正項級數(shù)斂散性的判別方法

1、正項級數(shù)斂散性的判別方法摘要:正項級數(shù)是級數(shù)內(nèi)容中的一種重要級數(shù)，它的斂散性是其基本性質(zhì)。正項級數(shù)斂散性的判別方法雖然較多，但是用起來仍有一定的技巧，歸納總結(jié)正項級數(shù)斂散性判別的一些典型方法，比較這些方法的不同特點，總結(jié)出一些典型判別法的特點及其適用的正項級數(shù)的特征。根據(jù)不同級數(shù)的特點分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn)行判別，才能事半功倍。關(guān)鍵詞:正項級數(shù)；收斂；方法；比較；應(yīng)用 1引言數(shù)項級數(shù)是伴隨著無窮級數(shù)的和而產(chǎn)生的一個問題，最初的問題可以追溯到公元前五世紀(jì)，而到了公元前五世紀(jì)，而到了公元17、18世紀(jì)才有了真正的無窮級數(shù)的理論。英國教學(xué)家Gregory J（16381675）給出了級數(shù)收斂和發(fā)

2、散兩個術(shù)語從而引發(fā)了數(shù)項級數(shù)斂散性廣泛而深入的研究，得到了一系列數(shù)項級數(shù)的判別法。因而，判斷級數(shù)的斂散性問題常常被看作級數(shù)的首要問題。我們在書上已經(jīng)學(xué)了很多種正項級數(shù)斂散性的判定定理，但書上沒有做過多的分析。我們在實際做題目時，常會有這些感覺：有時不知該選用哪種方法比較好；有時用這種或那種方法時，根本做不出來，也就是說，定理它本身存在著一些局限性。因此，我們便會去想，我們常用的這些定理到底有哪些局限呢？定理與定理之間會有些什么聯(lián)系和區(qū)別呢？做題目時如何才能更好得去運用這些定理呢？這就是本文所要討論的。2正項級數(shù)斂散性判別法2.1判別斂散性的簡單方法由級數(shù)收斂的基本判別定理柯西收斂準(zhǔn)則:級數(shù)收斂

3、有。取特殊的，可得推論：若級數(shù)收斂，則。2.2比較判別法定理一（比較判別法的極限形式）：設(shè)和為兩個正項級數(shù)，且有，于是（1）若，則與同時收斂或同時發(fā)散。（2）若，則當(dāng)收斂時，可得收斂。（3）若，則當(dāng)發(fā)散時，可得發(fā)散。正項級數(shù)斂散性的判別法在高等數(shù)學(xué)課本中所涉及的主要有：比較判別法、比值判別法和根植判別法。由于比值法與根值法的固定模式，其使用較為方便。但比較判別法在應(yīng)用時，由于需要對原有級數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，選擇與之比較的對象級數(shù)，學(xué)生學(xué)習(xí)時都感到難度較人。2.2.1當(dāng)所求級數(shù)的通項中出現(xiàn)關(guān)于的有理式時，將借助無窮小量(無窮大量)階的概念來分析比較判別法的使用，進(jìn)而給出如何選擇比較對象的快捷方法。

4、由于時，級數(shù)必發(fā)散。從而，只需考慮時，正項級數(shù)的斂散性判別。借助“無窮小量階的比較”，即無窮小量趨丁零速度的比較這一概念，上述的（1）、（2）、（3）可以等價理解為（1）當(dāng)，即與是同階無窮小量（）時，與同斂散。（2）當(dāng)且收斂，即是較的高階無窮小量（）時，必有收斂。（3）若且發(fā)散，即是較的低階無窮小量（）時，可得發(fā)散。這表明正項級數(shù)收斂與否最終取決于其通項趨于零的速度，即無窮小量階的大小。因此可以通過無窮小量(或者無窮大量)階的比較，簡化的通項或?qū)M(jìn)行適當(dāng)放縮，進(jìn)而利用已知級數(shù)的斂散性來判別的斂散。例1、判別級數(shù)和的斂散性。分析：在實際題目中，常見的無窮大量有，等。其發(fā)散的速度：在時，。從而，（

5、1）。結(jié)合比較判別法的使用。故（1）中的比較對象的的取值應(yīng)保證，即。（2）中的比較對象的的取值應(yīng)保證，即。解：（1）可取，有。又收斂，則由比較判別法可知也收斂。（2）可取，有。又收斂，則由比較判別法可知也收斂。使用正項級數(shù)比較判別法時需要熟記P-級數(shù)以及等比級數(shù)的斂散性，再結(jié)合本文給出的利用階的概念對級數(shù)通項進(jìn)行放縮的方法便能較快捷地選定常用作比較對象的P-級數(shù)或等比級數(shù)的具體形式，準(zhǔn)確判別出正項級數(shù)的斂散性。1同樣，我們可以利用等價無窮小來判斷正項級數(shù)的斂散性，仍需熟記P-級數(shù)的斂散性。22.2.2當(dāng)所求級數(shù)通項中出現(xiàn)正弦函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)時，利用不等式選取適當(dāng)?shù)谋容^對象。例2：判別級數(shù)的斂散性

6、。分析：考慮當(dāng)時，則，而是公比的收斂級數(shù)，故原級數(shù)收斂。2.3根值判別法以及兩個推廣定理一（根值判別法的極限形式）：有正項級數(shù)，若，則（1）當(dāng)時，級數(shù)收斂。（2）當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散。2.3.1一般的情況例1：判別級數(shù)的斂散性。解：由于，根據(jù)柯西判別法的推論，可得級數(shù)收斂。2.3.2根值判別法推廣，若將判別極限更改為或，則相應(yīng)結(jié)果在一定條件下將比原判別方法更為精細(xì)，且應(yīng)用范圍也有所推廣。引理一：如果，則級數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)級數(shù)收斂。3引理二：設(shè)與為兩個正項級數(shù)，且存在正整數(shù)，當(dāng)時，不等式成立，則若級數(shù)收斂必有級數(shù)收斂；若級數(shù)發(fā)散必有級數(shù)發(fā)散。定理二：設(shè)為正項級數(shù)，為大于1的自然數(shù)。若級數(shù)通項滿足，則當(dāng)時

7、級數(shù)收斂；當(dāng)級數(shù)發(fā)散；而當(dāng)時，級數(shù)的斂散性不能判定。4定理三：設(shè)為正項級數(shù)，為大于1的自然數(shù)。如果其中，則當(dāng)時級數(shù)收斂；當(dāng)級數(shù)發(fā)散；而當(dāng)時，級數(shù)的斂散性不能判定。4定理二、三給出的判別法較根值判別法更為精細(xì)。定理的應(yīng)用不再詳細(xì)舉例，比如對級數(shù)及，值或根值判別法不能判別其斂散性，但用本文的定理二或定理三其斂散性即可判別。2.4達(dá)朗貝爾判別法(比值判別法)及其推廣定理三（比值判別法的極限形式）：有正項級數(shù)（），且1）當(dāng)時，級數(shù)收斂。2）當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散。2.4.1一般的情況例1：判別級數(shù)的斂散性。解：由于，所以根據(jù)達(dá)朗貝爾判別法的推論知，級數(shù)收斂。2.4.2比值判別法的推廣，在借鑒比值判別法的基礎(chǔ)上

8、，通過對構(gòu)成正項級數(shù)的解析式進(jìn)行分析給出了判斷正項級數(shù)斂散性的一種方法。定理一：設(shè)是取值為正且可導(dǎo)的函數(shù)。1）如果存在負(fù)數(shù)，使得當(dāng)足夠大時有，則正項級數(shù)收斂；2）如果存在正數(shù)，使得當(dāng)足夠大時有，則正項級數(shù)發(fā)散；3）如果不存在滿足以上條件的實數(shù)，則正項級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。5定理一的應(yīng)用不再詳細(xì)舉例，比如對級數(shù)、和的斂散性則可用上述的定理。52.5比式與根式審斂法的推廣正項級數(shù)的審斂法有很多種，其中以達(dá)朗貝爾比值審斂法與柯西根值審斂法是最基礎(chǔ)也是使用頻率最高的兩種方法。一般情況下，這兩種審斂法都是分開來使用，事實上將這兩種方法結(jié)合在一起也可以得到一種新的審斂法。定理一：設(shè)。若。則1）當(dāng)時，級

9、數(shù)收斂；2）當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；6例1：判定級數(shù)的斂散性。解：設(shè)。則由于，所以原級數(shù)收斂。6上述判別法的出現(xiàn)，極大地拓寬了級數(shù)斂散性的判別范圍，簡化了級數(shù)的問題。2.6積分判別法定理 一(積分判別法)：設(shè)為上非負(fù)減函數(shù)，那么正項級數(shù)與反常積分同時收斂或同時發(fā)散。例1：證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散。解：將原級數(shù)換成積分形式，由于，即發(fā)散，根據(jù)積分判別法可知，調(diào)和級數(shù)發(fā)散。2.7拉貝判別法以及其推廣定理一（拉貝判別法的極限形式）：設(shè)為正項級數(shù)，且極限存在，則1）當(dāng)時，級數(shù)收斂；2）當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散。2.7.1活用拉貝判別法例1、判斷級數(shù)的斂散性。解：由于，所以原級數(shù)是發(fā)散的。2.7.2拉貝判別法在判別的范圍上比比式

10、判別法更廣泛，是根據(jù)及其極限與1的大小關(guān)系來鑒別斂散性。但是對有些級數(shù)仍無法判別其斂散性，如，所以許多作者對這些已知判別法作了研究與推廣。定理2：設(shè)為正項級數(shù)，滿足，且，則有1）若，則收斂；2）若，則發(fā)散。7文獻(xiàn)4中判別正項級數(shù)斂散性的一個主要定理如下：定理3：設(shè)為正項級數(shù)且滿足，則有1）當(dāng)時，則級數(shù)收斂；2）當(dāng)時，則級數(shù)發(fā)散。8顯然，定理2是上述的定理的改進(jìn)。事實上，由定理2知，則 。這里令。故1）若，則必有；2）若，則只要再假設(shè)滿足，就有。例1：判定級數(shù)的斂散性。解：由于，由定理2的變形形式可知，故此級數(shù)收斂。易見此方法較4中例1的方法簡便。2.8對數(shù)判別法2.8.1簡單的對數(shù)判別法文獻(xiàn)9

11、給出了判別正項級數(shù)斂散性的一種對數(shù)判別法的極限形式，就是比較與1的大小來鑒別級數(shù)的斂散性。2.8.2非正常積分與正項級數(shù)的對數(shù)判別法由于級數(shù)與反常積分在本質(zhì)上是相同的，都是“求和”運算，只不過是對兩種不同的變量求和，因此，文獻(xiàn)9將反常積分的對數(shù)審斂法推廣到級數(shù)中去，從而得到正項級數(shù)斂散性的對數(shù)審斂法。第一對數(shù)審斂法是計算與0的大小，第二對數(shù)審斂法是計算與0的大小來鑒別斂散性。2.8.3正項級數(shù)比值對數(shù)判別法而文獻(xiàn)11則是巧用麥克勞林級數(shù)展開式給出了一種比值對數(shù)判別法。對數(shù)判別法和非正常積分與正項級數(shù)的對數(shù)判別法分別給出了兩種不同形式對數(shù)判別法的，根據(jù)級數(shù)的形式選擇合適的判別法，與非正常積分與正

12、項級數(shù)的對數(shù)判別法比較對數(shù)判別法主要適用于判別冪指形級數(shù)的斂散性。2.9其他判別法2.9.1阿貝爾判別法設(shè)級數(shù)，若為單調(diào)有界數(shù)列，且級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂。2.9.2狄利克雷判別法設(shè)級數(shù)，若為單調(diào)遞減，且又級數(shù)的部分和數(shù)列有界，則級數(shù)收斂。3正項級數(shù)斂散性判別方法比較3.1當(dāng)級數(shù)可化為含參數(shù)的一般式、通項為等差或等比值或通項為含二項以上根式的四則運算且通項極限無法求出時，可以選用正項級數(shù)的充要條件即判別斂散性的簡單方法進(jìn)行判斷。3.2當(dāng)級數(shù)表達(dá)式型如為任意函數(shù)、級數(shù)一般項如含有等三角函數(shù)的因子可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，并與幾何級數(shù)、級數(shù)、調(diào)和級數(shù)進(jìn)行比較不易算出或，等此類無法判斷級數(shù)收斂性或進(jìn)行有關(guān)級

13、數(shù)的證明問題時，應(yīng)選用比較判別法。比較判別法使用的范圍比較廣泛，適用于大部分無法通過其他途徑判別其斂散性的正項級數(shù)。且具體的當(dāng)所求級數(shù)的通項中出現(xiàn)關(guān)于的有理式時，將借助無窮小量(無窮大量)階的概念來分析比較判別法的使用，如2.2中的例1；當(dāng)所求級數(shù)通項中出現(xiàn)正弦函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)時，利用不等式選取適當(dāng)?shù)谋容^對象如2.2中的例2。3.3當(dāng)級數(shù)含有次冪，形如或通項即分母含有含的函數(shù)，分子為1，或級數(shù)含有多個聚點時，可選用根值判別法。且2.3中給出的定理二、三給出的判別法較根值判別法更為精細(xì)，且應(yīng)用范圍也有所推廣。3.4當(dāng)級數(shù)含有階次冪，型如或或分子、分母含多個因子連乘除時，選用比值判別法。3.5凡能由

14、比式判別法鑒別收斂性的級數(shù)，它也能由根式判別法來判斷，而且可以說，根式判別法較之比式判別法更有效，但是他們有一定的局限性。一般情況下，這兩種判別法都是分開來使用，事實上將這兩種方法結(jié)合在一起也可以得到一種新的判別法：比式與根式審斂法的推廣。極大地拓寬了級數(shù)斂散性的判別范圍，簡化了級數(shù)的問題。如2.5中的例1，用比式與根式審斂法的推廣比較簡單的判斷出它的斂散性。3.6當(dāng)級數(shù)表達(dá)式型如為含有的表達(dá)式或可以找到原函數(shù)，或級數(shù)為上非負(fù)單調(diào)遞減函數(shù)，含有等三角函數(shù)的因子可以找到原函數(shù)，可以選用積分判別法。3.7當(dāng)級數(shù)同時含有階層與次冪，形如與時，或使用比值、根式判別法時極限等于1或無窮無法判斷其斂散性的

15、時候，選用拉貝判別法。雖然拉貝判別法在判別的范圍上比比式判別法更廣泛，但是對有些級數(shù)仍無法判別其斂散性，如2.7中例1。因此，給出了拉貝判別法的推廣，它比拉貝判別法的判別范圍廣泛，對于2.7中例1它可以很容易的就判別出其收斂性。3.8對于通項中含有因子及討通項中含有的正項級數(shù)斂散性時，拉貝判別法不易施行。就這類情況，我們應(yīng)用2.8給出的比值對數(shù)判別法，該方法避開了求極限等繁瑣過程，應(yīng)用更為方便。3.9當(dāng)通項是由兩個部分乘積而成，其中一部分為單調(diào)遞減且極限趨于0的數(shù)列，另一部分為部分和有界的數(shù)列，如含有等三角函數(shù)等，或形如任意函數(shù)，則可以選用阿貝爾判別法和狄利克雷判別法。阿貝爾判別法也可以看成狄

16、利克雷判別法的特殊形式。例：設(shè)收斂，則級數(shù)等都收斂。4正項級數(shù)斂散性判別方法的總結(jié)判斷正項級數(shù)的一般順序是先檢驗通項的極限是否為0，若不為0則發(fā)散，若為0則判斷級數(shù)的部分和是否有界，有界則收斂，否則發(fā)散。若級數(shù)的一般項可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s則使用比較判別法，或可以找到其等價式用等價判別法。當(dāng)通項具有一定的特點時，則根據(jù)其特點選擇適用的方法，如比值判別法、根式判別法、比式與根式審斂法的推廣或拉貝判別法。當(dāng)上述方法都無法使用時，根據(jù)條件選擇積分判別法、柯西判別法、對數(shù)判別法。當(dāng)無法使用根式判別法時，通?？梢赃x用比值判別法，當(dāng)比值判別法也無法使用時，使用比較判別法，若比較判別法還是無法判別時再使用充要條

17、件進(jìn)行斷。由此，我們可以得到正項級數(shù)的判別法是層層遞進(jìn)使用的，每當(dāng)一種判別法無法判斷時，就出現(xiàn)一種新的判別法來進(jìn)行判斷，因此正項級數(shù)的判別法有無窮多種。正項級數(shù)收斂性判斷的方法雖然較多，但使用起來仍有一定的技巧，根據(jù)不同的題目特點分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn)行判斷，能夠最大限度的節(jié)約時間，提高效率，特別是一些典型問題，運用典型方法，才能事半功倍。本文歸納總結(jié)正項級數(shù)收斂性判斷的一些典型方法，比較這些方法的不同特點，總結(jié)出一些典型的正項級數(shù)，根據(jù)不同的題目特點分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn)行判斷。正項級數(shù)收斂判別法也可用于判定負(fù)項級數(shù)及變號級數(shù)的絕對收斂性，也可以推廣到傅立葉級數(shù)的斂散性判別，在復(fù)變函數(shù)中也可以用于判定級數(shù)在復(fù)平面上的斂散性和收斂半徑。參考文獻(xiàn)：1 聶力. 正項級數(shù)比較判別法探討J. 中國科技信息. 2012(14)2 李英杰. 等價無窮小的兩個應(yīng)用J. 中國科技信息.2011(19)  3 龍小胖姜志誠正項級數(shù)的兩個新的判別法J井岡山師范學(xué)院學(xué)報，2000(6)：574 龍小胖. 根值判別法的兩個推廣J. 高等數(shù)學(xué)研究. 2011,14(1)5 李云娟， 樊雪雙. 判斷正項級數(shù)斂散性的一種方法J. 科技風(fēng). 2012(11)6 居琳. 比值與