《13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題》1

1、八年級(jí)八年級(jí) 上冊(cè)上冊(cè)13.4 課題學(xué)習(xí)課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題最短路徑問題本課說明本課說明 本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問題本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問題“將軍飲將軍飲 馬問題馬問題”為載體開展對(duì)為載體開展對(duì)“最短路徑問題最短路徑問題”的課題研的課題研 究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最 小問題，再利用軸對(duì)稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為小問題，再利用軸對(duì)稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為 “ “兩點(diǎn)之間，線段最短兩點(diǎn)之間，線段最短”（或（或“三角形兩邊之和大三角形兩邊之和大 于第三邊于第三邊”）問題）問題 學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)習(xí)目標(biāo)： 能利用軸對(duì)稱解決簡(jiǎn)單的最短路徑

2、問題，體會(huì)圖形能利用軸對(duì)稱解決簡(jiǎn)單的最短路徑問題，體會(huì)圖形 的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：學(xué)習(xí)重點(diǎn)： 利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線兩點(diǎn)之間，線 段最短段最短”問題問題 學(xué)習(xí)說明學(xué)習(xí)說明引言：引言： 前面我們研究過一些關(guān)于前面我們研究過一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線兩點(diǎn)的所有連線中，線 段最短段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾柕鹊膯栴}，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?題現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常

3、涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)題現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié) 將利用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決它們將利用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決它們 引入新知引入新知問題問題1牧馬人從牧馬人從A A地出發(fā)，到一條筆直的河邊地出發(fā)，到一條筆直的河邊l l飲飲馬，然后到馬，然后到B B地地. .牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走路徑最短？走路徑最短？探索新知探索新知BAl你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ 探索新知探索新知BAl追問追問1這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么？這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么？ 將將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河兩地抽象為

4、兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象為一條直抽象為一條直 線線 探索新知探索新知BAl（1）從）從A 地出發(fā)，到河邊地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到飲馬，然后到B 地；地； （2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與A， B 連接起來的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從連接起來的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A 地地 到飲馬地點(diǎn)，再回到到飲馬地點(diǎn)，再回到B 地的路程之和；地的路程之和； 探索新知探索新知追問追問2你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ 探索新知探索新知追問追問2你能用自己的語言說

5、明這個(gè)問題的意思，你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ （3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最 短的直線短的直線l上的點(diǎn)設(shè)上的點(diǎn)設(shè)C 為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上 面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C 在在l 的什么位置時(shí)，的什么位置時(shí)， AC 與與CB 的和最?。ㄈ鐖D）的和最小（如圖） BAlC追問追問1對(duì)于問題對(duì)于問題2，如何，如何將點(diǎn)將點(diǎn)B“移移”到到l 的另一側(cè)的另一側(cè)B處，滿足直線處，滿足直線l 上的任意一點(diǎn)上的任意一點(diǎn)C，都保持，都保持CB 與與CB的長(zhǎng)度

6、的長(zhǎng)度相等？相等？ 探索新知探索新知問題問題 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A，B 在直線在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)的同側(cè)，點(diǎn)C 是直是直 線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在在l 的什么位置時(shí)，的什么位置時(shí)，AC 與與CB 的和最小？的和最小？ BlA追問追問2你能利用軸對(duì)稱的你能利用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)，找到上問中符合條有關(guān)知識(shí)，找到上問中符合條件的點(diǎn)件的點(diǎn)B嗎？嗎？ 探索新知探索新知問題問題 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A，B 在直線在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)的同側(cè)，點(diǎn)C 是直是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在在l 的什么位置時(shí)，的什么位置時(shí)，AC 與與CB的和最小？的和最小？ BlA作法：作法：（1）

7、作點(diǎn)）作點(diǎn)B 關(guān)于直線關(guān)于直線l 的對(duì)稱的對(duì)稱 點(diǎn)點(diǎn)B；（2）連接）連接AB，與直線，與直線l 相交相交 于點(diǎn)于點(diǎn)C 則點(diǎn)則點(diǎn)C 即為所求即為所求 探索新知探索新知問題問題 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A，B 在直線在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)的同側(cè)，點(diǎn)C 是直是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在在l 的什么位置時(shí)，的什么位置時(shí)，AC 與與CB 的和最??？的和最小？ BlABC探索新知探索新知問題問題你能用所學(xué)的知識(shí)證明你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC + +BC最短嗎？最短嗎？ BlABC證明：證明：如圖，在直線如圖，在直線l 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)（與點(diǎn)C 不不重合），連接重合），連接AC，BC，

8、BC 由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，由軸對(duì)稱的性質(zhì)知， BC = =BC，BC=BC AC + +BC = = AC + +BC = = AB， AC+ +BC = = AC+ +BC探索新知探索新知問題問題你能用所學(xué)的知識(shí)證明你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC + +BC最短嗎？最短嗎？ BlABCC探索新知探索新知問題問題你能用所學(xué)的知識(shí)證明你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC + +BC最短嗎？最短嗎？ BlABCC證明：證明：在在ABC中中， ABAC+ +BC， AC + +BCAC+ +BC即即AC + +BC 最短最短若直線若直線l 上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C 不重合）與不重合）與A，B 兩點(diǎn)的距離兩點(diǎn)的

9、距離和都大于和都大于AC + +BC，就說明，就說明AC + + BC 最小最小 探索新知探索新知BlABCC追問追問1證明證明AC + +BC 最短時(shí)，為什么要在直線最短時(shí)，為什么要在直線l 上上任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)（與點(diǎn)C 不重合），證明不重合），證明AC + +BC AC+ +BC？這里的？這里的“C”的作用是什么？的作用是什么？ 探索新知探索新知追問追問2回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的 過程、借助什么解決問題的？過程、借助什么解決問題的？ BlABCC探索新知探索新知問題問題2 A和和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋一座橋MN.橋造在何處可使從橋造在何處可使從A到到B的路徑的路徑AMNB最短？最