(shù)；所以，根據(jù)加法原理，一共可組成個(gè)數(shù)【例 17】 由數(shù)字0，1，3，9可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？（6級(jí)）【解析】 滿足條件的數(shù)可以分為4類：一位、二位、三位、四位數(shù)第一類，組成0和一位數(shù)，有4個(gè)（0不是一位數(shù)，最小的一位數(shù)是1）；第二類，組成二位數(shù)，有個(gè)；第三類，組成三位數(shù)，有個(gè);第四類，組成四位數(shù)，有個(gè)由加法原理，一共可以組成個(gè)數(shù)【鞏固】 用數(shù)字0，1，2，3，4可以組成多少個(gè)小于1000的自然數(shù)？（6級(jí)）【解析】 小于1000的自然數(shù)有三類第一類是0和一位數(shù)，有5個(gè)；第二類是兩位數(shù)，有個(gè)；第三類是三位數(shù)，有個(gè)，共有個(gè)【鞏固】 用數(shù)碼0，1，2，3

19、，4，可以組成多少個(gè)小于1000的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？（6級(jí)）【解析】 分為三類，一位數(shù)時(shí)，0和一位數(shù)共有5個(gè)；二位數(shù)時(shí)，為個(gè)，三位數(shù)時(shí)，為：個(gè)，由加法原理，一共可以組成個(gè)小于1000的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)【例 18】 用09這十個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)（6級(jí)）【解析】 無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的千位、百位、十位、個(gè)位的限制條件：千位上不能排0，或說(shuō)千位上只能排19這九個(gè)數(shù)字中的一個(gè).而且其他位置上數(shù)碼都不相同，下面分別介紹三種解法.（方法一）分兩步完成： 第一步：從19這九個(gè)數(shù)中任選一個(gè)占據(jù)千位，有9種方法； 第二步：從余下的9個(gè)數(shù)（包括數(shù)字0）中任選3個(gè)占據(jù)百位、十位、個(gè)位，百位有

20、9種.十位有8種，個(gè)位有7種方法； 由乘法原理，共有滿足條件的四位數(shù)9×9×8×7=4536個(gè) （方法二）組成的四位數(shù)分為兩類：第一類：不含0的四位數(shù)有9×8×7×6=3024個(gè)；第二類：含0的四位數(shù)的組成分為兩步：第一步讓0占一個(gè)位有3種占法，（讓0占位只能在百、十、個(gè)位上，所以有3種）第二步讓其余9個(gè)數(shù)占位有9×8×7種占法.所以含0的四位數(shù)有3×9×8×7=1512個(gè)由加法原理，共有滿足條件的四位數(shù)3024+1512=4536個(gè)【鞏固】 用0，1，2，3四個(gè)數(shù)碼可以組成多少個(gè)沒有

21、重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？（6級(jí)）【解析】 分為兩類：個(gè)位數(shù)字為0的有個(gè)，個(gè)位數(shù)字為 2的有個(gè)，由加法原理，一共有：個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)【例 19】 在2000到2999這1000個(gè)自然數(shù)中，有多少個(gè)千位、百位、十位、個(gè)位數(shù)字中恰有兩個(gè)相同的數(shù)？（6級(jí)）【解析】 若相同的數(shù)是2，則另一個(gè)2可以出現(xiàn)在個(gè)、十、百位中的任一個(gè)位置上，剩下的兩個(gè)位置分別有9個(gè)和8個(gè)數(shù)可選，有 3×9×8=216（個(gè)）；若相同的數(shù)是1，有3×824（個(gè)）；同理，相同的數(shù)是0，3，4，5，6，7，8，9時(shí)，各有 24個(gè)，所以，符合題意的數(shù)共有2169×24=432（個(gè)）【例 20】

22、在1000至1999這些自然數(shù)中個(gè)位數(shù)大于百位數(shù)的有多少個(gè)? （6級(jí)）【解析】 (方法一)解決計(jì)數(shù)問(wèn)題常用分類討論的方法 設(shè)在1000至1999這些自然數(shù)中滿足條件的數(shù)為 (其中)； (1)當(dāng)時(shí)，可取19中的任一個(gè)數(shù)字，可取09中的任一個(gè)數(shù)字，于是一共有個(gè) (2)當(dāng)時(shí)，可取29中的任一個(gè)數(shù)字，仍可取09中的任一個(gè)數(shù)字，于是一共有個(gè)(3)類似地，當(dāng)依次取2，3，4，5，6，7，8時(shí)分別有70，60，50，40，30，20，10個(gè)符合條件的自然數(shù)所以，符合條件的自然數(shù)有個(gè)(方法二)1000至1999這1000個(gè)自然數(shù)中，每10個(gè)中有一個(gè)個(gè)位數(shù)等于百位數(shù)，共有100個(gè)；剩余的數(shù)中，根據(jù)對(duì)稱性，個(gè)位數(shù)

23、大于百位數(shù)的和百位數(shù)大于個(gè)位數(shù)的一樣多，所以總數(shù)為個(gè).【例 21】 某人忘記了自己的密碼數(shù)字，只記得是由四個(gè)非0數(shù)碼組成，且四個(gè)數(shù)碼之和是9為確保打開保險(xiǎn)柜至少要試多少次？（6級(jí)）【解析】 四個(gè)非0數(shù)碼之和等于9的組合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六種第一種中，只要考慮6的位置即可，6可以隨意選擇四個(gè)位置，其余位置方1，共有4種選擇第二種中，先考慮放2，有4種選擇，再考慮5的位置，有3種選擇，剩下的位置放1，共有4×3=12種選擇，同理，第三、第四、第五種都有12種選擇，最后一種與第一種相似，3的位置有四種選擇，其余位

24、置放2，共有4種選擇.由加法原理，一共可以組成4+12+12+12+12+4=56個(gè)不同的四位數(shù)，即為確保打開保險(xiǎn)柜至少要試56次【例 22】 從1到100的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個(gè)? （6級(jí)）【解析】 從1到100的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)一位數(shù)中，不含4的有8個(gè)，它們是1、2、3、5、6、7、8、9；兩位數(shù)中，不含4的可以這樣考慮：十位上，不含4的有l(wèi)、2、3、5、6、7、8、9這八種情況個(gè)位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個(gè)兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個(gè)位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時(shí)共有個(gè)數(shù)不含4三位數(shù)只有100 所

25、以一共有個(gè)不含4的自然數(shù)【鞏固】 從1到500的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個(gè)? （6級(jí)）【解析】 從1到500的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)一位數(shù)中，不含4的有8個(gè)，它們是1、2、3、5、6、7、8、9；兩位數(shù)中，不含4的可以這樣考慮：十位上，不含4的有l(wèi)、2、3、5、6、7、8、9這八種情況個(gè)位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個(gè)兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個(gè)位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時(shí)共有8×9=72個(gè)數(shù)不含4三位數(shù)中，小于500并且不含數(shù)字4的可以這樣考慮：百位上，不含4的有1、2、3、這三種情況十位上，不含4的有

26、0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，個(gè)位上，不含4的也有九種情況要確定一個(gè)三位數(shù)，可以先取百位數(shù)，再取十位數(shù)，最后取個(gè)位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時(shí)共有個(gè)三位數(shù)由于500也是一個(gè)不含4的三位數(shù)所以，1500中，不含4的三位數(shù)共有個(gè) 所以一共有個(gè)不含4的自然數(shù)【鞏固】 從1到300的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字2的自然數(shù)有多少個(gè)? （6級(jí)）【解析】 從1到300的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)一位數(shù)中，不含2的有8個(gè)，它們是1、3、4、5、6、7、8、9；兩位數(shù)中，不含2的可以這樣考慮：十位上，不含2的有1、3、4、5、6、7、8、9這八種情況個(gè)位上，不含2的有0、1、3、4、

27、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個(gè)兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個(gè)位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時(shí)共有個(gè)數(shù)不含2；三位數(shù)中，除去300外，百位數(shù)只有1一種取法，十位與個(gè)位均有0，1，3，4，5，6，7，8，9九種取法，根據(jù)乘法原理，不含數(shù)字2的三位數(shù)有：個(gè)，還要加上300； 根據(jù)加法原理，從1到300的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字2的自然數(shù)一共有個(gè)【例 23】 由數(shù)字0、2、8（既可全用也可不全用）組成的非零自然數(shù)，按照從小到大排列，2008排在第 個(gè)【2008年第二屆兩岸四地“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精英邀請(qǐng)賽】（8級(jí)）【解析】 比小的位數(shù)有和，比小的位數(shù)有（種），比小的位數(shù)有（種），比小的位數(shù)有（種）

28、，所以排在第（個(gè)）【鞏固】 從分別寫有2、4、6、8的四張卡片中任取兩張，做兩個(gè)一位數(shù)乘法.如果其中的6可以看成9，那么共有多少種不同的乘積？（6級(jí)）【解析】 取2有8、12、16、18四種，取4增加24、32、36三種，取6增加48、72兩種，一共有9種【例 24】 自然數(shù)8336，8545，8782有一些共同特征，每個(gè)數(shù)都是以8開頭的四位數(shù)，且每個(gè)數(shù)中恰好有兩個(gè)數(shù)字相同這樣的數(shù)共有多少個(gè)？（6級(jí)）【解析】 兩個(gè)相同的數(shù)字是8時(shí)，另一個(gè)8有3個(gè)位置可選，其余兩個(gè)位置有種填法，有個(gè)數(shù)； 兩個(gè)相同的數(shù)字不是8時(shí)，相同的數(shù)字有9種選法，不同的數(shù)字有8種選法，并有3個(gè)位置可放，有個(gè)數(shù) 由加法原理，共

29、有個(gè)數(shù)【鞏固】 在1000到1999這1000個(gè)自然數(shù)中，有多少個(gè)千位、百位、十位、個(gè)位數(shù)字中恰有兩個(gè)相同的數(shù)？（6級(jí)）【解析】 若相同的數(shù)是1，則另一個(gè)1可以出現(xiàn)在個(gè)、十、百位中的任一個(gè)位置上，剩下的兩個(gè)位置分別有9個(gè)和8個(gè)數(shù)可選，有個(gè)；若相同的數(shù)是2，有3×824個(gè)；同理，相同的數(shù)是0，3，4，5，6，7，8，9時(shí)，各有 24個(gè)，所以，符合題意的數(shù)共有個(gè)【例 25】 如果一個(gè)三位數(shù)滿足，那么把這個(gè)三位數(shù)稱為“凹數(shù)”，求所有“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)（8級(jí)）【解析】 當(dāng)為時(shí)，、可以為19中的任何一個(gè)，此時(shí)有種；當(dāng)為時(shí)，、可以為29中的任何一個(gè)，此時(shí)有種；當(dāng)為時(shí)，有種；所以共有(個(gè))【例 26】

30、 用數(shù)字1，2組成一個(gè)八位數(shù)，其中至少連續(xù)四位都是1的有多少個(gè)？（6級(jí)） 【解析】 將4個(gè)1看成一個(gè)整體，其余4個(gè)數(shù)有5種情況：4個(gè)2、3個(gè)2、2個(gè)2、1個(gè)2和沒有2； 4個(gè)2時(shí)，4個(gè)1可以有5種插法； 3個(gè)2時(shí)，3個(gè)2和1個(gè)1共有4種排法，每一種排法有4種插法，共有種； 2個(gè)2時(shí)，2個(gè)2和2個(gè)1共有6種排法，每一種排法有3種插法，共有種； 1個(gè)2時(shí)，1個(gè)2和3個(gè)1共有4種排法，每一種排法有2種插法，共有種； 沒有2時(shí)，只有1種； 所以，總共有：個(gè) 答：至少連續(xù)四位都是1的有48個(gè)【例 27】 七位數(shù)的各位數(shù)字之和為60 ，這樣的七位數(shù)一共有多少個(gè)？（6級(jí)）【解析】 七位數(shù)數(shù)字之和最多可以為七

31、位數(shù)的可能數(shù)字組合為：9，9，9，9，9，9，6第一種情況只需要確定6的位置即可所以有6種情況9，9，9，9，9，8，7第二種情況只需要確定8和7的位置，數(shù)字即確定8有7個(gè)位置，7有6個(gè)位置所以第二種情況可以組成的7位數(shù)有個(gè)9，9，9，9，8，8，8，第三種情況，3個(gè)8的位置確定即7位數(shù)也確定三個(gè)8的位置放置共有種三個(gè)相同的8放置會(huì)產(chǎn)生種重復(fù)的放置方式所以3個(gè)8和4個(gè)9組成的不同的七位數(shù)共有種所以數(shù)字和為60的七位數(shù)共有【例 28】 從自然數(shù)140中任意選取兩個(gè)數(shù)，使得所選取的兩個(gè)數(shù)的和能被4整除，有多少種取法？（6級(jí)）【解析】 2個(gè)數(shù)的和能被4整除，可以根據(jù)被4除的余數(shù)分為兩類：第一類：余數(shù)

32、分別為0，0140中能被4整除的數(shù)共有（個(gè)），10個(gè)中選2個(gè)，有（種）取法；第二類：余數(shù)分別為1，3140中被4除余1，余3的數(shù)也分別都有10個(gè)，有（種）取法；第三類：余數(shù)分別為2，2同第一類，有45種取法根據(jù)加法原理，共有（種）取法【例 29】 在的自然數(shù)中取出兩個(gè)不同的數(shù)相加，其和是3的倍數(shù)的共有多少種不同的取法？（6級(jí)）【解析】 將1100按照除以3的余數(shù)分為3類：第一類，余數(shù)為1的有1，4，7，100，一共有34個(gè)；第二類，余數(shù)為2的一共有33個(gè)；第三類，可以被3整除的一共有33個(gè)取出兩個(gè)不同的數(shù)其和是3的倍數(shù)只有兩種情況：第一種，從第一、二類中各取一個(gè)數(shù)，有種取法；第二種，從第三類中

33、取兩個(gè)數(shù)，有種取法根據(jù)加法原理，不同取法共有：種【鞏固】 在110這10個(gè)自然數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)，使它們的和是3的倍數(shù)，共有多少種不同的取法？（6級(jí)）【解析】 兩個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)有兩種情況，或者兩個(gè)數(shù)都是3的倍數(shù)，或有1個(gè)除以3余1，另一個(gè)除以3余2110中能被3整除的有3個(gè)數(shù)，取兩個(gè)有3種取法；除以3余1的有4個(gè)數(shù)，除以3余2的有3個(gè)數(shù)，各取1個(gè)有種取法根據(jù)加法原理，共有取法：種【鞏固】 在這10個(gè)自然數(shù)中，每次取出三個(gè)不同的數(shù)，使它們的和是3的倍數(shù)有多少種不同的取法？（6級(jí)）【解析】 三個(gè)不同的數(shù)和為3的倍數(shù)有四種情況：三個(gè)數(shù)同余1，三個(gè)數(shù)同余2，三個(gè)數(shù)都被3整除，余1余2余0的

34、數(shù)各有1個(gè)，四類情況分別有4種、1種、1種、種，所以一共有種【鞏固】 從7，8，9，76，77這71個(gè)數(shù)中，選取兩個(gè)不同的數(shù)，使其和為3的倍數(shù)的選法總數(shù)是多少? （6級(jí)）【解析】 兩個(gè)數(shù)和為3的倍數(shù)情況有兩種：兩個(gè)被3整除的數(shù)和是3的倍數(shù)，一個(gè)被3除余1的數(shù)和一個(gè)被3除余2的數(shù)相加也能被3整除.這71個(gè)數(shù)中被3整除，被3除余1，被3除余2的數(shù)分別有23、24、24個(gè)，選取兩個(gè)數(shù)只要是符合之前所說(shuō)的兩種情況就可以了，選取兩個(gè)被3整除的數(shù)的方法有種，從被3除余1和被3除余2的數(shù)中各取1個(gè)的方法共有種，所以一共有種選取方法【鞏固】 從這些數(shù)中選取兩個(gè)數(shù)，使其和被3除余1的選取方法有多少種？被3除余2

35、的選取方法有多少種？（6級(jí)）【解析】 兩個(gè)數(shù)的和被3除余1的情況有兩種：兩個(gè)被3除余2的數(shù)相加，和一個(gè)被3整除的數(shù)和一個(gè)被3除余1的數(shù)相加，所以選取方法有種同樣的也可以求出被3除余2的選取方法有種.【例 30】 1到60這60個(gè)自然數(shù)中，選取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積是被5除余2的偶數(shù)，問(wèn)，一共有多少種選法？（6級(jí)）【解析】 兩個(gè)數(shù)的乘積被5除余2有兩類情況，一類是兩個(gè)數(shù)被5除分別余1和2，另一類是兩個(gè)數(shù)被5除分別余3和4，只要兩個(gè)乘數(shù)中有一個(gè)是偶數(shù)就能使乘積也為偶數(shù).1到60這60個(gè)自然數(shù)中，被5除余1、2、3、4的偶數(shù)各有6個(gè)，被5除余1、2、3、4的奇數(shù)也各有6個(gè)，所以符合條件的選取方式一共有

36、種【例 31】 一個(gè)自然數(shù)，如果它順著看和倒過(guò)來(lái)看都是一樣的，那么稱這個(gè)數(shù)為“回文數(shù)”例如1331，7，202都是回文數(shù)，而220則不是回文數(shù)問(wèn)：從一位到六位的回文數(shù)一共有多少個(gè)?其中的第1996個(gè)數(shù)是多少? （6級(jí)）【解析】 我們將回文數(shù)分為一位、二位、三位、六位來(lái)逐組計(jì)算所有的一位數(shù)均是“回文數(shù)”，即有9個(gè)； 在二位數(shù)中，必須為形式的，即有9個(gè)(因?yàn)槭孜徊荒転?，下同)； 在三位數(shù)中，必須為(、可相同，在本題中，不同的字母代表的數(shù)可以相同)形式的，即有9×10 =90個(gè)；在四位數(shù)中，必須為形式的，即有9×10個(gè)；在五位數(shù)中，必須為形式的，即有9×10×

37、;10=900個(gè)；在六位數(shù)中，必須為形式的，即有9×10×10=900個(gè)所以共有9 + 9 + 90 + 90 + 900 + 900 = 1998個(gè)，最大的為，其次為，再次為而第1996個(gè)數(shù)為倒數(shù)第3個(gè)數(shù)，即為所以，從一位到六位的回文數(shù)一共有1998個(gè)，其中的第1996個(gè)數(shù)是【例 32】 如圖，將1，2，3，4，5分別填入圖中的格子中，要求填在黑格里的數(shù)比它旁邊的兩個(gè)數(shù)都大共有 種不同的填法【走進(jìn)美妙數(shù)學(xué)花園少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽】（6級(jí)）【解析】 因?yàn)橐蟆疤钤诤诟窭锏臄?shù)比它旁邊的兩個(gè)數(shù)都大”，所以填入黑格中的數(shù)不能夠太小，否則就不滿足條件通過(guò)枚舉法可知填入黑格里的數(shù)只有兩類：

38、第一類，填在黑格里的數(shù)是5和4；第二類，填在黑格里的數(shù)是5和3接下來(lái)就根據(jù)這兩類進(jìn)行計(jì)數(shù)：第一類，填在黑格里的數(shù)是5和4時(shí)，分為以下幾步：第一步，第一個(gè)黑格可從5和4中任選一個(gè)，有2種選法；第二步，第二個(gè)黑格可從5和4中剩下的一個(gè)數(shù)選擇，只有1種選法；第三步，第一個(gè)白格可從1，2，3中任意選一個(gè)，有3種選法第四步，第二個(gè)白格從1，2，3剩下的兩個(gè)數(shù)中任選一個(gè)，有2種選法；第五步，最后一個(gè)白格只有1種選法根據(jù)乘法原理，一共有種第二類，填在黑格里的數(shù)是5和3時(shí)，黑格中有兩種填法，此時(shí)白格也有兩種填法，根據(jù)乘法原理，不同的填法有種所以，根據(jù)加法原理，不同的填法共有種【鞏固】 在如圖所示1×

39、5的格子中填入1，2，3，4，5，6，7，8中的五個(gè)數(shù)，要求填入的數(shù)各不相同，并且填在黑格里的數(shù)比它旁邊的兩個(gè)數(shù)都大共有 種不同的填法（6級(jí)）【解析】 如果取出來(lái)的五個(gè)數(shù)是1、2、3、4、5，則共有不同填法16種從8個(gè)數(shù)中選出5個(gè)數(shù)，共有8×7×6÷(3×2×1)=56中選法，所以共16×56=896種【例 33】 從112中選出7個(gè)自然數(shù)，要求選出的數(shù)中不存在某個(gè)自然數(shù)是另一個(gè)自然數(shù)的2倍，那么一共有 種選法（6級(jí)）【解析】 由于要求選出的數(shù)中不存在某個(gè)自然數(shù)是另一個(gè)自然數(shù)的2倍，可以先根據(jù)2倍關(guān)系將112進(jìn)行如下分組：(1，2，4

40、，8)；(3，4，12)；(5，10)；(7)；(9)；(11)由于第一組最多可選出2個(gè)數(shù)，第二組最多可選出2個(gè)數(shù)，其余四組最多各可選出1個(gè)數(shù)，所以最多可選出8個(gè)數(shù)現(xiàn)在要求選出7個(gè)數(shù)，所以恰好有一組選出的數(shù)比它最多可選出的數(shù)少一個(gè)如果是第一組少一個(gè)，也就是說(shuō)第一組選1個(gè)，第二組選2個(gè)，其余四組各選1個(gè)，此時(shí)有種選法；如果是第二組少一個(gè)，也就是說(shuō)第一組選2個(gè)，其余五組各選一個(gè)，此時(shí)第一組有3種選法，根據(jù)乘法原理，有種選法；如果是第三組少一個(gè)，也就是說(shuō)第一組選2個(gè)，第二組選2個(gè)，第三組不選，其余三組各選1個(gè)，有種選法；如果是第四、五、六組中的某一組少一個(gè)，由于這三組地位相同，所以各有種選法根據(jù)加法

41、原理，共有種不同的選法【例 34】 從到這個(gè)自然數(shù)中有 個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被4整除（6級(jí)）【解析】 由于在一個(gè)數(shù)的前面寫上幾個(gè)0不影響這個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和，所以可以將到中的一位數(shù)和兩位數(shù)的前面補(bǔ)上兩個(gè)或一個(gè)0，使之成為一個(gè)三位數(shù)現(xiàn)在相當(dāng)于要求001到999中各位數(shù)字之和能被4整除的數(shù)的個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)除以4的余數(shù)可能為0，1，2，3，09中除以4余0的數(shù)有3個(gè)，除以4余1的也有3個(gè)，除以4余2和3的各有2個(gè)三個(gè)數(shù)的和要能被4整除，必須要求它們除以4的余數(shù)的和能被4整除，余數(shù)的情況有如下5種：；如果是，即3個(gè)數(shù)除以4的余數(shù)都是0，則每位上都有3種選擇，共有種可能，但是注意到其中也包含了000這個(gè)數(shù)，

42、應(yīng)予排除，所以此時(shí)共有個(gè)；如果是，即3個(gè)數(shù)除以4的余數(shù)分別為0，1，3，而在3個(gè)位置上的排列有種，所以此時(shí)有個(gè)；如果是，即3個(gè)數(shù)除以4的余數(shù)分別為0，2，2，在3個(gè)位置上的排列有種，所以此時(shí)有個(gè)；如果是，即3個(gè)數(shù)除以4的余數(shù)分別為1，1，2，在3個(gè)位置上的排列有種，所以此時(shí)有個(gè)；如果是，即3個(gè)數(shù)除以4的余數(shù)分別為2，3，3，在3個(gè)位置上的排列有種，此時(shí)有個(gè)根據(jù)加法原理，共有【鞏固】從10到4999這4990個(gè)自然數(shù)中，其數(shù)字和能被4整除的數(shù)有多少個(gè)？（6級(jí)）【解析】 分段計(jì)算：在10004999這4000個(gè)數(shù)中，數(shù)字和被4除余0、1、2、3的各有1000個(gè)；在200999這800個(gè)數(shù)中，數(shù)字和

43、被4除余0、1、2、3的各有200個(gè)；在2099、120199這160個(gè)數(shù)中，數(shù)字和被4除余0、1、2、3的各有40個(gè)；此外，1019、100119種分別有2個(gè)和4個(gè)被4整除，所以，共有個(gè)【鞏固】從1到3998這3998個(gè)自然數(shù)中，又多少個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被4整除？（6級(jí)）【解析】 從0到999共有1000個(gè)數(shù)，它們除以4的余數(shù)為0，1，2，3，這樣，這1000個(gè)數(shù)每一個(gè)加上千位上對(duì)應(yīng)的0，1，2，3，都能被4整除，所以答案為1000個(gè)【例 35】 有兩個(gè)不完全一樣的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6將兩個(gè)正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？

44、（6級(jí)）【解析】 要使兩個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)，只要這兩個(gè)數(shù)字的奇偶性相同，即這兩個(gè)數(shù)字要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，所以，要分兩大類來(lái)考慮第一類，兩個(gè)數(shù)字同為奇數(shù)由于放兩個(gè)正方體可認(rèn)為是一個(gè)一個(gè)地放放第一個(gè)正方體時(shí)，出現(xiàn)奇數(shù)有三種可能，即1，3，5；放第二個(gè)正方體，出現(xiàn)奇數(shù)也有三種可能，由乘法原理，這時(shí)共有種不同的情形 第二類，兩個(gè)數(shù)字同為偶數(shù)，類似第一類的討論方法，也有種不同情形 最后再由加法原理即可求解兩個(gè)正方體向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的共有種不同的情形【鞏固】 有兩個(gè)不完全一樣的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6將兩個(gè)正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為奇數(shù)的有多

45、少種情形？（6級(jí)）【解析】 要使兩個(gè)數(shù)字之和為奇數(shù)，只要這兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，即這兩個(gè)數(shù)字一個(gè)為奇數(shù)，另一個(gè)為偶數(shù)，由于放兩個(gè)正方體可認(rèn)為是一個(gè)一個(gè)地放放第一個(gè)正方體時(shí)，出現(xiàn)奇數(shù)有三種可能，即1，3，5；放第二個(gè)正方體，出現(xiàn)偶數(shù)也有三種可能，由乘法原理，這時(shí)共有種不同的情形【例 36】 有兩個(gè)骰子，每個(gè)骰子的六個(gè)面分別有1、2、3、4、5、6個(gè)點(diǎn)隨意擲這兩個(gè)骰子，向上一面點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的情形有多少種？（6級(jí)）【解析】 方法一：要使兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，只要這兩個(gè)點(diǎn)數(shù)的奇偶性相同，可以分為兩步：第一步第一個(gè)骰子隨意擲有6種可能的點(diǎn)數(shù)；第二步當(dāng)?shù)谝粋€(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)確定了以后，第二個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)只能

46、是與第一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)相同奇偶性的3種可能的點(diǎn)數(shù)根據(jù)乘法原理，向上一面的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的情形有（種）方法二：要使兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，只要這兩個(gè)點(diǎn)數(shù)的奇偶性相同，所以，可以分為兩類：第一類：兩個(gè)數(shù)字同為奇數(shù)有（種）不同的情形第二類：兩個(gè)數(shù)字同為偶數(shù)類似第一類，也有（種）不同的情形根據(jù)加法原理，向上一面點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的情形共有（種） 方法三：隨意擲兩個(gè)骰子，總共有（種）不同的情形因?yàn)閮蓚€(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)與偶數(shù)的可能性是一樣的，所以，點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的情形有（種）【鞏固】 有三個(gè)骰子，每個(gè)骰子的六個(gè)面分別有1、2、3、4、5、6個(gè)點(diǎn)隨意擲這三個(gè)骰子，向上一面點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的情形有多少種？（6級(jí)）【

47、解析】 方法一：要使三個(gè)點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，有兩種情況，三個(gè)點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù)，或者一個(gè)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)另外兩個(gè)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)可以分為三步：第一步，第一個(gè)骰子隨意擲有6種可能的點(diǎn)數(shù)；第二步，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)確定了以后，第二個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)還是奇數(shù)偶數(shù)都有可能所有也有6種可能的點(diǎn)數(shù)；第三步，當(dāng)前兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)即奇偶性都確定了之后第三個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)的奇偶性就確定了所以只有3種可能的點(diǎn)數(shù)根據(jù)乘法原理，向上一面的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的情形有（種）方法二：要使三個(gè)點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，有兩種情況，三個(gè)點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù)，或者一個(gè)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)另外兩個(gè)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)所以，要分兩大類來(lái)考慮： 第一類：三個(gè)點(diǎn)數(shù)同為偶數(shù)由于擲骰子可認(rèn)為是一個(gè)一個(gè)地?cái)S每擲一個(gè)骰子

48、出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)數(shù)都有3種可能由乘法原理，這類共有（種）不同的情形 第二類：一個(gè)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)另外兩個(gè)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)先選一個(gè)骰子作為偶數(shù)點(diǎn)數(shù)的骰子有3種選法，然后類似第一類的討論方法，共有（種）不同情形 根據(jù)加法原理，三個(gè)骰子向上一面點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的情形共有（種）【鞏固】 3個(gè)骰子擲出的點(diǎn)數(shù)和中，哪個(gè)數(shù)最有可能？（6級(jí)）【解析】 對(duì)于3個(gè)骰子的情況，情況比較復(fù)雜，點(diǎn)數(shù)和的取值范圍是3到18，其中點(diǎn)數(shù)和為3到8的情況的種數(shù)可以用隔板法求出，例如，8點(diǎn)的情況，實(shí)際上將8隔為3段，一共有種而13到18的點(diǎn)數(shù)情況種數(shù)也可以直接求出，例如點(diǎn)數(shù)為13的情況，將每個(gè)骰子的數(shù)值分別記為、，、的取值都是1到6，則問(wèn)題變?yōu)榈慕?/p>

49、的數(shù)量，即的解的數(shù)量，這就又可以用隔板法來(lái)求了，得數(shù)還是21種，(事實(shí)上構(gòu)成的數(shù)表一定是左右對(duì)稱的)對(duì)于點(diǎn)數(shù)和為9、10、11、12的情況不能用隔板法來(lái)求，例如對(duì)9進(jìn)行隔板有種，但這28種中還包括了1、1、7，1、7、1，7、1、1三種情況，所以實(shí)際的情況只有25種，對(duì)于點(diǎn)數(shù)和為10點(diǎn)的情況用擋板法求得45種，扣除9種出現(xiàn)超過(guò)6點(diǎn)的情況，還有36種,詳表如圖：點(diǎn)數(shù)345678910情況數(shù)1361015212536點(diǎn)數(shù)1817161514131211情況數(shù)1361015212536所以3個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)和中，10和11的可能性最大【例 37】 有一種用12位數(shù)表示時(shí)間的方法：前兩位表示分，三四位表示

50、時(shí)，五六位表示日，七八位表示月，后四位表示年凡不足數(shù)時(shí)，前面補(bǔ)0按照這種方法，2002年2月20日2點(diǎn)20分可以表示為2這個(gè)數(shù)的特點(diǎn)是：它是一個(gè)12位的反序數(shù)，即按數(shù)位順序正著寫反著寫都是相同的自然數(shù)，稱為反序數(shù)例如171，23032等是反序數(shù)而28與82不相同，所以28，82都不是反序數(shù)問(wèn)：從公元1000年到2002年12月，共有多少個(gè)這樣的時(shí)刻？（6級(jí)）【解析】 反序數(shù)是關(guān)于中心對(duì)稱的數(shù)日期的兩個(gè)數(shù)可以是01，02，03，10，11，12中的任意一個(gè)年份的前兩位可以是1012中的任意數(shù)年份的末兩位可以分別是09，05中的任意數(shù)在公元1000公元2000年間符合條件的數(shù)共有個(gè)2000，200

51、1，2002，月份可選01，02，03，10，11，12符合條件的時(shí)間共：(個(gè))【例 38】 假如電子計(jì)時(shí)器所顯示的十個(gè)數(shù)字是“”這樣一串?dāng)?shù)，它表示的是1月26日9時(shí)30分28秒在這串?dāng)?shù)里，“0”出現(xiàn)了3次，“2”出現(xiàn)了2次，“1”、“3”、“6”、“8”、“9”各出現(xiàn)1次，而“4”、“5”、“7”沒有出現(xiàn)如果在電子計(jì)時(shí)器所顯示的這串?dāng)?shù)里，“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”、“7”、“8”、“9”這十個(gè)數(shù)字都只能出現(xiàn)一次，稱它所表示的時(shí)刻為“十全時(shí)”，那么2003年一共有多少個(gè)這樣的“十全時(shí)”？（6級(jí)）【解析】 容易驗(yàn)證在1、2、10、11、12月內(nèi)沒有“十全時(shí)” 3月里只

52、有形式032 1 符合條件 其中兩個(gè)方格中可以填4或5，四條橫線上可以填6或7或8或9，于是共有個(gè)“十全時(shí)” 同理4、5月內(nèi)也分別各有48個(gè)“十全時(shí)” 6月里有兩種形式：061 23 或062 1 符合條件 對(duì)于形式兩個(gè)方格中可以填4或5；三條橫線上可以填7或8或9， 于是共有個(gè)“十全時(shí)” 兩個(gè)方格中可以填3或4，或5中的任意兩個(gè)數(shù)，三條橫線上可以填7或8或9及3、4、5中余下的某一個(gè)數(shù) 于是共有個(gè)“十全時(shí)” 所以6月里共有“十全時(shí)”個(gè) 同理7、8、9月內(nèi)也分別各有156個(gè)“十全時(shí)” 綜上所述，2003年一共有個(gè)“十全時(shí)”模塊三、加乘原理與圖論【例 39】 地圖上有A，B，C，D四個(gè)國(guó)家(如下

53、圖)，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色給地圖染色，使相鄰國(guó)家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問(wèn)有多少種染色方法？（6級(jí)）【解析】 A有3種顏色可選；當(dāng)B，C取相同的顏色時(shí)，有2種顏色可選，此時(shí)D也有2種顏色可選根據(jù)乘法原理，不同的涂法有種；當(dāng)B，C取不同的顏色時(shí)，B有2種顏色可選，C僅剩1種顏色可選，此時(shí)D也只有1種顏色可選(與A相同)根據(jù)乘法原理，不同的涂法有種綜上，根據(jù)加法原理，共有種不同的涂法【鞏固】 如果有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色給例題中的地圖染色，使相鄰國(guó)家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問(wèn)有多少種染色方法？（6級(jí)）【解析】 第一步，首先對(duì)A進(jìn)行染色一共有4種方法，然后對(duì)B、C進(jìn)行染

54、色，如果B、C取相同的顏色，有三種方式，D剩下3種方式，如果B、C取不同顏色，有種方法，D剩下2種方法，對(duì)該圖的染色方法一共有種方法【注意】給地圖染色問(wèn)題中有的可以直接用乘法原理解決，有的需要分類解決，前者分類做也可以解決問(wèn)題【例 40】 如右圖，有A、B、C、D、E五個(gè)區(qū)域，現(xiàn)用五種顏色給區(qū)域染色，染色要求：每相鄰兩個(gè)區(qū)域不同色，每個(gè)區(qū)域染一色有多少種不同的染色方式？（6級(jí)）【解析】 先采用分步：第一步給A染色，有5種方法；第二步給B染色，有4種方式；第三步給C染色，有3種方式；第四步給D染色，有3種方式；第五步，給E染色，由于E不能與A、B、D同色，但可以和C同色此時(shí)就出現(xiàn)了問(wèn)題：當(dāng)D與B

55、同色時(shí)，E有3種顏色可染；而當(dāng)D與B異色時(shí)，E有2種顏色可染所以必須從第四步就開始分類：第一類，D與B同色E有3種顏色可染，共有（種）染色方式；第二類，D與B異色D有2種顏色可染，E有2種顏色可染，共有（種）染色方式 根據(jù)加法原理，共有（種）染色方式【注意】給圖形染色問(wèn)題中有的可以直接用乘法原理解決，但如果碰到有首尾相接的圖形往往需要分類解決【鞏固】 如右圖，有A，B，C，D四個(gè)區(qū)域，現(xiàn)用四種顏色給區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域的顏色不同，每個(gè)區(qū)域染一色有多少種染色方法？（6級(jí)）【解析】 A有4種顏色可選，然后分類：第一類：，取相同的顏色有3種顏色可染，此時(shí)也有3種顏色可選根據(jù)乘法原理，不同的染法有（種）；第二類：當(dāng)，取不同的顏色時(shí)，有3種顏色可染，有2種顏色可染