運籌學(xué)排隊論(新)

1、運運 籌籌 帷帷 幄幄 之之 中中決決 勝勝 千千 里里 之之 外外排隊論排隊論Queuing TheoryQueuing Theory第十二章第十二章 排隊論排隊論 到達間隔的分布和服務(wù)時間的分布到達間隔的分布和服務(wù)時間的分布本章內(nèi)容本章內(nèi)容基本概念基本概念單服務(wù)臺負指數(shù)分布排隊系統(tǒng)的分析單服務(wù)臺負指數(shù)分布排隊系統(tǒng)的分析多服務(wù)臺負指數(shù)分布排隊系統(tǒng)的分析多服務(wù)臺負指數(shù)分布排隊系統(tǒng)的分析一般服務(wù)時間一般服務(wù)時間M/G/1模型模型 排隊論排隊論(Queuing Theory)，又稱，又稱隨機服務(wù)隨機服務(wù)系統(tǒng)理論系統(tǒng)理論(Random Service System Theory)。1909年由丹麥工

2、程師愛爾朗年由丹麥工程師愛爾朗(A.KErlang)在在研究電話系統(tǒng)時創(chuàng)立的。具體地說，它是在研究電話系統(tǒng)時創(chuàng)立的。具體地說，它是在研究各種排隊系統(tǒng)研究各種排隊系統(tǒng)概率規(guī)律性概率規(guī)律性的基礎(chǔ)上，解的基礎(chǔ)上，解決相應(yīng)排隊系統(tǒng)的決相應(yīng)排隊系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計最優(yōu)設(shè)計和和最優(yōu)控制最優(yōu)控制問題。問題。特別是自二十世紀特別是自二十世紀60年代以來，由于計算機年代以來，由于計算機的飛速發(fā)展，使排隊論的應(yīng)用有了更廣闊的的飛速發(fā)展，使排隊論的應(yīng)用有了更廣闊的前景。前景。Where the Time Goes ?美國人一生中平均要花費美國人一生中平均要花費- 6年年 飲食飲食5年年 排隊等待排隊等待4年年 做家務(wù)做家

3、務(wù)2年年 回電話不成功回電話不成功 1年年 尋找放置不當?shù)奈锲穼ふ曳胖貌划數(shù)奈锲?個月個月 打開郵寄廣告打開郵寄廣告6個月個月 停在紅燈前停在紅燈前商業(yè)服務(wù)系統(tǒng)商業(yè)服務(wù)系統(tǒng)系統(tǒng)類型系統(tǒng)類型顧客顧客服務(wù)臺服務(wù)臺理發(fā)店理發(fā)店人人理發(fā)師理發(fā)師銀行出納服務(wù)銀行出納服務(wù)人人出納出納ATMATM機服務(wù)機服務(wù)人人ATMATM機機商店收銀臺商店收銀臺人人收銀員收銀員管道服務(wù)管道服務(wù)阻塞的管道阻塞的管道管道工管道工電影院售票窗口電影院售票窗口人人售票員售票員機場檢票處機場檢票處人人航空公司代理人航空公司代理人經(jīng)紀人服務(wù)經(jīng)紀人服務(wù)人人股票經(jīng)紀人股票經(jīng)紀人運輸服務(wù)系統(tǒng)運輸服務(wù)系統(tǒng)系統(tǒng)類型系統(tǒng)類型顧客顧客服務(wù)臺服務(wù)臺

4、公路收費站公路收費站汽車汽車收費員收費員卡車裝貨地卡車裝貨地卡車卡車裝貨工人裝貨工人港口卸貨區(qū)港口卸貨區(qū)輪船輪船卸貨工人卸貨工人等待起飛的飛機等待起飛的飛機飛機飛機跑道跑道航班服務(wù)航班服務(wù)人人飛機飛機出租車服務(wù)出租車服務(wù)人人出租車出租車電梯服務(wù)電梯服務(wù)人人電梯電梯消防部門消防部門火災(zāi)火災(zāi)消防車消防車停車場停車場汽車汽車停車空間停車空間急救車服務(wù)急救車服務(wù)人人急救車急救車 面對擁擠現(xiàn)象，如何做到既保證一定面對擁擠現(xiàn)象，如何做到既保證一定的服務(wù)質(zhì)量指標，又使服務(wù)設(shè)施費用經(jīng)濟的服務(wù)質(zhì)量指標，又使服務(wù)設(shè)施費用經(jīng)濟合理，恰當?shù)亟鉀Q顧客排隊時間與服務(wù)設(shè)合理，恰當?shù)亟鉀Q顧客排隊時間與服務(wù)設(shè)施費用大小這對矛盾

5、，這就是排隊論所要施費用大小這對矛盾，這就是排隊論所要研究解決的問題之一。研究解決的問題之一。第一節(jié)第一節(jié) 基本概念基本概念（一）排隊系統(tǒng)的特征及組成（一）排隊系統(tǒng)的特征及組成 排隊系統(tǒng)的共同特征排隊系統(tǒng)的共同特征: : 有要求得到某種服務(wù)的人或物。排有要求得到某種服務(wù)的人或物。排隊論里把要求服務(wù)的對象統(tǒng)稱為隊論里把要求服務(wù)的對象統(tǒng)稱為“顧客顧客” 有提供服務(wù)的人或機構(gòu)。把提供服有提供服務(wù)的人或機構(gòu)。把提供服務(wù)的人或機構(gòu)稱為務(wù)的人或機構(gòu)稱為“服務(wù)臺服務(wù)臺”或或“服務(wù)服務(wù)員員” 顧客的到達、服務(wù)的時間至少有一顧客的到達、服務(wù)的時間至少有一個是個是隨機的隨機的，服從某種分布。，服從某種分布。一般的

6、排隊系統(tǒng)，都可由圖一般的排隊系統(tǒng)，都可由圖12-112-1加以描述。加以描述。顧客源顧客源排隊結(jié)構(gòu)排隊結(jié)構(gòu)服務(wù)機構(gòu)服務(wù)機構(gòu)排隊規(guī)則排隊規(guī)則顧客到來顧客到來服務(wù)規(guī)則服務(wù)規(guī)則離去離去圖圖12-1排隊系統(tǒng)排隊系統(tǒng) 排隊系統(tǒng)都有輸入過程、排隊規(guī)則和排隊系統(tǒng)都有輸入過程、排隊規(guī)則和服務(wù)臺等服務(wù)臺等3個組成部分：個組成部分：1、輸入過程輸入過程 這是指要求服務(wù)的顧客是按怎這是指要求服務(wù)的顧客是按怎樣的規(guī)律到達排隊系統(tǒng)的過程，有時也把樣的規(guī)律到達排隊系統(tǒng)的過程，有時也把它稱為顧客流一般可以從它稱為顧客流一般可以從3個方面來描述個方面來描述輸入過程。輸入過程。排隊系統(tǒng)的組成排隊系統(tǒng)的組成(1) 顧客總體數(shù)組成

7、顧客總體數(shù)組成(又稱顧客源又稱顧客源)是是有限有限的，的，也可以是也可以是無限無限的。例如，到售票處購票的顧的。例如，到售票處購票的顧客總數(shù)可以認為是無限的，而某個工廠因故客總數(shù)可以認為是無限的，而某個工廠因故障待修的機床則是有限的。障待修的機床則是有限的。(2)顧客到達方式。描述顧客是怎樣來到系統(tǒng)顧客到達方式。描述顧客是怎樣來到系統(tǒng)的，他們是單個到達，還是成批到達。病人的，他們是單個到達，還是成批到達。病人到醫(yī)院看病是顧客單個到達的例子。在庫存到醫(yī)院看病是顧客單個到達的例子。在庫存問題中如將生產(chǎn)器材進貨或產(chǎn)品入庫看作是問題中如將生產(chǎn)器材進貨或產(chǎn)品入庫看作是顧客，那么這種顧客則是成批到達的。顧

8、客，那么這種顧客則是成批到達的。(3)顧客流的概率分布，或稱顧客相繼到顧客流的概率分布，或稱顧客相繼到達時間間隔的分布。這是求解排隊系統(tǒng)達時間間隔的分布。這是求解排隊系統(tǒng)有關(guān)運行指標問題時，首先需要確定的有關(guān)運行指標問題時，首先需要確定的指標。指標。 顧客流的概率分布一般有定長分布、顧客流的概率分布一般有定長分布、二項分布、泊松流二項分布、泊松流(最簡單流最簡單流)、愛爾朗分、愛爾朗分布等若干種。布等若干種。2、排隊規(guī)則排隊規(guī)則 這是指服務(wù)臺從隊列中選取這是指服務(wù)臺從隊列中選取顧客進行服務(wù)的順序。顧客進行服務(wù)的順序。損失制損失制混合制混合制隊長有限隊長有限等待時間有限等待時間有限逗留時間有限逗

9、留時間有限排隊規(guī)則排隊規(guī)則等待制等待制先到先服務(wù)先到先服務(wù)后到先服務(wù)后到先服務(wù)隨機服務(wù)隨機服務(wù)優(yōu)先權(quán)服務(wù)優(yōu)先權(quán)服務(wù)3服務(wù)臺情況服務(wù)臺情況。服務(wù)臺可以從。服務(wù)臺可以從3方面來描述：方面來描述： (1) 服務(wù)臺數(shù)量及構(gòu)成形式服務(wù)臺數(shù)量及構(gòu)成形式圖圖12-2 單隊列單隊列-單服務(wù)臺排隊系統(tǒng)單服務(wù)臺排隊系統(tǒng)圖圖12-3 單隊列單隊列S個服務(wù)臺并聯(lián)的排隊系統(tǒng)個服務(wù)臺并聯(lián)的排隊系統(tǒng)圖圖12-4 S個隊列個隊列S個服務(wù)臺的并聯(lián)排隊系統(tǒng)個服務(wù)臺的并聯(lián)排隊系統(tǒng)圖圖12-5 單隊單隊多個服務(wù)臺的串聯(lián)排隊系統(tǒng)多個服務(wù)臺的串聯(lián)排隊系統(tǒng)圖圖12-6 多隊多隊多服務(wù)臺混聯(lián)、網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)多服務(wù)臺混聯(lián)、網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(2) 服務(wù)方式服

10、務(wù)方式。這是指在某一時刻。這是指在某一時刻接受服務(wù)的顧客數(shù)，它有單個服務(wù)和接受服務(wù)的顧客數(shù)，它有單個服務(wù)和成批服務(wù)兩種。成批服務(wù)兩種。(3) 服務(wù)時間的分布服務(wù)時間的分布。在多數(shù)情況。在多數(shù)情況下，對每一個顧客的服務(wù)時間是一隨下，對每一個顧客的服務(wù)時間是一隨機變量，其概率分布有定長分布、負機變量，其概率分布有定長分布、負指數(shù)分布、指數(shù)分布、K級愛爾朗分布、一般分級愛爾朗分布、一般分布布(所有顧客的服務(wù)時間都是獨立同分所有顧客的服務(wù)時間都是獨立同分布的布的)等等。等等。 為了區(qū)別各種排隊系統(tǒng)，根據(jù)輸入過程、為了區(qū)別各種排隊系統(tǒng)，根據(jù)輸入過程、排隊規(guī)則和服務(wù)機制的不同，對排隊模型進排隊規(guī)則和服務(wù)機

11、制的不同，對排隊模型進行分類。行分類。DGKendall在在1953年提出了模年提出了模型分類方法，型分類方法，1971年在年在排隊論符號標準化會排隊論符號標準化會議議上，將上，將Kendall符號擴充為如下固定格式：符號擴充為如下固定格式：X/Y/Z/A/B/C各符號的意義為：各符號的意義為：（二）排隊模型的分類（二）排隊模型的分類X表示顧客相繼到達間隔時間分布，常用下表示顧客相繼到達間隔時間分布，常用下列符號：列符號：X/Y/Z/A/B/CM表示到達過程為泊松過程或負指數(shù)分布；表示到達過程為泊松過程或負指數(shù)分布；D表示定長輸入；表示定長輸入；Ek表示表示k階愛爾朗分布；階愛爾朗分布；GI表

12、示一般相互獨立的時間間隔分布；表示一般相互獨立的時間間隔分布；G表示一般服務(wù)時間的分布。表示一般服務(wù)時間的分布。Y表示服務(wù)時間分布，常用下列符號：表示服務(wù)時間分布，常用下列符號：X/Y/Z/A/B/CM表示服務(wù)過程為泊松過程或負指數(shù)分布；表示服務(wù)過程為泊松過程或負指數(shù)分布；D表示定長分布；表示定長分布；Ek表示表示k階愛爾朗分布；階愛爾朗分布；G表示一般相互獨立的隨機分布。表示一般相互獨立的隨機分布。Z表示服務(wù)臺表示服務(wù)臺(員員)個數(shù)：個數(shù)： “1”則表示單個服務(wù)臺，則表示單個服務(wù)臺，“s”(s1) 表表示多個服務(wù)臺。示多個服務(wù)臺。X/Y/Z/A/B/CA表示系統(tǒng)中顧客容量限額，或稱等待空表示

13、系統(tǒng)中顧客容量限額，或稱等待空間容量：間容量： 時為等待制系統(tǒng)，此時時為等待制系統(tǒng)，此時一般省略不一般省略不寫；若為有限整數(shù)時，為混合制系統(tǒng)。寫；若為有限整數(shù)時，為混合制系統(tǒng)。B表示顧客源限額。表示顧客源限額。分有限與無限兩種，分有限與無限兩種，表示顧客源無限，表示顧客源無限，此時一般此時一般也可省略不寫。也可省略不寫。X/Y/Z/A/B/CC表示服務(wù)規(guī)則，常用下列符號：表示服務(wù)規(guī)則，常用下列符號： FCFS：表示先到先服務(wù)；：表示先到先服務(wù)； LCFS：表示后到先服務(wù)；：表示后到先服務(wù)； PR：表示優(yōu)先權(quán)服務(wù)。：表示優(yōu)先權(quán)服務(wù)。例如：某排隊問題為例如：某排隊問題為 MMSFCFS則表示顧客到

14、達間隔時間為負指數(shù)分則表示顧客到達間隔時間為負指數(shù)分布布(泊松流泊松流)；服務(wù)時間為負指數(shù)分布；服務(wù)時間為負指數(shù)分布；有有s(s1)個服務(wù)臺；個服務(wù)臺；系統(tǒng)等待空間容量無限系統(tǒng)等待空間容量無限(等待制等待制)；顧客源無限，采用先到先服務(wù)規(guī)則。顧客源無限，采用先到先服務(wù)規(guī)則?？珊営洖椋嚎珊営洖椋?M/M/s 某些情況下，排隊問題僅用某些情況下，排隊問題僅用上述表達形式中的前上述表達形式中的前3個、個、4個、個、5個符號。如不特別說明均理解為個符號。如不特別說明均理解為系統(tǒng)等待空間容量無限；顧客源系統(tǒng)等待空間容量無限；顧客源無限，先到先服務(wù)，單個服務(wù)的無限，先到先服務(wù)，單個服務(wù)的等待制系統(tǒng)等待制系

15、統(tǒng)。（三）排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標（三）排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標1. 隊長和排隊長隊長和排隊長隊長隊長是指系統(tǒng)中的顧客數(shù)是指系統(tǒng)中的顧客數(shù)(排隊等待的顧排隊等待的顧 客數(shù)與正在接受服務(wù)的顧客數(shù)之和客數(shù)與正在接受服務(wù)的顧客數(shù)之和)。 排隊長排隊長是指系統(tǒng)中正在排隊等待服務(wù)的顧是指系統(tǒng)中正在排隊等待服務(wù)的顧客數(shù)?？蛿?shù)。2等待時間和逗留時間等待時間和逗留時間 從顧客到達時刻起到他開始接受服務(wù)止從顧客到達時刻起到他開始接受服務(wù)止這段時間稱為這段時間稱為等待時間等待時間，是隨機變量。，是隨機變量。從顧客到達時刻起到他接受服務(wù)完成止從顧客到達時刻起到他接受服務(wù)完成止這段時間稱為這段時間稱為逗留時間逗留時間，也

16、是隨機變量。，也是隨機變量。3忙期和閑期忙期和閑期忙期忙期是指從顧客到達空閑著的服務(wù)機是指從顧客到達空閑著的服務(wù)機構(gòu)起，到服務(wù)機構(gòu)再次成為空閑止的這段構(gòu)起，到服務(wù)機構(gòu)再次成為空閑止的這段時間，即服務(wù)機構(gòu)連續(xù)忙的時間。這是個時間，即服務(wù)機構(gòu)連續(xù)忙的時間。這是個隨機變量，它關(guān)系到服務(wù)員的服務(wù)強度。隨機變量，它關(guān)系到服務(wù)員的服務(wù)強度。與忙期相對的是與忙期相對的是閑期閑期，即服務(wù)機構(gòu)連，即服務(wù)機構(gòu)連續(xù)保持空閑的時間。在排隊系統(tǒng)中，忙期續(xù)保持空閑的時間。在排隊系統(tǒng)中，忙期和閑期總是交替出現(xiàn)的。和閑期總是交替出現(xiàn)的。 除了上述幾個基本數(shù)量指標外，除了上述幾個基本數(shù)量指標外，還會用到其他一些重要的指標：還會

17、用到其他一些重要的指標： 損失制或系統(tǒng)容量有限的情況下，損失制或系統(tǒng)容量有限的情況下，由于顧客被拒絕，而使服務(wù)系統(tǒng)受到由于顧客被拒絕，而使服務(wù)系統(tǒng)受到損失的損失的顧客損失率顧客損失率及及服務(wù)強度服務(wù)強度等，也等，也都是十分重要的數(shù)量指標。都是十分重要的數(shù)量指標。 4. 一些數(shù)量指標的常用記號一些數(shù)量指標的常用記號 (1)主要數(shù)量指標主要數(shù)量指標 N(t)：時刻：時刻t系統(tǒng)中的顧客數(shù)系統(tǒng)中的顧客數(shù)(又稱為系又稱為系統(tǒng)的狀態(tài)統(tǒng)的狀態(tài))，即隊長；，即隊長； Nq(t)：時刻：時刻t系統(tǒng)中排隊的顧客數(shù)，即排系統(tǒng)中排隊的顧客數(shù)，即排隊長；隊長； T(t)：時刻：時刻t到達系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中的逗到達系統(tǒng)的

18、顧客在系統(tǒng)中的逗留時間；留時間； Tq(t)：時刻：時刻t到達系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中的等到達系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中的等待時間。待時間。 上面數(shù)量指標一般都是和系統(tǒng)運行上面數(shù)量指標一般都是和系統(tǒng)運行的時間有關(guān)的隨機變量，求它們的瞬時的時間有關(guān)的隨機變量，求它們的瞬時分布一般很困難。注意到相當一部分排分布一般很困難。注意到相當一部分排隊系統(tǒng)在運行了一定時間后，都會趨于隊系統(tǒng)在運行了一定時間后，都會趨于一個平衡狀態(tài)一個平衡狀態(tài)(或稱平穩(wěn)狀態(tài)或稱平穩(wěn)狀態(tài))。 在平衡狀態(tài)下，這些量與系統(tǒng)所處在平衡狀態(tài)下，這些量與系統(tǒng)所處的時刻無關(guān)，而且系統(tǒng)的初始狀態(tài)的影的時刻無關(guān)，而且系統(tǒng)的初始狀態(tài)的影響也會消失。因此，我們響

19、也會消失。因此，我們在本章中將主在本章中將主要討論與系統(tǒng)所處時刻無關(guān)的性質(zhì)，即要討論與系統(tǒng)所處時刻無關(guān)的性質(zhì)，即統(tǒng)計平衡性質(zhì)。統(tǒng)計平衡性質(zhì)。L L或或L Ls s平均隊長平均隊長穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻的顧客數(shù)的期望值；穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻的顧客數(shù)的期望值；L Lq q平均等待隊長或隊列長平均等待隊長或隊列長穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻等待服務(wù)的顧客數(shù)期望值；穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻等待服務(wù)的顧客數(shù)期望值；W W或或W Ws s 平均逗留時間平均逗留時間 進入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客逗留時間期望值；進入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客逗留時間期望值；W Wq q平均等待時間平均等待時間 進入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客等待時間期望值。進入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客等待時間期望值

20、。P Pn n 系統(tǒng)的狀態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)P Pn n= =P P N N= =n n ：穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻狀態(tài)為：穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻狀態(tài)為n n的概率。的概率。 當當 n = 0 時，時，Pn即即P0為穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)所有服務(wù)臺全部空閑的概率。為穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)所有服務(wù)臺全部空閑的概率。 (2)其他常用數(shù)量指標其他常用數(shù)量指標s系統(tǒng)中并聯(lián)服務(wù)臺的數(shù)目系統(tǒng)中并聯(lián)服務(wù)臺的數(shù)目平均到達率平均到達率（單位時間內(nèi)到達的（單位時間內(nèi)到達的平均顧客數(shù)）平均顧客數(shù)）1/平均到達間隔平均到達間隔 平均服務(wù)率（平均服務(wù)率（單位時間內(nèi)可以服單位時間內(nèi)可以服務(wù)完的平均顧客數(shù)）務(wù)完的平均顧客數(shù)）1/ 平均服務(wù)時間平均服務(wù)時間 對于損失制和混合

21、制的排隊系統(tǒng)，對于損失制和混合制的排隊系統(tǒng)，顧客在到達服務(wù)系統(tǒng)時，若系統(tǒng)容量已顧客在到達服務(wù)系統(tǒng)時，若系統(tǒng)容量已滿，則自行消失。這就是說，到達的顧滿，則自行消失。這就是說，到達的顧客不一定全部進入系統(tǒng)，為此引入：客不一定全部進入系統(tǒng)，為此引入： e 有效平均到達率有效平均到達率，即每單位時間，即每單位時間實際進入系統(tǒng)的平均顧客數(shù)（期望值），實際進入系統(tǒng)的平均顧客數(shù)（期望值），不同于不同于 。 對于等待制的排隊系統(tǒng)，有：對于等待制的排隊系統(tǒng)，有： e 第二節(jié)第二節(jié) 到達間隔的分布和服務(wù)時間的分布到達間隔的分布和服務(wù)時間的分布 一、一、Poisson流流（Poisson過程過程） 定義定義 滿足以

22、下三個條件的輸入流稱為滿足以下三個條件的輸入流稱為PoissonPoisson流流1 1、無后效性無后效性：不相交的時間區(qū)間內(nèi)到達的顧客數(shù)互：不相交的時間區(qū)間內(nèi)到達的顧客數(shù)互相獨立。相獨立。2 2、平穩(wěn)性平穩(wěn)性：在時間區(qū)間在時間區(qū)間t, t+t, t+ t)t)內(nèi)到達內(nèi)到達1 1個顧客個顧客的概率只與的概率只與 t t有關(guān)。即有關(guān)。即 表示單位時間內(nèi)有一個顧客到達的概率。表示單位時間內(nèi)有一個顧客到達的概率。3 3、普通性普通性：設(shè)在設(shè)在t, t+t, t+ t t）內(nèi)到達多于一個顧客）內(nèi)到達多于一個顧客的概率極小，即的概率極小，即2(,)()nnpt ttot 1(,)()p t tttot

23、Poisson流與流與Poisson分布分布定理定理1 對于一個參數(shù)為對于一個參數(shù)為 的的Poisson流，在流，在0，t內(nèi)到達內(nèi)到達n個顧客的概率為個顧客的概率為即服從以即服從以 為參數(shù)的為參數(shù)的Poisson分布。分布。 ()( )0, 1,20!ntntP tenn定理定理1說明說明 如果顧客的到達為如果顧客的到達為Poisson流的話，則流的話，則到達顧客數(shù)的分布恰好為到達顧客數(shù)的分布恰好為Poisson分布。分布。 二、負指數(shù)分布二、負指數(shù)分布 在實際的排隊系統(tǒng)中服務(wù)時間的概率分布可以是在實際的排隊系統(tǒng)中服務(wù)時間的概率分布可以是各種形式，但在排隊論中，最容易進行數(shù)學(xué)處理、最各種形式，

24、但在排隊論中，最容易進行數(shù)學(xué)處理、最常用的一種重要分布是負指數(shù)分布。常用的一種重要分布是負指數(shù)分布。 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量T服從以服從以 為參數(shù)的負指數(shù)分布，它為參數(shù)的負指數(shù)分布，它的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：1,0()0,0tetP Ttt( ) 1/E t方差：2( ) 1/V ar t期望：負指數(shù)分布的性質(zhì)：負指數(shù)分布的性質(zhì)： 性質(zhì)性質(zhì)1 1 由條件概率公式容易證明由條件概率公式容易證明 性質(zhì)性質(zhì)2 2 當單位時間內(nèi)的顧客到達數(shù)服從以當單位時間內(nèi)的顧客到達數(shù)服從以 為平均數(shù)為平均數(shù)的泊松分布時，則顧客相繼到達的間隔時間的泊松分布時，則顧客相繼到達的間隔時間T T服從負服從負指數(shù)分布。指數(shù)

25、分布。 這性質(zhì)稱為這性質(zhì)稱為無記憶性無記憶性。若。若T T表示排隊系統(tǒng)中顧客到達的表示排隊系統(tǒng)中顧客到達的時間間隔，那么這個性質(zhì)說明一個顧客到來所需要的時間間隔，那么這個性質(zhì)說明一個顧客到來所需要的時間與過去一個顧客到來所需要的時間時間與過去一個顧客到來所需要的時間s s無關(guān)，所以說無關(guān)，所以說在這種情形下的顧客到達是純隨機的。在這種情形下的顧客到達是純隨機的。 |p Tts Tsp Tt由性質(zhì)由性質(zhì)2 2可知：可知： 相繼到達的間隔時間是獨立且為相同相繼到達的間隔時間是獨立且為相同參數(shù)的負指數(shù)分布，與輸入過程為泊松流（參數(shù)為參數(shù)的負指數(shù)分布，與輸入過程為泊松流（參數(shù)為 ）是等價的。是等價的。

26、 根據(jù)負指數(shù)分布與泊松流的關(guān)系可以推導(dǎo)出，當根據(jù)負指數(shù)分布與泊松流的關(guān)系可以推導(dǎo)出，當服務(wù)機構(gòu)對顧客的服務(wù)時間服從參數(shù)為服務(wù)機構(gòu)對顧客的服務(wù)時間服從參數(shù)為 的負指數(shù)分的負指數(shù)分布，如果服務(wù)機構(gòu)處于忙期，則該服務(wù)機構(gòu)的輸出，布，如果服務(wù)機構(gòu)處于忙期，則該服務(wù)機構(gòu)的輸出，即服務(wù)完畢離開服務(wù)機構(gòu)的顧客數(shù)將是服從泊松分布即服務(wù)完畢離開服務(wù)機構(gòu)的顧客數(shù)將是服從泊松分布的泊松流。其中的泊松流。其中 為每個顧客的平均服務(wù)時間，也是為每個顧客的平均服務(wù)時間，也是顧客相繼離開的間隔顧客相繼離開的間隔。 三、三、k階愛爾朗分布階愛爾朗分布定理定理 設(shè)設(shè)v1，v2，vk是是k個互相獨立的隨機變量，個互相獨立的隨機變

27、量，服從相同參數(shù)服從相同參數(shù)k 的負指數(shù)分布，那么的負指數(shù)分布，那么S=v1+v2+vk服從服從k階階Erlang分布，分布，S的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為1()( )0(1)!kttb tetk ( ) 1/E t方差：2( ) 1/V ar tk 期望：K K=1=1時愛爾朗分布化歸為負指數(shù)分布，當時愛爾朗分布化歸為負指數(shù)分布，當K K時，得到長度為時，得到長度為1/1/ 的定長服務(wù)。的定長服務(wù)。m= 1k = 1k = 2k = 4k = 8第三節(jié)第三節(jié) 單服務(wù)臺負指數(shù)分布排隊系統(tǒng)的分析單服務(wù)臺負指數(shù)分布排隊系統(tǒng)的分析標準排隊模型標準排隊模型 M/M/1: / /FCFS顧客到達的時間間隔是

28、負指數(shù)分布，顧客到達的時間間隔是負指數(shù)分布，即輸入流是參數(shù)為即輸入流是參數(shù)為 的的Poisson流流服從參數(shù)為服從參數(shù)為的負指數(shù)分布的負指數(shù)分布一個服務(wù)臺一個服務(wù)臺排隊系統(tǒng)的容量無限排隊系統(tǒng)的容量無限顧客源的容量無限顧客源的容量無限實行先到先服務(wù)的一個服務(wù)系統(tǒng)實行先到先服務(wù)的一個服務(wù)系統(tǒng)一、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率一、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率p pn n的計算的計算 假設(shè)在假設(shè)在t+t+ t t時刻系統(tǒng)中顧客數(shù)為時刻系統(tǒng)中顧客數(shù)為n n的概率的概率P Pn n(t+(t+ t) t) Pn(t)Pn-1(t)Pn+1(t)Pn(t)Snt + t時刻時刻SnSnSn+1Sn-1t時刻時刻無到達，無離開無到達，無離開無

29、到達，離開一個無到達，離開一個到達一個，無離開到達一個，無離開到達一個，離開一個到達一個，離開一個)1 ()1 (tt)1 (tt( 1)tt tt由于這四種方式互不相容，故由概率的加法定理得：由于這四種方式互不相容，故由概率的加法定理得： 11()( ) ( 1)( )( 1)( ) ( 1)()nnnnP ttP tttPtttPtttot ttotPtPtPttPttPnnnnn)()()()()()(11得：令0t1n )()()()(0n )()()(11100tPtPtPdttdPtPtPdttdPnnnn該差分方程組為該差分方程組為瞬態(tài)解瞬態(tài)解，需求穩(wěn)態(tài)解。，需求穩(wěn)態(tài)解。 M/M

30、/1: / /FCFS穩(wěn)態(tài)時狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖穩(wěn)態(tài)時狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖012n-1nn+10P1nP1nP2P1PnP 1n110n10 )( nnnPPPPP穩(wěn)態(tài)情況下，系統(tǒng)狀態(tài)已不隨時間發(fā)生變化：穩(wěn)態(tài)情況下，系統(tǒng)狀態(tài)已不隨時間發(fā)生變化： ( )0tdtndP穩(wěn)態(tài)情況下，系統(tǒng)狀態(tài)已不隨時間發(fā)生變化：穩(wěn)態(tài)情況下，系統(tǒng)狀態(tài)已不隨時間發(fā)生變化： ( )0tdtndP 0021201PPPPPPPPnnn 01nnP1102 Pn 得到得到 令令稱稱 為服務(wù)強度，則為服務(wù)強度，則 1 01001 nnP 210 )1(, nnnP 得得系統(tǒng)的過渡狀態(tài)與穩(wěn)定狀態(tài)系統(tǒng)的過渡狀態(tài)與穩(wěn)定狀態(tài)過渡過渡穩(wěn)定穩(wěn)定二、二、系統(tǒng)的數(shù)

31、量指標系統(tǒng)的數(shù)量指標1 1、服務(wù)臺空閑的概率和忙的概率：、服務(wù)臺空閑的概率和忙的概率： 空閑的概率：空閑的概率：P P0 0=1-=1- 忙的概率：忙的概率： 1-P0 0= = 2 2、系統(tǒng)中平均顧客數(shù)（隊長期望值、系統(tǒng)中平均顧客數(shù)（隊長期望值LsLs）：）： 0002( 1) ( 1)( 1)1( 1)nnsnnnnLnPnn3 3、系統(tǒng)中等待的平均顧客數(shù)（隊長期望值、系統(tǒng)中等待的平均顧客數(shù)（隊長期望值LqLq）：）： 111222(1)(1)( 1) ( 1)(1)( 1)1( 1)nnqnnnnLnPnn4 4、系統(tǒng)中顧客逗留時間的期望值：、系統(tǒng)中顧客逗留時間的期望值： 1ssLW5

32、5、隊列中顧客逗留時間的期望值：、隊列中顧客逗留時間的期望值： 1qqsLWW現(xiàn)將以上公式歸納如下：現(xiàn)將以上公式歸納如下： 1sWqWqLsLssLwqqLw1sqWWssLL它們相互關(guān)系如下：它們相互關(guān)系如下： Little公式公式下列公式對任何服務(wù)系統(tǒng)均成立下列公式對任何服務(wù)系統(tǒng)均成立eqqessLWLW , eqsqsLLWW ,1例例1 高速公路入口收費處設(shè)有一個收費高速公路入口收費處設(shè)有一個收費通道，汽車到達服從通道，汽車到達服從Poisson分布，平分布，平均到達速率為均到達速率為100輛小時，收費時間輛小時，收費時間服從負指數(shù)分布，平均收費時間為服從負指數(shù)分布，平均收費時間為15

33、秒輛。求秒輛。求1、收費處空閑的概率；、收費處空閑的概率；2、收費處忙的概率；、收費處忙的概率；3、系統(tǒng)中分別有、系統(tǒng)中分別有1，2，3輛車的概率。輛車的概率。解：根據(jù)題意解：根據(jù)題意, =100輛輛/小時小時,1/ =15（秒（秒/輛）輛）=1/240（小時（小時/輛）輛）,即即 240（輛（輛/小時）。小時）。因此，因此， = / =100/240=5/12。系統(tǒng)空閑的概率為：系統(tǒng)空閑的概率為：P0=1- =1-(5/12)=7/12=0.583系統(tǒng)忙的概率為：系統(tǒng)忙的概率為：1-P0=1-(1- )= =5/12=0.417系統(tǒng)中有系統(tǒng)中有1輛車的概率為：輛車的概率為：P1= (1- )

34、=0.4170.583=0.243系統(tǒng)中有系統(tǒng)中有2輛車的概率為：輛車的概率為：P2= 2(1- )=0.417 20.583=0.101系統(tǒng)中有系統(tǒng)中有3輛車的概率為：輛車的概率為：P3= 3(1- )=0.417 30.583=0.0421例例2 高速公路入口收費處設(shè)有一個高速公路入口收費處設(shè)有一個收費通道，汽車到達服從收費通道，汽車到達服從Poisson分布，平均到達速率為分布，平均到達速率為200輛小輛小時，收費時間服從負指數(shù)分布，時，收費時間服從負指數(shù)分布，平均收費時間為平均收費時間為15秒輛。求秒輛。求Ls、Lq、Ws和和Wq。解：根據(jù)題意，解：根據(jù)題意， =200輛輛/小時，小時

35、， =240輛輛/小時，小時， = / =5/6。)(7590)(90)(025. 02002401117. 4551165656565秒秒秒秒小小時時 sqssqsWWWLLL 有限隊列模型有限隊列模型 M/M/1:N/ /FCFS 顧客到達進入隊列顧客接受服務(wù)后離去.服務(wù)臺.因隊列滿而離去 如果系統(tǒng)的最大容量為如果系統(tǒng)的最大容量為N時，排隊等待的顧客最多時，排隊等待的顧客最多為為N-1，在某時刻一顧客到達時，如系統(tǒng)中已有，在某時刻一顧客到達時，如系統(tǒng)中已有N個個顧客，那么這個顧客就被拒絕進入系統(tǒng)。顧客，那么這個顧客就被拒絕進入系統(tǒng)。系統(tǒng)的狀態(tài)概率平衡方程系統(tǒng)的狀態(tài)概率平衡方程對于狀態(tài)對于狀

36、態(tài)0： P1= P0對于狀態(tài)對于狀態(tài)k： Pk-1+ Pk+1=( + )Pk 0k3)= 0.57P(N3)= 0.570.750.75排隊長排隊長1.71.7（人）（人）2.252.25（人）（人）（各子系統(tǒng)）（各子系統(tǒng)）平均隊長平均隊長3.953.95（人）（人）9 9（人）（人）（整個系統(tǒng)）（整個系統(tǒng)）平均逗留時間平均逗留時間4.394.39（分鐘）（分鐘）1010（分鐘）（分鐘）平均等待時間平均等待時間1.891.89（分鐘）（分鐘）7.57.5（分鐘）（分鐘）M/M/c:N/FCFS模型模型 離開離開服務(wù)臺服務(wù)臺服務(wù)臺服務(wù)臺服務(wù)臺服務(wù)臺顧客到達顧客到達顧客離去顧客離去顧客離去顧客離

37、去顧客離去顧客離去隊列隊列設(shè)系統(tǒng)容量為設(shè)系統(tǒng)容量為N(Nc) 。設(shè)顧客到達的速率為。設(shè)顧客到達的速率為，每個服務(wù)臺服務(wù)的速率為每個服務(wù)臺服務(wù)的速率為，=/c。由于系統(tǒng)不會無。由于系統(tǒng)不會無限止地接納顧客，對限止地接納顧客，對不必加以限制。不必加以限制。 狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖與狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖與狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程對狀態(tài)對狀態(tài)0:P0=P1對狀態(tài)對狀態(tài)1:P0+2P2=(+)P1對狀態(tài)對狀態(tài)c：Pc-1+cPc+1=(+c)Pc對狀態(tài)對狀態(tài)N PN-1=cPN 01cc2Ncc狀態(tài)概率狀態(tài)概率11NnnP11)(!)(100 ckNcckcckcP )(!)0(!)(00NncPcccnPncPncnn 運

38、行指標運行指標 )1(NsessPLLW 02)1 ()(1)1 ( !)(PccNccLNcNcq )1(NqsPcLL )1(NqeqqPLLW 例例6 某旅館有某旅館有8個單人房間，旅客到達服個單人房間，旅客到達服從從Poisson流，平均速率為流，平均速率為6人天，旅人天，旅客平均逗留時間為客平均逗留時間為2天，求：天，求：(1)每天客房平均占用數(shù)；每天客房平均占用數(shù)；(2)旅館客滿的概率。旅館客滿的概率。 解：解：12, 2, 6, 85 . 061 ccN51876543210010963. 3! 8)12(! 7)12(! 6)12(! 5)12(! 4)12(! 3)12(!

39、2)12(! 1)12(! 0)12( P423. 010963. 3! 8)12(!)(5808 PncPn 旅館旅館8個房間全滿的概率為個房間全滿的概率為0.423 924. 6)423. 01(12)1( csPcL 平均占用客房數(shù)為平均占用客房數(shù)為6.9間。間。M/M/c:/m/FCFS模型模型 顧客到達顧客到達修理速率修理速率發(fā)生故障等待修理的機器發(fā)生故障等待修理的機器修理速率修理速率修理速率修理速率正在修理的機器正在修理的機器到達速率到達速率 (m-n)(m-n)修理速率修理速率cc運行的機器數(shù)運行的機器數(shù) m-nm-n狀態(tài)概率狀態(tài)概率 ckmckkckmkmccmckmkmP01

40、0)!(1!)!( !11!1 其中其中 cm mncPccnmmcnPnnmmPncnnn1!)!(!0!)!(!00 運行指標運行指標 mnnsnPL1 mcnnqPcnL1)(有效到達速率有效到達速率e為單位時間內(nèi)出現(xiàn)故為單位時間內(nèi)出現(xiàn)故障的機器數(shù)，有障的機器數(shù)，有e=(m-Ls) 例例7 7 車間有車間有5 5臺機器，每臺機器的故障率為臺機器，每臺機器的故障率為1 1次小時，有次小時，有2 2個修理工負責(zé)修理這個修理工負責(zé)修理這5 5臺機臺機器，工作效率相同，為器，工作效率相同，為4 4臺小時。求：臺小時。求：(1)(1)等待修理的平均機器數(shù)；等待修理的平均機器數(shù)；(2) (2) 正在

41、修理的平均機器數(shù)；正在修理的平均機器數(shù)；(3)(3)每小時發(fā)生故障的平均機器數(shù)；每小時發(fā)生故障的平均機器數(shù)；(4)(4)平均等待修理的時間；平均等待修理的時間；(5)(5)平均停工時間。平均停工時間。解解 81,41, 2, 4, 1, 5 mmccmcm 3149. 081! 01! 2281! 11! 2281! 21! 2241! 3 ! 2141! 4 ! 1141! 5 ! 01! 51)!(1!)!( !11!11524232210010 ckmckkckmkmccmckmkmP 可以計算得到（算式略）：可以計算得到（算式略）：P1=0.394，P2=0.197，P3=0.074，

42、P4=0.018，P5=0.002 由此，計算系統(tǒng)的各項運行指標如下：由此，計算系統(tǒng)的各項運行指標如下：118. 032)()1(5431 PPPPcnLmcnnq092. 15432)2(543211 PPPPPnPLmnns908. 3)092. 15(1)()3( seLm )(8 . 1)(03. 0908. 3118. 0)4(分分小時小時 eqqLW )(8 .16)(28. 0908. 3902. 1)5(分分小時小時 essLW 第第5 5節(jié)節(jié) 一般服務(wù)時間一般服務(wù)時間M/G/1M/G/1模型模型服務(wù)時間一般分布時，需要知道服務(wù)時服務(wù)時間一般分布時，需要知道服務(wù)時間的均值間的均

43、值 和方差和方差 。當。當 時，排隊系時，排隊系統(tǒng)可以達到平穩(wěn)狀態(tài)。統(tǒng)可以達到平穩(wěn)狀態(tài)。 121 1,)1(2,12220 qsqqqqsWWLWLLLpPK公式公式1 1 負指數(shù)服務(wù)時間負指數(shù)服務(wù)時間M/M/1M/M/1模型模型221 1)1(2)1(2222222qL)1(22 qL只有負指數(shù)分布時排隊長的一半。只有負指數(shù)分布時排隊長的一半。02 2 定長服務(wù)時間定長服務(wù)時間M/D/1模型模型3 k階愛爾朗服務(wù)時間階愛爾朗服務(wù)時間M/Ek/1模型模型若顧客需接受若顧客需接受k個串行的服務(wù)臺個串行的服務(wù)臺的服務(wù)后才離開，且每個服務(wù)臺服的服務(wù)后才離開，且每個服務(wù)臺服務(wù)時間服從負指數(shù)分布，平均服

44、務(wù)務(wù)時間服從負指數(shù)分布，平均服務(wù)時間相等。時間相等。則總服務(wù)時間服從則總服務(wù)時間服從k階愛爾朗分階愛爾朗分布。布。ErlangErlang分布的均值和方差分布的均值和方差總服務(wù)時間服從愛爾朗分布：總服務(wù)時間服從愛爾朗分布：21)(,1)( kTVarTE k1每個服務(wù)臺的平均服務(wù)時間是：每個服務(wù)臺的平均服務(wù)時間是：M/EM/Ek k/1/1系統(tǒng)的運行指標系統(tǒng)的運行指標2(1 )2( 1)qsqssqqkLkLLLWLW例例8 有一汽車沖洗臺，汽車按有一汽車沖洗臺，汽車按Poisson流流到達，平均每小時到達到達，平均每小時到達18輛；沖洗時間輛；沖洗時間T的平均值的平均值=0.05小時小時/輛

45、，方差輛，方差Var(T) =0.01(小時小時/輛輛)2，求該洗車臺的運行指，求該洗車臺的運行指標，并對它進行評價。標，并對它進行評價。24. 301. 018,01. 02005. 0, 19 . 005. 018,1822221 解：解：本例是本例是M/G/1系統(tǒng)，且已知系統(tǒng)，且已知)(125. 105. 0175. 1(175. 11815.21)(15.219 . 025.20)(25.20)9 . 01(29 . 024. 3)1(22222小小時時小小時時）輛輛輛輛 qssqsqWLWLLL 可見顧客等待時間太長，隊列也太長。主可見顧客等待時間太長，隊列也太長。主要原因是服務(wù)時間

46、的方差太大！要原因是服務(wù)時間的方差太大！例例9 某單人裁縫店做西服，每套需經(jīng)過某單人裁縫店做西服，每套需經(jīng)過4個個不同的工序，不同的工序，4個工序完成后才開始做另一個工序完成后才開始做另一套。每一工序的時間服從負指數(shù)分布，期套。每一工序的時間服從負指數(shù)分布，期望值為望值為2小時。顧客到來服從泊松分布，平小時。顧客到來服從泊松分布，平均訂貨率為均訂貨率為5.5套套/周（設(shè)一周周（設(shè)一周6天，每天天，每天8小小時）。問一顧客為等到做好一套西服期望時）。問一顧客為等到做好一套西服期望時間有多長？時間有多長？解：解：=5.5套套/周周1/:平均每套所需時間平均每套所需時間1/4:平均每工序所需時間，為

47、平均每工序所需時間，為2小時小時1/8套套/小時小時6套套/周周2115.5( ),( )64 6E TVar T， 2188.765.5126415.565.565.5222 sL顧客為等到做好一套西服期望時間：顧客為等到做好一套西服期望時間：周周3 . 15 . 52188. 7 ssLW某修理店只有一位修理工，來修理某修理店只有一位修理工，來修理的顧客到達過程為的顧客到達過程為Poisson流，平均每小時流，平均每小時4人；修理時間服從負指數(shù)分布，平均需要人；修理時間服從負指數(shù)分布，平均需要6分鐘。試求：修理店空閑的概率；店內(nèi)恰有分鐘。試求：修理店空閑的概率；店內(nèi)恰有3位顧客的概率；店內(nèi)

48、至少有一位顧客的概位顧客的概率；店內(nèi)至少有一位顧客的概率；在店內(nèi)平均顧客數(shù)；每位在店內(nèi)平均逗率；在店內(nèi)平均顧客數(shù)；每位在店內(nèi)平均逗留時間；等待服務(wù)的平均顧客數(shù)；每位顧客留時間；等待服務(wù)的平均顧客數(shù)；每位顧客平均等待服務(wù)時間；顧客在店內(nèi)逗留時間超平均等待服務(wù)時間；顧客在店內(nèi)逗留時間超過過10分鐘的概率。分鐘的概率。解：解： 本例可看成一個本例可看成一個M/M/1/M/M/1/ 排隊問題，其中排隊問題，其中 =2=2， =3=3， = = / / =2/31=2/31 1 1、系統(tǒng)中列車的平均數(shù)、系統(tǒng)中列車的平均數(shù) L=L= /(1-/(1- )=(2/3)/(1-2/3)=2)=(2/3)/(1

49、-2/3)=2（列）（列） 2 2、列車在系統(tǒng)中的平均停留時間、列車在系統(tǒng)中的平均停留時間 W=L/W=L/ = =2/2=12/2=1（小時）（小時） 3 3、系統(tǒng)中等待編組的列車平均數(shù)、系統(tǒng)中等待編組的列車平均數(shù) Lq=L-Lq=L- =2-2/3=4/3=2-2/3=4/3（列）（列） 4 4、列車在系統(tǒng)中的平均等待編組時間、列車在系統(tǒng)中的平均等待編組時間 WqWq= =Lq/Lq/ =(4/3)/(1/2)=2/3=(4/3)/(1/2)=2/3（小時）（小時）練習(xí)練習(xí)3 3： ( (病人候診問題病人候診問題) ) 某單位醫(yī)院的一個某單位醫(yī)院的一個科室有一位醫(yī)生值班，經(jīng)長期觀察，每小平

50、均科室有一位醫(yī)生值班，經(jīng)長期觀察，每小平均有有4 4個病人，醫(yī)生每小時平均可診個病人，醫(yī)生每小時平均可診5 5個病人，病個病人，病人的到來服從泊松分布，醫(yī)生的診病時間服從人的到來服從泊松分布，醫(yī)生的診病時間服從負指數(shù)分布，試問：負指數(shù)分布，試問：1 1、該科室平均有病人數(shù)；平均排隊候診病人數(shù)；看、該科室平均有病人數(shù)；平均排隊候診病人數(shù)；看一次病平均所需的時間；排隊等候看病的平均時間一次病平均所需的時間；排隊等候看病的平均時間 2 2 如果滿足如果滿足99%99%以上的病人有座，此科室至少應(yīng)設(shè)多以上的病人有座，此科室至少應(yīng)設(shè)多少座位少座位? ? 3 3 如果該單位每天如果該單位每天2424小時上

51、班，病人看病小時上班，病人看病1 1小時因耽小時因耽誤工作單位要損失誤工作單位要損失3030元，這樣單位平均每天損失多元，這樣單位平均每天損失多少元少元? ?4 4 如果該科室提高看病速度，每小時平均可診如果該科室提高看病速度，每小時平均可診6 6個病個病人，單位每天可減少損失多少人，單位每天可減少損失多少? ?可減少多少座位可減少多少座位? ?4545081,.pnnn0208012., , 解：該模型為解：該模型為MM1MM1該科室平均有病人數(shù)為該科室平均有病人數(shù)為 該科室內(nèi)排隊候診病人數(shù)為該科室內(nèi)排隊候診病人數(shù)為 看一次病平均所需的時間為看一次病平均所需的時間為 排隊等候看病的平均時間為

52、排隊等候看病的平均時間為 為滿足為滿足99%99%以上的病人有座，設(shè)科室應(yīng)設(shè)以上的病人有座，設(shè)科室應(yīng)設(shè)m m個座位，個座位，則則m m應(yīng)滿足應(yīng)滿足 Ls1081084.()人LLqs40832. ()人WLss441()小時WWqs111508. ()小時Pm.醫(yī)務(wù)室病人數(shù) 099nmnm().1109910m1001.m ln .ln0 01120 所以該科室至少應(yīng)設(shè)所以該科室至少應(yīng)設(shè)2020個座位個座位 如果該單位如果該單位2424小時上班，則每天平均有病人小時上班，則每天平均有病人24244=964=96人，病人看病所花去的總時間為人，病人看病所花去的總時間為96961=961=96小時

53、，因看病平均每天損失小時，因看病平均每天損失303096=288096=2880元，如果醫(yī)元，如果醫(yī)生每小時可診生每小時可診6 6個病人，個病人， ，則，則 23LLWWsqsq2430513()(). ()()人人小時小時 這樣單位每天的損失費為這樣單位每天的損失費為96960.50.530=144030=1440元，元，因而單位每天平均可減少損失因而單位每天平均可減少損失2880-1440=14402880-1440=1440元，元，這時為保證這時為保證99%99%以上的病人有座，應(yīng)設(shè)座位數(shù)個以上的病人有座，應(yīng)設(shè)座位數(shù)個比原來減少了比原來減少了9 9個。個。練習(xí)練習(xí)4 4: :某汽車加油站

54、有兩臺加油泵為汽車某汽車加油站有兩臺加油泵為汽車加油，加油站內(nèi)最多能容納加油，加油站內(nèi)最多能容納6 6輛汽車。已知輛汽車。已知顧客到達的時間間隔服從負指數(shù)分布，平顧客到達的時間間隔服從負指數(shù)分布，平均每小時到達均每小時到達1818輛汽車。若加油站中已有輛汽車。若加油站中已有K K輛車，當輛車，當K K 2 2時，有時，有K K/6/6的顧客將自動離去。的顧客將自動離去。加油時間服從負指數(shù)分布，平均每輛車需加油時間服從負指數(shù)分布，平均每輛車需要要5 5分鐘。試求：分鐘。試求：非標準的非標準的M/M/2/NM/M/2/N模型模型（1 1）系統(tǒng)空閑的概率為多少？）系統(tǒng)空閑的概率為多少？ （2 2）求

55、系統(tǒng)滿的概率是多少？）求系統(tǒng)滿的概率是多少？ （3 3）求系統(tǒng)服務(wù)臺不空的概率）求系統(tǒng)服務(wù)臺不空的概率? ? （4 4）若服務(wù)一個顧客）若服務(wù)一個顧客, ,加油站可以獲得利潤加油站可以獲得利潤1010元元, ,問平均每小時可獲得利潤為多少元？問平均每小時可獲得利潤為多少元？ （5 5）求每小時損失掉的顧客數(shù)？）求每小時損失掉的顧客數(shù)？ （6 6）加油站平均有多少輛車在等待加油？平均）加油站平均有多少輛車在等待加油？平均有多少個車位被占用？有多少個車位被占用？（7 7）進入加油站的顧客需要等多長的時間才能）進入加油站的顧客需要等多長的時間才能開始加油？開始加油？ 進入加油站的顧進入加油站的顧 客需要多長時間才客需要多長時間才能離去？能離去？（1 1）系統(tǒng)空閑的概率為多少？）系統(tǒng)空閑的概率為多少？ P P0 0（2 2）求系統(tǒng)滿的概率是多少？）求系統(tǒng)滿的概率是多少？ P P6 6（3 3）求系統(tǒng)服務(wù)